2.5 二次函数与幂函数-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版2019）

§２．５　二次函数与幂函数 ★[考试要求] １．通过具体实例,了解幂函数及其图象的变化规律．２．掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)． 　　　　　　　　学生用书　P２５ １．幂函数 (１)幂函数的定义 一般地,函数y＝xα 叫做幂函数,其中x 是自变 量,α为常数． (２)常见的五种幂函数的图象 (３)幂函数的性质 ①幂函数在(０,＋∞)上都有定义; ②当α＞０时,幂函数的图象都过点(１,１)和(０,０),且 在(０,＋∞)上单调递增; ③当α＜０时,幂函数的图象都过点(１,１),且在 (０,＋∞)上单调递减; ④当α为奇数时,y＝xα为奇函数;当α为偶数时, y＝xα为偶函数． ２．二次函数 (１)二次函数解析式的三种形式 一般式:f(x)＝ax２＋bx＋c(a≠０)． 顶点式:f(x)＝a(x－m)２＋n(a≠０),顶点坐标为 (m,n)． 零点式:f(x)＝a(x－x１)(x－x２)(a≠０),x１,x２ 为f(x)的零点． (２)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax ２＋bx＋c (a＞０) y＝ax２＋bx＋c (a＜０) 图象 (抛物 线) 定义域 R 值域 ４ac－b ２ ４a ,＋∞[ ) －∞,４ac－b ２ ４a( ] 对称轴 x＝－b２a 顶点 坐标 －b２a ,４ac－b ２ ４a( ) 奇偶性 当b＝０时是偶函数,当b≠０时是非奇非偶函数 单调性 在 －∞,－b２a( ] 上单调递减; 在 －b２a ,＋∞[ ) 上单调递增 在 －∞,－b２a( ] 上单调递增; 在 －b２a ,＋∞[ ) 上单调递减 １．巧识幂函数y＝xα 的图象和性质 ２．一元二次不等式恒成立的条件 (１)“ax２ ＋bx＋c＞０(a≠０)恒成立”的充要条件 是“a＞０且Δ＜０”． (２)“ax２ ＋bx＋c＜０(a≠０)恒成立”的充要条件 是“a＜０且Δ＜０”． １．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (１)函数y＝１２x １ ２ 是幂函数． (×) (２)若幂函数y＝xα 是偶函数,则α为偶数． (×) (３)二次函数y＝ax２＋bx＋c的图象恒在x 轴下方, 则a＜０且Δ＜０． (√) (４)若二次函数y＝ax２＋bx＋c的两个零点确定,则 二次函数的解析式确定． (×) ２．已知幂函数f(x)＝k􀅰xα 的图象过点 １２ ,２ ２ æ è ç ö ø ÷,则 k＋α等于 (　　) A．１２ 　　　B．１　　　 C． ３ ２　　　 D．２ 解析:C　[由幂函数的定义,知 k＝１, ２ ２＝k 􀅰 １ ２ æ è ç ö ø ÷ α ．{ 所以k＝１,α＝１２ ,所以k＋α＝３２． ] ３．函数f(x)＝２x２－x－１(－１≤x≤１)的值域是 (　　) A．[０,１] B．－９８ ,１[ ] C．[１,２] D．－９８ ,２[ ] 解析:D　[f(x)＝２x２－x－１＝２x－１４ æ è ç ö ø ÷ ２ －９８ , 因为－１≤x≤１,所以f(x)在 －１,１４[ ] 上单调递 减,在 １ ４ ,１æ è ç ] 上单调递增, 又f(１)＝２－１－１＝０,f(－１)＝２＋１－１＝２, 故f(x)＝２x２ －x－１ 在 －１≤x≤１ 上 的 值 域 为 －９８ ,２[ ]．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８３􀅰 高考总复习　数学 A版 ４．已知函数f(x)＝x２＋２ax＋３,若y＝f(x)在区间 [－４,６]上是单调函数,则实数a 的取值范围为 　　　　　　　　． 解析:由于函数f(x)的图象开口向上,对称轴是 x＝－a,所以要使f(x)在[－４,６]上是单调函数, 应有－a≤－４或－a≥６,即a≤－６或a≥４． 答案:(－∞,－６]∪[４,＋∞) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P２６ 　　　幂函数的图象与性质 [例１]　(１)下列命题中正确的是 (　　) A．