1.3 等式性质与不等式性质-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版2019）

１．[多选]下列命题中,是存在量词命题且为真命题 的有 (　　) A．∃x∈R,x２－x＋１４＞０ B．所有的正方形都是矩形 C．∃x∈R,x２＋２x＋２＝０ D．至少有一个实数x,使x３＋１＝０ 解析:AD　[A．是存在量词命题;因为x２－x＋１４ ＝ x－１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ≥０,所以该命题为真命题,所以该选 项符合题意;B．全称量词命题,所以该选项不符合 题意;C．存在量词命题,对于方程x２＋２x＋２＝０,Δ ＝２２－８＝－４＜０,所以x２＋２x＋２＞０,所以该命 题为假命题,所以该选项不符合题意;D．存在量词 命题,x＝－１时,x３＋１＝０,所以该命题是真命题, 所以该选项符合题意．] ２．[多选](２０２５􀅰海口模拟)以下说法正确的是(　　) A．“∀x∈R,３x２－２≥０”的否定是“∃x∈R,３x２－ ２＜０” B．“x＞３”是“log３(２x＋１)＞２”的充分不必要条件 C．若命题“∃x∈R,x２＋(a－１)x＋１＜０”的否定是 假命题,则实数a的取值范围是(－１,３) D．“∀x∈R,２ax２＋ax－３８≤０ ”是真命题,则－３≤ a≤０ 解析:AD　[对于 A,“∀x∈R,３x２－２≥０”的否定 是“∃x∈R,３x２－２＜０”,故 A 正确; 对于B,log３(２x＋１)＞２,即log３(２x＋１)＞log３９, 解得x＞４, 因为x＞４⇒x＞３所以“x＞３”是“log３(２x＋１)＞２” 的必要不充分条件,故B错误; 对于C,命题的否定是假命题,则命题“∃x∈R,x２ ＋(a－１)x＋１＜０”是真命题,即Δ＝(a－１)２－４＞ ０,解得a＞３或a＜－１,故C错误; 对于 D,因为“∀x∈R,２ax２＋ax－３８≤０ ”是真命 题,即２ax２＋ax－３８≤０ ,对∀x∈R恒成立．当a＝ ０时,命题成立;当a≠０时, a＜０ Δ＝a２＋３a≤０{ ,解得 －３≤a＜０,综上可得,－３≤a≤０,故 D正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 §１．３　等式性质与不等式性质 ★[考试要求] １．掌握等式性质．２．会比较两个数的大小．３．理解不等式的性质,并能简单应用． 　　　　　　　　学生用书　P６ １．两个实数比较大小的方法 作差法 a－b＞０⇔a＞b, a－b＝０⇔a＝b, a－b＜０⇔a＜b． ì î í ï ï ïï (a,b∈R) ２．等式的性质 性质１　对称性:如果a＝b,那么b＝a; 性质２　传递性:如果a＝b,b＝c,那么a＝c; 性质３　可加(减)性:如果a＝b,那么a±c＝b±c; 性质４　可乘性:如果a＝b,那么ac＝bc; 性质５　可除性:如果a＝b,c≠０,那么ac＝ b c． ３．不等式的性质 性质１　对称性:a＞b⇔b＜a; 性质２　传递性:a＞b,b＞c⇒a＞c; 性质３　可加性:a＞b⇔a＋c＞b＋c; 性质４　可乘性:a＞b,c＞０⇒ac＞bc, a＞b,c＜０⇒ac＜bc; 性质５　同向可加性:a＞b,c＞d⇒a＋c＞b＋d; 性质６　同向同正可乘性:a＞b＞０,c＞d＞０⇒ ac＞bd; 性质７　同正可乘方性:a＞b＞０⇒an＞bn(n∈N,n ≥２)． １．倒数性质 若ab＞０,则a＞b⇒１a＜ １ b ; 若ab＜０,则a＞b⇒１a＞ １ b． ２．分数性质 若a＞b＞０,m＞０,则 (１)真分数性质:ba＜ b＋m a＋m ;b a＞ b－m a－m (b－m＞０); (２)假分数性质:ab＞ a＋m b＋m ;a b＜ a－m b－m (b－m＞０)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９􀅰 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 １．