1.4 基本不等式-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版2019）

§１．４　基本不等式 ★[考试要求] １．了解基本不等式的推导过程．２．会用基本不等式解决简单的最值问题．３．理解基本不等式在实际问题中的应用． 　　　　　　　　学生用书　P８ １．基本不等式: ab≤a＋b２ (１)基本不等式成立的条件:a＞０,b＞０． (２)等号成立的条件:当且仅当a＝b时,等号成立． (３)其中a＋b２ 叫做正数a,b的算术平均数, ab叫做 正数a,b的几何平均数． ２．利用基本不等式求最值 (１)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么 当x＝y时,和x＋y有最小值２ P． (２)已知x,y都是正数,如果和x＋y等于定值S,那 么当x＝y时,积xy有最大值１４S ２． 注意:利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二 定、三相等”． 几个重要的不等式 (１)a２＋b２≥２ab(a,b∈R)． (２)ba＋ a b≥２ (a,b同号)． (３)ab≤ a＋b２ æ è ç ö ø ÷ ２ (a,b∈R)． (４)a ２＋b２ ２ ≥ a＋b ２ æ è ç ö ø ÷ ２ (a,b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b． １．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (１)函数y＝x＋１x 的最小值是２． (×) (２)ab≤ a＋b２ æ è ç ö ø ÷ ２ 成立的条件是ab＞０． (×) (３)“x＞０且y＞０”是“xy＋ y x≥２ ”的充要条件．(×) (４)若a＞０,则a３＋１ a２ 的最小值是２ a． (×) ２．已知x＞１,则x＋ １x－１ 的最小值为 (　　) A．２ B．３ C．４ D．５ 解析:B　[因为x＞１,所以x－１＞０, 所 以,x ＋ １x－１ ＝ (x － １)＋ １x－１ ＋ １ ≥ ２ (x－１)􀅰 １x－１＋１＝３ ,当且仅当x－１＝ １x－１ 时等号成立,即x＝２时等号成立, 所以,x＋ １x－１ 的最小值为３．] ３．若实数x,y 满足xy＝１,则x２＋２y２ 的最小值为 　　　　． 解析:∵xy＝１,∴x２＋２y２≥２ x２􀅰２y２＝２ ２􀅰 (xy)２＝２ ２,当且仅当x２＝２y２,xy＝１时,等号 成立． 答案:２ ２ ４．已知x,y∈(０,＋∞),若２x＋３y＝１,则１x＋ １ y 的 最小值为　　　　． 解析:１ x＋ １ y＝ １ x＋ １ y æ è ç ö ø ÷(２x＋３y)＝５＋３yx ＋ ２x y ≥ ５＋２ ３yx 􀅰２x y ＝５＋２ ６ , 当且仅当３y x ＝ ２x y ,即x＝ ６－２２ ,y＝３－ ６３ 时等号 成立． 答案:５＋２ ６ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P８ 　　　　利用基本不等式求最值 ▶[角度１]　配凑法 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例１－１]　(１)函数f(x)＝ x＋３　　　　　 　　　　 　x－１ 的最小值为 　　　　． [解析]　函数f(x)＝ x＋３　　　　　 　　　　 　x－１ 的定义域为(１,＋∞), f(x)＝ (x－１)＋４ 　　　　　 　　　　 　x－１ ＝ x－１＋ ４　　　　　 　　　　 　x－１ ≥ ２ x－１􀅰 ４　　　　　 　　　　 　x－１ ＝４,当且仅当 x－１＝ ４　　　　　 　　　　 　x－１ , 即x＝５时取等号,故当x＝５时,f(x)取得最小值, 且最小值为４． [答案]　４ (２)已知 ０＜x＜ ２２ ,则 x １－２x２ 的 最 大 值 为 　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３１􀅰 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 [解析]　因为０＜x＜ ２２ ,所以１－２x２＞０,x １－２x２ ＝ ２２ 􀅰 ２x􀅰 １－２x２≤ ２２ 􀅰２x ２＋１－２x２ ２ ＝ ２ ４ ,当且 仅当２x２＝１－２x２,即x＝１２ 时等号成立． [答案]　 ２４ ▶[角度２]　常数代换法 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[例１－２]　[多选]已知a,b为正实数,且a＞１,b＞ １,(a－１)(b－１)＝１,则 (　　) A．