3.1 导数的概念及其意义，导数的运算-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版2019）

１．处理好以下四个问题 (１)利用导数研究曲线的切线问题． (２)利用导数研究函数的单调性、极(最)值问题． (３)利用导数研究不等式恒成立或证明不等式问题． (４)利用导数研究复杂函数的零点问题． ２．注意以下四个思想方法的应用 (１)函数与方程思想:导数与函数、方程、不等式之间 有着密切的联系． (２)转化与化归思想:通过构造函数,将方程、不等式 问题转化为函数的极(最)值等问题． (３)数形结合思想:研究函数性质,方程根的个数、不 等式的解集等问题． (４)分类讨论思想:研究函数的单调性等问题时,经常 需要根据极值点的大小,极值点是否在定义域内 进行分类讨论． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 §３．１　导数的概念及其意义、导数的运算 ★[考试要求] １．了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数．２．通过函数图象,理解导数的几何意义．３．能够用导数公式和导 数的运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数． 　　　　　　　　学生用书　P４２ １．导数的概念 (１)函数y＝f(x)在x＝x０ 处的导数记作f′(x０)或 y′|x＝x０． f′(x０)＝lim Δx→０ Δy Δx＝limΔx→０ f(x０＋Δx)－f(x０) Δx ． (２)函 数 y ＝ f (x)的 导 函 数 f′ (x)＝ lim Δx→０ f(x＋Δx)－f(x) Δx ． ２．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x０ 处的导数的几何意义就是 曲线y＝f(x)在点P(x０,f(x０))处的切线的斜率, 相应的切线方程为y－f(x０)＝f′(x０)(x－x０)． ３．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝０ f(x)＝xα(α∈Q,且α≠０) f′(x)＝αxα－１ f(x)＝sinx f′(x)＝cosx f(x)＝cosx f′(x)＝－sinx f(x)＝ax(a＞０,且a≠１) f′(x)＝axlna 基本初等函数 导函数 f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a＞０,且a≠１) f′(x)＝ １xlna f(x)＝lnx f′(x)＝１x ４．导数的运算法则 若f′(x),g′(x)存在,则有 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x); [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x); f(x) g(x)[ ]′＝ f′(x)g(x)－f(x)g′(x) [g(x)]２ (g(x)≠０); [cf(x)]′＝cf′(x)． ５．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u),u＝ g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u􀅰u′x,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． １．可导奇函数的导数是偶函数,可导偶函数的导数是 奇函数,可导周期函数的导数还是周期函数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４６􀅰 ２．两类切线问题的区别 (１)“过”与“在”:曲线y＝f(x)“在点P(x０,y０)处的 切线”与“过点 P(x０,y０)的切线”的区别:前者 P(x０,y０)为切点,而后者P(x０,y０)不一定为切点． (２)“切点”与“公共点”:曲线的切线与曲线不一定只 有一个公共点,而直线与二次曲线相切只有一个 公共点． １．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (１)f′(x０)是函数y＝f(x)在x＝x０ 附近的平均变 化率． (×) (２)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的 切线． (×) (３)f′(x０)＝[f(x０)]′． (×) (４)若f(x)＝sin(－x),则f′(x)＝cos(－x)． (×) ２．若函数f(x)＝lnx－２x＋１,则f′ １２ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．０ B．１２ C． ３ ２ D． ５ ２ 解析:A　[f′(x)＝１x－２ , 所以f′ １２ æ è ç ö ø ÷＝２－２＝０．] ３．已知函数f(x)＝２x,则函数f(x)的图象在点 (０,f(０))处的切线方程为 (　　) A．x－y－１＝０ B．x－y＋１＝０ C．x􀅰ln２－y－１＝０ D．x􀅰ln２－y＋１＝０ 解析:D　[函数f(x)＝２x,求导得f′(x)＝２xln２, 则f′(０)＝ln２,而f(０)＝１, 所以所求切线方程为y－１＝ln２􀅰(x－０),即x􀅰 ln２－y＋１＝０．] ４．