课时4 基本不等式-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版2019）

课时冲关４　基本不等式 对应学生用书　P２０７ [基础巩固练] 一、单选题 １．已知m＞０,n＞０,mn＝８１,则m＋n的最小值是 (　　) A．９ B．１８ C．９ ３ D．２７ 解析:B　[因为m＞０,n＞０,由基本不等式m＋ n≥２ mn得, m＋n≥１８,当且仅当m＝n＝９时等号成立, 所以m＋n的最小值是１８．] ２．设x＞０,则函数y＝x ２＋x＋２５ x 的最小值为(　　) A．６ B．７ C．１０ D．１１ 解析:D　[∵x＞０,∴y＝x ２＋x＋２５ x ＝x＋ ２５ x＋１≥ ２ x􀅰２５x＋１＝１１ , 当且仅当x＝２５x ,即x＝５时,等号成立, 所以函数y＝x ２＋x＋２５ x 的最小值为１１．] ３．已知正数a,b满足１a＋ ２ b＝１ ,则a＋２b的最小 值为 (　　) A．９ B．６ C．４ D．３ 解析:A　[因正数a,b满足１a＋ ２ b＝１ , 则a＋２b＝(a＋２b) １a＋ ２ b æ è ç ö ø ÷＝１＋２ab ＋ ２b a ＋４ ≥５＋２ ２ba 􀅰２a b ＝９ , 当且仅当２b a＝ ２a b ,即a＝３,b＝３, 所以当a＝３,b＝３时,a＋２b取得最小值９．] ４．(２０２５􀅰保定模拟)已知ab＞０且a＋２b＝１,则 a２＋２b＋１ ab 的最小值是 (　　) A．１２ B．１６ C．１５ D．１４ 解析:D　[因 为a＋２b＝１,所 以a ２＋２b＋１ ab ＝ a２＋４b＋a ab ＝ a２＋(４b＋a)(a＋２b) ab ＝６＋ ８b a＋ ２a b , 又ab＞０,所以ba ＞０ ,a b ＞０ ,所以a ２＋２b＋１ ab ＝ ６＋８ba＋ ２a b ≥６＋２ ８b a× ２a b ＝６＋８＝１４ , 当且仅当a＝２b＝１２ 时等号成立,即a ２＋２b＋１ ab 的最小值是１４．] ５．(２０２５􀅰贵阳模拟)已知a＞０,b＞０,且a＋２b＝ ２,若３t２－t≤ba＋ ２ b 恒成立,则实数t的取值范 围是 (　　) A．－２３ ,１[ ] B．－１,２３[ ] C．－４３ ,１[ ] D．－１,４３[ ] 解析:D　[已知a＞０,b＞０,则ab＞０ ,b a＞０ , 因为 b a ＋ ２ b ＝ b a ＋ a＋２b b ＝ b a ＋ a b ＋２≥ ２ ba 􀅰a b ＋２＝４ , 当且仅当a b ＝ b a 时等号成立,由 a＋２b＝２ a＝b＞０{ ,解 得a＝b＝２３． 故b a＋ ２ b 的最小值为４． 因为３t２－t≤ba＋ ２ b 恒成立, 所以３t２－t≤４,即(３t－４)(t＋１)≤０, 解得－１≤t≤４３ ,即t∈ －１,４３[ ]．] ６．(２０２５􀅰重庆模拟)对于正数a,b,有(２ab＋１)(a ＋b)＝６ab,则a＋b的取值范围是 (　　) A．(０,１] B．[１,３] C．[１,２] D．[２,＋∞] 解析:C　[由题可知:a＋b＝ ６ab２ab＋１＝３－ ３ ２ab＋１ , 因 为 a,b 都 是 正 数,所 以 ab≤ a＋b２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ (a＋b)２ ４ (当且仅当a＝b时取等), 所以 a＋b＝３－ ３２ab＋１≤３－ ３ ２ (a＋b)２ ４ ＋１ (当且仅当a＝b时取等), 化简可得(a＋b)２－３(a＋b)＋２≤０,解得１≤a ＋b≤２,故C正确．] 二、多选题 ７．(２０２５􀅰赤峰模拟)设a＞０,b＞０,a＋b＝１,则下 列结论正确的是 (　　) A．ab的最大值为１４ B．a２＋b２ 的最小值为１ C．４a＋ １ b 的最小值为９ D．