课时12 对数与对数函数-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版2019）

课时冲关１２　对数与对数函数 对应学生用书　P２２３ [基础巩固练] 一、单选题 １．函数f(x)＝ln (x＋３) １－２x 的定义域是 (　　) A．(－３,０) B．(－３,０] C．(－∞,－３)∪(０,＋∞) D．(－∞,－３)∪(－３,０) 解析:A　[因为f(x)＝ln (x＋３) １－２x ,所以要使函 数 f(x)有 意 义,需 使 x＋３＞０, １－２x＞０,{ 即 －３＜ x＜０．] ２．已知a＝log２０．２,b＝２０．２,c＝０．２０．３,则 (　　) A．a＜b＜c　　　　　B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a 解析:B　 [由 对 数 函 数 的 单 调 性 可 得 a＝ log２０．２＜log２１＝０, 由指数函数的单调性可得b＝２０．２＞２０＝１,０＜c ＝０．２０．３＜０．２０＝１,所以a＜c＜b．] ３．已知函数y＝loga(x＋c)(a,c 为常数,其中a＞０,a≠１)的图 象如图所示,则下列结论成立 的是 (　　) A．a＞１,c＞１ B．a＞１,０＜c＜１ C．０＜a＜１,c＞１ D．０＜a＜１,０＜c＜１ 解析:D　[由对数函数的性质得０＜a＜１,因为 函数y＝loga(x＋c)的图象在c＞０时是由函数 y＝logax 的图象向左平移c 个单位得到的,所 以根据题中图象可知０＜c＜１．] ４．(２０２５􀅰山西阳泉统考模拟)函数f(x)＝log２x ＋x２＋m 在区间(１,２)存在零点．则实数m 的取 值范围是 (　　) A．(－∞,－５) B．(－５,－１) C．(１,５) D．(５,＋∞) 解析:B　[由y１＝log２x 在(０,＋∞)上单调递 增,y２＝x２＋m 在(０,＋∞)上单调递增,得函数 f(x)＝log２x＋x２＋m 在区间(０,＋∞)上单调 递增,因为函数f(x)＝log２x＋x２＋m 在区间 (１,２)存在零点,所以 f(１)＜０, f(２)＞０,{ 即 log２１＋１２＋m＜０, log２ ＋２２＋m＞０,{ 解得－５＜m＜－１． 所以实数m 的取值范围是(－５,－１)．] ５．(２０２５􀅰济源、平顶山、许昌质检二)已知函数f(x)＝ ex ex＋e－x ,若f(lg(log３１０))＝a,则f(lg(lg３))＝ (　　) A．ea－１ B．３a－１ C．e１－３a D．１－a 解析:D　[f(x)＝ e x ex＋e－x 定义域为R,且f(－x) ＋f(x)＝ e －x ex＋e－x ＋ e x ex＋e－x ＝１,又lg(log３１０) ＝－lg(lg３),所以f(lg(lg３))＋f(lg(log３１０)) ＝１,所以f(lg(lg３))＝１－a．] ６．(２０２５􀅰安徽安庆校考模拟)函数f(x)＝ log２(２x)与g(x)＝２－ １ ２ æ è ç ö ø ÷ x 在同一直角坐标 系下的图象大致是 (　　) 解析:B　[∵f(x)＝log２(２x)＝１＋log２x,为定 义域上的增函数,g(x)＝２－ １２ æ è ç ö ø ÷ x 为定义域上 的增函数,∴A,C 错误;∴g(０)＝２－ １２ æ è ç ö ø ÷ ０ ＝ １,故 D错误;只有B相符．] ７．(２０２５􀅰新乡模拟)已知函数f(x)＝loga(３－x) ＋loga(x＋１)(０＜a＜１),若f(x)的最小值为 －２,则a＝ (　　) A．１３ B． ３ ３ C． １ ２ D． ２ ２ 解析:C　[由 ３－x＞０ x＋１＞０{ ,得－１＜x＜３, 所以函数f(x)＝loga(３－x)＋loga(x＋１)(０＜ a＜１)定义域为(－１,３), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２３􀅰 高考总复习　数学 A版 因为y＝loga(３－x)＋loga(x＋１)＝loga[(３－x) (x＋１)],由外层函数y＝logat(０＜a＜１)和内 层函数t＝(３－x)(x＋１)复合而成, 当－１＜x＜１时,内层函数单调递增,外层函数 单调递减,所以f(x)单调递减, 当１＜x＜３时,内层函数单调递减,外层函数单 调递减,所以f(x)单调递增, 所以f(x)min＝f(１)＝loga４＝－２,所 以a＝ ±１２ , 又因为０＜a＜１,所以a＝１２． ] 二、多选题 ８．