2.2 函数的单调性与最值-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版2019）

§２．２　函数的单调性与最值 ★[考试要求] １．借助函数图象,会用数学符号语言表达函数的单调性、最值,理解实际意义．２．掌握函数单调性的简单应用． 　　　　　　　　学生用书　P１７ １．函数的单调性 (１)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D ⊆I,如果∀x１,x２∈D 当 x１ ＜x２ 时,都 有 f(x１)＜f(x２),那么 就称函数f(x)在区 间D 上单调递增 当 x１ ＜x２ 时,都 有 f(x１)＞f(x２),那么就 称函数f(x)在区间D 上单调递减 图 象 描 述 自左向右看图象是上 升的 自左向右看图象是 下降的 (２)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D 上单调递增或单调递 减,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格 的)单调性,区间D 叫做y＝f(x)的单调区间． ２．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I,如果存在实 数M 满足 条件 (１)∀x∈I,都有 f(x)≤M; (２)∃x０∈I,使得 f(x０)＝M (１)∀x∈I,都有 f(x)≥M; (２)∃x０∈I,使得 f(x０)＝M 结论 M 为最大值 M 为最小值 １．∀x１,x２∈D 且x１≠x２,有 f(x１)－f(x２) x１－x２ ＞０(＜０) 或(x１－x２)[f(x１)－f(x２)]＞０(＜０)⇔f(x)在区 间D 上单调递增(减)． ２．在公共定义域内,增函数＋增函数＝增函数,减函 数＋减函数＝减函数． ３．函数y＝f(x)(f(x)＞０或f(x)＜０)在公共定义 域内与y＝－f(x),y＝ １f(x) 的单调性相反． ４．复合函数的单调性:函数y＝f(u),u＝φ(x)在函数y＝ f(φ(x))的定义域上,如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调 性相同,那么y＝f(φ(x))单调递增;如果y＝f(u)与u ＝φ(x)的单调性相反,那么y＝f(φ(x))单调递减． １．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (１)若f(x)的定义域为R,且f(－３)＜f(２),则f(x) 为R上的增函数． (×) (２)函数f(x)在(－２,３)上单调递增,则函数的单调 递增区间为(－２,３)． (×) (３)因为y＝x与y＝ex 都是增函数,所以y＝xex 在 定义域内为增函数． (×) (４)函数y＝１x 的单调递减区间是(－∞,０)∪(０,＋∞)． (×) ２．[多选]下列函数中满足“对任意x１,x２∈(０,＋∞),且 x１≠x２,都有 f(x１)－f(x２) x１－x２ ＞０”的是 (　　) A．f(x)＝－３x＋１ B．f(x)＝－２x C．f(x)＝x２＋４x＋３ D．f(x)＝x－１x 解析:BCD　[函数f(x)满足“对任意x１,x２∈(０, ＋∞),且x１≠x２,都有 f(x１)－f(x２) x１－x２ ＞０”,则有函 数f(x)在(０,＋∞)上单调递增, 函数f(x)＝－３x＋１在(０,＋∞)上单调递减,A不是; 函数f(x)＝－２x 在(０,＋∞)上单调递增,B是; 函数f(x)＝x２＋４x＋３在(０,＋∞)上单调递增,C是; 函数f(x)＝x－１x 在(０,＋∞)上单调递增,D是．] ３．函数y＝(２m－１)x＋b在R上是减函数,则(　　) A．m＞１２ B．m＜ １ ２ C．m＞－１２ D．m＜－ １ ２ 解析:B　[要使y＝(２m－１)x＋b在 R 上是减函 数,则２m－１＜０,即m＜１２． ] ４．函数y＝ ２x－１ 在[２,３]上的最大值是　　　　． 解析:该函数在[２,３]上单调递减,故当x＝２时,函 数取得最大值,最大值为２． 答案:２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５２􀅰 第二章　函数 　　　　　　　　学生用书　P１８ 　　　确定函数的单调性 ▶[角度１]　函数的单调性的理解 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[例１－１]　[多选](２０２５􀅰南京模拟)如果函数f(x) 在[a,b]上单调递增,那么对于任意的x１,x２∈[a, b](x１≠x２),下列结论中正确的是 (　　) A．