课时16 导数的概念及其意义，导数的运算-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版2019）

第三章　一元函数的导数及其应用 课时冲关１６　导数的概念及其意义、导数的运算 对应学生用书　P２３１ [基础巩固练] 一、单选题 １．(２０２５􀅰营口模拟)下列函数的求导正确的是 (　　) A．(x－２)′＝－２x B．(xcosx)′＝cosx－xsinx C．(ln１０)′＝１１０ D．(e２x)′＝２ex 解析:B　[(x－２)′＝－２x－３,∴A 错;(xcosx)′ ＝cosx－xsinx,∴B对;(ln１０)′＝０,∴C错; (e２x)′＝２e２x,∴D错．] ２．一个做直线运动的质点的位移s(m)与时间t(s) 的关系式为s＝１００t－５t２,则该质点的瞬时速度 为０m/s时,t＝ (　　) A．５０s B．２０s C．１０s D．５s 解析:C　[由题意知s＝１００t－５t２,则s′＝１００ －１０t, 令s′＝０,则t＝１０,即该质点瞬时速度为０m/s 时,时间t＝１０s．] ３．(２０２５􀅰九江模拟)曲线f(x)＝ ３３x ３－１在x＝ １处的切线倾斜角是 (　　) A．π６ B． π ３ C． ５π ６ D． ２π ３ 解析:B　[设曲线f(x)＝ ３３x ３－１在x＝１处 的切线倾斜角为α, 因为f′(x)＝ ３x２,则f′(１)＝ ３,因为０≤α≤ π,因此,α＝π３． ] ４．已知直线y＝ax 是曲线y＝lnx 的切线,则实 数a＝ (　　) A．１２ B． １ ２e C． １ e D． １ e２ 解析:C　[设切点坐标为(x０,lnx０),由y＝lnx 的导函数为y′＝１x 知切线方程为y－lnx０＝ １ x０ (x－x０),即y＝ x x０ ＋lnx０ －１．由 题 意 可 知 a＝１x０ , lnx０－１＝０, { 解得a＝１e．] ５．(２０２５􀅰荆门质检)过点P(１,２)作曲线C:y＝ ４ x 的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB 的 方程为 (　　) A．２x＋y－８＝０ B．２x＋y－６＝０ C．２x＋y－４＝０ D．x＋２y－５＝０ 解析:A　[设A(x１,y１),B(x２,y２),由y＝ ４ x , 得y′＝－４x２ ,∴曲线C 在A 点处的切线方程为 y－y１＝－ ４ x２１ (x－x１),把 P(１,２)代入切线方 程,得２－y１＝－ ４ x２１ (１－x１),化简得２x１＋y１－ ８＝０,同理可得曲线C 在B 点处的切线方程为 ２x２＋y２－８＝０,∵A,B 都满足直线２x＋y－８ ＝０,∴直线AB 的方程为２x＋y－８＝０．] ６．已知a,b为正实数,直线y＝x－２a与曲线y＝ ln(x＋b)相切,则１a＋ ２ b 的最小值是 (　　) A．６ B．４ ２ C．８ D．２ ２ 解析:C　[设切点为(m,n), y＝ln(x＋b)的导数为y′＝ １x＋b , 由题意可得 １ m＋b＝１ , 又n＝m－２a,n＝ln(m＋b), 解得n＝０,m＝２a, 即有２a＋b＝１,因为a、b为正实数, 所以１ a＋ ２ b＝ １ a＋ ２ b æ è ç ö ø ÷(２a＋b)＝２＋２＋ba ＋ ４a b ≥４＋２ b a 􀅰４a b ＝８ , 当且仅当２a＝b＝１２ 时取等号, 故１ a＋ ２ b 的最小值为８．] 二、多选题 ７．下列求导运算正确的是 (　　) A．若y＝(x＋１)lnx,则y′＝lnx＋１x＋１ B．(cosπ)′＝－sinπ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３３３􀅰 第三章　一元函数的导数及其应用 C． xx＋１－２ xæ è ç ö ø ÷′＝ １(x＋１)２ －２xln２ D．