3.2 导数与函数的单调性-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版2019）

§３．２　导数与函数的单调性 ★[考试要求] １．结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．２．能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单 调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 　　　　　　　　学生用书　P４４ １．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函 数 y ＝ f(x)在 区 间(a,b)上 可导 f′(x)＞０ f(x)在区间(a,b)上 单调递增 f′(x)＜０ f(x)在区间(a,b)上 单调递减 f′(x)＝０ f(x)在区间(a,b)上 是常数函数 ２．利用导数判断函数单调性的步骤 第１步,确定函数的定义域; 第２步,求出导数f′(x)的零点; 第３步,用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若 干个区间,列表给出f′(x)在各区间上的正、负,由 此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． １．若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则x∈(a,b)时, f′(x)≥０恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递 减,则x∈(a,b)时,f′(x)≤０恒成立． ２．若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则 x∈(a,b)时,f′(x)＞０ 有 解;若 函 数 f(x)在 (a,b)上存 在 单 调 递 减 区 间,则 x∈ (a,b)时, f′(x)＜０有解． １．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (１)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝０,则 f(x)在此区间内没有单调性． (√) (２)函数在某区间内单调递增,则一定有f′(x)＞０．(×) (３)在(a,b)内f′(x)≤０且f′(x)＝０的根有有限个, 则f(x)在(a,b)内单调递减． (√) (４)函数f(x)＝x－sinx在R上是增函数． (√) ２．函数y＝x－lnx的单调递增区间是 (　　) A．(０,１)　　　　　B．(０,２) C．(０,＋∞) D．(１,＋∞) 解析:D　[函数y＝x－lnx的定义域为 ０,＋∞( ), y′＝１－ １x ＝ x－１ x ,所 以 y＝x－lnx 在 区 间 １,＋∞( ) 上y′＞０,函数单调递增．] ３．函数f(x)＝ex－２x在[１,e]上的最小值为　　　　． 解析:因为f′(x)＝ex－２,当x∈[１,e]时,f′(x)＝ ex－２＞０,所以f(x)在[１,e]上单调递增, 所以f(x)min＝f(１)＝e－２． 答案:e－２ ４．(２０２５􀅰银川模拟)已知函数f(x)＝mx－cosx在 R上单调递增,则m 的最小值为　　　　　． 解析:因为函数f(x)＝mx－cosx在R上单调递增, 所以f′(x)＝m＋sinx≥０在R上恒成立, 即m≥－sinx在R上恒成立, 所以m≥１． 答案:１ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P４４ 　　　不含参函数的单调性 [例１]　(１)函数f(x)＝(２x－１)ex 的单调递减区 间是 (　　) A．－∞,－１２ æ è ç ö ø ÷ B．－１２ ,＋∞æ è ç ö ø ÷ C．－１２ ,０æ è ç ö ø ÷ D．