1.2 常用逻辑用语-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版2019）

§１．２　常用逻辑用语 ★[考试要求] １．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义;理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充 要条件的关系．２．理解全称量词和存在量词的意义,能正确对两种命题进行否定． 　　　　　　　　学生用书　P４ １．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p 的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇒/p p是q的必要不充分条件 p⇒/q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇒/q且q⇒/p ２．全称量词与存在量词 (１)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通 常叫做全称量词,并用符号“∀”表示． (２)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑 中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示． ３．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M 中任意一个x, p(x)成立 存在 M 中的元素 x,使p(x)成立 简记 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,p(x) 否定 ∃x∈M,􀱑p(x) ∀x∈M,􀱑p(x) １．充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)}． ①若p是q的充分条件,则A⊆B; ②若p是q的充分不必要条件,则A⫋B; ③若p是q的必要不充分条件,则B⫋A; ④若p是q的充要条件,则A＝B． ２．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词,否定 结论”． ３．命题p与p 的否定的真假性相反． １．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (１)写全称量词命题的否定时,全称量词变为存在量词． (√) (２)“x＞１”是“x＞０”的充分不必要条件． (√) (３)“三角形的内角和为１８０°”是存在量词命题．(×) (４)当p是q的充分条件时,q是p 的必要条件．(√) ２．[多选]下列命题中,是全称量词命题且是真命题 的是 (　　) A．任何一个实数乘以０都等于０ B．自然数都是正整数 C．实数都可以写成小数形式 D．一定存在没有最大值的二次函数 解析:AC　[A 选项中,“任何”是全称量词,它是全 称量词命题,且为真命题;B选项中,“都”是全称量 词,它是全称量词命题,由于０是自然数,不是正整 数,故该命题是假命题;C 选项中,“都”是全称量 词,它是全称量词命题,且为真命题;D选项中,“存 在”是存在量词,它是存在量词命题．] ３．(２０２４􀅰全国甲卷)设向量a＝(x＋１,x),b＝(x,２),则 (　　) A．x＝－３是a⊥b的必要条件 B．x＝－３是a∥b的必要条件 C．x＝０是a⊥b的充分条件 D．x＝－１＋ ３是a∥b的充分条件 解析:C　[若a⊥b,则x(x＋１)＋２x＝０, 即x２＋３x＝０,解得x＝０或x＝－３, ∴A 错,C对;若a∥b,则２(x＋１)－x２＝０,即x２－ ２x－２＝０,解得x＝１± ３,故B、D错．] ４．(２０２５􀅰株洲质检)“x≥a”是“x≥２”的必要不充分 条件,则a的取值范围为 (　　) A．(３,＋∞) B．(－∞,２) C．(－∞,２] D．[０,＋∞) 解析:B　[由题意得,{x|x≥２}是{x|x≥a}的真子 集,故a＜２．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P４ 　　　充分、必要条件的判定 [例１]　(１)“a２＝b２”是“a２＋b２＝２ab”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 [解析]　法一:因为“a２＝b２”⇔“a＝－b或a＝b”,“a２ ＋b２＝２ab”⇔“a＝b”,所以本题可以转化为判断“a＝ －b或a＝b”与“a＝b”的关系,又“a＝－b或a＝b”是“a ＝b”的必要不充分条件,所以“a２＝b２”是“a２＋b２＝ ２ab”的必要不充分条件． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６􀅰 高考总复习　数学 A版 法二:若a２＝b２,则当a＝－b≠０时,有a２＋b２＝２a２, ２ab＝－２a２,即a２＋b２≠２ab,所以由a２＝b２⇒/a２＋b２＝ ２ab;若a２＋b２＝２ab,则有a２＋b２－２ab＝０,即(a－b)２ ＝０,所以a＝b,则有a２＝b２,即a２＋b２＝２ab⇒a２＝b２． 所以“a２＝b２”是“a２＋b２＝２ab”的必要不充分条件． [答案]　B (２)祖暅原理是一个涉及几何求积的著名命题．内 容为:“幂势既同,则积不容异”．“幂”是截面积, “势”是几何体的高．意思是两个等高的几何体,如 在等高处的截面积相等,则体积相等．设A,B 为两 个等高的几何体,p:A、B 的体积相等,q:A、B 在同 一高处的截面积相等．根据祖暅原理可知,p是q的 (　　) A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　已知 A,B 为两个等高的几何体,由祖暅 原理知q⇒p,而p不能推出q,可举反例,两个相同 的圆锥,一个正置,一个倒置,此时两个几何体等高 且体积相等,但在同一高处的截面积不相等,则p 是q 的必要不充分条件． [答案]　C 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 充分、必要条件的三种判定方法 (１)定义法:根据p⇒q,q⇒p是否成立进行判断． (２)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含 关系进行判断． (３)等价转化法:指对所给题目的条件进行一系列 的等价转化,直到转化成容易判断充分、必要条 件是否成立为止． １．(２０２５􀅰常德开学考)不等式２x２－５x－３＜０成立 的一个必要不充分条件是 (　　) A．－３＜x＜１２ B．－ １ ２＜x＜３ C．－１＜x＜３ D．１２＜x＜３ 解析:C　[∵２x２－５x－３＜０,∴－１２＜x＜３ , 观察四个选项可知 －１２ ,３æ è ç ö ø ÷ 是(－１,３)的真子集, 故“－１＜x＜３”是“不等式２x２－５x－３＜０”成立的 一个必要不充分条件．] ２．已知x∈R,则“x＜－１”是“x２＞１”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析:A　[解不等式x２＞１,可得x＞１或x＜－１, 则由充分必要条件的判定可知“x＜－１”是“x２＞１” 的充分不必要条件．] 　　　充分、必要条件的应用 [例２]　(１)(２０２５􀅰惠州调研)命题“∀x∈[１,２],x２ －a≤０”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥４ B．a≤４ C．a≥５ D．a≤５ [解析]　命题“∀x∈[１,２],x２－a≤０”为真命题,可 化为“∀x∈[１,２],a≥x２”恒成立,即只需a≥(x２)max＝ ４,即“∀x∈[１,２],x２－a≤０”为真命题的充要条件为a ≥４,而要找的是一个充分不必要条件,即为集合{a|a ≥４}的真子集,由选项可知C符合题意． [答案]　C (２)已知P＝{x|x２－８x－２０≤０},非空集合S＝ {x|１－m≤x≤１＋m}．若x∈P 是x∈S 的必要条 件,则m 的取值范围为　　　　． [解析]　由x２－８x－２０≤０得－２≤x≤１０, 故P＝{x|－２≤x≤１０}, 由x∈P 是x∈S的必要条件,知S⊆P． 则 １－m≤１＋m, １－m≥－２, １＋m≤１０, ì î í ï ï ïï ∴０≤m≤３． ∴当０≤m≤３时,x∈P 是x∈S 的必要条件,即所 求m 的取值范围是[０,３]． [答案][０,３] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 根据充要条件求解参数范围应注意的２点 (１)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或 充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集 合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解． (２)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点 值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求 解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号 决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或 增解的现象． