3.3 导数与函数的极值、最值-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版2019）

§３．３　导数与函数的极值、最值 ★[考试要求] １．借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要和充分条件．２．会用导数求函数的极大值、极小值．３．会求闭 区间上函数的最大值、最小值． 　　　　　　　　学生用书　P４７ １．函数的极值 (１)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点 x＝a附近其他点的函数值都小,f′(a)＝０;而且 在点x＝a附近的左侧f′(x)＜０,右侧f′(x)＞０, 则a叫做函数y＝f(x)的极小值点,f(a)叫做函 数y＝f(x)的极小值． (２)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点 x＝b附近其他点的函数值都大,f′(b)＝０;而且在 点x＝b附近的左侧f′(x)＞０,右侧f′(x)＜０,则 b叫做函数y＝f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y ＝f(x)的极大值． (３)极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大 值统称为极值． ２．函数的最大(小)值 (１)函数f(x)在区间[a,b]上有最值的条件: 如果在区间[a,b]上函数y＝f(x)的图象是一条 连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值． (２)求y＝f(x)在区间[a,b]上的最大(小)值的步骤: ①求函数y＝f(x)在区间(a,b)上的极值; ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小 的一个是最小值． １．对于可导函数f(x),f′(x０)＝０是函数f(x)在x ＝x０ 处有极值的必要不充分条件． ２．若函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点,则 该极值点一定是函数的最值点． ３．极值有可能是最值,但最值只要不在区间端点处取 得,其必定是极值． １．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (１)函数f(x)在区间(a,b)上不存在最值． (×) (２)函数的极小值一定是函数的最小值． (×) (３)函数的极小值一定不是函数的最大值． (√) (４)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点． (×) ２．[多选]如 图 是 导 函 数 y＝ f′(x)的图象,则下列说法正 确的是 (　　) A．(３,５)为函数y＝f(x)的 单调递减区间 B．(４,５)为函数y＝f(x)的单调递增区间 C．函数y＝f(x)在x＝３处取得极大值 D．函数y＝f(x)在x＝４处取得极小值 解析:AC　[由图象可知,x∈(３,５)时,f′(x)＜０, 所以(３,５)为函数y＝f(x)的单调递减区间,故 A 正确;由图象可知,x∈(４,５)时,f′(x)＜０,所以(４, ５)为函数y＝f(x)的单调递减区间,故 B错误;由 图象可知,f′(３)＝０,且当x∈(０,３)时,f′(x)＞０, 当x∈(３,５)时,f′(x)＜０,所以f(x)在(０,３)上单 调递增,在(３,５)上单调递减,故函数y＝f(x)在x ＝３处取得极大值,故 C正确;由图象可知,f′(４) ≠０,故x＝４不是函数的极值点,故 D错误．] ３．函数f(x)＝lnx－x在区间(０,e]上的最大值为 (　　) A．１－e B．－１ C．－e D．０ 解析:B　[因为f′(x)＝１x－１＝ １－x x ,当x∈(０,１) 时,f′(x)＞０;当x∈(１,e]时,f′(x)＜０,所以当x＝１ 时,f(x)取得最大值ln１－１＝－１．] ４．若函数f(x)＝ex＋ax在x＝２处取得极值,则a＝ 　　　　． 