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (１)两个实数a,b之间,有且只有a＞b,a＝b,a＜b三 种关系中的一种． (√) (２)若ab＞１ ,则a＞b． (×) (３)同向不等式具有可加性和可乘性． (×) (４)两个数的比值大于１,则分子不一定大于分母． (√) ２．设a∈R,下列各式成立的是 (　　) A．a２≥２a＋１ B．a２＞２a－１ C．４a２－a≥３a－１ D．a２－３a＞a－４ 解析:C　[A．a２－(２a＋１)＝a２－２a－１＝(a－１)２－２, 无法判断;B．a２－(２a－１)＝(a－１)２≥０,不成立;C．４a２ －a－(３a－１)＝(２a－１)２≥０,成立;D．a２－３a－(a－４) ＝a２－４a＋４＝(a－２)２≥０,不成立．] ３．[多选]设a,b,c,d∈R且a＞b,c＞d,则下列命题 不正确的是 (　　) A．ac＞bd B．a－c＞b－d C．a＋c＞b＋d D．ad＞ b c 解析:ABD　[根据a＞b,c＞d,不妨设a＝１,b＝０, c＝－１,d＝－２,则ac＝－１＜bd＝０,A 不正确;同 理a d＝－ １ ２＜ b c＝０ ,D 不正确;因为c＞d,由不等 式的性质得－c＜－d,根据不等式的同向可加性得 B不正确,C正确．] ４．若实数a,b满足０＜a＜２,０＜b＜１,则a－b的取值 范围是　　　　． 解析:∵０＜b＜１,∴－１＜－b＜０, ∵０＜a＜２,∴－１＜a－b＜２． 答案:(－１,２) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P６ 　　　　比较两个数(式)的大小 [例１]　(１)[多选]下列不等式中正确的是 (　　) A．x２－２x＞－３(x∈R) B．a３＋b３≥a２b＋ab２(a,b∈R) C．a２＋b２＞２(a－b－１) D．ab＜ a＋m b＋m (b＞a＞０,m＞０) [解析]　对选项 A,∵x２－２x＋３＝(x－１)２＋２≥２ ＞０,∴x２－２x＞－３,故 A 正确; 对选项B,a３＋b３－a２b－ab２＝a２(a－b)＋b２(b－a) ＝(a－b)(a２－b２)＝(a－b)２(a＋b)． ∵(a－b)２≥０,a＋b的符号不定,所以a３＋b３ 与 a２b＋ab２ 的大小不定,故B错误; 对选项C,a２＋b２－２a＋２b＋２＝(a－１)２＋(b＋１)２ ≥０,∴a２＋b２≥２(a－b－１),故C错误; 对选项 D,用作差比较:a＋mb＋m－ a b＝ m(b－a) b(b＋m) , ∵b＞a＞０,m＞０,∴m (b－a) b(b＋m)＞０ ,∴ab ＜ a＋m b＋m ,故 D正确． [答案]　AD (２)设a,b都是正数,且a≠b,则aabb 与abba 的大 小关系是　　　　． [解析]　a abb abba ＝aa－b􀅰bb－a＝ ab æ è ç ö ø ÷ a－b ．若a＞b,则 a b＞１ ,a－b＞０,∴ ab æ è ç ö ø ÷ a－b ＞１,∴aabb＞abba;若a ＜b,则０＜ab ＜１ ,a－b＜０,∴ ab æ è ç ö ø ÷ a－b ＞１,∴aabb ＞abba． [答案]　aabb＞abba 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 比较大小的常用方法 (１)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论． (２)作商法:①作商;②变形;③判断商与１的大小 关系;④得出结论． (３)构造函数,利用函数的单调性比较大小． １．已知P＝a２＋b２＋１ c２ ＋c２,Q＝２a＋２b,则 (　　) A．P≤Q B．P＝Q C．P≥Q D．P,Q 的大小无法确定 解析:C　[P－Q＝(a２＋b２＋１ c２ ＋c２)－(２a＋２b)＝ (a－１)２＋(b－１)２＋ c－１c æ è ç ö ø ÷ ２ ≥０, 故P－Q≥０,所以P≥Q．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０１􀅰 高考总复习　数学 A版 ２．若a＝ln３３ ,b＝ln２２ ,则a与b的大小关系是　　　　． (用“＞”连接) 解析:方法一(作商法):因为a＝ln３３ ＞０ ,b＝ln２２ ＞０, 所以a b＝ ln３ ３ × ２ ln２＝ ２ln３ ３ln２＝ ln９ ln８＝log８９＞１ ,所以 a＞b． 