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７􀅰 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 １．(２０２５􀅰泰安模拟)已知p:x≥a,q:|x＋２a|＜３,且 p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 (　　) A．(－∞,－１] B．(－∞,－１) C．[１,＋∞) D．(１,＋∞) 解析:A　[因为q:|x＋２a|＜３, 所以q:－２a－３＜x＜－２a＋３, 记A＝{x|－２a－３＜x＜－２a＋３}, p:x≥a,记为B＝{x|x≥a}． 因为p是q 的必要不充分条件,所以A⊆B, 所以a≤－２a－３,解得a≤－１．] ２．若不等式(x－a)２＜１成立的充分不必要条件是 １＜x＜２,则实数a的取值范围是　　　　． 解析:由(x－a)２＜１得a－１＜x＜a＋１, 因为１＜x＜２是不等式(x－a)２＜１成立的充分不 必要条件, 所以满足 a－１≤１, a＋１≥２{ 且等号不能同时取得, 即 a≤２, a≥１,{ 解得１≤a≤２． 答案:[１,２] 　　　全称量词与存在量词 ▶[角度１]　含量词的命题的否定 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例３－１]　(１)(２０２５􀅰长春质监)命题“∃x≥０,ex－ １≥x”的否定是 (　　) A．∃x＜０,ex－１＜x B．∃x≥０,ex－１＜x C．∀x＜０,ex－１＜x D．∀x≥０,ex－１＜x [解析]　命题“∃x≥０,ex－１≥x”的否定是“∀x≥ ０,ex－１＜x”, [答案]　D (２)(２０２５􀅰郑州模拟)命题“∀x∈[０,＋∞),x３＋ x≥０”的否定是 (　　) A．∀x∈(－∞,０),x３＋x＜０ B．∀x∈(－∞,０),x３＋x≥０ C．∃x∈[０,＋∞),x３＋x＜０ D．∃x∈[０,＋∞),x３＋x≥０ [解析]　全称量词命题的否定是存在量词命题,所 以,命题“∀x∈[０,＋∞),x３＋x≥０”的否定是∃x ∈[０,＋∞),x３＋x＜０． [答案]　C ▶[角度２]　含量词的命题的真假判断 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例３－２]　[多选]下列命题中,为真命题的是 (　　) A．∀x∈R,２x－１＞０ B．∃x∈R,x２＋１＜２x C．∀xy＞０,x＋y≥２ xy D．∃x,y∈R,sin(x＋y)＝sinx＋siny [解析]　对于 A 项,∀x∈R,２x－１＞０,A 项正确; 对于B项,∵x２＋１－２x＝(x－１)２≥０, ∴x２＋１≥２x,B项错误;对于 C项,当x＜０,y＜０ 时,x＋y＜０＜２ xy,C项错误;对于 D项,取x＝ y＝０时,则sin(x＋y)＝sin(０＋０)＝sin０＋sin０ ＝sinx＋siny,D项正确． [答案]　AD ▶[角度３]　含量词的命题的应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例３－３]　(１)(２０２５􀅰咸阳摸底)若命题“∃x∈R, x２－２x＋m＜０”为真命题,则实数m 的取值范围为 　　　　． [解析]　由题意可知,不等式x２－２x＋m＜０有 解,∴Δ＝４－４m＞０,m＜１,∴实数 m 的取值范围 为(－∞,１)． [答案]　(－∞,１) (２)已知命题“∀x∈R,ax２－ax＋１＞０”为真命题, 则实数a的取值范围是　　　． [解析]　由题意得不等式ax２－ax＋１＞０对x∈R恒 成立．①当a＝０时,不等式１＞０在 R上恒成立,符 合题意． ②当a≠０时,若不等式ax２－ax＋１＞０对x∈R 恒成立,则 a＞０, Δ＝a２－４a＜０,{ 解得０＜a＜４． 