解析:∵f(x)＝ex＋ax在x＝２处取得极值, ∴f′(２)＝e２＋a＝０,解得a＝－e２,经检验,符合 题意． 答案:－e２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２７􀅰 高考总复习　数学 A版 　　　　　　　　学生用书　P４７ 　　　利用导数求解函数极值问题 ▶[角度１]　函数极值的判断 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例１－１]　[多选]已知函数f(x)是 R上的可导函数,f(x)的导函数 f′(x)的图象如图,则下列结论不 正确的是 (　　) A．a,c分别是极大值点和极小值点 B．b,c分别是极大值点和极小值点 C．f(x)在区间(a,c)上是增函数 D．f(x)在区间(b,c)上是减函数 [解析]　由极值点的定义可知,a 是极小值点,无 极大值点;由导函数的图象可知,函数f(x)在区间 (a,＋∞)上是增函数． [答案]　ABD ▶[角度２]　求已知函数的极值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例１－２]　(１)(２０２５􀅰西安模拟)已知f(x)＝３xex , 则f(x) (　　) A．在(－∞,＋∞)上单调递增 B．在(－∞,１)上单调递减 C．有极大值３e ,无极小值 D．有极小值３e ,无极大值 [解析]　∵f(x)＝３xex ,∴f′(x)＝３ 􀅰ex－３x􀅰ex e２x ＝３ (１－x) ex ,当x＞１时,f′(x)＜０,f(x)在区间(１, ＋∞)上单调递减,故 A 错误;当x＜１时,f′(x)＞ ０,f(x)在区间(－∞,１)上单调递增,故 B错误;当 x＝１时,f(x)＝３xex 取得极大值３ e ,无极小值,故 C 正确,D错误． [答案]　C (２)(２０２５􀅰山西省省际名校联考)已知函数f(x) ＝sin２x－x,x∈(０,π),则f(x)的极大值点为 　　　　． [解析]　f′(x)＝２cos２x－１,令f′(x)＞０,得０＜ x＜π６ 或５π ６＜x＜π ;令f′(x)＜０,得π６＜x＜ ５π ６ , ∴f(x)在 ０,π６ æ è ç ö ø ÷, ５π ６ ,πæ è ç ö ø ÷ 上 单 调 递 增,在 π ６ ,５π ６ æ è ç ö ø ÷上单调递减,∴f(x)的极大值点为π６． [答案]　π６ ▶[角度３]　已知函数的极值(点)求参数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例１－３]　(２０２５􀅰肇庆模拟)若函数f(x)＝x(x－ c)２ 在x＝－２处有极小值,则c＝ (　　) A．－６ B．－２ C．－６或－２ D．－４ [解析]　由函数f(x)＝x(x－c)２,可得f′(x)＝ (x－c)２＋２x(x－c)＝(x－c)(３x－c), 因为函数在x＝－２处取得极小值,可得f′(－２)＝ ０,解得c＝－２或c＝－６, 当c＝－２时,令f′(x)＞０,解得x＜－２或x＞－２３ ; 令f′(x)＜０,解得－２＜x＜－２３ , 函 数 f (x)在 (－ ∞,－２)上 单 调 递 增,在 －２,－２３ æ è ç ö ø ÷ 上 单 调 递 减,在 －２３ ,＋∞æ è ç ö ø ÷ 单 调 递增, 所以f(x)在x＝－２ 处 有 极 大 值,不 符 合 题 意, 舍去; 当c＝－６时,令f′(x)＞０,可得x＜－６或x＞－２; 令f′(x)＜０,可得－６＜x＜－２, 函数f(x)在(－∞,－６)上单调递增,在(－６,－２) 上单调递减,在(－２,＋∞)单调递增, 所以f(x)在x＝－２处有极小值,符合题意, 综上可得,c＝－６． [答案]　A 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 函数极值的两类热点问题 (１)求函数f(x)极值这类问题的一般解题步骤为: ①确定函数的定义域;②求导数f′(x);③解方 程f′(x)＝０,求出函数定义域内的所有根; ④列表检验f′(x)在f′(x)＝０的根x０ 左右两 侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x０ 处 取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x０ 处取 极小值． (２)由函数极值求参数的值或范围． 