课时9 函数的周期性与对称性-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版2019）

高考总复习数学A版 课时冲关9函数的周期性与对称性 对应学生用书P217 [基础巩固练] 解析：B[f(.x)是奇函数，则f(一x)=一f(x) 一、单选题 又f(1十x)=f(-x), 1.函数y=一e与y=e的图象 所以f(x+1)=一f(x),所以f(x十2)=一f(x A.关于x轴对称 +1)=f(x), B.关于y轴对称 f(x)是周期为2的周期函数， C.关于原点对称 (22)=(2+1o12=f2)片 D.关于直线y=x对称 解析：C[画出草图，根据图象即可判断出函效 -)-2 图象关于原点对称.] 5.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)一1为奇函 数，f(x十2)为偶函数，则f(1)十f(2)+…+ f(16)= ( A.0 B.16 C.22 D.32 解析：B[因为f(x)一1为奇函数，则f(0)= 1,且函数f(x)的图象关于(0,1)中心对称，即 2.已知函数y=f(x)的图象经过点P(1,一2)，则 f(x)+f(-x)=2, 函数y=一f(一x)的图象必过点 ( 因为f(x+2)为偶函数，所以f(x十2)=f(2一x), A.(-1,2) B.(1,2) 则f(x十4)=f(一x), C.(-1,-2) D.(-2,1) 所以f(x)+f(x+4)=2,f(x+4)+f(.x+8) 解析：A[函数y=f(.x)与y=一f(一x)的图 =2,所以f(.x)=f(x十8)，故f(x)的周期为8， 象关于原，点对称，又y=f(x)的图象经过点P 因为f(1)+f(5)=2,f(2)+f(6)=2,f(3)+ (1,一2)，则函数y=一f(一x)的图象必过点 f(7)=2,f(4)+f(8)=2, (-1,2).] 所以f(1)+f(2)+…+f(16)=2[f(1)+f(2) 3.函数y=f(x)与函数y=2+1一1图象关于直线 +…+f(8)]=16.] x=2对称，则f(4)的值为 ( 6.(2025·丹东模拟)已知函数f(x)的定义域为 A.1 B.-1 C.2 D.-2 R,f(1十x)=f(1-x)十f(x),则f(2024)+ 解析：A[设g(x)=2+-1, f(2026) ( 因为函数y=f(x)与函数y=g(.x)图象关于直 A.-1 B.0 C.1 D.2 线x=2对称， 解析：B[因为函数f(x)的定义域为R,且f(1 所以f(4)=g(0)=2-1=1.] +x)=f(1-x)+f(x), 4.设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1+x) 令-x代x,可得f(1-x)=f(1十x)十f(-x), (-.如果()-2那么(2) 联立f1+)=f1-)+fx 0-)=1++-可得-刊 =-f(x), A.-B- c 所以f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)-0, ·310· 第二章函数 由f1十x)=f(1-x)+f(x),令x+1代x, 8.定义在R上的函数f(x)的导函数为g(x),且 可得f(.x+2)=f(-x)+f(x+1)=f(-x)+ 满足下列条件：f(2x)十f(-2-2x)=0,g(2x) f(1-x)+f(x), =一g(2一2.x),且f(1)=1.则下列正确的是 因为f(-x)=一f(x),所以f(x+2)=f(1一x), ( 令x+1代x,则f(x+3)=f(-x)=-f(.x), A.y=g(x)周期为8 令x+3代x,则f(x+6)=-f(x+3)=f(x), B.y=g(2.x)图象关于(1,0)对称 所以函数f(x)是周期为6的周期函数。 C.y=f(x)关于(-1,0)对称 由f(1+x)=f(1-x)+f(x). n罗0=0 令x=1,可得f(2)=f(0)十f(1)=f(1), 解析：ACD[对于A,B,因为g(2x)=一g(2-2x), 令x=2,可得f(3)=f(-1)+f(2)=f(2)一 则g(x)=一g(2-x),则g(1十x)=一g(1一x), f(1)=0, 可知g(z)的图象关于(1,0)中心对称，知g(2.x) 令x=3,可得f(4)=f(-2)+f(3)=-f(2) 的因象关于（分0中心对称，B错误： =-f(1), 所以f(2024)=f(337×6+2)=f(2)=f(1), 因为f(2x)+f(-2-2x)=0, f(2026)=f(337×6+4)=f(4)=-f(1), 则f(x)=-f(一2-x), 所以f(2024)+f(2026)=f(1)-f(1)=0.] 