f (x１)－f(x２) x１－x２ ＞０ B．(x１－x２)[f(x１)－f(x２)]＞０ C．f(a)＜f(x１)＜f(x２)＜f(b) D． x２－x１ f(x２)－f(x１) ＞０ [解析]　因为f(x)在[a,b]上单调递增,对于任意 的x１,x２∈[a,b](x１≠x２),x１－x２ 与f(x１)－ f(x２)的符号相同,故 A,B,D都正确,而 C中应为 若x１＜x２,则f(a)≤f(x１)＜f(x２)≤f(b)． [答案]　ABD ▶[角度２]　判断或证明函数的单调性 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例１－２]　试讨论函数f(x)＝ axx－１ (a≠０)在(－１,１) 上的单调性． [解]　设－１＜x１＜x２＜１, f(x)＝a􀅰x－１＋１x－１ ＝a １＋ １ x－１ æ è ç ö ø ÷, 则f(x１)－f(x２)＝ a １＋ １x１－１ æ è ç ö ø ÷－a １＋ １x２－１ æ è ç ö ø ÷＝ a(x２－x１) (x１－１)(x２－１) ． 由于－１＜x１＜x２＜１, 所以x２－x１＞０,x１－１＜０,x２－１＜０, 故当a＞０时,f(x１)－f(x２)＞０, 即f(x１)＞f(x２), 函数f(x)在(－１,１)上单调递减; 当a＜０时,f(x１)－f(x２)＜０, 即f(x１)＜f(x２),函数f(x)在(－１,１)上单调递增． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 确定函数的单调区间的方法 (１)定义法:先求定义域,再利用单调性定义来求． (２)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的图象易作出,可由图象的升、降写出它的 单调区间． (３)导数法:利用导数取值的正、负确定函数的单调 区间． １．[多选]下列说法中,正确的是 (　　) A．若对任意x１,x２∈I, f(x１)－f(x２) x１－x２ ＞０,则y＝f(x) 在I上单调递增 B．函数y＝２|x＋１|的递减区间是(－∞,－１] C．函数f(x)＝２－x ２＋２x＋３的单调递增区间为[１,＋∞) D．y＝２x＋２cosx在R上是增函数 解析:ABD　 [对 于 A,若 对 任 意 x１,x２ ∈I, f(x１)－f(x２) x１－x２ ＞０,显然x１≠x２, 当x１＜x２ 时,则有f(x１)＜f(x２);当x１＞x２ 时, 则有f(x１)＞f(x２); 由函数单调性的定义可知y＝f(x)在I上是单调 递增,故 A 正确． 对于B,作出函数y＝２|x＋１| 的图象,如图所示, 由图象可知:函数y＝２|x＋１| 的递减区间是(－∞,－１], 故B正确; 对于C,由判断复合函数的单调性的方法“同增异 减”可得单调递增区间为(－∞,１],故C错误; 对于 D,y′＝２－２sinx≥０,所以y＝２x＋２cosx 是 R上的增函数,故 D正确．] ２．函数f(x)＝log１２ (２x ２－３x－２)的单调递增区间为 　　　　． 解析:令t＝２x２－３x－２＞０, 解得x＞２或x＜－１２ , 则f(x)的定义域为 －∞,－１２ æ è ç ö ø ÷∪(２,＋∞), 由f(t)＝log１２t在(０,＋∞)上单调递减, 根据复合函数的单调性:同增异减,函数t＝２x２－ ３x－２的单调递减区间,即为f(x)的单调递增区 间,再结合f(x)的定义域可知,f(x)的单调递增区 间为 －∞,－１２ æ è ç ö ø ÷． 答案:－∞,－１２ æ è ç ö ø ÷ 　　　函数单调性的应用 ▶[角度１]　比较函数值的大小 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[例２－１]　已知函数f(x)的图象向左平移１个单位 后关于y 轴对称,当 x２ ＞x１ ＞１ 时,[f(x２)－ f(x１)](x２－x１)＜０恒成立,设a＝f － １ ２ æ è ç ö ø ÷,b＝ f(２),c＝f(３),则a,b,c的大小关系为 (　　) A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c [解析]　由题意知y＝f(x)的图象关于直线x＝１ 对称,且 当 x＞１ 时,y＝f(x)单 调 递 减,∵a＝ f －１２ æ è ç ö ø ÷＝f ５２ æ è ç ö ø ÷,∴f(２)＞f －１２ æ è ç ö ø ÷ ＞f(３),即b ＞a＞c． [答案]　D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６２􀅰 