讨论极 值 点 有 无 (个 数)问 题,转 化 为 讨 论 f′(x)＝０根的有无(个数)．然后由已知条件列 出方程或不等式求出参数的值或范围,特别注 意:极值点处的导数为０,而导数为０的点不一 定是极值点,要检验极值点两侧导数是否异号． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３７􀅰 第三章　一元函数的导数及其应用 １．(２０２５􀅰长沙模拟)若x＝１是函数f(x)＝(x２＋ax －１)ex－１的极值点,则f(x)的极大值为 (　　) A．－１ B．－２e－３ C．５e－３ D．１ 解析:C　[因为f(x)＝(x２＋ax－１)ex－１, 故可得f′(x)＝(２x＋a)ex－１＋(x２＋ax－１)ex－１＝ ex－１[x２＋(a＋２)x＋a－１], 因为x＝１是函数f(x)＝(x２＋ax－１)ex－１的极值 点,故可得f′(１)＝０, 即２a＋２＝０,解得a＝－１． 此时f′(x)＝ex－１(x２＋x－２)＝ex－１(x＋２)(x－ １)． 令f′(x)＝０,解得x１＝－２,x２＝１, 由f′(x)＞０可得x＜－２或x＞１; 由f′(x)＜０可得－２＜x＜１, 所以f(x)在区间(－∞,－２)上单调递增, 在(－２,１)上单调递减,在(１,＋∞)上单调递增, 故f(x)的极大值点为x＝－２．则f(x)的极大值为 f(－２)＝(４＋２－１)e－３＝５e－３．] ２．函数f(x)＝lnx＋１２x ２－ax(x＞０)在 １２ ,３[ ] 上有 且仅有一个极值点,则实数a的取值范围是 (　　) A．５２ ,１０ ３ æ è ç ö ø ÷ B．５２ ,１０ ３[ ö ø ÷ C．５２ ,１０ ３ æ è ç ] D．２,１０３[ ] 解析:B　[∵f(x)＝lnx＋１２x ２－ax(x＞０), ∴f′(x)＝１x＋x－a , ∵函数f(x)＝lnx＋１２x ２－ax(x＞０)在 １２ ,３[ ] 上 有且仅有一个极值点, ∴y＝f′(x)在 １２ ,３[ ] 上只有一个变号零点． 令f′(x)＝１x＋x－a＝０ ,得a＝１x＋x． 设g(x)＝１x＋x ,则g(x)在 １２ ,１[ ] 上单调递减,在 [１,３]上单调递增, ∴g(x)min＝g(１)＝２, 又g １２ æ è ç ö ø ÷＝５２ ,g(３)＝１０３ , ∴当５２≤a＜ １０ ３ 时,y＝f′(x)在 １２ ,３[ ] 上只有一个 变号零点． ∴实数a的取值范围为 ５２ ,１０ ３[ ö ø ÷．] 　　　利用导数求函数的最值 [例２]　已知函数f(x)＝e ax－１ x ＋lnx ,a∈R． (１)当a＝１时,求函数f(x)－x的最小值; (２)若函数f (x) x 的最小值为a,求a的最大值． [解]　(１)当a＝１时,令F(x)＝f(x)－x＝e x－１ x ＋ lnx－x,x∈(０,＋∞), 则 F′ (x) ＝ e x－１􀅰x－ex－１ x２ ＋ １x － １ ＝ ex－１(x－１)＋x(１－x) x２ ＝ (x－１)(ex－１－x) x２ , 令g(x)＝ex－１－x,x∈R,则g′(x)＝ex－１－１, 易知g′(x)在R上单调递增,且g′(１)＝０, ∴当x∈(０,１)时,g′(x)＜０,g(x)在区间(０,１)上 单调递减,且g(x)＝ex－１－x＞g(１)＝０, 当x∈(１,＋∞)时,g′(x)＞０,g(x)在区间(１,＋∞)上 单调递增,且g(x)＝ex－１－x＞g(１)＝０, ∴当x∈(０,１)时,F′(x)＝ (x－１)(ex－１－x) x２ ＜０, F(x)在区间(０,１)上单调递减, 当x∈(１,＋∞)时,F′(x)＝ (x－１)(ex－１－x) x２ ＞０, F(x)在区间(１,＋∞)上单调递增, 当x＝１时,F(x)取得极小值,也是最小值,F(x)min ＝F(１)＝e １－１ １ ＋ln１－１＝０ , ∴当a＝１时,函数f(x)－x的最小值为０． (２)由已知,f(x)的定义域为(０,＋∞), 若函数f(x) x 的最小值为a,则有f (x) x ≥a , ∴f(x)≥ax,f(x)－ax≥０, 令h(x)＝f(x)－ax,即h(x)＝f(x)－ax＝e ax－１ x ＋lnx－ax的最小值为０, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４７􀅰 高考总复习　数学 A版 由第(１)问知,当且仅当x＝１时,g(x)＝ex－１－x 取最小值g(１)＝０,∴当且仅当ax－lnx＝１时, g(ax－lnx)取得最小值０, 又∵g(ax－lnx)＝eax－lnx－１－(ax－lnx)＝e ax－１ elnx ＋lnx－ax＝e ax－１ x ＋lnx－ax＝h (x), ∴只需令ax－lnx＝１有解,即a＝lnx＋１x 有解, 令 H(x)＝lnx＋１x ,x∈(０,＋∞),则 H′(x)＝ １ x 􀅰x－(lnx＋１) x２ ＝－lnx x２ , 当x∈(０,１)时,H′(x)＝－lnx x２ ＞０,H(x)在区间 (０,１)上单调递增, 当x∈(１,＋∞)时,H′(x)＝－lnx x２ ＜０,H(x)在区 间(１,＋∞)上单调递减, ∴a＝lnx＋１x ＝H (x)≤H(１)＝１, 综上所述,若函数f(x) x 的最小值为a,则a的最大 值为１． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的 步骤 (１)求函数在(a,b)内的极值． (２)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b)． (３)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最 大的一个为最大值,最小的一个为最小值． ２．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值 一般要根据其极值及单调性画出函数的大致图 象,利用图象求解． 注:求最值时,不可想当然认为极值点就是最值 点,要通过比较再下结论． １．已知函数f(x)＝x－ ２sinx,x∈[０,π],则f(x)的 最大值为　　　　． 解析:由f(x)＝x－ ２sinx,x∈[０,π]可得f′(x) ＝１－ ２cosx, 令f′(x)＝０可得cosx＝ ２２ , 又x∈[０,π],所以x＝π４ , 当x∈ ０,π４[ ] 时,f′(x)＜０,此时f(x)在 ０, π ４[ ] 上 单调递减, 当 x ∈ π４ ,π[ ] 时,f′(x)＞０,此 时 f(x)在 π ４ ,π[ ] 上单调递增; 易知f(０)＝０,f(x)max＝f(π)＝π, f(x)min＝f π ４ æ è ç ö ø ÷＝π４－１ ,; 因此f(x)的最大值为π． 答案:π ２．(２０２５􀅰泰安模拟)已知函数f(x)＝ax＋lnx 在区 间[１,e]上的最小值为３２ ,则a的值为 (　　) A．１ B．３２ C． e ２ D．e 解析:D　[因 为f(x)＝ax ＋lnx (x＞０),所 以 f′(x)＝１x－ a x２ ＝x－a x２ , 当a≤０时,则f′(x)≥０,所以f(x)在x∈(０,＋∞)上 单调递增, 此时函数最小值为f(１)＝a＋ln１＝３２ ,解得a＝ ３ ２ ,不符合题意,舍去; 当a＞０时,令f′(x)＜０,得０＜x＜a;令f′(x)＞ ０,得x＞a; 所以f(x)在(０,a)上单调递减,在(a,＋∞)上单调 递减增, ①当０＜a≤１时,f(x)在区间[１,e]上单调递增, 所以最小值为f(１)＝a≤１,不符合题意舍去; ②当１＜a＜e时,f(x)在[１,e]上先减后增, 所以最小值为f(a)＝１＋lna＝３２ ,解得a＝ e; ③当a≥e时,f(x)在[１,e]上单调递减, 所以最小值为f(e)＝ae＋lne＝ ３ ２ ,解得a＝１２e , 不符合题意,舍去． 综上所述a＝ e．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５７􀅰 第三章　一元函数的导数及其应用