综上,实数a的取值范围是[０,４)． [答案]　[０,４) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 含量词命题的解题策略 (１)判定全称量词命题是真命题,需证明都成立;要 判定存在量词命题是真命题,只要找到一个成 立即可．当一个命题的真假不易判定时,可以先 判断其否定的真假． (２)由命题真假求参数的范围,一是直接由命题的 真假求参数的范围;二是可利用等价命题． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８􀅰 高考总复习　数学 A版 １．[多选]下列命题中,是存在量词命题且为真命题 的有 (　　) A．∃x∈R,x２－x＋１４＞０ B．所有的正方形都是矩形 C．∃x∈R,x２＋２x＋２＝０ D．至少有一个实数x,使x３＋１＝０ 解析:AD　[A．是存在量词命题;因为x２－x＋１４ ＝ x－１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ≥０,所以该命题为真命题,所以该选 项符合题意;B．全称量词命题,所以该选项不符合 题意;C．存在量词命题,对于方程x２＋２x＋２＝０,Δ ＝２２－８＝－４＜０,所以x２＋２x＋２＞０,所以该命 题为假命题,所以该选项不符合题意;D．存在量词 命题,x＝－１时,x３＋１＝０,所以该命题是真命题, 所以该选项符合题意．] ２．[多选](２０２５􀅰海口模拟)以下说法正确的是(　　) A．“∀x∈R,３x２－２≥０”的否定是“∃x∈R,３x２－ ２＜０” B．“x＞３”是“log３(２x＋１)＞２”的充分不必要条件 C．若命题“∃x∈R,x２＋(a－１)x＋１＜０”的否定是 假命题,则实数a的取值范围是(－１,３) D．“∀x∈R,２ax２＋ax－３８≤０ ”是真命题,则－３≤ a≤０ 解析:AD　[对于 A,“∀x∈R,３x２－２≥０”的否定 是“∃x∈R,３x２－２＜０”,故 A 正确; 对于B,log３(２x＋１)＞２,即log３(２x＋１)＞log３９, 解得x＞４, 因为x＞４⇒x＞３所以“x＞３”是“log３(２x＋１)＞２” 的必要不充分条件,故B错误; 对于C,命题的否定是假命题,则命题“∃x∈R,x２ ＋(a－１)x＋１＜０”是真命题,即Δ＝(a－１)２－４＞ ０,解得a＞３或a＜－１,故C错误; 对于 D,因为“∀x∈R,２ax２＋ax－３８≤０ ”是真命 题,即２ax２＋ax－３８≤０ ,对∀x∈R恒成立．当a＝ ０时,命题成立;当a≠０时, a＜０ Δ＝a２＋３a≤０{ ,解得 －３≤a＜０,综上可得,－３≤a≤０,故 D正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 §１．３　等式性质与不等式性质 ★[考试要求] １．掌握等式性质．２．会比较两个数的大小．３．理解不等式的性质,并能简单应用． 　　　　　　　　学生用书　P６ １．两个实数比较大小的方法 作差法 a－b＞０⇔a＞b, a－b＝０⇔a＝b, a－b＜０⇔a＜b． ì î í ï ï ïï (a,b∈R) ２．等式的性质 性质１　对称性:如果a＝b,那么b＝a; 性质２　传递性:如果a＝b,b＝c,那么a＝c; 性质３　可加(减)性:如果a＝b,那么a±c＝b±c; 性质４　可乘性:如果a＝b,那么ac＝bc; 性质５　可除性:如果a＝b,c≠０,那么ac＝ b c． ３．不等式的性质 性质１　对称性:a＞b⇔b＜a; 性质２　传递性:a＞b,b＞c⇒a＞c; 性质３　可加性:a＞b⇔a＋c＞b＋c; 性质４　可乘性:a＞b,c＞０⇒ac＞bc, a＞b,c＜０⇒ac＜bc; 性质５　同向可加性:a＞b,c＞d⇒a＋c＞b＋d; 性质６　同向同正可乘性:a＞b＞０,c＞d＞０⇒ ac＞bd; 性质７　同正可乘方性:a＞b＞０⇒an＞bn(n∈N,n ≥２)． １．倒数性质 若ab＞０,则a＞b⇒１a＜ １ b ; 若ab＜０,则a＞b⇒１a＞ １ b． ２．分数性质 若a＞b＞０,m＞０,则 (１)真分数性质:ba＜ b＋m a＋m ;b a＞ b－m a－m (b－m＞０); (２)假分数性质:ab＞ a＋m b＋m ;a b＜ a－m b－m (b－m＞０)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９􀅰 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式