2.9 函数的零点与方程的解-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版2019）

§２．９　函数的零点与方程的解 ★[考试要求] １．结合学过的函数图象,了解函数的零点与方程解的关系．２．结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零 点存在定理,探索用二分法求方程近似解的思路及其程序框图,能借助计算工具用二分法求方程近似解,了解 用二分法求方程近似解具有一般性． 　　　　　　　　学生用书　P３６ １．函数的零点与方程的解 (１)函数零点的概念 对于函数y＝f(x),我们把使f(x)＝０的实数x 叫做函数y＝f(x)的零点． (２)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝０有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔ 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． (３)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条 连续不断的曲线,且有f(a)􀅰f(b)＜０,那么,函数 y＝f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在 c∈(a,b),使得f(c)＝０,这个c也就是方程f(x) ＝０的解． ２．二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)􀅰f(b)＜０ 的函数y＝f(x),通过不断地把它的零点所在区间 一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 有关函数零点的结论 (１)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数, 则f(x)至多有一个零点． (２)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函 数值保持同号． (３)连续不断的函数在零点两侧取值时,函数值可能 变号,也可能不变号． (４)函数的零点是实数,而不是点,是方程f(x)＝０的 实根． (５)由函数y＝f(x)(图象是连续 不断的)在闭区间[a,b]上有 零点不一定能推出f(a)􀅰 f(b)＜０,如图所示,所以图象连续且f(a)􀅰f(b) ＜０是y＝f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不 必要条件． １．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或 “×”) (１)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点． (×) (２)连续函数y＝f(x)在区间(a,b)内有零点,则 f(a)􀅰f(b)＜０． (×) (３)函数y＝f(x)为R上的单调函数,则f(x)有且仅 有一个零点． (×) (４)二次函数y＝ax２＋bx＋c(a≠０),若b２－４ac＜０, 则f(x)无零点． (√) ２．下列函数图象与x轴均有交点,且已知其解析式, 不能用二分法求图中函数零点的是 (　　) 解析:C　[根据零点存在性定理可知,函数f(x)的 图象是一段连续不断的曲线,若在区间(a,b)上满 足f(a)􀅰f(b)＜０,则函数f(x)在区间(a,b)上存 在零点; 根据二分法概念可知,C选项中的图象在零点附近 不满足f(a)􀅰f(b)＜０, 所以C选项不能用二分法求图中函数零点．] ３．函数y＝lnx－２x 的零点所在的大致区间是(　　) A．１e ,１æ è ç ö ø ÷ B．(１,２) C．(２,e) D．(e,＋∞) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５５􀅰 第二章　函数 解析:C　[y＝f(x)＝lnx－２x 的定义域为(０,＋∞), 因为y＝lnx与y＝－２x 在(０,＋∞)上单调递增, 所以f(x)＝lnx－２x 在(０,＋∞)上单调递增,又 f(１)＝ln１－２＝－２＜０,f(２)＝ln２－１＜０,f(e) ＝lne－２e＝１－ ２ e＞０ ,所以f(２)􀅰f(e)＜０,所以 f(x)在(２,e)上存在唯一的零点．] ４．若函数f(x)＝ ex,x≤０, x２－１,x＞０,{ 则函数y＝f(x)－１ 的零点是　　　　． 解析:要求函数y＝f(x)－１的零点,则令y＝f(x) －１＝０,即f(x)＝１,①当x≤０时,f(x)＝ex,由ex ＝１,解得x＝０;②当x＞０时,f(x)＝x２－１,由x２ －１＝１,解得x＝ ２(负值舍去)．综上可知,函数y ＝f(x)－１的零点是０和 ２． 答案:０和 ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P３７ 　　　函数零点所在区间的判定 [例１]　 (１)(２０２５􀅰梅州模拟)用二分法求方程 log４x－ １ ２x＝０ 的近似解时,所取的第一个区间可 以是 (　　) A．(０,１) B．(１,２) C．(２,３) D．