当m＝０时,函数y＝xm 的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过(０,０),(１,１)两点 C．幂函数y＝xm 图象不可能在第四象限内 D．若幂函数y＝xm 为奇函数,则y＝xm 是定义域 内的严格增函数 [解析]　对 A,当 m＝０时,函数y＝xm 的图象是 一条直线除去点(０,１),所以 A 项不正确; 对B,幂函数的幂指数小于０时,图象不经过(０, ０),所以B项不正确; 对C,幂函数y＝xm 的图象不可能在第四象限内, 所以C项正确; 对 D,当m＝－１时,幂函数y＝xm 为奇函数,但在 定义域内不是严格的增函数,所以 D项不正确; [答案]　C (２)若四个幂函数y＝xa,y＝ xb,y＝xc,y＝xd,在同一平面直 角坐标系中的图象如图所示,则 a,b,c,d的大小关系是 (　　) A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞d C．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c [解析]　由幂函数的图象可知在区间(０,１)上幂函数 的指数越大,函数图象越接近x轴,在区间(１,＋∞)上 幂函数的指数越大,函数图象越远离x 轴,由题图 知a＞b＞c＞d． [答案]　B (３)已知幂函数f(x)＝xα 满足２f(２)＝f(１６), 若a＝f(log４２),b＝f(ln２),c＝f ５－ １ ２( ),则a,b,c 的大小关系是 (　　) A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．b＞c＞a [解析]　幂函数f(x)＝xα 中,２f(２)＝f(１６), 所以２×２α＝１６α,即２α＋１＝２４α,所以α＋１＝４α,解得 α＝１３ ,所以f(x)＝x １ ３ ,所以f(x)是定义域为R的 单调增函数,又a＝f(log４２),b＝f(ln２), c＝f ５－ １ ２( ),且log４２＝ １ ２ ,ln２＞ln e＝１２ ,５－ １ ２ ＝１ ５ ＜１２ ,所以５－ １ ２ ＜log４２＜ln２,即f ５－ １ ２( ) ＜ f(log４２)＜f(ln２),所以b＞a＞c． [答案]　C 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 幂函数的性质与图象特征的关系 (１)幂函数的形式是y＝xα(α∈R),其中只有一个 参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式． (２)在区间(０,１)上,幂函数中指数越大,函数图象越 靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(１,＋∞) 上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴． (３)当α＞０时,幂函数y＝xα 在(０,＋∞)上单调递 增,当α＜０时,幂函数y＝xα 在(０,＋∞)上单 调递减． １．已知幂函数f(x)的图象过点(２,３２),若f(a＋１) ＋f(－１)＞０,则a的取值范围为 (　　) A．(２,＋∞) B．(１,＋∞) C．(０,＋∞) D．(－１,＋∞) 解析:C　[设幂函数y＝f(x)＝xα,其图象过点(２, ３２),所以２α＝３２,解得α＝５,所以f(x)＝x５． 因为f(－x)＝(－x)５＝－f(x),所以f(x)＝x５ 为奇函数,且在R上单调递增, 所以f(a＋１)＋f(－１)＞０ 可 化 为f(a＋１)＞ －f(－１)＝f(１), 可得a＋１＞１,解 得 a＞０,所 以 a 的 取 值 范 围 为(０,＋∞)．] ２．[多选]已知f(x)＝xα(α∈R),则下列说法正确 的是 (　　) A．当α＝－１时,f(x)的值域为R B．当α＝３时,f(π)＞f(３) C．当α＝１２ 时,f(x２)是偶函数 D．当α＝１２ 时,f２(x)是奇函数 解析:BC　[当α＝－１时,f(x)＝１x ,此时f(x)的 值域为{y|y≠０},故 A 错误, 当α＝３时,f(x)＝x３ 在R上单调递增,所以f(π) ＞f(３),B正确, 当α＝１２ 时,∀x∈R,f(x２)＝f((－x)２)＝f(x２), 所以f(x２)是偶函数,C正确, 当α＝１２ 时,f(x)＝x １ ２ ,(x≥０),则f２(x)＝x,(x≥０), 定义域不关于原点对称,故为非奇非偶函数,D错误．