高考总复习　数学 A版 ▶[角度２]　求函数的最值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例２－２]　函数y＝ １x－１－１＋x (x≥３)的最小值为 　　　　． [解析]　设t＝x－１,t≥２, 则y＝ １x－１－１＋x＝t＋ １ t , 又函数y＝t＋１t 在[１,＋∞)上单调递增, 所以当t＝２,即x＝３时, 函数y＝t＋１t 有最小值２＋１２＝ ５ ２． [答案]　５２ ▶[角度３]　解不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例２－３]　函数f(x)是 R上的单调函数且对任意 的实数都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－１,f(４)＝５, 则不等式f(１－２m)＜３的解集是 (　　) A．－１２ ,０æ è ç ö ø ÷ B．－１２ ,＋∞æ è ç ö ø ÷ C．(－∞,３) D．－１２ ,２ ３ æ è ç ö ø ÷ [解析]　∵对任意的实数都有f(a＋b)＝f(a)＋ f(b)－１, ∴f(２＋２)＝f(２)＋f(２)－１＝５,即f(２)＝３, ∵f(２)＝３,f(４)＝５,函数f(x)是 R 上的单调 函数, ∴函数f(x)是R上的单调增函数,∴f(１－２m)＜ ３＝f(２), 即１－２m＜２,解得m＞－１２ , 即不等式f(１－２m)＜３的解集为 －１２ ,＋∞æ è ç ö ø ÷． [答案]　B ▶[角度４]　求参数的取值范围 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例２－４]　定义在R上的函数f(x)满足(x１－x２)􀅰 [f(x１)－f(x２)]＞０,x１ ≠x２,且 f(a２ －a)＞ f(２a－２),则实数a的取值范围为 (　　) A．(－∞,１)∪(２,＋∞) B．(－１,２) C．(１,２) D．(－∞,－１)∪(２,＋∞) [解析]　因为函数f(x)满足(x１－x２)[f(x１)－ f(x２)]＞０,x１≠x２, 所以函数f(x)在R上单调递增, 根据题设不等式关系,有２a－２＜a２－a, 即a２－３a＋２＝(a－１)(a－２)＞０,解得a＞２或a＜１． [答案]　A 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 函数单调性应用要点 (１)比较大小:可将n个自变量值化到同一单调区 间上． (２)解不等式:利用函数的单调性将“f”符号脱掉, 转化为具体的不等式求解,应注意函数的定 义域． (３)利用单调性求参数: ①确定函数的单调区间,与已知区间比较; ②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该 函数在此区间的任意子集上也是单调的; ③分段函数的单调性,除注意各段的单调性外, 还要注意衔接点的取值． １．已知函数f(x)＝ x２－２ax＋３,x≤１, (a－４)x＋１,x＞１,{ 则“a＜４”是 “f(x)在R上单调递减”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析:B　[若f(x)＝ x２－２ax＋３,x≤１, (a－４)x＋１,x＞１{ 在 R 上 单调递减, 则 a≥１, a－４＜０, １－２a＋３≥a－４＋１, ì î í ïï ï 解得１≤a≤７３ , 所以“a＜４”是“f(x)在 R上单调递减”的必要不充 分条件．] ２．[多选]函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x１, x２(x１≠x２),满足x１f(x１)＋x２f(x２)＞x１f(x２)＋ x２f(x１),下列结论正确的是 (　　) A．函数f(x)在R上是单调递减函数 B．f(－５)＜f(０)＜f(１) C．f(０)＝０ D．f(２x－１)＜f(３－x)的解为x＜４３ 解析:BD　[由x１f(x１)＋x２f(x２)＞x１f(x２)＋ x２f(x１),得(x１－x２)[f(x１)－f(x２)]＞０, 因此f(x)在R上单调递增,A 错误; 由－５＜０＜１,得f(－５)＜f(０)＜f(１),B正确; 不一定有f(０)＝０,如f(x)＝２x 在R上为增函数, f(０)＝１,C错误; 由f(２x－１)＜f(３－x),得２x－１＜３－x, 解得x＜４３ ,D正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７２􀅰 第二章　函数