1.5 一元二次方程、不等式-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版2019）

§１．５　一元二次方程、不等式 ★[考试要求] １．会从实际情景中抽象出一元二次不等式．２．结合二次函数图象,会判断一元二次方程的根的个数,以及解一 元二次不等式．３．了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 　　　　　　　　学生用书　P１２ １．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 Δ＝b２－４ac Δ＞０ Δ＝０ Δ＜０ 二次函数y＝ ax２＋bx＋c(a ＞０)的图象 方程ax２＋bx ＋c＝０(a＞０) 的根 有两个不相等的 实 数 根 x１,x２ (x１＜x２) 有两个相等 的 实数根x１＝x２ ＝－b２a 没有 实数根 ax２＋bx＋c＞０ (a＞０)的解集 {x|x ＜x１ 或 x＞x２} x x≠－b２a}{ R ax２＋bx＋c＜０ (a＞０)的解集 {x|x１＜x＜x２} ⌀ ⌀　 ２．分式不等式与整式不等式 (１)f (x) g(x)＞０ (＜０)⇔f(x)g(x)＞０(＜０); (２)f (x) g(x)≥０ (≤０)⇔f(x)g(x)≥０(≤０)且g(x)≠０． ３．简单的绝对值不等式 |x|＞a(a＞０)的解集为(－∞,－a)∪(a,＋∞), |x|＜a(a＞０)的解集为(－a,a)． (１)一元二次不等式恒成立问题 ①不等式ax２＋bx＋c＞０(a≠０),x∈R恒成立⇔ a＞０且Δ＜０; ②不等式ax２＋bx＋c＜０(a≠０),x∈R恒成立⇔ a＜０且Δ＜０; ③若a可以为０,需要分类讨论,一般优先考虑a ＝０的情形． (２)对于不等式ax２＋bx＋c＞０,求解时不要忘记a＝０ 时的情形． (３)当Δ＜０时,不等式ax２＋bx＋c＞０(a≠０)的解集 为R还是⌀,要注意区别． １．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或 “×”) (１)若不等式ax２＋bx＋c＜０(a≠０)的解集为(x１,x２),则 必有a＞０． (√) (２)若方程ax２＋bx＋c＝０(a≠０)没有实数根,则不等 式ax２＋bx＋c＞０的解集为R． (×) (３)不等式ax２＋bx＋c≤０在 R上恒成立的条件是 a＜０且Δ＝b２－４ac≤０． (×) (４)若二次函数y＝ax２＋bx＋c的图象开口向下,则不等 式ax２＋bx＋c＜０的解集一定不是空集． (√) ２．不等式x－１x－３≤０ 的解集是 (　　) A．(－∞,１)∪[３,＋∞) B．(－∞,１]∪(３,＋∞) C．[１,３) D．[１,３] 解析:C　[x－１x－３≤０⇔ (x－１)(x－３)≤０, x－３≠０{ ⇔１≤x ＜３,所以不等式x－１x－３≤０ 的解集为[１,３)．] ３．不等式x２－ax－b＜０的解集为(２,３),则a＋b＝ 　　　　． 解析:由不等式x２－ax－b＜０的解集为(２,３),知 方程x２－ax－b＝０的解为２或３, 由韦达定理,得 ２＋３＝a ２×３＝－b{ ,解得a＝５,b＝－６, 所以a＋b＝－１． 答案:－１ ４．不等式mx２＋mx＋１＞０对一切x∈R恒成立,则 实数m 的取值范围是　　　　． 解析:当m＝０时,显然成立;当m≠０时,由已知得 m＞０, Δ＝m２－４m＜０,{ 解得０＜m＜４．综上知,实数 m 的取值范围是[０,４)． 答案:[０,４) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P１３ 　　　一元二次不等式的求解 ▶[角度１]　不含参的不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例１－１]　[多选]下列选项中,正确的是 (　　) A．不等式－x２－x＋２＞０的解集为{x|x＜－２,或 x＞１} B．不等式２x＋１x－２≤１ 的解集为{x|－３≤x＜２} C．不等式|x－２|≥１的解集为{x|１≤x≤３} D．