2.10 函数模型的应用-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版2019）

§２．１０　函数模型的应用 ★[考试要求] １．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的 含义．２．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等普遍使用的函数模型)在社会生活中的广泛 应用． 　　　　　　　　学生用书　P３９ １．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a,b为常数,a≠０) 二次函数模型 f(x)＝ax２＋bx＋c(a,b,c为常数,a ≠０) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a,b,c为常数,a＞０ 且a≠１,b≠０) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a,b,c为常数,a ＞０且a≠１,b≠０) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a,b,n为常数,a≠ ０,n≠０) ２．三种函数模型性质比较 y＝ax(a＞１)y＝logax(a＞１)y＝xn(n＞０) 在(０,＋∞) 上的单调性 增函数 增函数 增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随 x 值 增 大,图象与y 轴接近平行 随x 值 增 大, 图象与x轴接 近平行 随n值变化 而不同 １．“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数 增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆 炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长量越来 越小． ２．充分理解题意,并熟练掌握几种常见函数的图象和 性质是解题的关键． ３．易忽视实际问题中自变量的取值范围,需合理确定 函数的定义域,必须验证数学结果对实际问题的合 理性． １．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或 “×”) (１)函数y＝２x 的函数值比y＝x２ 的函数值大． (×) (２)“指数爆炸”是指数型函数y＝a􀅰bx＋c(a≠０,b＞ ０,b≠１)增长速度越来越快的形象比喻． (×) (３)幂函数增长比直线增长更快． (×) (４)不存在x０,使ax０＜xa０＜logax０． (×) ２．下列函数中,随着x的增长,增长速度最快的是 (　　) A．y＝５０ B．y＝１０００x C．y＝２lnx D．y＝ １１０００e x 解析:D　[依据常函数、一次函数、对数函数、指数 函数的性质可知增长速度最快的函数模型是指数 函数,故 随 着 x 的 增 长,y＝ １１０００e x 增 长 速 度 最快．] ３．在一次数学实验中,某同学运用图形计算器采集到 如下一组数据: x ０．２４ ０．５１ １ ２．０２ ３．９８ ８．０２ y －２．０ －１．０ ０ １．００ ２．０ ３．０ 在四个函数模型(a,b为待定系数)中,最能反映x, y函数关系的是 (　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx C．y＝a＋logbx D．y＝a＋ b x 解析:C　[根据表中数据,作出散点图如下, 由散点图可知,散点图和对数函数图象接近,可选 择y＝a＋logbx 反映x,y函数关系．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０６􀅰 高考总复习　数学 A版 ４．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某 企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为 C(x)＝１２x ２＋２x＋２０(万元)．一万件售价为２０万 元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品 数量为　　　　万件． 解析:利润L(x)＝２０x－C(x)＝－１２ (x－１８)２＋ １４２,当x＝１８时,L(x)有最大值． 答案:１８ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P４０ 　　　用函数图象刻画变化过程 [例１]　(１)[多选]血药浓度是指药物吸收后在血浆 内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时,该药 物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓 度之间．已知成人单次服用１单位某药物后,体内 血药浓度及相关信息如图所示: 根据图中提供的信息,下列关于成人使用该药物的 说法中,正确的是 (　　) A．首次服用该药物１单位约１０分钟后,药物发挥 治疗作用 B．每次服用该药物１单位,两次服药间隔小于２小 时,一定会产生药物中毒 C．每间隔５．５小时服用该药物１单位,可使药物持 续发挥治疗作用 D．