课时15 函数模型的应用-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版2019）

课时冲关１５　函数模型的应用 对应学生用书　P２２９ [基础巩固练] 一、单选题 １．已知a,b,c,d四个物体沿同一方向同时开始运 动,假设其经过的路程和时间x 的函数关系分 别是f１(x)＝x２,f２(x)＝x １ ２ ,f３(x)＝log２x, f４(x)＝２x,如果运动时间足够长,则运动在最 前面的物体一定是 (　　) A．a B．b C．c D．d 解析:D　 [在 运 动 时 间 足 够 长 时,指 数 函 数 f４(x)＝２x 增长速度大于二次函数f１(x)＝x２ 的增长速度,大于二次根式函数f２(x)＝x １ ２ 的 增长速度大于对数函数f３(x)＝log２x 的增长 速度, 所以运动在最前面的物体一定是d．] ２．溶液酸碱度是通过pH 计算的,pH 的计算公式 为pH＝－lg[H＋ ],其中[H＋ ]表示溶液中氢离 子的浓度,单位是摩尔/升,人体血液的氢离子 的浓度通常在１×１０－７．４５~１×１０－７．３５之间,如 果发生波动,就是病理现象,那么,正常人体血 液的pH 值的范围是 (　　) A．[７．２５,７．５５] B．[７．２５,７．４５] C．[７．２５,７．３５] D．[７．３５,７．４５] 解析:D　[依题意,令pH１＝－lg[１×１０－７．４５] ＝７．４５,pH２＝－lg[１×１０－７．３５]＝７．３５,因此, 正常人体血液的pH值的范围是[７．３５,７．４５]．] ３．在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下 列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的 一个近似表示这些数据的规律,其中最接近的 一个是 (　　) x １．９９２ ３ ４ ５．１５ ６．１２６ y １．５１７ ４．０４１８ ７．５ １２ １８．０１ A．y＝２x－２ B．y＝１２ (x２－１) C．y＝log２x D．y＝log１２x 解析:B　[由题中表格可知函数在(０,＋∞)上 是增函数,且y 的变化随x 的增大而增大得越 来越快,分析选项可知B符合．] ４．(２０２５􀅰柳州调研)射线测厚技术原理公式为I ＝I０e－ρμt,其中I０,I分别为射线穿过被测物前 后的强度,e是自然对数的底数,t为被测物厚 度,ρ为被测物的密度,μ是被测物对射线的吸 收系数．工业上通常用镅２４１(２４１Am)低能γ射 线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价 层厚度为０．８,钢的密度为７．６,则这种射线的 吸收系数为(注:半价层厚度是指将已知射线强 度减弱为一半的某种物质厚度,ln２≈０．６９３１, 结果精确到０．００１) (　　) A．０．１１０ B．０．１１２ C．０．１１４ D．０．１１６ 解析:C　[由 射 线 测 厚 技 术 原 理 公 式 得 I０ ２＝ I０e－７．６×０．８μ,所以 １ ２＝e －６．０８μ,－ln２＝－６．０８μ, μ≈０．１１４．] 二、多选题 ５．在一次社会实践活动中,某 数学调研小组根据车间持 续５个小时的生产情况画 出了某种产品的总产量y (单位:kg)与时间x(单位:h)的函数图象,则以 下关于该产品生产状况的判断正确的是(　　) A．在前３小时内,每小时的产量逐步增加 B．在前３小时内,每小时的产量逐步减少 C．最后１小时内的产量与第３小时内的产量 相同 D．最后２小时内,该车间没有生产该产品 解析:BD　[由该车间５个小时某种产品的总产 量y(单位:kg)与时间x(单位:h)的函数图象, 得前３小时的年产量逐步减少,故 A 错误,B正 确;后２小时均没有生产,故C错误,D正确．] ６．(２０２５􀅰绍兴模拟)预测人口的变化趋势有多种 方法,“直接推算法”使用的公式是Pn＝P０(１＋ k)n(k＞－１),其中Pn 为预测期人口数,P０ 为初 期人口数,k为预测期内人口年增长率,n为预 测期间隔年数,则 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０３３􀅰 高考总复习　数学 A版 A．若k∈(－１,０),则这期间人口数呈下降趋势 B．若k∈(－１,０),则这期间人口数呈摆动变化 C．当k＝１３ ,Pn≥２P０ 时,n的最小值为３ D．