2.7 对数与对数函数-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版2019）

§２．７　对数与对数函数 ★[考试要求] １．理解对数的概念及运算性质,能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．２．通过实例,了解对数 函数的概念,会画对数函数的图象,理解对数函数的单调性与特殊点．３．了解指数函数y＝ax 与对数函数y＝ logax(a＞０,且a≠１)互为反函数． 　　　　　　　　学生用书　P３０ １．对数 概念 如果ax＝N(a＞０,且a≠１),那么x 叫做 以a 为底数N 的对数,记作x＝logaN,其 中a叫做对数的底数,N 叫做真数,logaN 叫做对数式 性质 对数式与指数式的互化:ax＝N⇔x＝loga N(a＞０,且a≠１) loga１＝０,loga ＝１,alogaN＝N(a＞０,且a≠１) 运算 法则 loga(MN)＝logaM＋logaN loga M N＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R) a＞０,且a≠１, M ＞０,N＞０ 换底 公式 logab＝ logcb logca (a＞０,且a≠１,c＞０,且c≠１,b＞０) [注意]　在运算性质logaMn＝nlogaM 中,要特别注 意条件,在无M＞０的条件下应为logaMn＝nloga|M| (n∈N∗ ,且n为偶数)． ２．对数函数的图象与性质 a＞１ ０＜a＜１ 图 象 性 质 定义域:(０,＋∞) 值域:R 过定点(１,０) 当x＞１时,y＞０; 当０＜x＜１时,y＜０ 当x＞１时,y＜０; 当０＜x＜１时,y＞０ 在(０,＋∞)上是增函数 在(０,＋∞)上是减函数 [注意]　y＝logax(a＞０且a≠１)的图象只在第一、 四象限．在直线x＝０的右侧． ３．反函数 指数函 数 y＝ax (a＞０,且 a≠１)与 对 数 函 数 y＝logax(a＞０,且a≠１)互为反函数,它们的图象 关于直线y＝x对称． １．logab􀅰logba＝１,logambn＝ n mlogab． ２．如图给出４个对数函数的图象 则b＞a＞１＞d＞c＞０,即在第一象限,不同的对数 函数图象从左到右底数逐渐增大． ３．对数函数y＝logax(a＞０且a≠１)的图象恒过点 (１,０),(a,１),１a ,－１æ è ç ö ø ÷． １．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或 “×”) (１)若MN＞０,则loga(MN)＝logaM＋logaN． (×) (２)对数函数y＝logax(a＞０,且a≠１)在(０,＋∞)上 是增函数． (×) (３)函数y＝loga １＋x １－x 与函数y＝loga (１＋x)－ loga(１－x)是同一个函数． (×) (４)函数y＝log２x与y＝log１ ２ １ x 的图象重合． (√) ２．已知a＞０,a≠１,函数y＝ax 与y＝loga(－x)的图 象可能是 (　　) 解析:B　[若a＞１,则y＝ax 是增函数,y＝loga(－x) 是减函数;若０＜a＜１,则y＝ax 是减函数,y ＝loga(－x)是增函数,排除 A,C,D．由于y＝loga (－x)只能在y轴左侧,B正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６４􀅰 高考总复习　数学 A版 ３．计算:(log２９)􀅰(log３４)＝　　　　． 解析:(log２９)􀅰 (log３４)＝ lg９ lg２× lg４ lg３＝ ２lg３ lg２ × ２lg２ lg３＝４． 答案:４ ４．若对数函数f(x)经过点(４,２),则它的反函数g(x) 的解析式为　　　　． 解析:设f(x)＝logax,函数过(４,２),即f(４)＝ loga４＝２,即a＝２,f(x)＝log２x, 它的反函数g(x)的解析式为g(x)＝２x． 答案:g(x)＝２x 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P３１ 　　　对数式的运算 [例１]　(１)[多选](２０２５􀅰焦作模拟)下列等式成立 的是 (　　) A．lg２＋lg５－lg８lg５０－lg４０ ＝１ B．lg４＋lg５－１２lg０．５＋lg８＝２ C．lg１４－２lg７３＋lg７－lg１８＝０ D．(lg２)２＋lg２lg５＋lg５＝２ [解析]　lg２＋lg５－lg８lg５０－lg４０ ＝ lg１０８ lg５０４０ ＝１,A 成立; lg４＋lg５－１ ２lg０．５＋lg８＝ lg２０－１ lg０．２５＋lg８＝ １＋lg２－１ lg２ ＝１ ,B 不成立; lg１４－２lg７３＋lg７－lg１８＝ (lg７＋lg２)－(２lg７ －２lg３)＋lg７－(２lg３＋lg２)＝０,C成立; (lg２)２＋lg２lg５＋lg５＝lg２(lg２＋lg５)＋lg５＝ lg２＋lg５＝１,D不成立． [答案]　AC (２)已知１．８x＝３,y＝log０．２３,则 １ x－ １ y＝　　　　． [解析]　由题意:x＝log１．８３, １ x＝ １ log１．８３ ＝log３１．８, １ y ＝log３０．２,∴ １ x－ １ y＝log３１．８－log３０．２＝log３ １．８ ０．