首次服用该药物１单位３小时后,再次服用该药 物１单位,不会发生药物中毒 [解析]　从图象中可以看出,首次服用该药物１单 位约１０分钟后药物发挥治疗作用,A 正确;根据图 象可知,首次服用该药物１单位约１小时后的血药 浓度达到最大值,由图象可知,当两次服药间隔小 于２小时时,一定会产生药物中毒,B正确;服药５． ５小时时,血药浓度等于最低有效浓度,此时再服 药,血药浓度增加,可使药物持续发挥治疗作用,C 正确;第一次服用该药物１单位４小时后与第２次 服用该药物１单位１小时后,血药浓度之和大于最 低中毒浓度,因此一定会发生药物中毒,D错误． [答案]　ABC (２)(２０２５􀅰武汉调研)为研 究西南高寒山区一种常见 树的生长周期中前１０年的 生长规律,统计显示,生长４ 年的树高为７ ３ 米,如图所示 的散点图,记录了样本树的生长时间t(年)与树高 y(米)之间的关系．请你据此判断,在下列函数模 型:①y＝２t－a;②y＝a＋log２t;③y＝ １ ２t＋a ;④y ＝t＋a中(其中a为正的常数),生长年数与树高 的关系拟合最好的是　　　　(填写序号),估计该 树生长８年后的树高为　　　　米． [解析]　由散点图的走势,知模型①不合适． 曲线过点 ４,７３ æ è ç ö ø ÷,则后三个模型的解析式分别为 ②y＝１３＋log２t ;③y＝１２t＋ １ ３ ;④y＝t＋１３ ,当t ＝１时,代入④中,得y＝４３ ,与图不符,易知拟合最 好的是②． 将t＝８代入②式,得y＝１３＋log２８＝ １０ ３ (米)． [答案]　②　１０３ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合方法 (１)构建函数模型法:当由题意易构建函数模型时, 可建立函数模型,结合模型选图象． (２)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等 特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从 中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情 况的答案． [多选]一辆赛车在一个周长为３km的封闭跑道上 行驶,跑道由几段直道和弯道组成,图１反映了赛 车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程 之间的关系． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１６􀅰 第二章　函数 根据图１,以下四个说法中正确的是 (　　) A．在第二圈的２．６km 到２．８km 之间,赛车速度 逐渐增加 B．在整个跑道上,最长的直线路程不超过０．６km C．大约在第二圈的０．４km 到０．６km 之间,赛车 开始了那段最长直线路程的行驶 D．在图２的四条曲线(注:S为初始记录数据位置) 中,曲线B 最能符合赛车的运动轨迹 解析:AD　[由图１知,在２．６km 到２．８km 之间, 图象上升,故在第二圈的２．６km 到２．８km 之间, 赛车速度逐渐增加,故 A 正确;在整个跑道上,高 速行驶时最长为１．８km 到２．４km 之间,但直道加 减速也有路程,故最长的直线路程有可能超过０．６ km,故B不正确;最长直线路程应在１．４km 到１．８ km 之间开始,故C不正确;由图１可知,跑道应有 ３个弯道,且两长一短,故 D正确．] 　　　已知函数模型的实际问题 [例２]　(１)“喊泉”是一种地下水的毛细现象．人们 在泉口吼叫或发出其他声音时声波传入泉洞内的 储水池,进而产生“共鸣”等作用,激起水波,形成涌 泉．声音越大,涌起的泉水越高．已知听到的声强I 与标准声强I０(I０ 约为１０－１２,单位:W/m２)之比的 常用对数称作声强的声强级,记作L(贝尔),即L ＝lgII０ ．取贝尔的１０倍作为响度的常用单位,简称 为分贝．已知某处“喊泉”的声音强度y(分贝)与喷 出的泉水高度x(m)之间满足关系式y＝２x,甲、乙 两名同学大喊一声激起的涌泉的最高高度分别为 ７０m,６０m．若甲同学大喊一声的声强大约相当于 n个乙同学同时大喊一声的声强,则n的值约为 (　　) A．１０ B．１００ C．２００ D．１０００ [解析]　设甲同学的声强为I１,乙同学的声强为 I２,则１４０＝１０lg I１ １０－１２ ,１２０＝１０lg I２ １０－１２ ,所以I１＝ １０２,I２＝１,从而 I１ I２ ＝１００．所以n的值约为１００． [答案]　B (２)[多选]漳州市龙海区港尾镇和浮宫镇盛产杨 梅,杨梅果味酸甜适中,有开胃健脾、生津止渴、消 暑除烦,抑菌止泻,降血脂血压等功效．杨梅的保鲜 时间很短,当地技术人员采用某种保鲜方法后可使 得杨梅采摘之后的时间t(单位:小时)与失去的新 鲜度y 满足函数关系y＝ １ １０００t ２,０≤t＜１０, mat,１０≤t≤１００, ì î í ïï ï ,其 中m,a为常数．已知采用该种保鲜方法后,杨梅采 摘１０小时之后失去１０％的新鲜度,采摘４０小时之 后失去２０％的新鲜度．如今我国物流行业蓬勃发 展,为了保证港尾镇的杨梅运输到北方某城市销售 时的新鲜度不低于８５％,则物流时间(从杨梅采摘 的时刻算起)可以是(参考数据:log２３≈１．６) (　　) A．２０小时 B．２５小时 C．２８小时 D．３５小时 [解析]　由题意可知 １０％＝ma１０ ２０％＝ma４０{ , 所以a３０＝２即a＝２ １ ３０,m＝ ３ ４ ２０ ,由题意可知当t＜１０ 时,失去的新鲜度小于１０％,没有超过１５％,当t≥ １０时,则 有 ３ ４ ２０a t≤１５％ 即 ３ ４ ２０ ２ １ ３０( )t≤１５％,所 以 ２ １ ３０( )t≤３２ ３ ２,所 以t３０≤log２ ３ ２＋log２ ３ ２,解 得t ≤２８． [答案]　ABC 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．