当k＝－１３ ,Pn≤ １ ２P０ 时,n的最小值为３ 解析:AC　[当k∈(－１,０)时,P０＞０,０＜１＋k ＜１,由指数函数的性质可知,Pn＝P０(１＋k)n 是关于n 的减函数,即人口数呈下降趋势,故 A 正确,B不正确;当k＝１３ ,Pn＝P０ ４ ３ æ è ç ö ø ÷ n ≥２P０, 所以 ４ ３ æ è ç ö ø ÷ n ≥２,所以n≥log４３２(n∈N),log４３２∈ (２,３),所以n的最小值为３,故 C正确;当k＝ －１３ ,Pn＝P０ ２ ３ æ è ç ö ø ÷ n ≤１２P０ ,所以 ２ ３ æ è ç ö ø ÷ n ≤１２ ,所 以n≥log２３ １ ２ (n∈N),log２３ １ ２＝log ３ ２ ２∈(１,２), 所以n的最小值为２,故 D不正确．] 三、填空题 ７．某地西红柿上市后,通过市场调查,得到西红柿 种植成本Q(单位:元/１００kg)与上市时间t(单 位:天)的数据如下表: 时间t ６０ １００ １８０ 种植成本Q １１６ ８４ １１６ 根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描 述西红柿种植成本 Q 与上市时间t 的变化关 系:Q＝at＋b,Q＝at２＋bt＋c,Q＝a􀅰bt,Q＝a􀅰 logbt． 利用你选取的函数,求得西红柿种植成本最低 时的上市天数是　 　 　 　,最低种植成本是 　　　　元/１００kg． 解析:因为随着时间t的增加,种植成本Q先减少 后增加,而且当t＝６０和t＝１８０时种植成本相等, 再结合题中给出的四种函数关系可知,种植成本Q 与上市时间t的变化关系应该用二次函数Q＝at２ ＋bt＋c,即Q＝a(t－１２０)２＋m描述,将表中数据代 入可得 a(６０－１２０)２＋m＝１１６, a(１００－１２０)２＋m＝８４,{ 解得 a＝０．０１, m＝８０,{ 所 以Q＝０．０１(t－１２０)２＋８０,故当上市天数为１２０ 时,种植成本取到最低值８０元/１００kg． 答案:１２０　８０ ８．“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告 宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品广告 销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R＝a A(a为常数),广告效应为D＝a A－A．那么 精明的商人为了取得最大的广告效应,投入的 广告费应为　　　　(用常数a表示)． 解析:令t＝ A(t≥０),则A＝t２, ∴D＝at－t２＝－ t－１２a æ è ç ö ø ÷ ２ ＋１４a ２, ∴当t＝１２a ,即A＝１４a ２ 时,D 取得最大值． 答案:１ ４a ２ 四、解答题 ９．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效 益好的特点．研究表明:“活水围网”养鱼时,某 种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v (单位:千克/年)是养殖密度x(单位:尾/立方 米)的函数．当x 不超过４尾/立方米时,v的值 为２千克/年;当４＜x≤２０时,v是x 的一次函 数,当x达到２０尾/立方米时,因缺氧等原因,v 的值为０千克/年． (１)当０＜x≤２０时,求v关于x 的函数解析式; (２)当养殖密度x 为多大时,鱼的年生长量(单 位:千克/立方米)可以达到最大? 并求出 最 大值． 解:(１)由题意得当０＜x≤４时,v＝２; 当４＜x≤２０时,设v＝ax＋b,a≠０ 显然v＝ax＋b在(４,２０]内是减函数, 由已知得 ２０a＋b＝０, ４a＋b＝２,{ 解得 a＝－１８ , b＝５２ , ì î í ï ï ï ï 所以v＝－１８x＋ ５ ２． 故函数v＝ ２,０＜x≤４,x∈N＋ －１８x＋ ５ ２ ,４＜x≤２０．x∈N＋ ì î í ïï ï (２)设年生长量为f(x)千克/立方米,依题意并 由(１)可得f(x)＝ ２x,０＜x≤４, －１８x ２＋５２x ,４＜x≤２０, ì î í ïï ï 当０＜x≤４时,f(x)为增函数, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１３３􀅰 第二章　函数 故f(x)max＝f(４)＝４×２＝８; 当４＜x≤２０时,f(x)＝－１８x ２＋５２x＝－ １ ８ (x２ －２０x)＝－１８ (x－１０)２＋２５２ ,f(x)max＝f(１０) ＝１２．