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９３􀅰 第二章　函数 　　　二次函数的解析式 [例２]　已知二次函数f(x)满足f(２)＝－１,f(－１) ＝－１,且f(x)的最大值是８,试确定此二次函数的 解析式． [解析]　法一:(利用一般式) 设f(x)＝ax２＋bx＋c(a≠０)． 由题意得 ４a＋２b＋c＝－１, a－b＋c＝－１, ４ac－b２ ４a ＝８ , ì î í ï ï ï ï 解得 a＝－４, b＝４, c＝７． ì î í ïï ï 所以所求二次函数的解析式为 f(x)＝－４x２＋４x＋７． 法二:(利用顶点式) 设f(x)＝a(x－m)２＋n(a≠０)． 因为f(２)＝f(－１), 所以抛物线的对称轴为x＝２＋ (－１) ２ ＝ １ ２． 所以m＝１２． 又根据题意函数有最大值８, 所以n＝８, 所以f(x)＝ax－１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋８． 因为f(２)＝－１,所以a ２－１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋８＝－１, 解得a＝－４, 所以f(x)＝－４x－１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋８＝－４x２＋４x＋７． 法三:(利用零点式) 由已知f(x)＋１＝０的两根为x１＝２,x２＝－１, 故可设f(x)＋１＝a(x－２)(x＋１), 即f(x)＝ax２－ax－２a－１． 又函数有最大值８,即４a (－２a－１)－a２ ４a ＝８． 解得a＝－４或a＝０(舍去), 所以所求函数的解析式为f(x)＝－４x２＋４x＋７． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 求二次函数的解析式,一般用待定系数法,其关键 是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式, 一般选择规律如下: 已 知 三点坐标 宜选用一般式→ 与x轴两交点坐标 宜选用零点式→ 顶点坐标 最大(小)值 对称轴 宜选用顶点式→ １．(２０２５􀅰福建省福州格致中学期中)已知f(x)为二次 函数,且f(x)＝x２＋f′(x)－１,则f(x)＝ (　　) A．x２－２x＋１ B．x２＋２x＋１ C．２x２－２x＋１ D．２x２＋２x－１ 解析:B　[设f(x)＝ax２＋bx＋c(a≠０),则f′(x) ＝２ax＋b,由f(x)＝x２＋f′(x)－１可得ax２＋bx ＋c＝x２＋２ax＋(b－１), 所以 a＝１, b＝２a, c＝b－１, ì î í ïï ï 解得 a＝１, b＝２, c＝１, ì î í ïï ï 因此,f(x)＝x２＋２x＋１．] ２．(２０２５􀅰陕西西安统考)写出一个同时具有下列四个性 质中的三个性质的二次函数:f(x)＝　　　　　． ①f(x)的最小值为－１;②f(x)的一次项系数为－４; ③f(０)＝３;④f(x)＝f(－x＋２)． 解析:第一种情况:f(x)具有①②③三个性质,由 ②③可设f(x)＝ax２－４x＋３(a≠０),则根据①可 得:１２a－１６ ４a ＝－１ ,解得a＝１,所以f(x)＝x２－４x＋３． 第二种情况:f(x)具有①②④三个性质,由①④可 设f(x)＝a(x－１)２－１(a＞０),则根据②可得: －２a＝－４,解得a＝２,所以f(x)＝２(x－１)２－１ ＝２x２－４x＋１． 第三种情况:f(x)具有①③④三个性质,由①④可 设f(x)＝a(x－１)２－１(a＞０),则根据③可得: f(０)＝a－１＝３,解得:a＝４,所以f(x)＝４(x－１)２ －１＝４x２－８x＋３． 第四种情况:f(x)具有②③④三个性质,由②③可 设f(x)＝ax２－４x＋３(a≠０),则根据④可得 －－４２a＝１ ,解得a＝２,所以f(x)＝２x２－４x＋３． 答案:x２－４x＋３或２x２－４x＋１或４x２－８x＋３或 ２x２－４x＋３．