a＋b的最小值为 ３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４９２􀅰 高考总复习　数学 A版 解析:AC　[对于 A,因为a＞０,b＞０,a＋b＝１, 则ab≤ a＋b２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１４ , 当且仅当a＝b＝１２ 时取等号,故 A 正确; 对于B,因为 a＋b２ æ è ç ö ø ÷ ２ ≤a ２＋b２ ２ ,故a２＋b２≥１２ , 当且仅当a＝b＝１２ 时取等号, 即a２＋b２ 的最小值１２ ,故B不正确; 对于C,４a＋ １ b＝ ４ a＋ １ b æ è ç ö ø ÷(a＋b)＝５＋４ba ＋ a b ≥５＋２ ４ba 􀅰a b ＝９ , 当且仅当４b a＝ a b 且a＋b＝１,即b＝１３ ,a＝２３ 时 取等号, 所以４ a＋ １ b 的最小值为９,故C正确; 对于 D,(a＋b)２＝１＋２ ab≤１＋２×１２＝２ , 故 a＋b≤ ２, 当且仅当a＝b＝１２ 时取等号,即 a＋ b的最大 值 ２,故 D错误．] ８．已知a,b为正实数,且ab＋２a＋b＝１６,则 (　　) A．２a＋b的最小值为８ B．１a＋１＋ １ b＋２ 的最小值为 ２ ２ C．ab的最大值为２ ２ D．b＋ １９－a 的最小值为６ ２－１ １０ 解析:AD　[对于选项 A,由１６＝ab＋２a＋b,得 b＝１６－２aa＋１ ＝ １８ a＋１－２ , 所以２a＋b＝２a＋ １８a＋１－２＝２ (a＋１)＋ １８a＋１－ ４≥２ ２(a＋１)􀅰 １８a＋１－４＝８ , 当且仅当２(a＋１)＝ １８a＋１ ,即a＝２,b＝４时取等 号,所以选项 A 正确, 对于选项B,因为ab＋２a＋b＝１６,所以 １a＋１＋ １ b＋２ ≥２ １a＋１ 􀅰 １ b＋２＝２ １ ab＋２a＋b＋２＝ ２ ３ , 当且仅当a＋１＝b＋２时取等号,此时 １a＋１＋ １ b＋２ 取得最小值 ２ ３ ,所以选项B错误, 对于选项C,因为１６＝ab＋２a＋b≥ab＋２ ２ab, 当且仅当２a＝b,即a＝２,b＝４时取等号, 又 ab＞０,解不等式得０＜ ab≤２ ２,即０＜ ab≤８,得到ab的最大值为８,所以选项C错误, 对于选项 D,由选项 A 知b＝ １８a＋１－２ ,所以b＋ １ ９－a＝ １８ a＋１＋ １ ９－a－２ ＝ １８a＋１＋ １ ９－a æ è ç ö ø ÷ a＋１ １０ ＋ ９－a １０ æ è ç ö ø ÷－２ ＝１８ (９－a) １０(a＋１)＋ a＋１ １０(９－a)－ １ １０≥２ １８ １００－ １ １０ ＝６ ２－１１０ , 当且仅当１８(９－a) １０(a＋１)＝ a＋１ １０(９－a) ,即a＝１６３±３０ ２１７ 时取等号,当a＝１６３＋３０ ２１７ 时,b＜０,故舍去, 此时b＋ １９－a 取得最小值６ ２－１ １０ ,所以选项 D 正确．] 三、填空题 ９．(２０２５􀅰南京模拟)已知x＞１２ ,则x＋ １２x－１ 的 最小值为　　　　． 解析:由于x＞１２ ,所以x－１２＞０ ,２x－１＞０, 所 以 x＋ １２x－１＝x－ １ ２ ＋ １ ２x－１＋ １ ２ ≥ ２ x－１２ æ è ç ö ø ÷× １２x－１＋ １ ２＝ ２＋ １ ２ , 当且仅当x－１２＝ １ ２x－１ ,x＝ ２＋１２ 时等号成立, 所以x＋ １２x－１ 的最小值为１ ２＋ ２． 答案:１ ２＋ ２ １０．若当x＞１时,不等式x＋ １x－１≥２m－１ 恒成 立,则实数m 的取值范围是　　　　． 解析:因为x＞１,所以x＋ １x－１＝x－１＋ １ x－１ ＋１≥２ (x－１)× １x－１＋１＝３ , 当且仅当x－１＝ １x－１ ,即x＝２时,等号成立, 故只需３≥２m－１,解得m≤２,所以实数m 的 取值范围是(－∞,２]． 答案:(－∞,２] 四、解答题 １１．已知a＞０,b＞０,且２a＋b＝ab． (１)求ab的最小值; (２)证明:a＋２b≥９． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５９２􀅰 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 解:(１)因为２a＋b＝ab,所以１a＋ ２ b＝１ , a＞０,b＞０,故１＝１a＋ ２ b≥２ ２ ab ,当且仅当１ a ＝２b＝ １ ２ ,即a＝２,b＝４时取等号, 所以ab≥８,即ab的最小值为８; (２)证明: a＋２b＝(a＋２b) １a＋ ２ b æ è ç ö ø ÷＝５＋２ba ＋ ２a b ≥５＋ ２ ２ba 􀅰２a b ＝９ , 当且仅当２b a＝ ２a b ,即a＝b＝３时取等号,所以a ＋２b≥９． １２．某学校设计如图所示的环状田径场,该田径场 的内圈由两条平行线段(图中的AB,DC)和两 个半圆构成,设AB 为x m,且x≥８０． (１)若图中矩形ABCD 的面积为１６２００π m ２,则 当x取何值时,内圈的周长最小? (２)若内圈的周长为４００m,则当x取何值时, 矩形ABCD 的面积最大? 解:(１)S矩形ABCD＝ １６２００ π , 则AD＝ １６２００ π x ＝ １６２００ πx (x≥８０), 则内圈的周长为２x＋π􀅰１６２００πx ＝２x＋ １６２００ x ≥２ ２x􀅰１６２００x ＝３６０ , 当且仅当 ２x＝１６２００x , x≥８０,{ 即x＝９０时,内圈的周长取得最小值,为３６０m． (２)若内圈的周长为４００m, 则AD＝４００－２xπ , 则S矩形ABCD＝AB􀅰AD＝x􀅰 ４００－２x π ＝－２ (x－１００)２＋２００００ π , 故当x＝１００时,矩形 ABCD 的面积最大,为 ２００００ π m ２． [能力提升练] １３．(２０２５􀅰河南驻马店模拟)已知a＞０,b＞０,且 １ a＋１＋ ２ １＋b＝１ ,那么a＋b的最小值为 (　　) A．２ ２－１ B．２ C．２ ２＋１ D．４ 解析:C　[因为a＞０,b＞０,１a＋１＋ ２ １＋b＝１ , 则a＋b＝a＋１＋b＋１－２＝(a＋１＋b＋１) １ a＋１＋ ２ １＋b æ è ç ö ø ÷－２ ＝３＋２ (a＋１) １＋b ＋ b＋１ a＋１－２ ＝２ (a＋１) １＋b ＋ b＋１ a＋１＋１≥２ ２(a＋１) １＋b 􀅰b＋１ a＋１＝ ２ ２＋１． 当 且 仅 当 ２(a＋１) １＋b ＝ b＋１ a＋１ , １ a＋１＋ ２ １＋b＝１ , ì î í ï ï ïï 即 a＝ ２, b＝１＋ ２{ 时 取等．] １４．若x１、x２、􀆺、x２０２４均为正实数,则x１＋ x２ x１ ＋ x３ x１x２ ＋ x４ x１x２x３ ＋􀆺＋ x２０２４ x１x２􀆺x２０２３ ＋ ４x１x２􀆺x２０２４ 的最小 值为　　　　． 解析:原式＝ ４x１x２􀆺x２０２４ ＋ x２０２４ x１x２􀆺x２０２３ ＋􀆺＋ x４ x１x２x３ ＋ x３ x１x２ ＋ x２ x１ ＋x１ ≥２ ４x１x２􀆺x２０２４ 􀅰 x２０２４ x１x２􀆺x２０２３ ＋ x２０２３ x１x２􀆺x２０２２ ＋􀆺＋ x４ x１x２x３ ＋ x３ x１x２ ＋ x２ x１ ＋x１ ＝ ４x１x２􀆺x２０２３ ＋ x２０２３ x１x２􀆺x２０２２ ＋􀆺＋ x４ x１x２x３ ＋ x３ x１x２ ＋ x２ x１ ＋x１ ≥２ ４x１x２􀆺x２０２３ 􀅰 x２０２３ x１x２􀆺x２０２２ ＋􀆺＋ x４ x１x２x３ ＋ x３ x１x２ ＋ x２ x１ ＋x１ ＝ ４x１x２􀆺x２０２２ ＋􀆺＋ x４ x１x２x３ ＋ x３ x１x２ ＋ x２ x１ ＋x１ ≥􀆺≥４x１ ＋x１≥２ ４ x１ 􀅰x１＝４, 当且仅当４ xi ＝xi(i＝１,２,３,􀆺,２０２４,xi＞０)时, 即当x１＝x２＝􀆺＝x２０２３＝２时,等号成立, 故x１＋ x２ x１ ＋ x３ x１x２ ＋ x４ x１x２x３ ＋􀆺＋ x２０２４ x１x２􀆺x２０２３ ＋ ４x１x２􀆺x２０２４ 的最小值为４． 答案:４ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６９２􀅰 高考总复习　数学 A版