方法二(作差法):a－b＝ln３３ － ln２ ２ ＝ １ ６ (２ln３－ ３ln２)＝１６ (ln９－ln８)＞０,即a＞b． 答案:a＞b 　　　不等式的基本性质 [例２]　(１)已知a＜b＜０,c＜d＜０,则下列不等式错 误的是 (　　) A．a＋c＜b＋d B．ac＞bd C．da＞ c a D．a ２＞ab＞b２ [解析]　因为a＜b＜０,c＜d＜０,所以a＋c＜b＋ d,故选项 A 正确;因为－a＞－b＞０,－c＞－d＞ ０,所以ac＞bd,故选项 B正确;因为－c＞－d＞０, －１a＞０ ,所以d a ＜ c a ,故选项 C 错误;因为－a＞ －b＞０,所以a２＞ab,ab＞b２,所以a２＞ab＞b２,故 选项 D正确． [答案]　C (２)[多选](２０２５􀅰三明模拟)已知a＞b＞０,则下列 不等式正确的是 (　　) A．a２＞ab B．aa＋１＞ b b＋１ C．a＋b＋ln(ab)＞２ D．a－１a＞b－ １ b [解析]　对A,因为a＞b＞０,故a２＞ab,故A正确; 对B,∵a＞b＞０,∴１＋１a＜１＋ １ b ,即０＜a＋１a ＜ b＋１ b ,∴ aa＋１＞ b b＋１ ,B正确; 对C,令a＝１,b＝１e ,a＋b＋ln(ab)＝１＋１e＋ln １ e ＝１e＜２ ,C错误; 对 D,易得y＝x－１x (x＞０)为增函数,且a＞b＞０, 故a－１a＞b－ １ b ,故 D正确． [答案]　ABD 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 解决此类题目常用的三种方法: (１)直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等式 的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提 条件; (２)利用特殊值法排除错误答案; (３)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质 不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函 数、幂函数等函数的单调性来比较． １．如果a,b,c,d∈R,则正确的是 (　　) A．若a＞b,则２a＜ ２ b B．若a＞b,则ac２＞bc２ C．若a＞b,c＜d,则a－c＞b－d D．若a＞b,c＞d,则ac＞bd 解析:C　[因为a,b,c,d∈R,所以 对于 A,不妨令a＝１,b＝－１,则有a＞b,但２a＝２ ＞－２＝２b ,故 A 错误;对于B,令c＝０,则虽有a＞ b,但ac２＝bc２＝０,故B错误;对于 C,因为c＜d,所 以－c＞－d, 又a＞b,所以两式相加得a－c＞b－d,故C正确; 对于D,不妨令a＝c＝１,b＝d＝－１,则有a＞b,c＞ d,但ac＝bd＝１,故 D错误．] ２．[多选]若a＞b＞０,c＞d＞０,则 (　　) A．ac＞ b d B．a(a＋c)＞b(b＋d) C．da＋d＜ c b＋c D．b＋db＋c＜ a＋d a＋c 解析:BCD　[对于 A,取a＝４,b＝２,c＝２,d＝１,则 a c＝ b d＝２ ,A 错误;对 B,由a＞b＞０,c＞d＞０,则 a＋c＞b＋d, 则有a(a＋c)＞b(b＋d),故B正确; 对C,由a＞b＞０,c＞d＞０,则ac＞bd, 且 d a＋d＜ c b＋c 等价于 １ a d＋１ ＜ １b c＋１ , 等价于a d＞ b c ,等价于ac＞bd,即C正确; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１１􀅰 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 对 D,由a＞b＞０,c＞d＞０,则b＋db＋c＝ b＋c＋d－c b＋c ＝ １＋d－cb＋c , a＋d a＋c＝ a＋c＋d－c a＋c ＝１＋ d－c a＋c ,即b＋d b＋c＜ a＋d a＋c 等价 于d－c b＋c＜ d－c a＋c , 由d－c＜０,即等价于 １b＋c＞ １ a＋c ,等价于a＋c＞b ＋c,即a＞b,故 D正确．] 　　　　