(不唯一) 　　　二次函数的图象与性质 ▶[角度１]　二次函数的图象 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例３－１]　[多选]函数f(x)＝ax２－２x＋１与g(x) ＝xa 在同一直角坐标系中的图象不可能为 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０４􀅰 高考总复习　数学 A版 [解析]　因为f(x)＝ax２－２x＋１,g(x)＝xa, 对于 A,当a＝－１时,f(x)＝－x２－２x＋１,其图 象开口向下,对称轴为x＝－１, g(x)＝x－１＝１x ,其图象关于原点对称,且在(０,＋∞) 上单调递减,故 A 满足要求; 对于B,当f(x)＝ax２－２x＋１开口向上时,a＞０, 此时g(x)＝xa 在(０,＋∞)上单调递增,故 B不满 足要求; 对于C,当a＝１２ 时,f(x)＝１２x ２－２x＋１,其图象 开口向上,对称轴为x＝２, g(x)＝x １ ２ ,其图象在[０,＋∞)上单调递增,且越来 越缓,故C满足要求; 对于 D,当f(x)＝ax２－２x＋１开口向上时,a＞０, 此时其对称轴为x＝－－２２a＝ １ a＞０ ,故D不满足要求． [答案]　BD ▶[角度２]　二次函数的单调性与最值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例３－２]　(１)设二次函数f(x)＝ax２－２ax＋c在 区间[０,１]上单调递减,且f(m)≤f(０),求实数m 的取值范围; (２)已知函数f(x)＝x２＋２ax＋１,求f(x)在区间 [－１,２]上的最大值． [解]　(１)依题意a≠０,二次函数f(x)＝ax２－ ２ax＋c＝a(x－１)２－a＋c,其图象的对称轴是直线 x＝１,因为函数f(x)在区间[０,１]上单调递减,所以a ＞０,即函数图象的开口向上,所以f(０)＝f(２),则当 f(m)≤f(０)时,有０≤m≤２． ∴实数m 的取值范围为[０,２]． (２)f(x)＝(x＋a)２＋１－a２,所以f(x)的图象是开 口向上的抛物线,对称轴为x＝－a． ①当－a＜１２ ,即a＞－１２ 时, f(x)max＝f(２)＝４a＋５; ②当－a≥１２ ,即a≤－１２ 时, f(x)max＝f(－１)＝２－２a． 综上,f(x)max＝ ４a＋５,a＞－１２ , ２－２a,a≤－１２． ì î í ï ï ï ï 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 求解二次函数的单调性及最值的策略 (１)对于二次函数的单调性,关键是开口方向与对 称轴的位置,若开口方向或对称轴的位置不确 定,则需要分类讨论求解． (２)解决二次函数最值的方法,抓住“三点一轴”数形 结合,“三点”是指区间两个端点和中点,“一轴”指 的是对称轴,可用下面的思维流程图表示: １．已知函数y＝x２－３x－４的定义域是[－１,m],值 域为 －２５４ ,０[ ],则m 的取值范围是 (　　) A．０,４( ] B．３２ ,４[ ] C．３２ ,３[ ] D．３２,＋∞[ ö ø ÷ 解析:B　[结合题意:函数y＝x２ －３x－４＝ x－３２ æ è ç ö ø ÷ ２ －２５４ 所以图象是开口向上的抛物线, 其对称轴方程为x＝３２ , 所以f ３２ æ è ç ö ø ÷＝－２５４ ,易知:f(－１)＝f(４)＝０, 由图可知,要使函数y＝x２－３x－４的定义域是 [－１,m],值域为 －２５４ ,０[ ], 则m 的取值范围是 ３２ ,４[ ]．] ２．函数f(x)＝x２－４x＋２在区间[a,b]上的值域为 [－２,２],则b－a的取值范围是　　　　． 解析:解方程f(x)＝x２－４x＋２＝２,得x＝０或x＝４, 解方程f(x)＝x２－４x＋２＝－２,得x＝２, 由于函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[－２,２]． 若函数f(x)在区间[a,b]上单调,则[a,b]＝[０,２] 或[a,b]＝[２,４],此时b－a取得最小值２; 若函数f(x)在区间[a,b]上不单调, 且当b－a取最大值时,[a,b]＝[０,４], 所以b－a的最大值为４, 所以b－a的取值范围是[２,４]． 答案:[２,４] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１４􀅰 第二章　函数