2.3 函数的奇偶性-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版2019）

§２．３　函数的奇偶性 ★[考试要求] １．了解函数奇偶性的概念和几何意义．２．会依据函数的性质进行简单的应用． 　　　　　　　　学生用书　P２０ 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域 为I,如果∀x∈I,都有－x∈ I,且f(－x)＝f(x),那么函数 f(x)就叫做偶函数 关于y轴 对称 奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域 为I,如果∀x∈I,都有－x∈ I,且f(－x)＝－f(x),那么函 数f(x)就叫做奇函数 关于原点 对称 函数奇偶性的重要结论 (１)如果一个奇函数f(x)在x＝０处有定义,即f(０) 有意义,那么一定有f(０)＝０． (２)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)＝f(|x|)． (３)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种,即f(x) ＝０,x∈D,其中定义域D 是关于原点对称的非空 数集． (４)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调 性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单 调性． (５)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最 大(小)值,取 最 值 时 的 自 变 量 的 值 互 为 相 反 数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互 为相反数,取 最 值 时 的 自 变 量 的 值 也 互 为 相 反数． １．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (１)若函数f(x)为奇函数,则f(０)＝０． (×) (２)不存在既是奇函数,又是偶函数的函数． (×) (３)对于函数y＝f(x),若f(－２)＝－f(２),则函数 y＝f(x)是奇函数． (×) (４)若f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则f(x)g(x)是 奇函数． (√) ２．下列函数中,既是偶函数又在(０,＋∞)上单调递减 的是 (　　) A．y＝－x３ B．y＝１x C．y＝|x| D．y＝１x２ 解析:D　[y＝－x３,y＝１x 都是奇函数,排除 A,B． y＝|x|,y＝１x２ 都是偶函数,y＝|x|在(０,＋∞)上 单调递增,y＝１x２ 在(０,＋∞)单调递减．] ３．已知f(x)＝ax２＋bx 是定义在[a－１,２a]上的偶 函数,那么a＋b的值是 (　　) A．－１３ B． １ ３ C． １ ２ D．－ １ ２ 解析:B　[显然b＝０,a－１＋２a＝０,∴a＝１３ ,∴a ＋b＝１３． ] ４．设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥０时,f(x) ＝２x＋b,则f(－１)＝　　　　． 解析:f(x)是奇函数,则f(０)＝b＝０,即x≥０时, f(x)＝２x,所以f(１)＝２,从而f(－１)＝－f(１)＝－２． 答案:－２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P２０ 　　　函数奇偶性的判断 ▶[角度１]　判断函数的奇偶性 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例１－１]　下列函数为奇函数的是 (　　) A．f(x)＝x３＋x２ B．f(x)＝１＋ ２２x－１ C．f(x)＝ln(x－１)－ln(x＋１) D．f(x)＝e x＋e－x ２ [解析]　A．因为f(－x)＝－x３＋x２≠－f(x),所 以该函数不是奇函数; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８２􀅰 高考总复习　数学 A版 B．因为f(x)＋f(－x)＝１＋ ２２x－１ ＋１＋ ２ ２－x－１ ＝ ２＋ ２ ２x－１ ＋２ 􀅰２x １－２x ＝－２ 􀅰２x＋２－２＋２􀅰２x １－２x ＝０,所 以该函数是奇函数; C．由 x－１＞０ x＋１＞０{ ⇒x＞１,该函数的定义域不关于原 点对称,所以该函数不是奇函数; D．