已知函数f(x)＝ln(３－２x)＋cos２x,则f′(０)＝ 　　　　． 解析:因为f′(x)＝－ ２３－２x－２sin２x , 所以f′(０)＝－２３． 答案:－２３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P４３ 　　　导数的计算 [例１]　(１)[多选](２０２５􀅰济南质检)下列求导运算 正确的是 (　　) A． １lnx æ è ç ö ø ÷′＝－ １ xln２x B．(x２ex)′＝２x＋ex C．cos２x－π３ æ è ç ö ø ÷[ ]′＝－sin２x－π３ æ è ç ö ø ÷ D．x－１x æ è ç ö ø ÷′＝１＋１ x２ [解析]　 １lnx æ è ç ö ø ÷′＝－ １ ln２x 􀅰(lnx)′＝－ １ xln２x ,故 A 正确; (x２ex)′＝(x２＋２x)ex,故B错误; cos２x－π３ æ è ç ö ø ÷[ ]′＝－２sin２x－π３ æ è ç ö ø ÷,故C错误; x－１x æ è ç ö ø ÷′＝１＋１ x２ ,故 D正确． [答案]　AD (２)函数f(x)的导函数为f′(x),若f(x)＝x２＋ f′ π３ æ è ç ö ø ÷sinx,则f π６ æ è ç ö ø ÷＝　　　　． [解析]　f′(x)＝２x＋f′ π３ æ è ç ö ø ÷cosx, ∴f′ π３ æ è ç ö ø ÷＝２π３＋ １ ２f′ π ３ æ è ç ö ø ÷, ∴f′ π３ æ è ç ö ø ÷＝４π３ , f(x)＝x２＋４π３sinx , ∴f π６ æ è ç ö ø ÷＝π ２ ３６＋ ２π ３． [答案]　π ２ ３６＋ ２π ３ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 (１)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等 函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导． (２)抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程 思想求解． (３)复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要 进行换元． １．[多选]下列求导数运算正确的是 (　　) A．(２０２５x)′＝x２０２５x－１ B．(x２０２５＋log２x)′＝２０２５x２０２４＋ １ xln２ C．cosxsinx æ è ç ö ø ÷′＝sin ２x－cos２x sin２x D．(x２３x)′＝２x３x＋x２３xln３ 解析:BD　[(２０２５x)′＝２０２５xln２０２５,A 错误; (x２０２５＋log２x)′＝(x２０２５)′＋(log２x)′＝２０２５x２０２４ ＋ １xln２ ,B正确; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５６􀅰 第三章　一元函数的导数及其应用 cosx sinx æ è ç ö ø ÷′ ＝ －sinx 􀅰sinx－cosx􀅰cosx sin２x ＝ － １ sin２x ,C错误;(x２３x)′＝(x２)′􀅰３x＋x２×(３x)′ ＝２x３x＋x２３xln３,D正确．] ２．已知函数f(x)＝e２x＋f′(０)ln(x＋４),则f′(０)＝ 　　　　． 解析:因为f′(x)＝２e２x＋f′ (０) x＋４ ,所以f′(０)＝２＋ f′(０) ４ ,解得f′(０)＝８３． 答案:８ ３ 　　　导数的几何意义 ▶[角度１]　求切线方程 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例２－１]　曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的 方程为　　　　． [解析]　先求当x＞０时,曲线y＝lnx 过原点的 切线方程,设切点坐标为(x０,y０),则由y′＝ １ x ,得 切线斜率为１ x０ ,又切线的斜率为y０ x０ , 所以１ x０ ＝y０x０ ,解得y０＝１, 代入y＝lnx,得x０＝e, 所以切线斜率为１ e ,切线方程为y＝１ex． 同理可求得当x＜０时的切线方程为y＝－１ex． 综上可知,两条切线方程为y＝１ex ,y＝－１ex． [答案]　y＝１ex　y＝－ １ ex ▶[角度２]　求参数的值(范围) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例２－２]　已知函数f(x)＝alnx(a≠０),过原点作曲 线y＝f(x)的切线l,则切线l的斜率为　　　　． [解析]　根据题意得,f′(x)＝ax ,设切点坐标为 (x０,y０),则f′(x０)＝ a x０ , 所以切线l的方程为y＝ax０ (x－x０)＋y０, 将点(０,０)代入,可得０＝ax０ (０－x０)＋y０,整理得 y０＝a, 故alnx０＝a,解得x０＝e, 故f′(x０)＝ a e ,即切线l的斜率为ae． [答案]　ae ▶[角度３]　切线的应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例２－３]　(２０２５􀅰南昌模拟)设点P 在曲线y＝ex 上,点Q 在直线y＝１ex 上,则|PQ|的最小值为 (　　) A． １ e２＋１ B． ２ e２＋１ C． e e２＋１ D． ３ e２＋１ [解析]　令y′＝ex＝１e ,得x＝－１,代入曲线y＝ e－１＝１e , 所以|PQ|的最小值即为点 －１,１e æ è ç ö ø ÷ 到直线y＝１ex 的距离d＝ ２ e２＋１ ． [答案]　B 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 利用导数求切线方程的一般过程 已知曲线y＝f(x)过点P(x０,y０),求曲线过点P 的切线方程,需分点P 是切点和不是切点两种情 况求解: １．