ab的最大值为４ B．２a＋b的最小值为３＋２ ２ C．a＋b的最小值为３－２ ２ D．１a－１＋ １ b－１ 的最小值为２ [解析]　对于A,∵(a－１)(b－１)＝１,∴ab＝a＋b, 因为ab＝a＋b≥２ ab, ab≥２,ab≥４(当且仅当 a＝b＝２时取“＝”), 所以ab的最小值为４,A 错误; 对于 B,由 ab＝a＋b,得 １a ＋ １ b ＝１ ,(２a＋b) １ a＋ １ b æ è ç ö ø ÷＝３＋２ab ＋ b a ≥３＋２ ２ (当且仅当a＝１ ＋ ２２ ,b＝１＋ ２时取“＝”),B正确; 对于C,(a＋b) １a＋ １ b æ è ç ö ø ÷＝２＋ba ＋ a b ≥４ (当且仅 当a＝b＝２时,取“＝”),C错误; 对于 D,∵(a－１)(b－１)＝１,∴ １a－１＋ １ b－１≥ ２ １(a－１)(b－１)＝２ (当 且 仅 当a＝b＝２ 时,取 “＝”),D正确． [答案]　BD ▶[角度３]　消元法 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例１－３]　(１)已知x＞２,则x ２＋５ x－２ 的最小值为 (　　) A．６ B．１０ C．１２ D．１４ [解析]　因为x＞２,令t＝x－２(t＞０),则x＝t＋２, 所以x ２＋５ x－２＝ (t＋２)２＋５ t ＝ t２＋４t＋４＋５ t ＝t＋ ９ t＋ ４≥２ t􀅰９t＋４＝１０ , 当且仅当t＝９t ,即t＝３时,等号成立, 所以当x＝t＋２＝５时,x ２＋５ x－２≥１０ ,故x ２＋５ x－２ 的最小 值为１０． [答案]　B (２)设正实数x,y,z满足x２－３xy＋４y２－z＝０,则当 xy z 取得最大值时,２ x＋ １ y－ ２ z 的最大值为 (　　) A．９ B．１ C．９４ D．３ [解析]　∵x２－３xy＋４y２－z＝０, ∴z＝x２－３xy＋４y２,又x,y,z均为正实数, ∴xyz ＝ xy x２－３xy＋４y２ ＝ １x y＋ ４y x －３ ≤ １ ２ xy× ４y x －３ ＝１ (当且仅当x＝２y时取“＝”), ∴ xyz æ è ç ö ø ÷ max ＝１,此时x＝２y． ∴z＝x２－３xy＋４y２＝(２y)２－３×２y×y＋４y２＝２y２, ∴２x＋ １ y－ ２ z＝ １ y＋ １ y－ １ y２ ＝－ １y－１ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋１≤１, 当且仅当y＝１时取得“＝”,满足题意． ∴２x＋ １ y－ ２ z 的最大值为１． [答案]　B 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 基本不等式求最值的常用方法 (１)前提:“一正”“二定”“三相等”． (２)要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常 数的形式,然后再利用基本不等式． (３)条件最值的求解通常有三种方法:一配凑法;二 将条件灵活变形,利用常数“１”代换的方法;三 消元法． １．[多选]设正实数a,b满足a＋b＝１,则 (　　) A．１a＋ １ b 有最小值４ B． ab有最小值１２ C．a＋b有最大值 ７ D．a２＋b２ 有最小值１２ 解析:AD　[对于 A,正实数a,b满足a＋b＝１, 所以１ a＋ １ b＝ (a＋b) １a＋ １ b æ è ç ö ø ÷＝２＋ba ＋ a b ≥２＋ ２ ba 􀅰a b ＝４ , 当且仅当a＝b＝１２ 时取等号,A 正确; 对于B,因为 ab≤a＋b２ ＝ １ ２ ,当且仅当a＝b＝１２ 时取等号, 此时 ab取得最大值１２ ,B错误; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４１􀅰 高考总复习　数学 A版 对于C,a＋b≤２× a＋b２ ＝ ２ ,当且仅当a＝b＝ １ ２ 时取等号,C错误; 对于 D,a２＋b２≥２× a＋b２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１２ ,当且仅当a＝b ＝１２ 时取等号,D正确．] ２．已知a＞b＞０,则b ２＋a２ ab－b２ 的最小值为 (　　) A．２ B．１＋２ ２ C．４ D．２＋２ ２ 解析:D　[由a＞b＞０,得ab＞１ ,令a b＝t＞１ , 则b ２＋a２ ab－b２ ＝t ２＋１ t－１＝ t(t－１)＋t－１＋２ t－１ ＝t－１＋ ２ t－１ ＋２≥２ (t－１)􀅰 ２t－１＋２＝２＋２ ２ , 当且仅当t－１＝ ２t－１ ,即t＝１＋ ２时取等号, 所以b ２＋a２ ab－b２ 的最小值为２＋２ ２．] 　　　 