课时5 一元二次方程、不等式-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版2019）

课时冲关５　一元二次方程、不等式 对应学生用书　P２０９ [基础巩固练] 一、单选题 １．一元二次不等式－２x２＋５x－２＞０的解集是 (　　) A．x x＞１２{ } B．x １ ２＜x＜２{ } C．{x|x＜２} D．R 解析:B　[不等式－２x２＋５x－２＞０即２x２－５x ＋２＜０可化为(２x－１)(x－２)＜０, 解得１ ２＜x＜２ , 所以不等式的解集为 x １２＜x＜２{ }．] ２．不等式２－xx ≥１ 的解为 (　　) A．{x|０＜x≤１} B．{x|x＜０或x≥１} C．{x|０≤x≤１} D．{x|x≤０或x≥１} 解析:A　[由２－xx ≥１ ,得２－x x －１≥０ ,即２－２x x ≥０,因此 x(１－x)≥０ x≠０{ ,解得０＜x≤１, 所以原不等式的解集为{x|０＜x≤１}．] ３．若 ０＜t＜１,则 关 于 x 的 不 等 式 (t－x) x－１t æ è ç ö ø ÷＞０的解集为 (　　) A．x|１t＜x＜t{ } B．x|x＞ １ t ,或x＜t{ } C．x|x＜１t ,或x＞t{ } D．x|t＜x＜１t{ } 解析:D　[因为０＜t＜１,所以t＜１t ,所以(t－x) x－１t æ è ç ö ø ÷＞０⇔(x－t)x－１t æ è ç ö ø ÷ ＜０,解 得t＜x ＜１t． ] ４．“一元二次方程(x－a)(x－a－１)＝０有一个正 实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条 件是 (　　) A．－２＜a＜０ B．－１＜a＜０ C．－１２＜a＜０ D．－１≤a≤０ 解析:C　[由一元二次方程(x－a)(x－a－１) ＝０的两个根为a,a＋１, 又方程有一个正实数根和一个负实数根, ∴ a＜０ a＋１＞０{ ,∴－１＜a＜０, 即“一元二次方程(x－a)(x－a－１)＝０有一个 正实数根和一个负实数根”的充要条件为a∈ (－１,０), 则其充分不必要条件a的范围应为(－１,０)的 真子集, 结合选项可得选项C符合题意．] ５．若关于x的不等式x２－(m＋２)x＋２m＜０的解 集中恰有３个正整数,则实数m 的取值范围为 (　　) A．[５,６] B．(５,６] C．[５,６) D．(５,６) 解析:B　[关于x的不等式x２－(m＋２)x＋２m ＜０可化为(x－m)(x－２)＜０, 该不 等 式 的 解 集 中 恰 有 ３ 个 正 整 数,所 以 m ＞２, ∴不等式的解集为{x|２＜x＜m},且５＜m≤６, 即实数m 的取值范围是(５,６]．] ６．当x∈(－１,１)时,不等式２kx２－kx－３８＜０ 恒 成立,则k的取值范围是 (　　) A．(－３,０) B．[－３,０) C．－３,１８ æ è ç ö ø ÷ D．－３,１８ æ è ç ] 解析:D　[当x∈(－１,１)时,不等式２kx２－kx －３８＜０ 恒成立, 当k＝０时,满足不等式恒成立; 当k≠０时,令f(x)＝２kx２－kx－３８ ,则f(x)＜ ０在(－１,１)上恒成立, 函数f(x)的图象抛物线对称轴为x＝１４ , k＞０时,f(x)在 －１,１４ æ è ç ö ø ÷上单调递减, 在 １ ４ ,１æ è ç ö ø ÷上单调递增, 则有 f(－１)＝２k＋k－３８≤０ f(１)＝２k－k－３８≤０ ì î í ï ï ï ï ,解得０＜k≤１８ ; k＜０时,f(x)在 －１,１４ æ è ç ö ø ÷上单调递增, 在 １ ４ ,１æ è ç ö ø ÷上单调递减, 则有f １４ æ è ç ö ø ÷＝２k１６－ k ４－ ３ ８＜０ ,解得－３＜k＜０． 综上可知,k的取值范围是 －３,１８ æ è ç ]．