若P(x０,y０)是切点,则曲线的切线方程为y－y０ ＝f′(x０)(x－x０); ２．若P(x０,y０)不是切点,则分以下几个步骤: (１)设出切点坐标P′(x１,y１)． (２)写 出 过 P′(x１,y１)的 切 线 方 程 y－y１ ＝ f′(x１)􀅰(x－x１)． (３)将点P(x０,y０)的坐标代入切线方程求出x１． (４)将x１ 的值代入方程y－y１＝f′(x１)(x－x１)得 到所求切线方程． １．若曲线y＝３(x２－x)ex－１在点(１,０)处的切线与y ＝ax＋２平行,曲线y＝lnxx＋１ 在点(１,０)处的切线 与直线x－by＋１＝０垂直,则a＋b＝　　　　　． 解析:设f(x)＝３(x２－x)ex－１,g(x)＝lnxx＋１． 则f′(x)＝３(２x－１)ex－１＋３(x２－x)ex－１＝３(x２＋ x－１)ex－１,f′(１)＝３． 直线y＝ax＋２的斜率为k１＝a,由导数的几何意 义可得,k１＝３,所以a＝３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６６􀅰 高考总复习　数学 A版 又g′(x)＝ x＋１ x －lnx (x＋１)２ ＝x＋１－xlnx x(x＋１)２ ,g′(１)＝１２． 直线x－by＋１＝０的斜率为k２＝ １ b ,由导数的几何 意义可得,１ ２k２＝－１ ,所以b＝－１２． 所以a＋b＝５２． 答案:５ ２ ２．(２０２４􀅰全国甲卷)设函数f(x)＝e x＋２sinx １＋x２ ,则曲 线y＝f(x)在点(０,１)处的切线与两坐标轴所围成 的三角形的面积为 (　　) A．１６ B． １ ３ C． １ ２ D． ２ ３ 解析:A　[∵f(x)＝e x＋２sinx １＋x２ , ∴f′(x)＝ (ex＋２cosx)(１＋x２)－(ex＋２sinx)􀅰２x (１＋x２)２ ＝ (x－１)２ex＋２(１＋x２)cosx－４xsinx (１＋x２)２ , 则f′(０)＝３, ∴y＝f(x)在 点(０,１)处 的 切 线 方 程 为y－１＝ ３(x－０),即３x－y＋１＝０ 令x＝０,得y＝１, 令y＝０,得x＝－１３ , ∴y＝f(x)在点(０,１)处的切线与两坐标轴所围成 的三角形的面积为S＝１２× － １ ３ ×１＝ １ ６． ] 　　　两曲线的公切线 [例３]　(１)已知点P 是曲线y＝xex 与曲线y＝ex２ 的公共点,则两曲线在点P 处的公共切线方程是 (　　) A．y＝０ B．２ex－y－e＝０ C．y＝０或２ex－y－e＝０ D．y＝０或ex－y－１＝０ [解析]　设P 点的坐标为(x０,y０), 对曲线y＝xex 求导得y′＝ex＋xex, 对曲线y＝ex２ 求导得y′＝２ex, 得 ex０＋x０ex０＝２ex０, x０ex０＝ex２０,{ 解得x０＝１, 得P 点坐标为(１,e),切线方程为２ex－y－e＝０． [答案]　B (２)若曲线C１:y＝ax２(a＞０)与曲线C２:y＝ex 存 在公共切线,则a的取值范围为　　　　． [解析]　由y＝ax２(a＞０),得y′＝２ax, 由y＝ex,得y′＝ex, 曲线C１∶y＝ax２(a＞０)与曲线C２∶y＝ex 存在公 共切线, 设公切线与曲线C１ 切于点(x１,ax２１), 与曲线C２ 切于点(x２,ex２), 则２ax１＝ex２＝ ex２－ax２１ x２－x１ , 可得２x２＝x１＋２,∴a＝ e x１ ２ ＋１ ２x１ ,记f(x)＝e x ２＋１ ２x ,则 f′(x)＝e x ２＋１(x－２) ４x２ , 当x∈(０,２)时,f′(x)＜０,f(x)单调递减; 当x∈(２,＋∞)时,f′(x)＞０,f(x)单调递增． ∴当x＝２时,f(x)min＝ e２ ４． ∴a的取值范围是 e ２ ４ ,＋∞[ öø÷． [答案]　 e ２ ４ ,＋∞[ öø÷ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 公切线问题,应根据两个函数在切点处的斜率相 等,且切点既在切线上又在曲线上,列出有关切点 横坐标的方程组,通过解方程组求解．或者分别求 出两函数的切线,利用两切线重合列方程组求解． 已知曲线y＝ex 在点(x１,y１)处的切线与曲线y＝ lnx在点(x２,y２)处的切线相同,则(x１＋１)(x２－１) (　　) A．－１ B．－２ C．１ D．２ 解析:B　[根据常用函数的导数可知:y＝ex⇒y′＝ ex,y＝lnx⇒y′＝１x , 则两函数在点(x１,y１)和(x２,y２)处的切线分别为: y－y１＝ex１(x－x１),y－y２＝ １ x２ (x－x２),化简得y ＝ex１x＋(１－x１)ex１,y＝ １ x２ x＋lnx２－１ 由题意可得: ex１＝１x２ (１－x１)ex１＝lnx２－１ ì î í ïï ï ,化简得x１x２ ＋x２－x１＋１＝０⇒(x１＋１)(x２－１)＝－２．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７６􀅰 第三章　一元函数的导数及其应用