两边求导数可得f(x)=f(一2-x), 二、多选题 即得g(x)=g(-2-x), 所以g(2-x)=一g(-2-x),即得g(2十x)= 7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(4 -g(-2+x), 一x)+f(x)=0,f(1)=3,则 ( 所以g(4十x)=-g(x),g(8十x)=-g(x十4) A.f(-2)=0 =g(x), B.f(7)=3 所以函数g(x)的周期为8，A正确； C.f(3)+f(9)=0 对于C,因为f(2x)+f(一2-2x)=0则f(x) D.f(x)的图象关于y轴对称 =-f(-2-x), 解析：AC[因为f(x)是奇函数，所以f(一x) 所以f(-1一x)=一f(-1十x),函数f(x)关 =-f(x), 于（一1,0）对称，C正确； 因为f(4-x)十f(x)=0. 对于D,因为g(x)的图象关于(1,0)中心对称， 所以f(4一x)=一f(x)=f(一x),所以f(x)= 所以f(.x)关于x=1对称，所以f(1一x)=f(1 f(x+4),所以f(一2)=f(2). 十x), 因为f(4-x)+f(x)=0,所以f(4-2)+f(2)=0, 又f(x)=-f(-2一x),所以f(1十x)= 所以f(2)=0,即f(-2)=0,则A正确. -f(-3-x)=f(1-x),可得-f(-3+x) 令x=1,得(3)+f(1)=0.因为f(1)=3,所 =f(1+x), 以f(3)=-3,所以f(7)=f(3)=一3，则B 所以f(x十8)=一f(x十4)=-(-f(x))= 错误。 f(x),所以函数f(x)周期为8， 因为f(x)=f(x+4),所以f(9)=f(5)=f(1) 因为f(1十x)十f(-3十x)=0,所以f(1十x) =3,所以f(3)+f(9)=0,则C正确， +f(5+x)=0, 因为f(x)是奇函数，所以f(x)的图象关于原点 所以f(1)+f(5)=0,f(2)十f(6)=0,f(3)+ 对称，则D错误.] f(7)=0,f(4)+f(8)=0, ·311· 高考总复习数学A版 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+ (2)若当x∈[-2,2]时，f(.x)=一x2+1,求当 f(2024)=253[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+ x∈[2,6]时，f(x)的解析式. …+f(8)] 解：(1)由函数y=f(x)的图象关于直线x=2 =253[f(1)+f(5)+f(2)+f(6)+f(3)+ 对称， f(7)十f(4)+f(8)]=0,D正确.] 所以f(x+2)=f(2-x),即有f(-x)=f(x+4), 三、填空题 又函数f(x)是定义在R上的偶函数，有f(一x) 9.若定义在R上的函数f(x)满足f(x十2)十f(x)= =f(x), 0,且f(-1)=-3,则f(2025)= 所以f(x十4)=f(-x)=f(x), 解析：因为f(x十2)+f(x)=0,所以f(.x+2) 即∫(x)是周期为4的周期函数； =-f(x),所以f(x+4)=-f(x十2)=f(x), (2)当x∈[-2,2]时，f（x)=-x2+1, 4为f(x)的一个周期，则f(2025)=f(506×4 又f(x)是周期为4的周期函数， +1)=f(1). 当x∈[2,6]，则x-4∈[-2,2]， 又f(x十2)+f(x)=0,取x=-1,得f(1)+ 所以f(x)=f(x-4)=-(x-4)2+1, f(-1)=0. 所以f(x)=-(x-4)2+1,x∈[2,6]. 所以f(1)=-f(-1)=3,故f(2025)=3. 12.经研究，函数y=f(x)为奇函数的充要条件是 答案：3 函数y=f(x一a)+b图象的对称中心为点(a, 10.(2025·牡丹江模拟)已知函数y=f(x)的图 b),函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心 象既关于直线x=1对称，又关于点(2,0)对 对称图形的充要条件是函数F(x)=∫(x十a) 一b为奇函数，由F(x)+F(一x)=0得函数y 称，且当x∈[0,1门时，f(x)=2024则 =f(x)关于点(a,b)成中心对称图形的充要条 f(2024)= 件是f(a+x)+f(a-x)=2b. 解析：因为函数y=f(x)的图象关于直线x=1 (1)已知函数f(x)=m.x3十n.x3+3,且f(5)= 对称， 2,求f(-5)的值： 所以f(-x)=f(2+x), (2)证明函数g(r)=3x11t+13图象的对 x2-4.x十5 因为函数y=f(x)的图象关于点(2,0)对称， 称中心为(2,3)； 所以f(-x)=-f(4十x), (3)已知函数h(x)=x3一3x2,求h(-7)+ 所以f(x+2)+f(x+4)=0, h(-6)+h(-5)+…+h(8)+h(9)的值. 