因为f(－x)＝e －x＋ex ２ ＝f (x),所以该函数是偶 函数,不符合题意． [答案]　B ▶[角度２]　抽象函数奇偶性的判断 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例１－２]　[多选]已知f(x)是定义在 R上的函数, 下列结论正确的有 (　　) A．若满足f(x２)＝－f(－x２),则f(x)是奇函数 B．满足２f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y),且f(０) ≠０,则y＝f(x)为奇函数 C．若恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y),则f(x)为偶 函数 D．若恒有f(xy)＝yf(x)＋xf(y),则f(x)是奇 函数 [解析]　对于 A,若∀t∈R,当t＞０时,令t＝x２, 因为f(x２)＝－f(－x２), 所以f(t)＝－f(－t),即f(－t)＝－f(t); 当t＝０时,令t＝x２＝０,因为f(x２)＝－f(－x２), 所以f(０)＝－f(－０),即f(０)＝０; 当t＜０时,令t＝－x２,因为f(x２)＝－f(－x２), 所以f(－t)＝－f(t), 综上,∀t∈R,f(－t)＝－f(t),所以f(x)是奇函 数,所以 A 正确; 对于B,在２f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y)中,令 x＝y＝０,得２f２(０)＝２f(０),因为f(０)≠０,所以 f(０)＝１,显然不符合f(－x)＝－f(x),故B错误; 对于C,令x＝y＝０,则f(０)＋f(０)＝f(０), ∴f(０)＝０, 令y＝－x,则f(x)＋f(－x)＝f(０)＝０, ∴f(－x)＝－f(x), 即f(x)为奇函数,C错误; 对于 D,对任意x,y∈R,总有f(xy)＝yf(x)＋ xf(y),令x＝y＝０得f(０)＝０;令x＝y＝１得 f(１)＝f(１)＋f(１),所以f(１)＝０; 令x＝y＝－１得f(１)＝－f(－１)－f(－１),所以 f(－１)＝０; 令y＝－１ 得 f(－x)＝－f(x)＋xf(－１)＝ －f(x),所以f(x)是奇函数,故 D正确． [答案]　AD 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件 (１)定义域关于原点对称,否则即为非奇非偶函数． (２)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系,在 判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶 性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝０(奇 函数)或f(x)－f(－x)＝０(偶函数))是否 成立． １．设函数f(x)＝１－x１＋x ,则下列函数中为奇函数的是 (　　) A．f(x－１)－１ B．f(x－１)＋１ C．f(x＋１)－１ D．f(x＋１)＋１ 解析:B　 [解 法 一:因 为 f(x)＝１－x１＋x＝－１＋ ２ x＋１ ,其图象关于点(－１,－１)中心对称,将其图象 向右平移１个单位长度,再向上平移１个单位长度 后关于原点(０,０)中心对称,所以f(x－１)＋１为奇 函数． 解法二:因 为 f(x)＝１－x１＋x ,所 以 f(x－１)＝ １－(x－１) １＋(x－１)＝ ２－x x ,f(x＋１)＝１－ (x＋１) １＋(x＋１)＝ －x x＋２． 对于 A,F(x)＝f(x－１)－１＝２－xx －１＝ ２－２x x ,定 义域关于原点对称,但不满足F(x)＝－F(－x),故 F(x)不是奇函数;对于 B,G(x)＝f(x－１)＋１＝ ２－x x ＋１＝ ２ x ,定义域关于原点对称,且满足G(x) ＝－G(－x),故G(x)为奇函数;对于 C,f(x＋１) －１＝ －xx＋２－１＝－ ２x＋２ x＋２ ,定义域不关于原点对 称,不是奇函数;对于 D,f(x＋１)＋１＝ －xx＋２＋１＝ ２ x＋２ ,定义域不关于原点对称,不是奇函数．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９２􀅰 第二章　函数 ２．(２０２５􀅰济宁模拟)已知函数f(x)的定义域为 R, 满足f(x＋y)－[f(x)＋f(y)]＝２０２４,则下列说 法正确的是 (　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数 C．f(x)＋２０２４是奇函数 D．