课时3 等式性质与不等式性质-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版2019）

课时冲关３　等式性质与不等式性质 对应学生用书　P２０５ [基础巩固练] 一、单选题 １．已知P＝a２＋３a＋３,Q＝a＋１,则P 与Q 的大 小关系为 (　　) A．P＜Q B．P＝Q C．P＞Q D．P≤Q 解析:C　[由题意知,P－Q＝a２＋３a＋３－(a＋ １)＝a２＋２a＋２＝(a＋１)２＋１＞０,所以P＞Q．] ２．“a＞b”的一个充分条件是 (　　) A．ea－b＞０ B．lnab＞０ C．aa＞bb D．１a＜ １ b＜０ 解析:D　[对于 A,根据ea－b＞０得a－b为任意 实数,故 A 错误;对于 B,由lnab ＞０＝ln１ ,得 a b＞１ ,当a＞０且b＞０时,有a＞b;当a＜０且b ＜０时,有a＜b,不满足题意,故B错误;对于C, 因为a＝２＞b＝１满足aa＞bb,a＝－２３＜b＝１ 也满足aa＞bb,不满足题意,故 C错误;对于 D, 因为１ a＜ １ b＜０ ,所以０＞a＞b,所以能推出a＞ b,满足题意,故 D正确．] ３．若－π＜α＜β＜π,则α－β的取值范围是 (　　) A．－２π＜α－β＜２π B．０＜α－β＜２π C．－２π＜α－β＜０ D．{０} 解析:C　[因为－π＜β＜π,所以－π＜－β＜π, 又－π＜α＜π,所以－２π＜α－β＜２π, 又α＜β,所以α－β＜０,所以－２π＜α－β＜０．] ４．x＜y＜０,则下列不等式不成立的是 (　　) A．１－x２＜１－y２ B．x２n＋１＜y２n＋１(n∈N) C．１x＜ １ y D． y x＋y＞０ 解析:C　[x２－y２＝(x＋y)(x－y), ∵x＜y＜０,所以x＋y＜０,x－y＜０, 所以x２－y２＞０,即x２＞y２,所以１－x２＜１－ y２,故 A 正确; ∵x＜y＜０,所以x２＞y２＞０, 所以(x２)n＞(y２)n＞０,即x２n＞y２n＞０, 所以x２n＋１＜y２n＋１(n∈N),故B正确; １ x－ １ y＝ y－x xy ,∵y－x＞０,xy＞０, 所以１ x－ １ y＞０ ,所以１ x＞ １ y ,故C错误; ∵y＜０,x＋y＜０,所以 yx＋y＞０ ,故 D正确．] ５．(２０２５􀅰来宾模拟)黄金不仅可以制成精美的首 饰佩戴,还因其价值高,并且是一种稀少的资 源,长久以来也是一种投资工具．小李计划投资 黄金,根据自身实际情况,他决定分两次进行购 买,并且制定了两种不同的方案:方案一是每次 购入一定数量的黄金:方案二是每次购入一定 金额的黄金．已知黄金价格并不稳定,所以他预 设两次购入的单价不同．现假设他两次购入的 单价分别为a１,a２,且a１≠a２,则下列说法正确 的是 (　　) A．当且仅当a１＞a２ 时,方案一的平均购买成本 比方案二更低 B．当且仅当a１＞a２ 时,方案二的平均购买成本 比方案一更低 C．无论a１,a２ 的大小关系如何,方案一的平均 购买成本比方案二更低 D．无论a１,a２ 的大小关系如何,方案二的平均 购买成本比方案一更低 解析:D　[方案一:设每次购入的黄金数量为 m,则平均购买成本x＝ ma１＋ma２ ２m ＝ a１＋a２ ２ ; 方案二:设每次购入的黄金金额为n,则平均购 买成本为y＝ ２nn a１ ＋na２ ＝ ２nn(a１＋a２) a１a２ ＝ ２a１a２ a１＋a２ , 所以x－y＝ a１＋a２ ２ － ２a１a２ a１＋a２ ＝ (a１＋a２)２－４a１a２ ２(a１＋a２) ＝ (a１－a２)２ ２(a１＋a２) , 且a１≠a２,则x－y＝ (a１－a２)２ ２(a１＋a２) ＞０,即x＞y, 无论a１,a２ 的大小关系如何,方案二的平均购买 成本比方案一更低．] ６．已知－１≤x＋y≤１,１≤x－y≤３,则８x􀅰 １２ æ è ç ö ø ÷ y 的取值范围是 (　　) A．