(３,４) [解析]　 令 f(x)＝log４x－ １ ２x ,因 为 函 数 y＝ log４x,y＝－ １ ２x 在(０,＋∞)上都单调递增,所以函 数f(x)＝log４x－ １ ２x 在(０,＋∞)上单调递增,f(１) ＝－１２＜０ ,f(２)＝log４２－ １ ４＝ １ ２－ １ ４＝ １ ４＞０ ,所 以函数f(x)＝log４x－ １ ２x 在区间(１,２)上有唯一零 点,所以用二分法求方程log４x－ １ ２x＝０ 的近似解 时,所取的第一个区间可以是(１,２)． [答案]　B (２)若a＜b＜c,则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x －b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于 区间 (　　) A．(a,b)和(b,c)内 B．(－∞,a)和(a,b)内 C．(b,c)和(c,＋∞)内 D．(－∞,a)和(c,＋∞)内 [解析]　函数y＝f(x)是图象开口向上的二次函 数,最多有两个零点,由于a＜b＜c,则a－b＜０, a－c＜０,b－c＜０,因此f(a)＝(a－b)(a－c)＞０, f(b)＝(b－c)(b－a)＜０,f(c)＝(c－a)􀅰(c－b)＞ ０．所以f(a)f(b)＜０,f(b)f(c)＜０,即f(x)在区 间(a,b)和区间(b,c)内各有一个零点． [答案]　A 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 确定函数零点所在区间的常用方法 (１)利用函数零点存在定理:首先看函数y＝f(x) 在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有 f(a)􀅰f(b)＜０．若有,则函数y＝f(x)在区间 (a,b)内必有零点． (２)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． １．已知x０ 是函数f(x)＝ x＋log２(x＋１)－４的零 点,则(x０－１)(x０－２)(x０－３)(x０－４)的值 (　　) A．为正数 B．为负数 C．等于０ D．无法确定正负 解析:B　[由题意可知f(x)单调递增且f(３)＝ ３＋log２４－４＜０,f(４)＝２＋log２５－４＞０,则x０∈ (３,４),所以x０－１＞０,x０－２＞０,x０－３＞０,x０－４ ＜０,所以(x０－１)(x０－２)(x０－３)(x０－４)＜０．] ２．已知函数f(x)＝２０×３－x－x的零点x０∈(k,k＋１), k∈Z,则k＝　　　　． 解析:因为函数y＝３－x 为 R 上的减函数,故函数 f(x)＝２０×３－x－x 为 R 上的减函数,又f(２)＝ ２０×３－２－２＝２０９－２＝ ２ ９＞０ ,f(３)＝２０×３－３－３＝ ２０ ２７－３＝－ ６１ ２７＜０ ,故f(x)＝２０×３－x－x 在(２,３) 上有唯一零点,结合题意可知k＝２． 答案:２ 　　　函数零点个数的判定 [例２]　(１)函数f(x)＝sinπx２ －|log３x| 的零点个 数为 (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６５􀅰 高考总复习　数学 A版 [解析]　 函 数 f(x)＝sinπx２ －|log３x| 的 零 点 个数, 即函数g(x)＝sinπx２ 与h(x)＝|log３x|的 交 点 个数, 在坐标平面中画出两个函数的图象,如图所示: 则两个图象交点的个数为２． [答案]　B (２)已知函数f(x)＝ ２x＋４－３,x≤０, ２x２－７x＋４－lnx,x＞０,{ 的零点个数为　　　　． [解析]　当x≤０时,由f (x)＝２x＋４ －３＝０,得 x ＝log２３－４,当x＞０时,由 f(x)＝２x２－７x＋４－lnx ＝０,得２x２－７x＋４＝lnx, 则x＞０ 时,函 数 f(x)＝ ２x２－７x＋４－lnx 零点的个数,即为函数y＝２x２ －７x＋４,y＝lnx图象交点的个数,如图,作出函数 y＝２x２－７x＋４,y＝lnx的图象,由图可知,两函数 的图象有２个交点,即当x＞０时,函数f(x)＝２x２ －７x＋４－lnx 有２个零点,综上所述,函数f(x) 有３个零点． [答案]　３ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 求解函数零点个数的基本方法 (１)直接法:令f(x)＝０,方程有多少个解,则f(x) 有多少个零点; (２)定理法:利用定理时往往还要结合函数的单调 性、奇偶性等; (３)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数,依据 两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． １．函数f(x)＝２x|log０．５x|－１的零点个数为 (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ 解析:B　[由２x|log０．５x| －１＝０ 得|log０．５x|＝ １ ２ æ è ç ö ø ÷ x ,作出y＝|log０．５x| 和y＝ １２ æ è ç ö ø ÷ x 的图象,如 图所示,则两个函数图象有２个交点,故函数f(x) ＝２x|log０．５x|－１有２个零点．] ２．设函数f(x)是定义在 R上的奇函数,当x＞０时, f(x)＝ex＋x－３,则f(x)的零点个数为 (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ 解析:C　[f(x)＝ex＋x－３在(０,＋∞)上为增函 数,f １２ æ è ç ö ø ÷＝e １ ２ －５２＜０ ,f(１)＝e－２＞０,∴f(x)在 (０,＋∞)上只有一个零点,由奇函数性质得f(x) 在(－∞,０)上也有一个零点,又f(０)＝０,所 以 f(x)有三个零点．] 　　　