设x∈R,则“|x－１|＜１”是“x＋４x－５＜０ ”的充分不 必要条件 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８１􀅰 高考总复习　数学 A版 [解析]　因为方程－x２－x＋２＝０的解为x１＝１, x２＝－２,所以不等式－x２－x＋２＞０的解集为{x| －２＜x＜１},故 A 错误; 因为２x＋１ x－２－１≤０ ,即x＋３ x－２≤０ ,即(x＋３)(x－２)≤ ０(x－２≠０),解得－３≤x＜２,所以不等式的解集 为{x|－３≤x＜２},故B正确; 由|x－２|≥１,可得x－２≤－１或x－２≥１, 解得x≤１或x≥３,所以不等式的解集为{x|x≤１, 或x≥３},故C错误; 由|x－１|＜１,可得－１＜x－１＜１,解得０＜x＜２, 由x＋４ x－５＜０ ,可得－４＜x＜５,因此,“|x－１|＜１”是 “x＋４ x－５＜０ ”的充分不必要条件,故 D正确． [答案]　BD ▶[角度２]　含参不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[例１－２]　解不等式１２x２－ax＞a２(a∈R)． [解]　原不等式可化为１２x２－ax－a２＞０, 即(４x＋a)(３x－a)＞０, 令(４x＋a)(３x－a)＝０, 解得x１＝－ a ４ ,x２＝ a ３． 当a＞０时,原不等式的解集为 －∞,－a４ æ è ç ö ø ÷∪ a３ ,＋∞æ è ç ö ø ÷; 当a＝０时,原不等式的解集为(－∞,０)∪(０,＋∞); 当a＜０时,原不等式的解集为 －∞,a３ æ è ç ö ø ÷∪ －a４ ,＋∞æ è ç ö ø ÷． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法 (１)当二次项系数中含有参数时,应讨论二次项系 数是等于０,小于０,还是大于０,然后将不等式 转化为一次不等式或二次项系数为正的形式． (２)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确 定时,讨论判别式Δ与０的关系． (３)确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个根 时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式． 解关于x的不等式: (１)２x１－x≤３ ; (２)ax２－(２a－１)x－２≥０． 解:(１)由题意 ２x１－x－３＝ ５x－３ １－x≤０ , 可得 (５x－３)(x－１)≥０ x－１≠０{ ,解得x≤ ３ ５ 或x＞１, 所以不等式的解集为 －∞,３５ æ è ç ]∪(１,＋∞)． (２)不 等 式 ax２ － (２a－１)x－２≥０ 可 化 为 (ax＋１)(x－２)≥０, 当a＝０时,x－２≥０,不等式的解集为[２,＋∞); 当a＞０时,不等式化为 x＋１a æ è ç ö ø ÷(x－２)≥０,其解 集为 －∞,－１a æ è ç ]∪[２,＋∞); 当a＜０时,不等式化为 x＋１a æ è ç ö ø ÷(x－２)≤０, (ⅰ)当 － １a ＜２ ,即a＜ － １２ 时,不 等 式 的 解 集 为 －１a ,２[ ]; (ⅱ)当－１a＝２ ,即a＝－１２ 时,不等式的解集为{２}; (ⅲ)当－１a＞２ ,即－１２＜a＜０ 时,不等式的解集 为 ２,－１a[ ]． 　　　三个二次之间的关系 [例２]　[多选](２０２５􀅰滨州模拟)已知关于x 的不 等式ax２＋bx＋c＞０的解集为{x|x＜－２,或x＞ ４},则下列说法正确的是 (　　) A．a＞０ B．a＋b＜c C．bx＋c＞０的解集是{x|x＞－４} D．cx２－bx＋a＜０的解集是 x|x＜－１４ ,或x＞１２{ } [解析]　因为关于x 的不等式ax２＋bx＋c＞０的 解集为{x|x＜－２或x＞４}, 所以ax２＋bx＋c＝０的两个根为－２和４,且a＞０, 所以－２＋４＝－ba ,－２×４＝ca ,得b＝－２a,c＝ －８a,所以 A 正确, 对于B,因为a＋b－c＝a＋(－２a)－(－８a)＝７a＞ ０,所以a＋b＞c,所以B错误, 对于C,因为b＝－２a,c＝－８a,所以bx＋c＞０可化为 －２ax－８a＞０,因为a＞０,所以x＋４＜０,得x＜－４, 所以bx＋c＞０的解集为{x|x＜－４},所以C错误, 对于D,因为b＝－２a,c＝－８a,所以cx２－bx＋a＜０ 可化为－８ax２＋２ax＋a＜０,因为a＞０,所以８x２－２x －１＞０,(２x－１)(４x＋１)＞０,得x＜－１４ 或x＞１２ ,所 以原 不 等 式 的 解 集 为 x|x＜－１４ ,或x＞１２{ },所 以 D正确． [答案]　AD 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 已知一元二次不等式的解集,就能够得到相应的一 元二次方程的两根,由根与系数的关系,可以求出 相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次 项系数的正负． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１􀅰 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 [多选](２０２５􀅰蚌埠模拟)已知关于x的不等式ax２＋ bx＋c＜０的解集为(－∞,１)∪(５,＋∞),则 (　　) A．