０,１２ æ è ç ö ø ÷ [解析]　因为f(x)＝(２x－１)ex,所以f′(x)＝ (２x＋１)ex,不等式f′(x)＜０,解得x＜－１２ ,因此函数 f(x)＝(２x－１)ex 的单调递减区间是 －∞,－１２ æ è ç ö ø ÷． [答案]　A (２)(２０２５􀅰合肥模拟)已知定义在区间(－π,π)上 的函数f(x)＝xsinx＋cosx,则f(x)的单调递增 区间是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８６􀅰 高考总复习　数学 A版 [解析]　f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx, 令f′(x)＝xcosx＞０, 则其在区间(－π,π)上的解集为 －π,－π２ æ è ç ö ø ÷ 和 ０,π２ æ è ç ö ø ÷, 即f(x)的单调递增区间为 －π,－π２ æ è ç ö ø ÷和 ０,π２ æ è ç ö ø ÷． [答案]　 －π,－π２ æ è ç ö ø ÷和 ０,π２ æ è ç ö ø ÷ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 确定不含参的函数的单调性,按照判断函数单调性 的步骤即可,但应注意:一不能漏掉求函数的定义 域,二函数的单调区间不能用并集,要用“逗号”或 “和”隔开． (２０２５􀅰武汉模拟)函数f(x)＝２x２－lnx 的单调 递减区间是 (　　) A．－１２ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ B．１２ ,＋∞æ è ç ö ø ÷ C．０,１２ æ è ç ö ø ÷ D．－∞,－１２ æ è ç ö ø ÷∪ １２ ,＋∞æ è ç ö ø ÷ 解析:C　[∵函数f(x)＝２x２－lnx,∴f′(x)＝４x －１x＝ ４x２－１ x ＝ ４x－１２ æ è ç ö ø ÷ x＋１２ æ è ç ö ø ÷ x ． 由f′(x)＜０,解得０＜x＜１２ , ∴函数的单调递减区间是 ０,１２ æ è ç ö ø ÷．] 　　　含参数的函数的单调性 [例２]　已知函数f(x)＝lnx＋１２x ２－ax． (１)当a＝１２ 时,求曲线y＝f(x)在点(１,f(１))处的切 线方程; (２)讨论函数f(x)的单调性; [解]　(１)当a＝１２ 时,f(x)＝lnx＋１２x ２－１２x , 求导得f′(x)＝１x＋x－ １ ２ , 则f′(１)＝３２ ,f(１)＝０,即切点为(１,０),切线的斜 率为３ ２ , 所以切线方程为:y－０＝３２ (x－１),即３x－２y－３ ＝０． (２)函数f(x)＝lnx＋１２x ２－ax 的定义域为(０,＋ ∞),求导得f′(x)＝１x＋x－a , 当a≤２时,f′(x)＝１x＋x－a≥２－a≥０ , 则函数f(x)在(０,＋∞)上单调递增; 当a＞２时,由f′(x)＝１x＋x－a＝ x２－ax＋１ x ＝０ , 得x１＝ a－ a２－４ ２ ,x２＝ a＋ a２－４ ２ , 由f′(x)＞０,得０＜x＜x１ 或x＞x２,由f′(x)＜０, 得x１＜x＜x２, 因此函数f(x)在(０,x１),(x２,＋∞)上单调递增, 在(x１,x２)上单调递减, 所以当a≤２ 时,函 数 f(x)在 (０,＋∞)上 单 调 递增; 当a＞２时,f(x)在 ０,a－ a ２－４ ２ æ è ç ö ø ÷,a＋ a ２－４ ２ ,＋∞ æ è ç ö ø ÷ 上 单 调 递 增,在 a－ a ２－４ ２ ,a＋ a ２－４ ２ æ è ç ö ø ÷ 上 单 调 递减． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 (１)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不 等式解集的影响进行分类讨论． (２)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨 论,还要确定导数为零的点和函数的间断点． 已知函数g(x)＝lnx＋ax２－(２a＋１)x．若a＞０, 试讨论函数g(x)的单调性． 解:因为g(x)＝lnx＋ax２－(２a＋１)x, 所以g′(x)＝２ax ２－(２a＋１)x＋１ x ＝ (２ax－１)(x－１) x ． 