函数零点的应用 ▶[角度１]　根据函数零点个数求参数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例３－１]　[多选](２０２５􀅰中山模拟)已知函数f(x) ＝ |３x－１|,x＜１, －４x２＋１６x－１３,x≥１,{ 函数g(x)＝f(x)－a, 则下列结论正确的是 (　　) A．若g(x)有３个不同的零点,则a的取值范围是 [１,２) B．若g(x)有４个不同的零点,则a的取值范围是 (０,１) C．若g(x)有４个不同的零点x１,x２,x３,x４(x１＜x２ ＜x３＜x４),则x３＋x４＝４ D．若g(x)有４个不同的零点x１,x２,x３,x４(x１＜x２ ＜x３＜x４),则x３x４ 的取值范围是 １３ ４ ,７ ２ æ è ç ö ø ÷ [解析]　令g(x)＝f(x)－a ＝０,得f(x)＝a,所以g(x)的 零点个数为函数y＝f(x)与y ＝a 图象的交点个数,作出函 数y＝f(x)的图象如图,由图 可知,若g(x)有３个不同的零 点,则a 的取值范围是[１,２) ∪{０},故 A 错误;若g(x)有４个不同的零点,则a 的取值范围是(０,１),故 B正确;若g(x)有４个不 同的零点x１,x２,x３,x４(x１＜x２＜x３＜x４),此时 x３,x４ 关于直线x＝２对称,所以x３＋x４＝４,故 C 正确;由C项可知x３＝４－x４,所以x３x４＝(４－x４) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７５􀅰 第二章　函数 x４＝－x２４＋４x４,由于g(x)有４个不同的零点,a的 取值范围是(０,１),故０＜－４x２４＋１６x４－１３＜１,所 以１３ ４＜－x ２ ４＋４x４＜ ７ ２ ,故 D正确． [答案]　BCD ▶[角度２]　根据函数零点的范围求参数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例３－２]　已知函数f(x)＝３x－１＋axx ． 若存在x０ ∈(－∞,－１),使得f(x０)＝０,则实数a的取值范 围是 (　　) A．－∞,４３ æ è ç ö ø ÷ B．０,４３ æ è ç ö ø ÷ C．(－∞,０) D．４３ ,＋∞æ è ç ö ø ÷ [解析]　由f(x)＝３x－１＋axx ＝０ ,可得a ＝３x－１x ,令g(x)＝３x－１x ,其中x∈(－∞,－１), 由于存在x０∈(－∞,－１),使得f(x０)＝０,则实数 a的取值范围即为函数g(x)在(－∞,－１)上的值 域．由于函数y＝３x,y＝－１x 在区间(－∞,－１)上 均单调递增,所以函数g(x)在(－∞,－１)上单调 递增．当x∈(－∞,－１)时,g(x)＝３x－１x＜３ －１＋ １＝４３ ,又g(x)＝３x－１x ＞０ ,所以函数g(x)在 (－∞,－１)上的值域为 ０,４３ æ è ç ö ø ÷．因此实数a的取值 范围是 ０,４３ æ è ç ö ø ÷． [答案]　B 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (１)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不 等式(组),再通过解不等式确定参数(范围)． (２)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域 确定参数范围． (３)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角 坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合 法求解． １．(２０２５ 􀅰 济 南 模 拟 )已 知 函 数 f (x)＝ (x＋１)２,x≤０, |lgx|,x＞０,{ 若函数g(x)＝f(x)－b有四个 不同的零点,则实数b的取值范围为 (　　) A．(０,１] B．[０,１] C．(０,１) D．(１,＋∞) 解析:A　[依题意,函数g(x)＝f(x)－b有四个 不同的零点,即f(x)＝b有四个解,转化为函数y ＝f(x)与y＝b的图象有四个交点,由函数y＝ f(x)可知,当x∈(－∞,－１]时,函数单调递减,y ∈[０,＋∞);当x∈(－１,０]时,函数单调递增, y∈(０,１];当 x ∈ (０,１)时,函 数 单 调 递 减, y∈(０,＋∞);当x∈[１,＋∞)时,函数单调递增, y∈[０,＋∞)．结合图象可知,实数b的取值范围 为(０,１]．] ２．[多 选](２０２５􀅰 沧州模拟)已 知 函 数 f(x)＝ x２＋２x－３,x≤０ －２＋lnx,x＞０{ ,令h(x)＝f(x)－k,则下列说 法正确的是 (　　) A．函数f(x)的增区间为(０,＋∞) B．当h(x)有３个零点时,k∈(－４,－３] C．当k＝－２时,h(x)的所有零点之和为－１ D．当k∈(－∞,－４)时,h(x)有１个零点 解析:BD　[函数f(x)＝ x２＋２x－３,x≤０ －２＋lnx,x＞０{ ,结合 二次函数和对数函数的图象和性质,作函数f(x) 的图象如图所示, 由图象可知,函数f(x)的增区间为(－１,０]和(０, ＋∞),A 选项错误; h(x)的零点是函数y＝f(x)和y＝k图象交点的横 坐标, 由图象可知,当h(x)有３个零点时,k∈(－４,－３],B 选项正确; 解方程可知,当k＝－２时,h(x)有两个零点,－１－ ２ 和１,所有零点之和为－２,C选项错误; 当k∈(－∞,－４)时,函数y＝f(x)和y＝k的图 象有１个交点,即h(x)有１个零点,D选项正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８５􀅰 高考总复习　数学 A版