所以f(x)-f(x十4)=0，即f(x)=f(x十4)， 解：(1)f(x)=mx十n.x3十3， 所以函数∫(x)的周期为4， .f(x)=-m.x-nx3+3, 又因为当x∈[0,1]时，f(x)=2024' 函数y=m.x十n.x3为奇函数，∴.函数∫(x) 0 =m.x十.x3+3的图象关于点(0,3)对称， 所以f0)=2024=0, .f(x)+f(-x)=6,∴.f(5)+f(-5)=6, 所以f(2024)=f(4×506+0)=f(0)=0. ∴.f(-5)=4: 答案：0 (2)g(c)=3x2-11x+13 =x-2 +3 四、解答题 x2-4.x+5x2-4x+5 11.已知函数f(.x)是定义在R上的偶函数，且y x-2 -2)2+1+3, f(x)的图象关于直线x=2对称. (1)证明：f(x)是周期函数. 令F(.x)=g(x+2)-3=T x2+1 ·312· 第二章函数 则g(x)=F(x-2)十3 对于A,f(.x十4)=一f(x+2)+4=-[一f(.x) x∈R,定义域关于原点对称，F(x)=一F(一x), 十4]一4=f(x),f(x)是周期为4的周期函数，A F(x)为奇函数。 正确； :函数g()=3江-1r+13图象的对称中心 对于B,由f(2-x)+f(x十2)=4，得f(x)的 x2-4.x+5 图象关于点(2,2)对称，B错误； 为(2,3) 对于C,f(-2)=f(2)=2,由f(x)+f(x+2) (3)假设函数h(.x)=x3-3.x2图象有对称中心 =4,得f(-3)+f(-1)=4=2f(-2), 且对称中心为(a,b), 因此f(一3)，f(一2)，f(一1)成等差数列，C 则h(a十x)+h(a-x)=2b,.(a+x)3-3(a 正确； +x)2+(a-x)°-3(a-x)2=2b, 对于D,f(1)+f(3)=4,f(2)+f(4)=4,因此 .(6a-6).x2+2a3-6a2=2b, f(1)+f(2)+f(3)+…+f(9) :/6a-6=0, =2[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)=16, .a=1,b=-2, D正确.] 2a3-6a2=2b. 14.[多选](2025·南通模拟)已知函数f(x)的定 函数h(x)=x一3.x有对称中心(1，一2)， 义域为R,若满足f(2一x)+f(.x-1)=-1,且函 .h(1+x)十h(1-x)=-4, 数f(x)图象关于(1,0)中心对称，则 令S=h(-7)+h(-6)+h(-5)+…+h(8) A.f(0)=-1 +h(9),S=h(9)+h(8)+h(7)+…+h(-6) B.f(2024)=2023 +h(-7), C.f(x+2024)=f(x) 相加得2S=[h(-7)+h(9)]+[h(-6)十 h(8)]+…+[h(9)+h(-7)]=17×(-4), Dng0-400 解析：ABD[对于A,因为函数f(x)的定义 .h(-7)+h(-6)+h(-5)+…+h(8)+ 域为R,且函数f(x)图象关于(1,0)中心对称， h(9)=-34. 所以f(2-x)+f(x)=0, [能力提升练] 又f(2-x)+f(x-1)=-1, 13.[多选](2025·雅安模拟)已知函数f(x)的定 所以f(x)一f(x-1)=1, 义域为R,若f(3.x+1)为偶函数，f(x十2)一2 取x=1可得f(1)-f(0)=1, 为奇函数，且f(1)=0,则 ( 又f(1)=0,所以f(0)=一1，故A正确： A.f(x)为周期函数 对于B,由f(x)一f(x-1)=1可得f(2024) B.f(.x)的图象关于点(2,1)对称 -f(2023)=1,f(2023)-f(2022)=1,…, C.f(一3)，f(-2),f(一1)成等差数列 累加之后可得f(2024)=2023,故B正确： D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(9)=16 对于C,由f(0)=-1和f(2024)=2023可 解析：ACD[函数f(x)的定义域为R,由 得周期不是2024，故C错误； f(3.x+1)为偶函数，得f(-3x+1)=f(3.x+ 对于D,由函数f(x)图象关于(1,0)中心对称， 1),则f(2-x)=f(x), 且f(0)=-1,f(2-0)+f(0)=0→f(2)=1, 由f(x十2)一2为奇函数，得f(一x十2)一2= 所以罗)=f-2020+-2028)= -[f(x十2)-2]，则f(2-x)十f(x十2)=4， -[f(2025)+f(2026)], 于是f(x)十f(x+2)=4,即f(x+2)= 由B的累加可得-[f(2025)+f(2026)门= -f(x)+4, -2024-2025=-4049,故D正确.] ·313·