不等式性质的综合应用 [例３]　(１)[多选]下列说法中正确的是 (　　) A．若c＞０,ac＞bc,则a＞b B．若－２＜a＜４,１＜b＜３,则－８＜a－２b＜２ C．若a＞b＞０,m＜０,则ma ＜ m b D．若－２＜a＋b＜４,１＜b－２a＜３,则－９＜a－２b ＜３ [解析]　对于 A,因为ac＞bc,不等式两边同除以c (c＞０),可得a＞b,故 A 正确; 对于B,因为１＜b＜３,所以－６＜－２b＜－２,又－２ ＜a＜４,所以－８＜a－２b＜２,故B正确; 对于C,因为a＞b＞０,所以０＜１a＜ １ b ,又m＜０,所 以m a ＞ m b ,故C不正确; 对于D,令a－２b＝x(a＋b)＋y(b－２a)＝(x－２y)a ＋(x＋y)b, 则 x－２y＝１ x＋y＝－２{ ,解得 x＝－１ y＝－１{ ,所以a－２b＝－(a＋ b)－(b－２a), 因为－２＜a＋b＜４,所以－４＜－(a＋b)＜２, 因为１＜b－２a＜３,所以－３＜－(b－２a)＜－１, 所以－７＜a－２b＜１,故 D不正确． [答案]　AB (２)(２０２５􀅰大连模拟)A,B,C,D 四名学生的年龄 关系如下．A,C 的年龄之和与B,D 的年龄之和相 同,C,D 的年龄之和大于A,B 的年龄之和,B 的年 龄大于A,D 的年龄之和,则A,B,C,D 的年龄关 系是 (　　) A．B＞C＞A＞D B．B＞C＞D＞A C．C＞B＞A＞D D．C＞B＞D＞A [解析]　为简便起见,复用 A,B,C,D 表示A,B, C,D 四个同 学 的 年 龄,则 A＞０,B＞０,C＞０,D ＞０． 则:A＋C＝B＋D①,C＋D＞A＋B②,B＞A＋ D③． ①＋②得C＞B,①＋③得C＞２D,②＋③得C＞ ２A,由于A＞０,D＞０,故由③得B＞A,B＞D, 由①得C－B＝D－A,∵C＞B,∴C－B＞０,∴D－ A＞０,∴D＞A, 综上C＞B＞D＞A． [答案]　D 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 利用不等式的性质求代数式的取值范围时应注意: (１)必须严格运用不等式的性质; (２)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的 取值范围,解决途径是先建立所求范围的整体 与已知范围的整体的等量关系,然后通过“一次 性”不等关系的运算求解范围． １．[多选]已知２＜x＜３,２＜y＜３,则 (　　) A．６＜２x＋y＜９ B．２＜２x－y＜３ C．－１＜x－y＜１ D．４＜xy＜９ 解析:ACD　[由已知得,４＜２x＜６,－２＞－y＞－３, 对于 A,由４＜２x＜６和２＜y＜３,得到６＜２x＋y＜ ９,A 正确;对于B,由４＜２x＜６和－３＜－y＜－２, 得到１＜２x－y＜４,故B错误;对于C,由２＜x＜３, －３＜－y＜－２,得到－１＜x－y＜１,C正确;对于 D,由２＜x＜３,２＜y＜３,得到４＜xy＜９,D正确．] ２．手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占 比”,它是手机外观设计中一个重要参数,其值通常 在(０,１)之间．设计师将某手机的屏幕面积和整机 面积同时增加相同的数量,升级为一款新的手机外 观,则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化 (　　) A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小 C．“屏占比”变大 D．变化不确定 解析:C　[设原来手机屏幕面积为b,整机面积为a, 则屏占比为b a (a＞b),设手机的屏幕面积和整机面积 同时增加相同的数量为m(m＞０),升级后屏占比为 b＋m a＋m ,∵a＞b,∴b＋ma＋m－ b a ＝ ab＋am－ab－bm a(a＋m) ＝ (a－b)m a(a＋m)＞０ ,即该手机“屏占比”和升级前比变大．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２１􀅰 高考总复习　数学 A版