求解已知函数模型解决实际问题的关注点． (１)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数; (２)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定 系数． ２．利用函数模型,借助函数的性质、导数等求解实 际问题,并进行检验． (２０２５􀅰合肥模拟)声强级(单位:dB)由公式LI＝ １０lg I １０－１２ æ è ç ö ø ÷给出,其中I为声强(单位:W/m２)．某 班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪,开展 了“不敢高声语,恐惊读书人”主题活动,要求课下 同学之间交流时,每人的声强级不超过４０dB,现已 知４位同学课间交流时,每人的声强分别为１０－７ W/m２,２×１０－９ W/m２,５×１０－１０ W/m２,９×１０－１１ W/m２,则这４人中达到班级要求的有 (　　) A．１人 B．２人 C．３人 D．４人 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２６􀅰 高考总复习　数学 A版 解析:C　 [依 题 意,当I＝１０－７ W/m２ 时,LI ＝ １０lg１０ －７ １０－１２ ＝１０lg１０５＝５０;当I＝２×１０－９W/m２ 时, LI＝１０lg ２×１０－９ １０－１２ ＝１０lg(２×１０３)＝１０(lg２＋３)＝３０ ＋１０lg２＜３０＋１０lg１０＝４０;当I＝５×１０－１０W/m２ 时, LI＝１０lg ５×１０－１０ １０－１２ ＝１０lg(５×１０２)＝１０(lg５＋２) ＝２０＋１０lg５＜２０＋１０lg１０＝３０;当 I＝９× １０－１１W/m２时,LI＝１０lg ９×１０－１１ １０－１２ ＝１０lg(９×１０)＝ １０(lg９＋１)＝１０＋１０lg９＜１０＋１０lg１０＝２０．所以 这４人中达到班级要求的有３人．] 　　　构造函数模型的实际问题 [例３]　汽车智能辅助驾驶已开始得到应用,其自动 刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物 之间的距离,当此距离等于报警距离时就开启报警 提醒,等于危险距离时就自动刹车．某种算法将报 警时间分为４段(如图所示),分别为准备时间t０、 人的反应时间t１、系统反应时间t２、制动时间t３,相 应的距离分别为d０,d１,d２,d３,当车速为v(单位: m/s),且０≤v≤３３．３时,通过大数据统计分析得 到下表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而 变化,且０．５≤k≤０．９)． 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 t０ t１＝０．８st２＝０．２s t３ 距离 d０＝３０m d１ d２ d３＝ v２ ２０km (１)请写出报警距离d(单位:m)与车速v(单位:m/s) 之间的表达式; (２)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶,报警 距离均小于９０m,则汽车的行驶速度应限制在多 少以下? [解]　(１)根据题意,d＝d０＋d１＋d２＋d３＝３０＋０． ８v＋０．２v＋v ２ ２０k＝３０＋v＋ v２ ２０k (０≤v≤３３．３)． (２)根据题意,对任意的k∈[０．５,０．９],d＜９０恒成 立,即对任意的k∈[０．５,０．９],３０＋v＋v ２ ２０k＜９０ 恒 成立． 易知当v＝０时,满足题意; 当０＜v≤３３．３时,有 １２０k＜ ６０ v２ －１v 对任意的k∈ [０．５,０．９]恒成立, 由k∈[０．５,０．９],得 １２０k∈ １ １８ ,１ １０[ ], 所以６０ v２ －１v＞ １ １０ , 即v２＋１０v－６００＜０,解得－３０＜v＜２０, 所以０＜v＜２０． 综上,０≤v＜２０． 所以汽车的行驶速度应限制在２０m/s以下． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 构建函数模型解决实际问题的步骤 (１)审题:弄清题意,识别条件与结论,弄清数量关 系,初步选择数学模型; (２)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言 转化为符号语言,利用已有知识建立相应的数 学模型; (３)解模:求解数学模型,得出结论; (４)还原:将数学问题还原为实际问题． 现将石片扔向水面,假设石 片第一次接触水面的速率 为１００m/s,这是第一次“打 水漂”,然后石片在水面上 多次“打水漂”,每次“打水漂”的速率为上一次的 ９０％,若要使石片的速率低于６０m/s,则至少需要 “打 水 漂”的 次 数 为 (参 考 数 据:取 ln０．６≈ －０．５１１,ln０．９≈－０．１０５) (　　) A．４ B．５ C．６ D．７ 解析:C　[设石片第n次“打水漂”时的速率为vn, 则vn＝１００×０．９０n－１． 由１００×０．９０n－１＜６０,得０．９０n－１＜０．６, 则(n－１)ln０．９０＜ln０．６, 即n－１＞ln０．６ln０．９≈ －０．５１１ －０．１０５≈４．８７ ,则n＞５．８７, 故至少需要“打水漂”的次数为６．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３６􀅰 第二章　函数