２ ＝log３９＝２． [答案]　２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 对数运算的一般思路 (１)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形, 化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后 利用对数运算性质化简合并． (２)合:将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运 算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数 真数的积、商、幂的运算． １．在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描 述．两颗星的星等与亮度满足m２－m１＝ ５ ２lg E１ E２ ,其中 星等为mk 的星的亮度为Ek(k＝１,２)．已知太阳的 星等是－２６．７,天狼星的星等是－１．４５,则太阳与 天狼星的亮度的比值为 (　　) A．１０１０．１ B．１０．１ C．lg１０．１ D．１０－１０．１ 解析:A　[由题意知,m１＝－２６．７,m２＝－１．４５,代 入所给公式得－１．４５－(－２６．７)＝５２lg E１ E２ ,所以 lg E１ E２ ＝１０．１,所以 E１ E２ ＝１０１０．１．] ２．[多选]已知a,b均为正实数,若logab＋logba＝ ５ ２ , ab＝ba,则ab＝ (　　) A．１２ B． ２ ２ C．２ D．２ 解析:AD　[令t＝logab,则t＋ １ t＝ ５ ２ , ∴２t２－５t＋２＝０, 即(２t－１)(t－２)＝０, ∴t＝１２ 或t＝２, ∴logab＝ １ ２ 或logab＝２, ∴a＝b２ 或a２＝b, 又∵ab＝ba, ∴２b＝b２＝a或a２＝２a＝b, ∴b＝２,a＝４或a＝２,b＝４． ∴ab＝２ 或a b＝ １ ２． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７４􀅰 第二章　函数 　　　对数函数的图象及应用 [例２]　(１)[多选]已知函数f(x)＝lnx,g(x)＝lgx, 若f(m)＝g(n),则下列结论可能成立的为 (　　) A．m＝n B．n＜m＜１ C．m＜１＜n D．１＜m＜n [解析]　根据题意在同一 直角坐标系中画出f(x)＝ lnx 与g(x)＝lgx 的 图 象,如图所示, 当x＝１ 时,此 时f(x)＝ g(x),即f(m)＝g(n),故m＝n＝１,故 A 正确; 当０＜x＜１ 时,此 时 f(x)＝g(x),即 f(m)＝ g(n),故n＜m＜１,故B正确; 当x＞１时,此时f(x)＝g(x),即f(m)＝g(n),故 １＜m＜n,故 D正确． [答案]　ABD (２)若方程４x＝logax 在 ０, １ ２ æ è ç ] 上有解,则实数a 的取值范围为　　　　． [解析]　 若 方 程 ４x ＝logax 在 ０,１２ æ è ç ] 上有解,则函数y＝４x 和函 数y＝logax 在 ０, １ ２ æ è ç ] 上有交点, 由图象知 ０＜a＜１, loga １ ２≤２ ,{ 解得０＜a≤ ２２． [答案]　 ０,２２ æ è ç ù û úú 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 对数函数图象的识别及应用方法 (１)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性 质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最 高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (２)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的 函数图象问题,利用数形结合法求解． １．(２０２５􀅰内蒙古呼和浩特统考期末)若０＜a＜１,则 函数y＝loga(|x|－１)的图象可能是 (　　) 解析:D　[因为０＜a＜１,函数g(x)＝loga(|x|－１) 满足|x|－１＞０,解得x＜－１或x＞１,即函数g(x) ＝loga (|x|－１)的 定 义 域 为 (－ ∞,－１)∪ (１,＋∞),排除 A,B,又由g(－x)＝loga(|－x|－１) ＝loga(|x|－１)＝g(x),所以函数g(x)为偶函数,所 以函数g(x)的图象关于y轴对称的偶函数,当x＞１ 时,函数g(x)＝loga(|x|－１)单调递减,排除C．] ２．(２０２５􀅰广州调研)设x１,x２,x３ 均为实数,且e－x１ ＝lnx１,e－x２＝ln(x２＋１),e－x３＝lgx３,则 (　　) A．x１＜x２＜x３ B．x１＜x３＜x２ C．x２＜x３＜x１ D．x２＜x１＜x３ 解析:D　[画出函数y＝ １e æ è ç ö ø ÷ x ,y＝lnx, y＝ln(x＋１),y＝lgx的图象,如图所示． 数形结合,知x２＜x１＜x３．] 　　　对数函数的性质及应用 ▶[角度１]　比较大小 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例３－１]　设a＝log２０．７,b＝log３０．６,c＝log０．３０．２, 则 (　　) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a [解析]　a＝log２０．