f(x)＋２０２４是偶函数 解析:C　[因 为 f(x＋y)－[f(x)＋f(y)]＝ ２０２４, 所以令x＝y＝０,可得f(０)＝－２０２４, 令y＝－x,则f(０)－f(x)－f(－x)＝２０２４, 所以f(－x)＝－f(x)－４０４８, 则f(x)既不是奇函数又不是偶函数, 且f(－x)＋２０２４＝－[f(x)＋２０２４], 所以f(x)＋２０２４是奇函数．] 　　　函数奇偶性的应用 ▶[角度１]　利用函数的奇偶性求值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例２－１]　已知函数f(x)为奇函数,且当x＞０时, f(x)＝x２－log２x,则f － １ ２ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．－１４ B．－ １ ２ C．－ ３ ４ D．－ ５ ４ [解析]　因为函数f(x)为奇函数,且当x＞０时, f(x)＝x２ －log２x,所 以 f － １ ２ æ è ç ö ø ÷ ＝ －f １２ æ è ç ö ø ÷ ＝ － １４－log２ １ ２ æ è ç ö ø ÷＝－５４． [答案]　D ▶[角度２]　利用函数的奇偶性求解析式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例２－２]　已知f(x)为R上的奇函数,当x＞０时, f(x)＝x３＋２x＋１,则x＜０时,f(x)的解析式为 (　　) A．f(x)＝－x３－２x－１(x＜０) B．f(x)＝－x３－２x＋１(x＜０) C．f(x)＝x３＋２x－１(x＜０) D．f(x)＝－x３＋２x＋１(x＜０) [解析]　因为知f(x)为 R 上的奇函数,当x＞０ 时,f(x)＝x３＋２x＋１, 令－x＞０,则f(－x)＝(－x)３＋２(－x)＋１＝ －f(x)⇒f(x)＝x３＋２x－１(x＜０)． [答案]　C ▶[角度３]　利用函数的奇偶性求参数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例２－３]　已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且 x≤０时,f(x)＝２x２－３x＋m,则f(１)＝　　　　． [解析]　由函数f(x)是定义在 R上的奇函数,得 f(０)＝０, 而当x≤０时,f(x)＝２x２－３x＋m,则 m＝f(０) ＝０, 所以f(１)＝－f(－１)＝－[２(－１)２－３(－１)]＝ －５． [答案]　－５ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 已知函数奇偶性可以解决的３个问题 (１)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区 间上的函数值求解． (２)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知 区间上,再利用奇偶性求出解析式． (３)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据 f(x)±f(－x)＝０得到关于参数的恒等式,由 系数的对等性得参数的方程或方程(组),进而 得出参数的值． １．已知 f(x)是定义 在 R 上 的 偶 函 数,且 当 x∈ (－∞,０]时,f(x)＝x２－ex＋１,则当x∈(０,＋∞) 时,f(x)＝ (　　) A．x２－ex＋１ B．x２－e－x＋１ C．x２＋e－x＋１ D．－x２＋e－x－１ 解析:B　[x∈(０,＋∞)时,－x∈(－∞,０), 则f(－x)＝(－x)２－e－x＋１＝x２－e－x＋１, 又f(x)为偶函数,故f(－x)＝f(x), 故f(x)＝x２－e－x＋１．] ２．已知函数f(x)＝ax３＋bx＋１,若f(２)＝４,则 f(－２)＝ (　　) A．－４ B．－２ C．０ D．２ 解析:B　[令g(x)＝ax３＋bx,则f(x)＝g(x)＋１． 由g(x)定义域关于原点对称,且g(－x)＝－g(x) 得g(x)为奇函数, ∵f(２)＝g(２)＋１＝４,∴g(２)＝３, ∴f(－２)＝g(－２)＋１＝－３＋１＝－２．] ３．设a∈R,函数y＝f(x)是奇函数．若f(１)＝ea－３, f(－１)＝１,则a＝　　　　． 解析:因为函数y＝f(x)是奇函数, 所以f(－１)＝－f(１)＝－(ea－３)＝１,解得:a＝ ln２． 答案:ln２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０３􀅰 高考总复习　数学 A版