课时14 函数的零点与方程的解-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版2019）

课时冲关１４　函数的零点与方程的解 对应学生用书　P２２７ [基础巩固练] 一、单选题 １．已知函数f(x)＝ ２x－１,x≤１, １＋log２x,x＞１,{ 则函数f(x) 的零点为 (　　) A．１２ ,０ B．－２,０ C．１２ D．０ 解析:D　[当x≤１时,令f(x)＝２x－１＝０,解 得x＝０; 当x＞１时,令f(x)＝１＋log２x＝０, 解得x＝１２ ,又因为x＞１,所以此时方程无解． 综上,函数f(x)的零点只有０．] ２．函数f(x)＝lnx－ ２x－１ 的零点所在的区间是 (　　) A．(１,２) B．(２,３) C．(３,４) D．(４,５) 解析:B　[函数f(x)＝lnx－ ２x－１ 在(１,＋∞) 上单调递增,且在(１,＋∞)上连续． 因为f(２)＝ln２－２＜０,f(３)＝ln３－１＞０, 所以f(２)􀅰f(３)＜０, 所以函数的零点所在的区间是(２,３)．] ３．已知函数f(x)＝x２－２|x|－m 的零点有两个, 则实数m 的取值范围为 (　　) A．(－１,０) B．{－１}∪(０,＋∞) C．[－１,０)∪(０,＋∞) D．(０,１) 解析:B　[在同一平面直角坐标系内作出函数 y＝x２－２|x|的图象和直线y＝m,可知当m＞０ 或m＝－１时, 直线y＝m 与函数y＝x２－２|x|的图象有两个 交点,即此时函数f(x)＝x２－２|x|－m 有两个 零点．] ４．已知函数f(x)＝ ex＋a,x≤０, ３x－１,x＞０{ (a∈R),若函数 f(x)在R上有两个零点,则a的取值范围是 (　　) A．(－∞,－１) B．(－∞,１) C．(－１,０) D．[－１,０) 解析:D　[当x＞０时,f(x)＝３x－１有一个零 点x＝１３． 因此当x≤０时,f(x)＝ex＋a＝０只 有一个实根,∴a＝－ex(x≤０),则－１≤a＜０．] ５．关于函数f(x)＝ log２(x＋２)－a,０≤x＜３．５, b－x,x≥３．５,{ 其中 a,b∈R,给出下列四个结论: 甲:５是该函数的零点; 乙:４是该函数的零点; 丙:该函数的所有零点之积为０; 丁:方程f(x)＝１有两个不等的实根． 若上述四个结论中有且只有一个结论错误,则 该错误的结论是 (　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析:B　[当x∈[３．５,＋∞)时,f(x)＝b－x 为减函数,故５和４只有一个是函数的零点,即 甲、乙中有一个结论错误,一个结论正确,故丙、 丁均正确．由所有零点之积为０,结合分段函数 的性质知,必有一个零点为０,则f(０)＝log２ － a＝０,可得a＝１．①若甲正确,则f(５)＝b－５＝ ０,则b＝５, 可得 f(x)＝ log２(x＋２)－１,０≤x＜３．５, ５－x,x≥３．５,{ 由 f(x)＝１,可得log２(x＋２)－１＝１,０≤x＜３．５ 或５－x＝１,x≥３．５,解得x＝２或x＝４,方程 f(x)＝１有两个不等的实根,故丁正确;②若乙 正确,则f(４)＝０,即b－４＝０,则b＝４,可得 f(x)＝ log２(x＋２)－１,０≤x＜３．５, ４－x,x≥３．５,{ 由f(x)＝ １,可得log２(x＋２)－１＝１,０≤x＜３．５或４－x 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７２３􀅰 第二章　函数 ＝１,x≥３．５,解得x＝２,方程f(x)＝１只有一 个实根,故丁错误,不满足题意．综上,甲正确, 乙错误．] 二、多选题 ６．下列说法正确的是 (　　) A．函数f(x)＝x２＋２x－８的零点是(－４,０), (２,０) B．方程ex＝３＋x有两个解 C．函数y＝３x,y＝log３x的图象关于y＝x对称 D．用二分法求方程３x＋３x－８＝０在x∈(１,２) 内的近似解的过程中得到f(１)＜０,f(１．５) ＞０,f(１．２５)＜０,则方程的根落在区间(１, １．２５)上 解析:BC　[对于 A,令f(x)＝x２＋２x－８＝０, 解得x１＝－４,x２＝２,即函数f(x)＝x２＋２x－８ 的零点是－４和２,故 A 错误; 对于B,令f(x)＝ex－x－３,则f(－３)＝e－３ ＞０, f(０)＝－２＜０,f(１０)＝e１０－１３＞２１０－１３＝ １０２４－１３＝１０１１＞０, 所以由零点存在定理可知f(x)＝ex－x－３(其 图象连续不断)在(－３,０),(０,１０)内各有一个 零点,故B正确; 对于C,函数y＝３x,y＝log３x互为反函数,所以 函数y＝３x,y＝log３x 的图象关于y＝x 对称, 故C正确; 对于 D,用二分法求方程３x＋３x－８＝０在x∈ (１,２)内 的 近 似 解 的 过 程 中 得 到 f(１)＜０, f(１．５)＞０,f(１．２５)＜０, 则方 程 的 根 落 在 区 间 (１．２５,１．５)上,故 D 错误．] ７．已知函数f(x)＝|２x－２|＋b的两个零点分别 为x１,x２(x１＞x２),则下列结论正确的是(　　) A．