７＜０,b＝log３０．６＜０,c＝log０．３０．２ ＞０,log２０．７＜log２ ２ ２＝－ １ ２＝log３ ３ ３＜log３０．６ , 所以a＜b,则a＜b＜c． [答案]　A ▶[角度２]　解对数方程、不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例３－２]　(２０２５􀅰江苏统考模拟)已知对数函数 y＝logax(a＞０,a≠１),且loga ２ a æ è ç ö ø ÷＜loga ３ a æ è ç ö ø ÷,则 关于 x 的 不 等 式 loga (２x－３)＞０ 的 解 集 为 　　　　． [解析]　[因为loga ２ a æ è ç ö ø ÷＜loga ３ a æ è ç ö ø ÷,当０＜a＜１时, 则有２ a＞ ３ a ,无解;当a＞１时,则有２a＜ ３ a ,解得: a＞１,所以a＞１,则对数函数y＝logax(a＞０,a≠１) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８４􀅰 高考总复习　数学 A版 在(０,＋∞)上单调递增,又关于x的不等式 loga(２x－３)＞０,所以２x－３＞１,解得:x＞２,所以关 于x的不等式loga(２x－３)＞０的解集为(２,＋∞)．] 答案　(２,＋∞) ▶[角度３]　对数函数性质的综合应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例３－３]　 设函数f(x)＝ log２x,x＞０, log１２ (－x),x＜０． { 若 f(a)＞f(－a),则实数a的取值范围是 (　　) A．(－１,０)∪(０,１) B．(－∞,－１)∪(１,＋∞) C．(－１,０)∪(１,＋∞) D．(－∞,－１)∪(０,１) [解析]　由题意得 a＞０, log２a＞－log２a{ 或 a＜０, －log２(－a)＞log２(－a),{ 解得a＞１或－１＜a＜０． [答案]　C ▶[角度４]　利用对数函数单调性求参数的取值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 范围 􀪋􀪋 [例３－４]　(２０２５􀅰东北师大附中模拟)已知函数 f(x)＝log１２ (x ２－ax－a)对任意两个不相等的实数 x１,x２∈ －∞,－ １ ２ æ è ç ö ø ÷ 都满足不等式f (x２)－f(x１) x２－x１ ＞ ０,则实数a的取值范围为　　　　． [解析]　由于f(x)满足:对任意两个不相等的实 数x１,x２∈ －∞,－ １ ２ æ è ç ö ø ÷都满足不等式 f(x２)－f(x１) x２－x１ ＞０,所以f(x)在区间 －∞,－１２ æ è ç ö ø ÷ 上 单调递增． y＝log１２x在(０,＋∞)上单调递减; g(x)＝x２－ax－a的开口向上,对称轴为x＝a２ , 所以 a ２≥－ １ ２ , g －１２ æ è ç ö ø ÷＝１４＋ １ ２a－a＝ １ ４－ １ ２a≥０ , ì î í ï ï ï ï 解得－１≤a≤１２ , 所以a的取值范围是 －１,１２[ ]． [答案]　 －１,１２[ ] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 (１)比较对数值的大小的方法 ①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调 性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底 数进行分类讨论; ②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式 化为同底后,再进行比较; ③若底数与真数都不同,则常借助１,０等中间 量进行比较． (２)解对数不等式的类型及方法 ①形如logax＞logab的不等式,借助y＝logax的 单调性求解,如果a的取值不确定,需分a＞１与０ ＜a＜１两种情况讨论; ②形如logax＞b的不等式,需先将b化为以a 为底的对数式的形式再进行求解． (３)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的 步骤 １．(２０２５􀅰咸阳调研)已知a＝log３ １ ２ ,b＝３０．７,c＝sin３, 则 (　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a 解析:D　[因为log３ １ ２＜log３１＝０ ,所以a＜０, 因为３０．７＞３０＝１,所以b＞１, 因为π ２＜３＜π ,所以０＜sin３＜１,即０＜c＜１, 所以b＞c＞a．] ２．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝(x＋a)ln(x＋ b)．若f(x)≥０．则a２＋b２ 的最小值为 (　　) A．１８ B． １ ４ C． １ ２ D．１ 解析:C　[当x＜－a时x＋a＜０,当x＞－a时x ＋a＞０,当x＜１－b时ln(x＋b)＜０, 当x＞１－b时ln(x＋b)＞０,所以要f(x)恒非负, 必须－a＝１－b,即b－a＝１, 所以a２＋b２＝ (a－b)２＋(a＋b)２ ２ ≥ １ ２ , 当且仅当a＝－１２ ,b＝１２ 时取等号．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９４􀅰 第二章　函数