a＞０ B．a＋b＋c＞０ C．bx＋c＞０的解集是 x|x＞５６{ } D．cx２－bx＋a＜０的解集是 x|x＞－１５ ,或x＜－１{ } 解析:CD　[由题意可得１和５是方程ax２＋bx＋c ＝０的两根,且a＜０, 由韦达定理可得１＋５＝－ba ,１×５＝ca , 得b＝－６a,c＝５a, 对于 A,因为a＜０,故 A 错误;对于 B,a＋b＋c＝a －６a＋５a＝０,故B错误;对于C,不等式bx＋c＞０, 即－６ax＋５a＞０,即６x－５＞０,得x＞５６ ,∴不等式 bx＋c＞０的解集是 x|x＞５６{ },故C正确;对于D,由 不等式cx２－bx＋a＜０,得a(５x２＋６x＋１)＜０,即５x２ ＋６x＋１＞０,则(５x＋１)(x＋１)＞０,得x＞－１５ 或x＜ －１,即解集为 x|x＞－１５ 或x＜－１{ },故D正确．] 　　　一元二次不等式恒成立问题 [例３]　已知函数f(x)＝mx２－(m－１)x＋m－１． (１)若不等式f(x)＜１的解集为R,求m的取值范围; (２)若不等式f(x)≥０对一切x∈ －１２ ,１ ２[ ] 恒成 立,求m 的取值范围; (３)若不等式f(x)＞２对一切m∈(０,２)恒成立,求 x的取值范围． [解]　(１)不等式f(x)＜１, 即mx２－(m－１)x＋m－２＜０, 当m＝０时,x－２＜０,解得x＜２,不符合题意; 当m≠０时, 有 m＜０, Δ＝[－(m－１)]２－４m(m－２)＜０,{ 解得m＜３－２ ３３ , 综上所述,m 的取值范围为 －∞,３－２ ３３ æ è ç ö ø ÷． (２)不等式f(x)≥０对一切x∈ －１２ ,１ ２[ ] 恒成立, 即m(x２－x＋１)≥１－x对一切x∈ －１２ ,１ ２[ ] 恒成立, 因为x２－x＋１＝ x－１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋３４＞０ , 则 不 等 式 等 价 于 m ≥ １－x x２－x＋１ 对 一 切 x ∈ －１２ ,１ ２[ ] 恒成立, 由x∈ －１２ ,１ ２[ ], 得 １－x x２－x＋１ ＝ １ x２－x＋１ １－x ＝ １ －x＋ １１－x ＝ １ １－x＋ １１－x－１ ≤ １ ２ (１－x)􀅰 １１－x－１ ＝１, 当且仅当１－x＝ １１－x ,即x＝０时等号成立, 所以 １－x x２－x＋１ æ è ç ö ø ÷ max ＝１, 所以m≥１,即m 的取值范围是[１,＋∞)． (３)不等式f(x)＞２对一切m∈(０,２)恒成立, 即(x２－x＋１)m＋x－３＞０对一切m∈(０,２)恒成立, 令h(m)＝(x２－x＋１)m＋x－３, 因为x２－x＋１＝ x－１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋３４＞０ , 所以函数h(m)＝(x２－x＋１)m＋x－３在(０,２)上 单调递增, 则h(０)＝x－３≥０,解得x≥３, 所以x的取值范围为[３,＋∞)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 恒成立问题求参数的范围的解题策略 (１)弄清楚自变量、参数．一般情况下,求谁的范围, 谁就是参数． (２)一元二次不等式在R上恒成立,可用判别式Δ, 一元二次不等式在给定区间上恒成立,不能用 判别式Δ,一般分离参数求最值或分类讨论． 已知函数f(x)＝x２－３x＋a． (１)若f(x)＞０在x∈R上恒成立,求实数a的取 值范围; (２)若f(x)＜０在x∈(－１,２)上恒成立,求实数a 的取值范围． 解:(１)f(x)＝x２－３x＋a＝ x－３２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋a－９４ , 则f(x)min＝f ３ ２ æ è ç ö ø ÷＝a－９４ , f(x)＞０在x∈R上恒成立,即f(x)min＝a－ ９ ４＞０ , 故a＞９４． 故实数a的取值范围是 ９４ ,＋∞æ è ç ö ø ÷． (２)f(x)＝x２－３x＋a＝ x－３２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋a－９４ , f(x)在[－１,２]上的最大值为f(x)max＝f(－１)＝ －１－３２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋a－９４＝４＋a , 故f(x)在x∈(－１,２)上满足f(x)＜４＋a,故４＋ a≤０,解得a≤－４． 故实数a的取值范围是(－∞,－４]． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２􀅰 高考总复习　数学 A版