利用基本不等式求参数的值或取值范围 [例２]　(１)若正实数x,y满足x＋y＝３,且不等式２x ＋８y ＞m ２－２m＋３恒成立,则实数 m 的取值范 围是 (　　) A．{m|－３＜m＜１} B．{m|m＜－３,或m＞１} C．{m|－１＜m＜３} D．{m|m＜－１,或m＞３} [解析]　因x＋y＝３,由２x＋ ８ y＝ １ ３ ２ x＋ ８ y æ è ç ö ø ÷(x＋y) ＝１３ １０＋ ２y x ＋ ８x y æ è ç ö ø ÷ ≥１３ １０＋２ ２y x 􀅰８x y æ è ç ö ø ÷＝６,当 且仅当２y x ＝ ８x y 时取等号, 即当x＝１,y＝２时,２x＋ ８ y 取得最小值６． 因不等式２ x＋ ８ y＞m ２－２m＋３恒成立,故m２－２m ＋３＜６, 即m２－２m－３＜０,解得－１＜m＜３． [答案]　C (２)若两个正实数x,y满足４x＋y＝２xy,且不等式x ＋y４＜m ２－m有解,则实数m的取值范围是 (　　) A．(－１,２) B．(－∞,－２)∪(１,＋∞) C．(－２,１) D．(－∞,－１)∪(２,＋∞) [解析]　由两个正实数x,y 满足４x＋y＝２xy,得 １ x＋ ４ y＝２ , 则x＋y４＝ １ ２ １ x＋ ４ y æ è ç ö ø ÷ x＋y４ æ è ç ö ø ÷ ＝１２ ２＋ ４x y ＋ y ４x æ è ç ö ø ÷≥１２ ２＋２ ４x y 􀅰y ４x æ è ç ö ø ÷＝２, 当且仅当４x y ＝ y ４x ,即y＝４x＝４时取等号, 由不等式x＋y４＜m ２－m 有解,得m２－m＞２,解得 m＜－１或m＞２, 所以实数m的取值范围是(－∞,－１)∪(２,＋∞)． [答案]　D 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 利用基本不等式求参数的值或取值范围的方法 (１)根据基本不等式等号成立的条件,求参数的值 或取值范围． (２)转化为求最值问题,利用基本不等式求解． 已知正数x、y满足(x－１)(y－２)＝２,不等式３x＋ ２y＞m 恒成立．则实数m 的取值范围是 (　　) A．(－∞,４＋６ ２) B．(６＋４ ２,＋∞) C．(－∞,７＋４ ３) D．(８＋４ ３,＋∞) 解析:C　[因为(x－１)(y－２)＝２,x＞０,y＞０, 所以xy＝２x＋y,即１x＋ ２ y＝１ , 所 以 由 基 本 不 等 式 可 得 ３x＋２y＝ (３x＋２y) １ x＋ ２ y æ è ç ö ø ÷＝７＋２yx＋ ６x y ≥７＋２ ２y x 􀅰６x y ＝７＋４ ３ , 等号成立当且仅当 ２y x ＝ ６x y x＞０,y＞０ (x－１)(y－２)＝２ ì î í ï ï ï ï ,即 x＝１＋ ２ ３ ３ y＝２＋ ３ ì î í ïï ï , 综上所述,３x＋２y的最小值为７＋４ ３． 因为不等式３x＋２y＞m 恒成立, 所以实数m 的取值范围是(－∞,７＋４ ３)．] 　　基本不等式的实际应用 [例３]　数字经济是以数据资源为关键要素,以现代 信息网络为主要载体,通过信息通信技术的融合应 用推动全要素数字化转型的新经济形态,在技术层 面,包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智 能、５G 通信等新兴技术;在应用层面,包括“新零 售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等． 现有一人工智能企业生产制造人形机器人,每月的 成本t(单位:万元)由两部分构成:① 固定成本 １０００万元;②材料成本 １０x＋x ２ １０ æ è ç ö ø ÷ 万元,x 为每月 生产人形机器人的个数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５１􀅰 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 (１)该企业每月的产量为多少时,平均每个人形机 器人的成本最低,最低为多少万元? (２)若每个人形机器人的售价为 ２３＋x５ æ è ç ö ø ÷ 万元,假 设生产出来的每个人形机器人都能够售出,则该企 业应如何制订生产计划,才能确保每月的利润不低 于４００万元? 附:利润＝售价×销量－成本． [解]　(１)设平均每个人形机器人的成本为y 万 元,根据题意有y＝ １０００＋１０x＋x ２ １０ x ＝ １０００ x ＋ x １０ ＋１０≥２ １０００x 􀅰x １０＋１０＝３０ , 当且仅当１０００ x ＝ x １０ ,即x＝１００时取等号． 