已知函数y＝logax(a＞０ 且a≠１)与 y＝ logb(－x)(b＞０且b≠１)的图象关于坐标原点 对称,则函数y＝ax 与y＝logbx 的大致图象可 能是 (　　) 解析:AC　[在函数y＝logax 的图象上任取点 (x,y),则点(－x,－y)在y＝logb(－x)的图 象上, 即 y＝logax －y＝logbx{ ,于是logbx＝－logax＝log１ax 对任意x＞０成立,则b＝１a , 当０＜a＜１时,函数y＝ax 是 R上的减函数,b ＞１,则y＝logbx 是(０,＋∞)上的增函数,C符 合,D不符合; 当a＞１时,函数y＝ax 是 R上的增函数,０＜b ＜１,则y＝logbx 是(０,＋∞)上的减函数,A 符 合,B不符合．] ９．(２０２５􀅰岳阳模拟)关于函数f(x)＝log２x＋ log２(４－x),下列说法正确的是 (　　) A．f(x)的最大值为１ B．f(x)在区间(０,２)上单调递增 C．f(x)的图象关于直线x＝２对称 D．f(x)的图象关于点(２,０)对称 解析:BC　[函数f(x)＝log２x＋log２(４－x)＝ log２(４x－x２)＝log２[－(x－２)２＋４](０＜x＜４) 当x＝２时,４x－x２ 取到最大值４, 故此时f(x)＝log２x＋log２(４－x)取到最大值 log２４＝２,A 错误; f(x)＝log２(４x－x２)(０＜x＜４)可以看作是由 函数y＝log２u,u＝－x２＋４x(０＜x＜４)复合 而成, 而y＝log２u 是定义域上的增函数,u＝－x２＋ ４x(０＜x＜４)在(０,２)上单调递增,在(２,４)上单 调递减, 故f(x)在区间(０,２)上单调递增,在(２,４)上单 调递减,故B正确; 因为函数 f(４－x)＝log２ (４－x)＋log２x＝ f(x),故f(x)的图象关于直线x＝２ 对称,C 正确; 因为f(４－x)＋f(x)＝log２(４－x)＋log２x＋ f(x)＝２f(x)＝０不恒成立,故f(x)的图象不 关于点(２,０)对称,D错误．] 三、填空题 １０．(２０２５􀅰淮北模拟)若实数x、y满足lgx＝m, y＝１０１－m,则xy＝　　　　　　　． 解析:由lgx＝m,得x＝１０m, 所以xy＝１０m􀅰１０１－m＝１０m＋１－m＝１０． 答案:１０ １１．(２０２５􀅰河南平顶山叶县高级中学校联考)一 种药在病人血液中的量保持１０００mg以上才有 疗效,而低于５００mg病人就有危险．现给某病人 静脉注射了这种药２０００mg,如果药在血液中以 每小时１０％的比例衰减,为了充分发挥药物的利 用价值,那么从现在起经过　　　　　小时内向 病人的血液补充这种药,才能保持疗效．(附:lg２ ≈０．３０１０,lg３≈０．４７７１,精确到０．１h) 解析:设xh后血液中的药物量为ymg, 则有y＝２０００１－１０％( )x, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１２３􀅰 第二章　函数 令y≥１０００得: x≤ lg２１－２lg３≈ ０．３０１０ １－２×０．４７７１≈６．６ , 故从现在起经过６．６h内向病人的血液补充这 种药,才能保持疗效． 答案:６．６ 四、解答题 １２．设f(x)＝log２(ax －bx),且f(１)＝１,f(２) ＝log２１２． (１)求a,b的值; (２)当x∈[１,２]时,求f(x)的最大值． 解:(１)因为f(x)＝log２(ax－bx),且f(１)＝１, f(２)＝log２１２,所以 log２(a－b)＝１, log２(a２－b２)＝log２１２,{ 即 a－b＝２, a２－b２＝１２,{ 解得a＝４,b＝２． (２)由(１)得f(x)＝log２(４x－２x),令t＝４x－２x,则 t＝４x－２x＝ ２x－１２ æ è ç ö ø ÷ ２ －１４ ,因为１≤x≤２,所 以２≤２x≤４,所以９４≤ ２ x－１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ≤４９４ ,即２≤t ≤１２,因为y＝log２t在[２,１２]上单调递增,所 以ymax＝log２１２＝２＋log２３,即函数f(x)的最 大值为２＋log２３． １３．