５． 所以当０＜x≤２０时,f(x)的最大值为１２．５． 即当养殖密度为１０尾/立方米时,鱼的年生长 量可以达到最大,最大值为１２．５千克/立方米． １０．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得 空气中一氧化碳含量达到了危险状态,经抢修 排气扇恢复正常．排气４分钟后测得车库内的 一氧化碳浓度为６４ppm,继续排气４分钟后又 测得浓度为３２ppm．由检验知该地下车库一 氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间 存在函数关系y＝c １２ æ è ç ö ø ÷ mt (c,m 为常数)． (１)求c,m 的值; (２)若空气中一氧化碳浓度不高于０．５ppm 为 正常,问至少排气多少分钟,这个地下车库中 的一氧化碳含量才能达到正常状态? 解:(１)由题意可列方程组 ６４＝c １２ æ è ç ö ø ÷ ４m , ３２＝c １２ æ è ç ö ø ÷ ８m , ì î í ï ï ï ï 两式相除,解得 c＝１２８, m＝１４． { (２)由题意可列不等式１２８ １２ æ è ç ö ø ÷ １ ４t ≤０．５, 所以 １ ２ æ è ç ö ø ÷ １ ４t ≤ １２ æ è ç ö ø ÷ ８ ,即１ ４t≥８ ,解得t≥３２． 故至少排气３２分钟,这个地下车库中的一氧 化碳含量才能达到正常状态． [能力提升练] １１．中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录,标 志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良 渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证 了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址 年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减 少”这一规律．已知样本中碳１４的质量N 随时 间T(单位:年)的衰变规律满足 N＝N０􀅰２ －T ５７３０ (N０ 表示碳１４原有的质量),则经过５７３０年 后,碳１４的质量变为原来的　　　　;经过测 定,良渚古城遗址文物样本中碳１４的质量是 原来的３ ７ 至１ ２ ,据此推测良渚古城存在的时期 距今约在５７３０年到　　　　年之间．(参考数 据:lg２≈０．３,lg７≈０．８４,lg３≈０．４８) 解析:∵N＝N０􀅰２ －T ５７３０,∴当T＝５７３０时,N＝ N０􀅰２－１＝ １ ２N０ , ∴经 过 ５７３０ 年 后,碳 １４ 的 质 量 变 为 原 来 的１ ２． 由题意可知２ －T ５７３０＞３７ ,两边同时取以２为底的 对数得:log２ －T ５７３０ ＞log２ ３ ７ ,∴ －T５７３０＞ lg３７ lg２＝ lg３－lg７ lg２ ≈－１．２ ,∴T＜６８７６, ∴推测良渚古城存在的时期距今约在５７３０年 到６８７６年之间． 答案:１ ２　６８７６ １２．“学如逆水行舟,不进则退;心似平原跑马,易 放难收．”«增广贤文»是勉励人们专心学习的． 如果每天的“进步”率都是１％,那么一年后是 (１＋１％)３６５＝１．０１３６５;如果每天的“退步”率都 是１％,那么一年后是(１－１％)３６５＝０．９９３６５,一 年后“进步”的是“退步”的１．０１ ３６５ ０．９９３６５ ＝ １．０１０．９９ æ è ç ö ø ÷ ３６５ ≈１４８１倍．如果每天的“进步”率和“退步”率 都是２０％,那么“进步”的是“退步”的１０００倍 需要经过的时间大约是　　　　天(四舍五入精 确)(参考数据:lg２≈０．３０１０,lg３≈０．４７７１)． 解析:设 经 过 x 天 “进 步”的 是 “退 步”的 １０００倍, 则１０００× (１－０．２)x ＝１．２x,即 １．２０．８ æ è ç ö ø ÷ x ＝ １０００,故 x ＝log１．２０．８ １ ０００ ＝ lg１０００ lg１．２０．８ ＝ ３ lg３－lg２≈ ３ ０．１７６１≈１７． 答案:１７ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２３３􀅰 高考总复习　数学 A版