所以该企业每月的产量为１００个时,平均每个人形 机器人的成本最低,最低为３０万元． (２)设月利润为 W 万元,则有 W ＝x ２３＋x５ æ è ç ö ø ÷ － １０００－１０x－x ２ １０＝ x２ １０＋１３x－１０００ , 由题知x ２ １０＋１３x－１０００≥４００ ,整理得x２＋１３０x－ １４０００≥０,解得x≥７０． 所以该企业每月生产不小于７０个人形机器人,才 能确保每月的利润不低于４００万元． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 有关函数最值的实际问题的解题技巧 (１)根据实际问题建立函数的解析式,再利用基本 不等式求得函数的最值． (２)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定 义为函数． (３)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其 取值范围． (４)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不 到,可利用函数的单调性求解． 经测算,某型号汽车在匀速行驶的过程中每小时耗 油量y(L)与速度x(km/h)(５０≤x≤１２０)的关系 可近似表示为 y＝ １ ７５ (x２－１３０x＋４９００),x∈[５０,８０), １２－x６０ ,x∈[８０,１２０]． ì î í ï ï ï ï (１)该型号汽车的速度为多少时,可使得每小时耗 油量最低? (２)已知A,B 两地相距１２０km,假定该型号汽车 匀速从A 地驶向B 地,则汽车速度为多少时总耗 油量最少? 解:(１)当 x∈ [５０,８０)时,y＝ １７５ (x２ －１３０x＋ ４９００)＝１７５ [(x－６５)２＋６７５],当x＝６５时,y 有最 小值,为１ ７５×６７５＝９ ;当x∈[８０,１２０]时,函数y＝ １２－x６０ 单调递减,故当x＝１２０时,y 有最小值,为 １０．因为９＜１０,所以该型号汽车的速度为６５km/h 时,每小时耗油量最低． (２)设总耗油量为l,由题意可知l＝y􀅰１２０x ,当x∈ [５０,８０)时,l＝y􀅰１２０x ＝ ８ ５ x＋ ４９００ x －１３０ æ è ç ö ø ÷ ≥８５ ２ x×４９００x －１３０ æ è ç ö ø ÷＝１６,当且仅当x＝４９００x ,即 x＝７０时,l取得最小值,最小值为１６;当x∈[８０, １２０]时,l＝y􀅰１２０x ＝ １４４０ x －２ 为减函数,故当x＝ １２０时,l取得最小值,最小值为１０．因为１０＜１６, 所以当速度为１２０km/h时,总耗油量最少． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 学生用书　P１１ １．三个正数的算术一几何平均不等式 如果a,b,c∈(０,＋∞),那么a＋b＋c３ ≥ ３ abc,当且 仅当a＝b＝c时,等号成立． ２．n个正数a１,a２,􀆺,an 的算术一几何平均不等式 对于n个正数a１,a２,􀆺,an,它们的算术平均数不小于 它们的几何平均数,即a１＋a２＋ 􀆺＋an n ≥ n a１􀆺an 当且仅当 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　a１＝a２＝􀆺＝an 时,等号成立． [典例]　[多选]三元均值不等式:“当a,b,c均为正实数 时,a＋b＋c ３ ≥ ３ abc,即三个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数,当且仅当a＝b＝c时,等号成立．” 利用上面结论,判断下列不等式成立的是 (　　) A．若x＞０,则x２＋２x≥３ B．若０＜x＜１,则x２(１－x)≤１９ C．若x＞０,则２x＋１ x２ ≥３ D．若０＜x＜１,则x(１－x)２≤１９ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６１􀅰 高考总复习　数学 A版 [解析]　 对于 A,x＞０,x２＋２x ＝x ２＋１x ＋ １ x ≥ ３ ３ x２􀅰１x 􀅰１ x＝３ ,故A正确;对于B,∵０＜x＜１,∴１ －x＞０,x２ (１－x)＝ １２x 􀅰x􀅰 (２－２x)≤ １ ２ x＋x＋２－２x ３ æ è ç ö ø ÷ ３ ＝４２７ ,故B错误;对于C,x＞０,２x ＋１ x２ ＝x＋x＋１ x２ ≥３ ３ x􀅰x􀅰１ x２ ＝３,故C正确;对于 D,∵０＜x＜１,∴１－x＞０,x(１－x)２＝１２×２x (１－x) (１－x)≤１２ ２x＋１－x＋１－x ３ æ è ç ö ø ÷ ３ ＝４２７ ,故D错误． [答案]　AC 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 　　 (１)利用三个正数的算术—几何平均不等式定理求 最值,可简记为“积定和最小,和定积最大”． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋(２)应用算术—几何平均不等式定理,要注意三个 条件即“一正二定三相等”同时具备时,函数方 可取得最值．其中定值条件决定着平均不等式 应用的可行性,获得定值需要一定的技巧,如: 配系数、拆项、分离常数、平方变形等． (３)当不具备使用平均不等式定理的条件时,求函 数的最值可考虑利用函数的单调性． 若实数x,y满足xy＞０,且x２y＝２,则xy＋x２ 的最 小值是 (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ 解析:C　 [xy＋x２ ＝ １２xy＋ １ ２xy＋x ２ ≥ ３ ３ １ ２xy 􀅰１ ２xy 􀅰x２＝３ ３ １ ４ (x２y)２＝３ ３ ４ ４＝３． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 学生用书　P１１ １．二维形式的柯西不等式 (a２＋b２)(c２＋d２)≥(ac＋bd)２(a,b,c,d∈R,当且 仅当ad＝bc时,等号成立)． ２．二维形式的柯西不等式的变式 (１)a２＋b２􀅰 c２＋d２≥|ac＋bd|(a,b,c,d∈R,当且 仅当ad＝bc时,等号成立)． (２)a２＋b２􀅰 c２＋d２≥|ac|＋|bd|(a,b,c,d∈R,当 且仅当ad＝bc时,等号成立)． (３)(a＋b)(c＋d)≥( ac＋ bd)２(a,b,c,d≥０,当且 仅当ad＝bc时,等号成立)． ３．二维形式的柯西不等式的向量形式 |α􀅰β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量,或存在实 数k,使α＝kβ时,等号成立)． [典例]　已知x,y∈R,３x２＋２y２≤６,求２x＋y的最值． [解]　方法一　由柯西不等式得 (２x＋y)２≤[(３x)２＋(２y)２] ２ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ １ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ é ë êê ù û úú ＝(３x２＋２y２)４３＋ １ ２ æ è ç ö ø ÷≤１１． 当且仅当 ３x􀅰１ ２ ＝ ２y􀅰２ ３ , 即 x＝４ １１１１ , y＝３ １１１１ ì î í ï ï ï ï 或 x＝－４ １１１１ , y＝－３ １１１１ ì î í ï ï ï ï 时等号成立, 于是２x＋y的最大值为 １１,最小值为－ １１． 方法二　由柯西不等式得|２x＋y|≤ 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　(３x)２＋(２y)２ ２ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ １ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ (３x２＋２y２)４３＋ １ ２ æ è ç ö ø ÷ ≤ １１, 当且仅当 ３x􀅰１ ２ ＝ ２y􀅰２ ３ , 即 x＝４ １１１１ , y＝３ １１１１ ì î í ï ï ï ï 或 x＝－４ １１１１ , y＝－３ １１１１ ì î í ï ï ï ï 时等号成立, 于是２x＋y的最大值为 １１,最小值为－ １１． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 掌握柯西不等式及其变式的结构,常用巧拆常数、 重新安排某些项的次序、改变结构、添项等方法． 设a＝(１,－２),b＝(x,y),若x２＋y２＝１６,则a􀅰b 的最大值为　　　　． 解析:∵a＝(１,－２),b＝(x,y), ∴a􀅰b＝x－２y． 由柯西不等式的向量形式可得 [１２＋(－２)２](x２＋y２)≥(x－２y)２, 即５×１６≥(x－２y)２, ∴－４ ５≤x－２y≤４ ５,(∗) 当且仅当b＝ka, 即 x＝４ ５５ , y＝－８ ５５ ì î í ï ï ï ï 时,(∗)式中右边等号成立, 或 x＝－４ ５５ , y＝８ ５５ ì î í ï ï ï ï 时,(∗)式中左边等号成立, ∴当x＝４ ５５ ,y＝－８ ５５ 时,a􀅰b的最大值为４ ５． 答案:４ ５ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７１􀅰 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式