１＜x１＜２ Bx１＋x２＜１ C．x１＋x２＜２ D．x１＜１ 解析:AC　[函数f(x)＝|２x－２|＋b有两个零 点,即y＝|２x－２|的图象与直线y＝－b有两个 交点,交点的横坐标就是x１,x２(x１＞x２),在同 一平面直角坐标系中画出y＝|２x－２|与y＝－ b的图象如图所示, 可知１＜x１＜２,２x１－２＋２x２－２＝０,即４＝２x１＋ ２x２＞２ ２x１×２x２ ＝２ ２x１＋x２ ,所以２x１＋x２＜４,所 以x１＋x２＜２．] 三、填空题 ８．用二分法研究函数f(x)＝x３＋３x－１的零点时,第 一次经计算f(０)＜０,f(０．５)＞０,可得其中一个零 点x０∈　　　　,第二次应计算　　　　． 解析:因为f(０)＜０,f(０．５)＞０,由二分法原理 得一 个 零 点 x０ ∈ (０,０．５);第 二 次 应 计 算 f ０＋０．５２ æ è ç ö ø ÷＝f(０．２５)． 答案:(０,０．５)　f(０．２５) ９．已知函数f(x)＝ ２－|x|,x≤３ (x－３)２,x＞３{ ,函数g(x)＝ m－f(３－x),其中m∈R,若函数y＝g(x)恰有 ３个零点,则m 的取值范围是　　　　． 解析:令g(x)＝m－f(３－x)＝０,得f(３－x) ＝m, 若３－x≤３,则x≥０,f(３－x)＝２－|３－x|; 若３－x＞３,则x＜０,f(３－x)＝(３－x－３)２ ＝x２． 所 以 y＝f (３－x)＝ ２－|３－x|,x≥０ x２,x＜０{ ＝ ２－(３－x),０≤x＜３ ２＋(３－x),x≥３ x２,x＜０ ì î í ï ï ïï ＝ x－１,０≤x＜３ －x＋５,x≥３ x２,x＜０ ì î í ï ï ïï , 画出其图象如图所示, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８２３􀅰 高考总复习　数学 A版 当x＝３时,y＝２． 由图可知,要使函数y＝g(x)恰有３个零点,即 y＝m 与y＝f(３－x)的图象有３个交点, 则m 的取值范围是(０,２)． 答案:(０,２) 四、解答题 １０．已知y＝f(x)是定义域为 R的奇函数,当x∈ [０,＋∞)时,f(x)＝x２－２x． (１)写出函数y＝f(x)的解析式． (２)若方程f(x)＝a恰有３个不同的解,求a 的取值范围． 解:(１)设x＜０,则－x＞０,所以f(－x)＝x２＋ ２x．又因为f(x)是奇函数,所以f(x)＝－f(－x) ＝－x２－２x．所以f(x)＝ x２－２x,x≥０, －x２－２x,x＜０．{ (２)方程f(x)＝a恰有３个 不同的解,即y＝f(x)与y ＝a 的图象 有 ３ 个 不 同 的 交点．作出y＝f(x)与y＝ a的图象如图所示,故若方程f(x)＝a 恰有３ 个不同的解,只需－１＜a＜１,故a的取值范围 为(－１,１)． １１．函数f(x)＝x２＋bx＋c的两个零点为２,３． (１)求b,c的值; (２)若函数g(x)＝f(x)＋mx的两个零点分别 在区间(１,２),(２,４)内,求m 的取值范围． 解:(１)２,３为方程x２＋bx＋c＝０的两根, ∴ －b＝２＋３, c＝２×３．{ ∴ b＝－５, c＝６,{ ∴f(x)＝x２－５x＋６． (２)g(x)＝x２＋(m－５)x＋６, 依题意 g(１)＞０, g(２)＜０, g(４)＞０, ì î í ï ï ïï 解得－１２＜m＜０ , 故实数m 的取值范围是 －１２ ,０æ è ç ö ø ÷． [能力提升练] １２．[多选](２０２５􀅰江西重点中学联考)已知函数 f(x)＝ x３－３x,x＜０, ２x－２,x≥０,{ 若 关 于 x 的 方 程 [f(x)]２－(２a＋１)f(x)＋a２＋a＝０有６个不 同的实根,则实数a的可能取值是 (　　) A．－１２ B． １ ２ C． ３ ４ D．２ 解析:BC　[当x＜０ 时,f(x)＝x３－３x,则 f′(x)＝３x２－３＝３(x－１)(x＋１),当x∈(－ ∞,－１)时,f′(x)＞０,f(x)单调递增,当x∈ (－１,０)时,f′(x)＜０,f(x)单调递减,作出 f(x)的图象,如图所示． [f(x)]２－(２a＋１)f(x)＋a２＋a＝[f(x)－a] [f(x)－a－１]＝０,即f(x)＝a与f(x)＝a＋１ 共有６个不等实根,由图可知,若使f(x)＝a 与f(x)＝a＋１共有６个不等实根,只需满足 ０＜a＜２, ０＜a＋１＜２,{ 即０＜a＜１．] １３．设x１ 满足ex＋x－３＝０,x２ 满足e１－x－x－２ ＝０,则ex１＋x２＝　　　　． 解析:令函数f(x)＝ex＋x－３,而函数y＝ex, y＝x－３在 R上都是增函数,因此函数f(x) 是增函数, 由x２ 满足e１－x－x－２＝０,得e１－x２ －x２－２＝ ０,即e１－x２＋(１－x２)－３＝０,于是f(１－x２) ＝０, 由x１ 满足ex＋x－３＝０,得f(x１)＝０,因此 f(x１)＝０＝f(１－x２),而函数f(x)在 R 上 递增, 于是x１＝１－x２,即x１＋x２＝１,所 以 ex１＋x２ ＝e． 答案:e 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９２３􀅰 第二章　函数