[２,２８] B．１２ ,２８[ ] C．[２,２７] D．１２ ,２７[ ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１９２􀅰 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 解析:C　[令３x－y＝s(x＋y)＋t(x－y)＝(s＋t) x＋(s－t)y(s,t∈R),则 s＋t＝３, s－t＝－１,{ ∴ s＝１, t＝２．{ ∵－１≤x＋y≤１①,１≤x－y≤３,∴２≤２(x－y) ≤６②,①＋②得１≤３x－y≤７．故８x􀅰 １２ æ è ç ö ø ÷ y ＝ ２３x－y∈[２,２７]．] 二、多选题 ７．(２０２５􀅰蚌埠模拟)已知c＞b＞a,则 (　　) A．c＋b＞２a B．１c－b＞ １ c－a C．bc－b＞ a c－a D． a b＜ c a 解析:AB　[对于选项 A,因为c＞b＞a,所以c ＋b＞２a,故选项 A 正确; 对于选项B,因为c＞b＞a,所以c－a＞c－b＞ ０,所以 １c－b＞ １ c－a＞０ ,故选项B正确; 对于选项C,取a＝－３,b＝－２,c＝－１时,满足 c＞b＞a, 此 时 b c－b＝ －２ －１＋２＝ －２ , a c－a＝ －３ －１＋３＝ －３２ ,b c－b＜ a c－a ,故选项C错误; 对于选项 D,当c＝１,b＝－１,a＝－２时,ab＝２ , c a＝ １ －２＝－ １ ２ ,此时a b＞ c a ,故选项 D错误．] ８．已知２＜a＋b＜５,０＜a－b＜１,某同学求出了如 下结论,则下列判断中正确的是 (　　) A．１＜a＜３ B．１２＜b＜ ５ ２ C．－４＜a－２b＜２ D．１＜２a－b＜４ 解析:ABD　[对于 A,因为a＝１２ (a＋b)＋１２ (a －b), 所以由２＜a＋b＜５,０＜a－b＜１可得１＜１２ (a ＋b)＜５２ ,０＜１２ (a－b)＜１２ , 则１＜a＜３,故正确; 对于B,因为b＝１２ (a＋b)－１２ (a－b),１＜１２ (a ＋b)＜５２ ,０＜１２ (a－b)＜１２ 即－１２＜－ １ ２ (a－ b)＜０, 所以１ ２＜b＜ ５ ２ ,故正确; 对于C,因为a－２b＝－１２ (a＋b)＋３２ (a－b), －５２＜－ １ ２ (a＋b)＜－１,０＜３２ (a－b)＜３２ , 所以－５２＜a－２b＜ １ ２ ,故不正确; 对于 D,因为２a－b＝１２ (a＋b)＋３２ (a－b),１＜ １ ２ (a＋b)＜５２ ,０＜３２ (a－b)＜３２ ,所以１＜２a－ b＜４,故正确．] 三、填空题 ９． １　　　　　 　　　　 　５－２ 　　　　 １　　　　　　 　　　　　 　６－ ５ ．(填“＞”“＜”或“＝”) 解析:分母有理化有 １　　　　　 　　　　 　５－２ ＝ ５＋２, １　　　　　　 　　　　　 　６－ ５ ＝ ６＋ ５, 显然 ５＋２＜ ６＋ ５,所以 １　　　　　 　　　　 　５－２ ＜ １　　　　　　 　　　　　 　６－ ５ ． 答案:＜ １０．已知实数a＞b＞c,且a＋b＋c＝０,则ca 的取值 范围是　　　　． 解析:因为a＞b＞c,且a＋b＋c＝０,可得a＞ ０,b＝－(a＋c), 所以a＞－a－c＞c,两边除以a, 有１＞－１－ca＞ c a ,得－２＜ca＜－ １ ２ , 所以c a 的取值范围是 －２,－１２ æ è ç ö ø ÷． 答案:－２,－１２ æ è ç ö ø ÷ 四、解答题 １１．证明下列不等式: (１)已知a＞b＞c＞d,求证:１a－d＜ １ b－c ; (２)已知a＞b＞０,c＜d＜０,e＜０,求证:ea－c ＞ eb－d． 解:(１)∵a＞b＞c＞d,即a＞b,－d＞－c, ∴a－d＞b－c＞０,则 １a－d＜ １ b－c． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２９２􀅰 高考总复习　数学 A版 (２)∵a＞b＞０,c＜d＜０,e＜０, ∴－c＞－d＞０, ∴a－c＞b－d＞０,b－a＜０,c－d＜０, 则 e a－c － e b－d ＝ e(b－d)－e(a－c) (a－c)(b－d) ＝ e(b－d－a＋c) (a－c)(b－d)＝ e(b－a＋c－d) (a－c)(b－d)＞０ , ∴ ea－c＞ e b－d． １２．(２０２５􀅰枣庄模拟)对于四个正数m、n、p、q,若 满足mq＜np,则称有序数对(m,n)是(p,q)的 “下位序列”． (１)对于２、３、７、１１,有序数对(３,１１)是(２,７)的 “下位序列”吗? 请简单说明理由; (２)设a、b、c、d 均为正数,且(a,b)是(c,d)的 “下位序列”,试判断a b 、c d 、a＋c b＋d 之间的大小 关系; (３)设正整数n满足条件:对集合{m|０＜m＜ ２０２４,m∈N}内的每个m,总存在正整数k,使 得(m,２０２４)是(k,n)的“下位序列”,且(k,n) 是(m＋１,２０２５)的“下位序列”,求正整数n的 最小值． 解:(１)∵３×７＜１１×２, ∴(３,１１)是(２,７)的“下位序列”; (２)∵(a,b)是(c,d)的“下位序列”, ∴ad＜bc, ∵a,b,c,d均为正数, 故a＋c b＋d－ a b＝ bc－ad (b＋d)b＞０ , 即a＋c b＋d－ a b＞０ , ∴a＋cb＋d＞ a b , 同理a＋c b＋d＜ c d , 综上所述:a b＜ a＋c b＋d＜ c d ; (３)由已知得 mn＜２０２４k (m＋１)n＞２０２５k{ , 因为m,n,k为整数, 故 mn＋１≤２０２４k mn＋n－１≥２０２５k{ , ∴２０２４(mn＋n－１)≥２０２４×２０２５k≥２０２５ (mn＋１), ∴n≥ ４０４９２０２４－m , 该式对集合{m|０＜m＜２０２４}内的每一个m∈ N∗ 的每个正整数m 都成立, ∴n≥ ４０４９２０２４－２０２３＝４０４９ , 当 n ＝４ ０４９ 时,由 条 件 得 ４０４９m２０２４ ＜k ＜４０４９ (m＋１) ２０２５ , 即２m＋ m２０２４＜k＜２m＋１＋ ２０２４－m ２０２５ , ∵０＜m＜２０２４,m∈N∗ , ∴只需取k＝２m＋１即可满足条件． 所以正整数n的最小值为４０４９． [能力提升练] １３．[多选]若a,b,c为实数,且０＜a＜b,若c ３ a＜ c３ b ＜０,则 (　　) A．|a|＜|b| B．ac＜bc C．a－bc ＞０ D．０＜ a b＜１ 解析:ACD　[对于选项 A:因为０＜a＜b, 则|a|＜|b|,故 A 正确; 对于选项B:因为c ３ a＜ c３ b＜０ ,且０＜１b＜ １ a , 则c３＜０,即c＜０,所以ac＞bc,故B错误; 对于选项C:因为０＜a＜b,c＜０,则a－b＜０, 所以a－b c ＞０ ,故C正确; 对于选项 D:因为０＜a＜b,所以０＜ab ＜１ ,故 D正确．] １４．已知a,b,c∈(０,＋∞),若 ca＋b＜ a b＋c＜ b c＋a , 则a,b,c从小到大的顺序是　　　　． 解析:由 c a＋b＜ a b＋c＜ b c＋a 可 得 c a＋b＋１＜ a b＋c＋１＜ b c＋a＋１ ,即a＋b＋c a＋b ＜ a＋b＋c b＋c ＜ a＋b＋c c＋a ,所以a＋b＞b＋c＞c＋a．由a＋b＞b ＋c可得a＞c,由b＋c＞c＋a可得b＞a,于是 有c＜a＜b． 答案:c＜a＜b 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３９２􀅰 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式