(ln２x)′＝１２x 解析:AC　[对于 A,若y＝(x＋１)lnx,则y′＝ lnx＋x＋１x ＝lnx＋ １ x＋１ ,故 A 正确; 对于B,(cosπ)′＝(－１)′＝０,故B错误; 对 于 C, xx＋１－２ xæ è ç ö ø ÷′＝ xx＋１ æ è ç ö ø ÷′－２xln２＝ １ (x＋１)２ －２xln２,故C正确; 对于 D,(ln２x)′＝２２x＝ １ x ,故 D错误．] ８．已知定义在 R上的奇函数 f(x)的部分图象如图所 示,f′(x)是f(x)的导函 数,则 下 列 结 论 中 正 确 的是 (　　) A．f(２)＝－１ B．f(１)􀅰f(２)＞４ C．f′(１)􀅰f′(２)＜０ D．方程f′(x)＝０无解 解析:BC　[结合函数图象及奇函数性质分别判 断各选项即可．由题图可知f(－１)＝２,f(－２) ＞２,又∵函数f(x)是奇函数,∴f(１)＝－２, f(２)＜－２,∴f(１)􀅰f(２)＞４,∴B对;由f(x) 是奇函数,结合图象可知f′(１)＜０,f′(２)＞０, ∴f′(１)􀅰f′(２)＜０,∴C对;由图象可知f(２)＝－ f(－２)＜－２,f′(x)＝０有解,∴A、D错误．] 三、填空题 ９．曲线y＝lnx＋x＋１的一条切线的斜率为２,则 该切线的方程为　　　　． 解析:设该切线的切点坐标为(x０,y０),由y＝ lnx＋x＋１得y′＝１x＋１ ,则在该切点处的切线 斜率k＝１x０ ＋１,即１x０ ＋１＝２,解得x０＝１,∴y０ ＝ln１＋１＋１＝２,即切点坐标为(１,２),∴该切 线的方程为y－２＝２(x－１),得y＝２x,即２x－ y＝０． 答案:２x－y＝０ １０．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之 一,定理内容是:如果函数f(x)在闭区间[a,b] 上的图象连续不间断,在开区间(a,b)内的导 数为f′(x),那么在区间(a,b)内至少存在一点 c,使得f(b)－f(a)＝f′(c)(b－a)成立,其中c 叫做f(x)在[a,b]上的“拉格朗日中值点”．根 据这个定理,可得函数f(x)＝x３－２x在[－２, ２]上的“拉格朗日中值点”的个数为　　　　． 解析:∵f (２)－f(－２) ２－(－２) ＝ ４＋４ ４ ＝２ ,f′(x)＝ ３x２－２, 令３x２－２＝２,解得:x＝－２ ３３ ∈ [－２,２]或x ＝２ ３３ ∈ [－２,２], ∴f(x)在[－２,２]上的“拉格朗日中值点”的个 数为２． 答案:２ 四、解答题 １１．已知函数f(x)＝x３＋(１－a)x２－a(a＋２)x＋ b(a,b∈R)． (１)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的 切线斜率为－３,求a,b的值; (２)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切 线,求a的取值范围． 解:f′(x)＝３x２＋２(１－a)x－a(a＋２)． (１)由题意得 f(０)＝b＝０, f′(０)＝－a(a＋２)＝－３,{ 解得b＝０,a＝－３或a＝１． (２)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的 切线,所以关于x 的方程f′(x)＝３x２＋２(１－ a)x－a(a＋２)＝０有两个不相等的实数根, 所以Δ＝４(１－a)２＋１２a(a＋２)＞０, 即４a２＋４a＋１＞０,所以a≠－１２． 所以a的取值范围为 －∞,－１２ æ è ç ö ø ÷∪ －１２ ,＋∞æ è ç ö ø ÷． １２．(２０２５􀅰淮南模拟)已知函数f(x)＝x２－lnx． (１)求函数f(x)在点(１,f(１))处的切线方程． (２)在函数f(x)＝x２－lnx 的图象上是否存 在两点,使以这两点为切点的切线互相垂直, 且切点的横坐标都在区间 １ ２ ,１[ ] 上? 若存在, 求出这两点的坐标,若不存在,请说明理由． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４３３􀅰 高考总复习　数学 A版 解:(１)由题意可得f(１)＝１, 且f′(x)＝２x－１x ,f′(１)＝２－１＝１, 则所求切线方程为y－１＝１×(x－１),即y ＝x． (２)假设存在两点满足题意,且设切点坐标为 (x１,y１),(x２,y２),且x１,x２∈ １ ２ ,１[ ], 不妨设x１＜x２,结合题意和(１)中求得的导函 数解析式可得 ２x１－ １ x１ æ è ç ö ø ÷􀅰 ２x２－ １ x２ æ è ç ö ø ÷＝－１, 又函数f′(x)＝２x－１x 在区间 １ ２ ,１[ ] 上单调 递增,函数的值域为[－１,１], 故－１≤２x１－ １ x１ ＜２x２－ １ x２ ≤１, 所以 ２x１－ １ x１ ＝－１, ２x２－ １ x２ ＝１, ì î í ï ï ï ï 解得x１＝ １ ２ ,x２＝１x１＝－１,x２＝－ １ ２ 舍去æ è ç ö ø ÷, 故存在两点 １ ２ ,ln２＋１４ æ è ç ö ø ÷,(１,１)满足题意． [能力提升练] １３．(２０２５􀅰成都模拟)已知lnx１－x１－y１＋２＝０, x２＋２y２－４－２ln２＝０,则 (x１－x２)２＋(y１－y２)２ 的最小值为 (　　) A．１０５ B． ２ ５ ５ C． ２ １０ ５ D． ２ １５ ５ 解析:B　[ (x１－x２)２＋(y１－y２)２ 的 最 小 值 可转化为函数y＝lnx－x＋２图象上的点与 直线x＋２y－４－２ln２＝０上的点的距离的最 小值,由y＝lnx－x＋２,可得y′＝１x－１ ,与直 线x＋２y－４－２ln２＝０平行的直线的斜率为 －１２ ,令１ x－１＝－ １ ２ ,得x＝２,所以切点的坐 标为(２,ln２),切点到直线x＋２y－４－２ln２＝ ０的距离d＝|２＋２ln２－４－２ln２| １＋４ ＝２ ５５ ． ] １４．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ ln x２－x＋ax＋b (x－１)３． (１)若b＝０,且f′(x)≥０,求a的最小值; (２)证明:曲线y＝f(x)是中心对称图形; (３)若f(x)＞－２,当且仅当１＜x＜２,求b的 取值范围． 解:(１)∵ x２－x＞０ ,∴f(x)的定义域为(０,２)． b＝０时,f′(x)＝１x＋ １ ２－x＋a≥０ ,即a≥－１x － １２－x ,由 １ x ＋ １ ２－x ＝ ２ x(２－x) ,即 a≥ ２ x(x－２)[ ]max ,又因为 ２ x(x－２) 在(０,１)上单调 递增,在(１,＋∞)上单调递减,∴当x＝１时, ２ x(x－２)≤－２ ,∴a≥－２,故a的最小值为－２． (２)由y＝ln x２－x æ è ç ö ø ÷ 关于(１,０)中心对称,y＝ ax关于(１,a)中心对称, y＝b(１－x)３ 关于(１,０)中心对称知:f(x)关 于(１,a)中心对称,下证其成立:f(１＋x)＋f(１ －x)＝ln１＋x１－x＋２a (１＋x)＋bx３＋ln１－x１＋x＋ ２a(１－x)＋b(－x)３＝２a,故结论成立． (３)由函数的连续性及题意知:f(１)＝－２,代 入原函数,得a＝－２, 所以f(x)＝lnx－ln(２－x)－２x＋b(x－１)３, ０＜x＜２, f′(x)＝１x＋ １ ２－x－２＋３b (x－１)２ ＝(x－１)２ ２x(２－x)＋３b æ è ç ö ø ÷, 由 ２ x(２－x)≥－２ ,故b≥－２３ 时,f′(x)＞０,f(x) 单调递增,f(x)＞f(１)＝－２,x∈(１,２), 当b＜－２３ 时,f′(１)＝０, f′(x)＝(x－１)２ ２x(２－x)＋３b æ è ç ö ø ÷ ＝(x－１)２ －３bx ２＋６bx＋２ x(２－x) , 令f′(x)＝０, ∵１＜x＜２,∴－３bx２＋６bx＋２＝０,得x＝x１,x２ (x１≤x２), 且x１＋x２＝－ ６b －３b＝２ ,x１􀅰x２＝ ２ －３b , 故x１ ＜１＜x２,从 而 f(x)在 (１,x２)上 单 调 递减, f(x２)＜f(１)＝－２,不满足题意．综上:b≥ －２３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５３３􀅰 第三章　一元函数的导数及其应用