3.4 函数中的构造问题-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版2019）

高考总复习数学A版 §3.4函数中的构造问题 ★[考试要求] 函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过 已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题. 跃升>关键能力 学生用书P49 核心考点分类突破 题型1 利用f(x)与x构造函数 [解析] 根据题意可令g(x)=P(x<0)→ [例1门(1)(2025·信阳统考)已知f()是定义在R g(r)=f()=2f2<0. 上的偶函数，当x>0时，xf(x)一f(x)<0,且 x f(-2)=0,则不等式2>0的解集是 ( 所以g)=学2在(-，0)上单满接流， A.(-2,0)U(0,2) 则原不等式等价于士202)<-1， B.(-∞，-2)U(2,+∞) (x+2025) C.(-2,0)U(2,+∞) 由g(x+2025)= f(x+2025) (x+2025) <-1=g(-1)→0 D.(-∞，-2)U(0,2) >x+2025>-1, [解析]设g(x)=fC,x≠0. 解之得x∈(-2026，-2025). [答案]B 因为f(x)是定义在R上的偶函数， -规律方法 所以f(-x)=f(x. (1)出现nf(x)十xf(x)形式，构造函数F(x) 因为g(-x)=二卫=-f=一gx), 一x x"f(x); 所以g(x)为奇函数， (2)出现xf(x)一nf(x)形式，构造函数F(x)= 所以g(-2)=一g(2). f(r) 因为f(-2)=0, 所以g(一2)=g(2)=0. 跟踪训练 当x>0时，g(x)=f)-f卫<0. [多选](2025·郴州统考)已知函数f(x)是定义在 R上的奇函数，当x>0时，xf(x)+2f(x)>0恒 所以g(x)在(0，十∞)上单调递减， 成立，则 () 此时不等式)>0的解集是(0,2). A.f(1)<4f(2) B.f(-1)<4f(-2) x C.16f(4)<9f(3) D.4f(-2)>9f(-3) 因为g(x)为奇函数，图象关于原点对称， 解析：AD[令g(x)=xf(x), 所以g(x)在（一∞，0）上单调递减， :当x>0时，xf(x)+2f(x)>0, 所以当x<0时，不等式卫>0的解集是 ∴.当x>0时，g'(x)=2xf(x)十x2f(x) x[xf(x)+2f(x)]>0, (-00,-2). ∴.g(x)=xf(x)在(0，十o∞)上单调递增. 综上所迷，不等式>0的解集是(-0，-2)U 又f(x)为定义在R上的奇函数，y=x2为定义在 x R上的偶函数， (0,2). g(x)=xf(x)为定义在R上的奇函数. [答案]D g(x)是增函数. (2)已知函数f(x)的定义域为（一∞，0），f(一1)= 由g(2)>g(1),可得4f(2)>f(1),故A正确： -1,其导函数f(x)满足xf(x)一2f(x)>0,则 由g(-1)>g(-2),可得f(-1)>4f(-2),故B 不等式f(x+2025)+(x+2025)<0的解集为 错误： ( 由g(4)>g(3),可得16f(4)>9f(3),故C错误： A.(-2026.0) B.(-2026,-2025) 由g(-2)>g(-3),可得4f(-2)>9f(-3),故D C.(-∞，-2026) D.(-o∞，-2025) 正确.门 ·76· 第三章一元函数的导数及其应用 题型2 利用f(x)与e构造 规律方法 [例2](1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)》 (1)出现f(x)十nf(x)形式，构造函数F(x)=e <f(x)-2,则 f(x); A.f(2026)-ef(2025)<2(e-1) (2)出现f(x)一nf(x)形式，构造函数F(x) B.f(2026)-ef2025)>2(e-1) f(x) C.f(2026)-ef(2025)>2(e+1) D.f(2026)-ef(2025)<2(e+1) 口跟踪训练 [解析]令g(x)=fx)+2」 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)十f(x)>0, e 且有f(3)=3,则f(x)>3e的解集为 则g'x)=fm)=f)-20, 解析：设F(x)=f(x)·e,则F(x)=f(x)·e +f(x)·e=e[f(x)+f(x)]>0, 因此函数g(x)是增函数， ∴.F(x)是增函数 于是得g(2026)>g(2025),即f2026)+2 e2 02s 又f(3)=3,则F(3)=f(3)·e=3e. >f(2025)+2 f(x)>3e-等价于f(x)·e>3e, e2啊 即F(x)>F(3), 整理得f(2026)-ef(2025)>2(e-1),故B x>3,即所求不等式的解集为(3，十○). 