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７９２􀅰 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 二、多选题 ７．不等式ax２－bx＋c＞０的解集是{x|－２＜x＜１}, 则下列选项正确的是 (　　) A．b＜０且c＞０ B．不等式bx－c＞０的解集是{x|x＞２} C．a＋b＋c＞０ D．不等式ax２＋bx＋c＞０的解集是{x|－１＜x＜２} 解析:BCD　[对于 A,a＜０,－２,１是方程ax２ －bx＋c＝０的两个根,所以１－２＝－１＝ba , －２×１＝ca ,所以b＝－a,c＝－２a,所以b＞０,c ＞０,所以 A 错误; 对于B,bx－c＝bx－２b＝b(x－２),由b＞０可得 不等式解集为{x|x＞２},所以B正确; 对于C,当x＝－１时,ax２－bx＋c＞０,a＋b＋c ＞０,所以C正确; 对于 D,由题得ax２＋bx＋c＝ax２－ax－２a＞０, 因为a＜０,所以x２－x－２＜０,所以－１＜x＜２, 所以不等式ax２＋bx＋c＞０的解集是{x|－１＜ x＜２},所以 D正确．] ８．(２０２５􀅰南平模拟)下列命题正确的是 (　　) A．若关于x的方程x２＋(a２－１)x＋a－２＝０的 一根比１大且另一根比１小,则a的取值范 围是－２＜a＜１ B．若关于x的不等式x２－kx＋k－１＜０在(１,２) 上恒成立,则实数k的取值范围是k＜３ C．若关于 x 的不等式ax－b＞０ 的解集是 (１,＋∞),则关于x的不等式ax＋bx－２＞０ 的解 集是{x|x＞２或x＜－１} D．若１a＋ ２ b＝１ (a＞０,b＞０),则１ a２ ＋４ b２ 的最小 值为１ ２ 解析:ACD　[对于 A,二次函数f(x)＝x２＋ (a２－１)x＋a－２,开口向上, 若关于x的方程x２＋(a２－１)x＋a－２＝０的一 根比１大且另一根比１小, 则f(１)＝１＋(a２－１)＋a－２＝a２＋a－２＜０,解 得－２＜a＜１,故 A 正确; 对于B,若关于x 的不等式x２－kx＋k－１＜０ 在(１,２)上恒成立, 则只需k(x－１)＞x２－１,即k＞x＋１在(１,２)上 恒成立即可, 则实数k的取值范围是k≥３,故B错误; 对于C,若关于x的不等式ax－b＞０的解集是 (１,＋∞),则a＞０,a＝b, 所以关于x 的不等式ax＋bx－２＞０⇔ x＋１ x－２＞０⇔x ＜－１或x＞２,故C正确; 对于 D,若１a＋ ２ b＝１ (a＞０,b＞０),则１a＋ ２ b＝ １≥２ ２ab ,解得４ ab≤ １ ２ ,等号成立当且仅当a＝ ２,b＝４, 所以１ a２ ＋４ b２ ＝ １a＋ ２ b æ è ç ö ø ÷ ２ －４ab＝１－ ４ ab≥１－ １ ２ ＝１２ ,等 号 成 立 当 且 仅 当 a＝２,b＝４,故 D 正确．] 三、填空题 ９．(２０２５􀅰鄂尔多斯模拟)已知关于x的不等式x２ －２ax－a＞０的解集为R,则实数a的取值范围 是　　　　． 解析:因为关于x 的不等式x２－２ax－a＞０的 解集为R, 所以Δ＝４a２＋４a＜０,解得－１＜a＜０, 即实数a的取值范围是(－１,０)． 答案:(－１,０) １０．已 知 不 等 式 ax２ －bx－１＞０ 的 解 集 是 x|－１２＜x＜－ １ ３{ },则不等式x ２－bx－a≥０ 的解集是　　　　． 解析:因 为 不 等 式ax２ －bx－１＞０ 的 解 集 是 x|－１２＜x＜－ １ ３{ }, 所以－１２ ,－１３ 是方程ax２－bx－１＝０的两个 实数根且a＜０． 所以 b a＝－ １ ２－ １ ３＝－ ５ ６ , －１a＝－ １ ２× － １ ３ æ è ç ö ø ÷＝１６ , ì î í ï ï ï ï 解得 a＝－６, b＝５．{ 所以不等式x２－bx－a≥０可化为x２－５x＋６ ≥０,解得x≤２或x≥３,即不等式x２－bx－a ≥０的解集为(－∞,２]∪[３,＋∞)． 