由题意知函数g(x)的定义域为(０,＋∞), 若１ ２a＜１ ,即a＞１２ , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９６􀅰 第三章　一元函数的导数及其应用 由g′(x)＞０得x＞１或０＜x＜１２a , 由g′(x)＜０得１２a＜x＜１ , 所以函数g(x)在 ０,１２a æ è ç ö ø ÷,(１,＋∞)上单调递增,在 １ ２a ,１æ è ç ö ø ÷上单调递减; 若１ ２a＞１ ,即０＜a＜１２ ,由g′(x)＞０得x＞１２a 或０ ＜x＜１, 由g′(x)＜０得１＜x＜１２a , 所以函数g(x)在(０,１), １２a ,＋∞æ è ç ö ø ÷上单调递增,在 １,１２a æ è ç ö ø ÷上单调递减; 若１ ２a＝１ ,即a＝１２ ,则在(０,＋∞)上恒有g′(x) ≥０, 所以函数g(x)在(０,＋∞)上单调递增． 综上 可 得,当 ０＜a＜１２ 时,函 数g(x)在(０,１), １ ２a ,＋∞æ è ç ö ø ÷上单调递增,在 １,１２a æ è ç ö ø ÷上单调递减; 当a＝１２ 时,函数g(x)在(０,＋∞)上单调递增; 当a＞１２ 时,函数g(x)在 ０,１２a æ è ç ö ø ÷,(１,＋∞)上单调 递增,在 １ ２a ,１æ è ç ö ø ÷上单调递减． 　　　函数单调性的应用 ▶[角度１]　比较大小或解不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例３－１]　(１)设a＝１e ,b＝ln２２ ,c＝ln３３ ,则 (　　) A．b＜a＜c　　　　　　　B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a [解析]　设f(x)＝lnxx ,则f′(x)＝１－lnxx２ , 令f′(x)＝１－lnxx２ ＝０,则x＝e． 所以当x∈(０,e)时,f′(x)＞０,f(x)单调递增;当 x∈(e,＋∞)时,f′(x)＜０,f(x)单调递减; 又a＝１e＝f (e),b＝ln２２ ＝ ln４ ４ ＝f (４),c＝ln３３ ＝ f(３),所以f(e)＞f(３)＞f(４),即b＜c＜a． [答案]　D (２)(２０２５􀅰邯郸模拟)已知函数f(x)＝３x－sinx, 若f(a)＋f(a２－２)＞０,则实数a 的取值范围为 　　　　． [解析]　函数f(x)＝３x－sinx 的定义域为 R,且 f(－x)＝－３x＋sinx＝－f(x), 所以f(x)＝３x－sinx为奇函数, 又f′(x)＝３－cosx＞０,所以f(x)＝３x－sinx在 R上单调递增, 不等式f(a)＋f(a２－２)＞０,即f(a２－２)＞－f(a) ＝f(－a), 等价于a２－２＞－a,解得a＞１或a＜－２, 所以实数a的取值范围为(－∞,－２)∪(１,＋∞)． [答案]　(－∞,－２)∪(１,＋∞) ▶[角度２]　根据函数单调性求参数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例３－２]　已知函数f(x)＝１２x ２＋２ax－lnx,若 f(x)在区间 １３ ,２[ ] 上单调递增,则实数a的取值 范围为　　　　． [解析]　 由 题 意 知 f′(x)＝x＋２a－ １x ≥０ 在 １ ３ ,２[ ] 上恒成立,即２a≥－x＋１x 在 １ ３ ,２[ ] 上恒 成立,∵ －x＋１x æ è ç ö ø ÷ max ＝８３ ,∴２a≥８３ ,即a≥４３． [答案]　 ４３ ,＋∞[ öø÷ [延伸探究]　在本例中,把“f(x)在区间 １３ ,２[ ] 上单 调递增”改为“f(x)在区间 １３ ,２[ ] 上存在单调递增 区间”,求a的取值范围． [解]　f′(x)＝x＋２a－１x ,若f(x)在 １３ ,２[ ] 上存 在单调递增区间,则当x∈ １３ ,２[ ] 时,f′(x)＞０有 解,即 ２a ＞ －x ＋ １x 有 解,∵x ∈ １３ ,２[ ], ∴ －x＋１x æ è ç ö ø ÷ min ＝－２＋１２＝－ ３ ２ ,∴２a＞－３２ ,即 a＞－３４ ,故a的取值范围是 －３４ ,＋∞æ è ç ö ø ÷． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０７􀅰 高考总复习　数学 A版 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 根据函数单调性求参数的一般思路 (１)利 用 集 合 间 的 包 含 关 系 处 理:y＝f(x)在 (a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间 的子集． (２)f(x)单调递增(减)的充要条件是对任意的x∈ (a,b)都有f′(x)≥０(f′(x)≤０),且在(a,b)内 的任一非空子区间上,f′(x)不恒为零,应注意 此时式子中的等号不能省略,否则会漏解． (３)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等 式有解问题． １．(２０２５􀅰安庆模拟)已知a＝ln ２４ ,b＝１ e２ ,c＝lnπ２π , 则a,b,c的大小关系为 (　　) A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜a＜b 解析:C　[令f(x)＝lnxx２ ,则f′(x)＝１－２lnxx３ ．令 f′(x)＜０,解得x＞ e,因此f(x)在(e,＋∞)上单 调递减,因为a＝ln ２４ ＝ ln４ １６ ＝f (４),b＝１ e２ ＝lne e２ ＝f(e),c＝lnπ２π＝ ln π π ＝f (π),又因为４＞e＞ π ＞ e,所以f(４)＜f(e)＜f(π),即a＜b＜c．] ２．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷,T１１)设函数f(x)＝２x３－ ３ax２＋１,则 (　　) A．当a＞１时,f(x)有三个零点 B．当a＜０时,x＝０是f(x)的极大值点 C．存在a,b,使得x＝b为曲线f(x)的对称轴 D．存在a,使得点(１,f(１))为曲线y＝f(x)的对称 中心 解析:AD　[求导得f′(x)＝６x(x－a),于是:A 正 确,当a＞１时,极大值f(０)＝１＞０,极小值f(a)＝ １－a３＜０,所以必有三个零点;B错,a＜０时x＝０ 应为极小值点;C错,任何三次函数不存在对称轴; D正确,当a＝２时f(x)＝２(x－１)３－６(x－１)－ ３,关于(１,－３)中心对称．] 　上面２０２４年新课标Ⅱ卷 T１１源于 人教 A版选择性必修第二册P９９拓广探索,T１３ 利用信息技术工具,根 据给定的a,b,c,d 的 值,可以画出函数f(x) ＝ax３ ＋bx２ ＋cx＋ d(a≠０)的 图 象,当 a ＝－４,b＝１,c＝５,d＝ －１时,f(x)的图象如图所示．改变a,b,c,d 的 值,观察图象的形状: (１)你能归纳函数f(x)图象的大致形状吗? 它的 图象有什么特点? 你能从图象上大致估计它的单 调区间吗? (２)运用导数研究它的单调性,并求出相应的单调 区间． 解:(１)函数f(x)＝ax３＋bx２＋cx＋d 的图象大 致是个“双峰”形状,类似“ ”或“ ”的形 状．若有极值,则在整个定义域上有且仅有一个极 大值和一个极小值,从图象上能大致估计它的单 调区间． (２)因为f(x)＝ax３＋bx２＋cx＋d(a≠０), 所以f′(x)＝３ax２＋２bx＋c． 分a＞０和a＜０两种情况: ①当a＞０且b２－３ac＞０时,设方程f′(x)＝３ax２ ＋２bx＋c＝０的两根分别为x１,x２,且x１＜x２． x∈(－∞,x１)或x∈(x２,＋∞)时,f′(x)＞０, f(x)单调递增;x∈(x１,x２)时,f′(x)＜０,f(x)单 调递减． 当a＞０且b２－３ac≤０时,f′(x)＝３ax２＋２bx＋c ≥０,f(x)在R上单调递增． ②当a＜０且b２－３ac＞０时,设方程f′(x)＝３ax２ ＋２bx＋c＝０的两根分别为x１,x２,且x１＜x２, 当x∈(x１,x２)时,f′(x)＞０,∴f(x)在(x１,x２)上 单调递增;当x∈(－∞,x１)或x∈(x２,＋∞)时, f′(x)＜０, ∴f(x)在(－∞,x１),(x２,＋∞)上单调递减． 当a＜０且b２－３ac≤０时,f′(x)＝３ax２＋２bx＋c ≤０, ∴f(x)在R上单调递减． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１７􀅰 第三章　一元函数的导数及其应用