(２０２５􀅰枣庄模拟)已知函数f(x)＝loga(x＋ １)－loga(１－x),a＞０且a≠１． (１)判断f(x)的奇偶性并予以证明; (２)当a＞１时,求使f(x)＞０的x的解集． 解:(１)f(x)是奇函数,证明如下:因为f(x) ＝loga(x＋１)－loga(１－x),所以 x＋１＞０, １－x＞０,{ 解得－１＜x＜１,f(x)的定义域为(－１,１)． f(－x)＝loga(－x＋１)－loga(１＋x) ＝－[loga(１＋x)－loga(－x＋１)]＝－f(x), 故f(x)是奇函数． (２)因为当a＞１时,y＝loga(x＋１)是增函数, y＝loga(１－x)是减函数,所以当a＞１时, f(x)在定义域(－１,１)内是增函数,f(x)＞０ 即loga(x＋１)－loga(１－x)＞０,loga x＋１ １－x＞０ , x＋１ １－x＞１ ,２x １－x＞０ ,２x(１－x)＞０,解得０＜x＜１, 故使f(x)＞０的x的解集为(０,１)． [能力提升练] １４．函数f(x)＝x１－lnx,x∈(１,e)的最大值为 (　　) A．e２ B．e C．e １ ２ D．e １ ４ 解析:D　[由f(x)＝x１－lnx,x∈(１,e),设y＝ f(x)＝x１－lnx,x∈(１,e), 故lny＝(１－lnx)lnx,x∈(１,e), 令t＝lnx,x∈(１,e),∴t∈(０,１), 则lny＝－t２＋t＝－ t－１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋１４ ,t∈(０,１), 当t＝１２ 时,lny＝－ t－１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋１４ 取到最大 值１ ４ , 故y的 最 大 值 为 e １ ４ ,即 函 数f(x)＝x１－lnx, x∈(１,e)的最大值为e １ ４ ．] １５．[多选]将正数x用科学记数法表示为x＝a× １０m,a∈[１,１０),m∈Z,则lgx＝m＋lga,我们 把m,lga分别叫做lgx 的首数和尾数,若将 lgx的首数记为S(x),尾数记为W (x),则下 列说法正确的是 (　　) A．W(x)∈[０,１) B．W(x)(x＞０)是周期函数 C．若x,y＞０,则S(xy)≥S(x)＋S(y) D．若x＞y＞０,则W xy æ è ç ö ø ÷＝W(x)－W(y) 解析:AC　[对于 A,因为a∈[１,１０), 所以W(x)＝lga∈[０,１),故 A 正确; 对于B,若W(y)＝W(x),必有y＝x􀅰１０k(k∈Z), 不可能存在非零常数T,使得x＋T＝x􀅰１０k 恒 成立,不符合周期函数的定义,故B错误; 对于C,设x＝a×１０m,y＝b×１０n(a,b∈[１, １０),m,n∈Z),则S(x)＝m,S(y)＝n,xy＝ab ×１０m＋n,若１≤ab＜１０,则S(xy)＝m＋n,若 １０≤ab＜１００,则xy＝ab１０×１０ m＋n＋１,S(xy)＝m ＋n＋１,所 以 S(xy)≥S(x)＋S(y),故 C 正确; 对于 D,设x,y 同选项 C,W(x)＝lga,W(y) ＝lgb,xy ＝ a b ×１０ m－n,若 １≤ab ＜１０ ,则 W xy æ è ç ö ø ÷＝lgab ＝lga－lgb ,若１ １０＜ a b ＜１ ,则 x y＝ １０a b ×１０ m－n－１,W xy æ è ç ö ø ÷ ＝lg１０ab ＝lga－ lgb＋１,所以 W xy æ è ç ö ø ÷ ≥W (x)－W (y),故 D 错误．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２２３􀅰 高考总复习　数学 A版