答案:(－∞,２]∪[３,＋∞) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８９２􀅰 高考总复习　数学 A版 四、解答题 １１．已知不等式ax２－３x＋２＞０的解集为{x|x＜ １,或x＞b}． (１)求实数a,b的值; (２)解不等式３＋axbx＋１＞２． 解:(１)由题意得１,b为方程ax２－３x＋２＝０ 的两根,且a＞０, 故１＋b＝３a ,b＝２a ,解得a＝１,b＝２; (２)由(１)得a＝１,b＝２, ３＋x ２x＋１＞２⇒ ３＋x ２x＋１－２＞０⇒ １－３x ２x＋１＞０ , 等价于(１－３x)(２x＋１)＞０,解得－１２＜x＜ １ ３ , 所以不等式的解集为 x －１２＜x＜ １ ３{ } １２．已知关于x的不等式kx２－(３k２＋１)x＋３k＜０ (其中k∈R)． (１)若不等式的解集为{x|１＜x＜３},求k 的值; (２)若k≤０,试求该不等式的解集． 解:(１)由条件知k＞０ 且 １,３ 是 方 程kx２－ (３k２＋１)x＋３k＝０的两个根, 所以由韦达定理可得１＋３＝３k ２＋１ k ,１×３＝ ３k k ,解得k＝１或１３ , 当k＝１或１３ 时,方程均化为x２－４x＋３＝０,此 时Δ＝４２－４×３＝４＞０, 符合条件,所以k＝１或１３． (２)因式分解得(kx－１)(x－３k)＜０ 当k＝０时,不等式为－x＜０,解集为{x|x＞０}; 当k＜０时,方程(kx－１)(x－３k)＝０的根为 １ k ,３k． 作差比较３k－１k＝ ３k２－１ k ＝ (３k－１)(３k＋１) k 若－ ３３＜k＜０ ,则y＝(kx－１)(x－３k)开口向 下且３k＞１k , 不等式的解集为 x x＜１k 或x＞３k{ }; 若k＝－ ３３ ,则y＝(kx－１)(x－３k)的图象开 口向下且与x轴有唯一公共点(－ ３,０), 故不等式的解集为{x|x≠－ ３}; 若k＜－ ３３ ,则y＝(kx－１)(x－３k)开口向下 且３k＜１k , 不等式的解集为 x x＜３k或x＞１k{ }． 综上所述,k＝０时,解集为{x|x＞０};－ ３３＜k ＜０时,解集为 x x＜１k 或x＞３k{ }; k＝－ ３３ 时,解集为{x|x≠－ ３};k＜－ ３３ 时, 解集为 x x＜３k或x＞１k{ }． [能力提升练] １３．已知不等式x２－ax＋１＜０的解集为{x|x１＜x＜ x２},且(x１－１)２＋(x２－１)２＝３,则a＝ (　　) A．－１ B．１ C．３ D．－１或３ 解析:C　[不等式x２－ax＋１＜０的解集为{x| x１＜x＜x２},则x１ 和x２ 是方程x２－ax＋１＝０ 的两根, 则Δ＝a２－４＞０,解得a＞２或a＜－２, 有x２１＋１＝ax１,x２２＋１＝ax２,x１＋x２＝a,x１x２＝１, (x１－１)２＋(x２－１)２＝x２１－２x１＋１＋x２２－２x２ ＋１＝ax１－２x１＋ax２－２x２ ＝(a－２)(x１＋x２)＝a(a－２)＝３, 即a２－２a－３＝０,解得a＝３．] １４．一般地,把b－a称为区间(a,b)的“长度”,已 知关于x的不等式x２－kx＋２k＜０有实数解, 且解集区间长度不超过３个单位,则实数k的 取值范围为　　　　． 解析:不等式x２－kx＋２k＜０有实数解等价于 x２－kx＋２k＝０有两个不相等的实数根,则Δ ＝(－k)２－８k＞０,解得k＞８或k＜０． 设x２－kx＋２k＝０的两根为x１,x２,不妨令x１ ＜x２,则x１＋x２＝k,x１x２＝２k． 由题 意 得:x２ －x１ ＝ (x２＋x１)２－４x１x２ ＝ k２－８k≤３,解得:－１≤k≤９,结合k＞８或k＜０, 所以实数k的取值范围为[－１,０)∪(８,９]． 答案:[－１,０)∪(８,９] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９９２􀅰 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式