正确. 答案：(3，十o∞) [答案]B 题型3( 利用f(x)与sinx、cosx构造 (2)f(x)是定义在R上的函数，满足2f(x)+f(x) [例3) =心，代一1)=一2则下列说法正确的是（ [多选]定义在(0，受)上的函数fx),已知 f'(x)是它的导函数，且恒有cosx·f(x)+sinx A.f(x)在R上有极大值 ·f(x)<0成立，则有 B.f(x)在R上有极小值 C.f(x)在R上既有极大值又有极小值 A.ff( f()f() D.f(x)在R上没有极值 [解析]根据题意，2f(x)+f(x)=xe,故2f(-1) cf()>) E()>f() +f(-1)=-e1, [解析] 构造画最g)=(<<》 又f-10=一0得2（动）+f(-1)=-。故 则g'(x)=fm)eosr+fr)sin1<0,即画数 (cos 2) f(-1)=0,令g(x)=ef(x), 则g'(x)=2e“f(x)十ef'(x)=e2[2f(.x)+ 8)在(0，)上单调递减，所以（后）>8（号） f(x)]=e·re=xe, 即2erf(x)+ef'(x)=xe3",记h(.x)=ef'(x) 所以f)财()同理()()即 =xe-2e"f(x)=re-2g(x), f()>f)月 所以(x)=e+3xre-2g(x)=e“+3.xe [答案]CD 2xe=e(x+1),当x<-1时，h'(x)<0,当x> 一1时，h'(x)>0,所以函数h(x)在（一o∞，一1）上 规律方法 递减，在（一1，十o∞）上递增，所以h(x)≥h(-1)= 函数f(,x)与sinx,cosx相结合构造可导函数的 e2f(-1)=0,即ef'(x)≥0，即f(x)≥0，所以 几种常见形式 f(x)在R上单调递增，故f(x)在R上没有极值. F(x)=f(x)sin z, 故选项ABC说法错误，选项D说法正确. F'(x)=f'(r)sin x+f(z)cos x: [答案]D F(x)= f(r) sin x ·77· 高考总复习数学A版 F(r)=(r)sinf()eos 又a-b= 1_1n5_5-31n5_lne-ln125>0. sinx 610 30 30 F(x)=f(x)cos x, 得a>b F'(x)=f'(x)cos z-f(x)sin x: 所以a>b>c [答案]A F(r)=f(r) cos a (2)已知e是自然对数的底数，a= ，b= F'(x)= f'(r)cos x+f(r)sin 2ln√元 cos 心=品则 跟踪训练 A.ab>c B.c>a>b 函数f(x)定义域为(0，π)，其导函数是f(x),当(0，x) C.a>c>b D.b>c>a 时，有f(x)sinx-f(x)cosx<0,则关于x的不等式 [解析] 构建f(x)=品x>e,则f(x)= f)<f)sinx的解集为 lnt->0在(e,十∞)上恒成立， (In) 解析：令g(x)= f(xr ,则 sin 可知f(x)在(e,十o∞)上单调递增， g'(x)= f (x)sin x-f(x)cosx 因为a==，元 24 sin'x 2in后n元c=n2n4 因为x∈(0，x),所以sinx>0, 可知f(4)>f(π)>f(e)=e,即c>a>e: 因为f(x)sinx-f(x)cosx<0,所以g'(x)<0, 构建g(x)=x一sinx,x>0,则g'(x)=1一cosx≥ 所以g(x)在(0，π)上单调递减， 0在(0，十∞)上恒成立， 可知g(x)在(0，十∞)上单调递增，则g(x)>g(0) 由f)f)sin,得 4 =0,即x>sinx,x>0, ,所以 sin x sin 4 可得>sin且e>0则e>e·m是，即e>bi g)<s()为g(x)在(0x)上单调递减，所 综上所述：c>a>b. [答案]B 以<<，所以不等式f(x)<巨f)sinx的 规律方法 通过研究或变形，使所研究的式子具有鲜明的结构 解集为（任小 特点，然后依据此特点构造新函数，常用的不等式： 答案：（任 sin <<tn (+1<(> 题型4 构造具体函数关系 0),lnx≤x-1≤x2-x(x>0),e≥x+1,e≥ea >x(x>0) 140204...0 [例4幻 (1)(2025·昆明模拟)设a= 6,n5 10 C 1跟踪训练 竖则 ( 已知a=sm=lnc=则 A.c<b<a B.c<a<b A.a>b>c B.c>a>b C.b<c<a D.b<a<c C.c>b>a D.a>c>b [解析] 设f)=,则了)=12上=0， 解析：D[a=sin晋>sin吾==c, 得x=√， 设f(x)=lnx+1-x,x>1,则f(x)=2<0. 则f(x)在(0，W)上单调递增，在(WE,十∞)上单调 故f(x)在(1，+∞)上为减函数，故f(x)<f(1) 递减， 0即lnx<x-1(x>1), b=f(5),c=f(W6),则b>c, 所以b=ln是>是-1=c,故u>c>6,] ·78·