1.1 集合-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版2019）

复习本章时,要注意以下几个方面: １．全面系统复习,深化理解知识本质 (１)理解集合、空集、子集的定义,会根据具体条件求 集合的子集的个数;掌握交集、并集、补集等集合 的运算． (２)理解命题真假的判断,理解充分条件、必要条件、 充要条件的含义及判断,能准确地对含有一个量 词的命题进行否定． (３)掌握不等式的性质．能用基本不等式解决简单的 最大值或最小值问题． (４)从函数观点看一元二次不等式,掌握一元二次不 等式与相应函数、方程的联系． ２．熟练掌握解决以下问题的方法和规律 (１)集合元素特征的理解,集合的交集、并集、补集的 运算． (２)命题的真假判断,充分条件、必要条件、充要条件 的判断问题． (３)不等式的性质,基本不等式求最值． (４)一元二次不等式及其综合应用． ３．重视数学思想方法的应用 集合、常用逻辑用语、不等式问题中蕴含着非常 丰富的数学思想和数学文化,这也是高考对该部 分特别重视考查的原因之一．集合与其他知识的 交汇、充要条件的判断、基本不等式求最值等都 是常见的考查角度．在复习中一定要特别重视这 些知 识 间 的 相 互 联 系,注 重 数 形 结 合 思 想 的 应用． (１)数形结合思想:在解决集合问题时,重视 Venn图 的使用,当集合与 不 等 式 结 合 时,重 视 数 轴 的 使用． (２)分类讨论、整合思想:在集合、充要条件、含参数的 不等式、基本不等式求最值等问题中,若出现参 数,应对参数进行分类讨论． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 §１．１　集合 ★[考试要求] １．了解集合的含义,了解全集、空集的含义．２．理解元素与集合的属于关系,理解集合间的包含和相等关系． ３．会求两个集合的并集、交集与补集．４．能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题,能使用 Venn 图表示集合间的基本关系和基本运算． 　　　　　　　　学生用书　P１ １．集合与元素 (１)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性． (２)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号∈或 ∉表示． (３)集合的表示法:列举法、描述法、图示法． (４)常见数集的记法 集合 非负整数集 (或自然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 N N∗(或 N＋) Z Q R ２．集合的基本关系 (１)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A 中 任意一个元素都是集合B 中的元素,就称集合A 为集合B 的子集,记作A⊆B(或B⊇A)． (２)真子集:如果集合 A⊆B,但存在元素x∈B,且 x∉A,就称集合A 是集合B 的真子集,记作A⫋B (或B⫌A)． (３)相等:若A⊆B,且B⊆A,则A＝B． (４)空集:不含任何元素的集合叫做空集,记为⌀． 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真 子集． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１􀅰 ３．集合的基本运算 　　表示 运算　　 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A, 或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A, 且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U, 且x∉A} ∁UA １．交集与并集的转化 (∁UA)∩(∁UB)＝∁U (A∪B),(∁UA)∪(∁UB)＝ ∁U(A∩B)． ２．子集个数 若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数 为２n,真子集的个数为２n－１,非空真子集的个数为 ２n－２． ３．元素个数 用card(A)表示有限集合A 中元素的个数．对任意 两个有限集合A,B,有card(A∪B)＝card(A)＋ card(B)－card(A∩B)． １．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (１)集合{x∈N|x３＝x},用列举法表示为{－１,０,１}． (×) (２){x|y＝x２＋１}＝{y|y＝x２＋１}＝{(x,y)|y＝x２＋１}． (×) (３)若１∈{x２,x},则x＝－１或x＝１． (×) (４)对任意集合A,B,都有(A∩B)⊆(A∪B)． (√) ２．已知集合A＝{x|x２－２x－３≤０},B＝{x|０＜x≤４}, 则A∪B＝ (　　) A．[－１,４] B．(０,３] C．(－１,０]∪(１,４] D．[－１,０]∪(１,４] 解析:A　[A＝{x|x２－２x－３≤０}＝{x|－１≤x≤ ３},故A∪B＝[－１,４]．] ３．(２０２４􀅰全国甲卷)集合A＝{１,２,３,４,５,９},B＝ {x|x∈A},则∁A(A∩B)＝ (　　) A．{１,４,９} B．{３,４,９} C．{１,２,３} D．{２,３,５} 解析:D　[因为 A＝{１,２,３,４,５,９},B＝{x|x∈ A},所以B＝{１,４,９,１６,２５,８１},则A∩B＝{１,４, ９},∁A(A∩B)＝{２,３,５}．] ４．[多选]已知集合A,B 均为 R的子集,若A∩B＝ ⌀,则 (　　) A．A⊆∁RB B．∁RA⊆B C．A∪B＝R D．(∁RA)∪(∁RB)＝R 解析:AD　[如图所示,根据图 象可得A⊆∁RB,故 A 正确;由 于B⊆∁RA,故B错误;A∪B⊆ R,故C错误,(∁RA)∪(∁RB)＝∁R(A∩B)＝R．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P２ 　　　集合的含义与表示 [例１]　(１)[多选]下列各组中 M,P 表示不同集合 的是 (　　) A．M＝{３,－１},P＝{(３,－１)} B．M＝{(３,１)},P＝{(１,３)} C．M＝{y|y＝x２＋１,x∈R},P＝{x|x＝t２＋１,t∈R} D．M＝{y|y＝x２－１,x∈R},P＝{(x,y)|y＝x２－１, x∈R} [解析]　选项 A 中,M＝{３,－１}是数集,P＝{(３, －１)}是点集,二者不是同一集合,故 M≠P; 选项B中,(３,１)与(１,３)表示不同的点,故 M≠P; 选项C中,M＝{y|y＝x２＋１,x∈R}＝[１,＋∞),P ＝{x|x＝t２＋１,t∈R}＝[１,＋∞),故 M＝P; 选项 D中,M 是二次函数y＝x２－１,x∈R的所有 y组成的集合,而集合 P 是二次函数y＝x２－１, x∈R图象上所有点组成的集合,故 M≠P． [答案]　ABD (２)已知a,b∈R,若 a,ba ,１{ }＝{a２,a＋b,０},则 a２０２６＋b２０２６＝　　　． [解析]　由已知得a≠０,则ba＝０ ,所以b＝０, 于是a２＝１,即a＝１或a＝－１, 又由集合中元素的互异性知a＝１应舍去,故a ＝－１,所以a２０２６＋b２０２６＝(－１)２０２６＋０２０２６＝１． [答案]　１ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２􀅰 高考总复习　数学 A版 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 解决集合概念问题的一般思路 (１)研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然 后再看元素的限制条件,当集合用描述法表示 时,注意弄清其元素表示的意义是什么． (２)要深刻理解元素的互异性,在解决集合中含有 字母的问题时,一定要返回代入验证,防止与集 合中元素的互异性相矛盾． １．已知集合U＝{(x,y)|x２＋y２≤１,x∈Z,y∈Z},则 集合U 中的元素的个数为 (　　) A．３ B．４ C．５ D．６ 解析:C　[当x＝－１时,y＝０;当x＝０时,y＝ －１,０,１;当x＝１时,y＝０．所以U＝{(－１,０), (０,－１),(０,０),(０,１),(１,０)},共有５个元素．] ２．已知集合A＝{１２,a２＋４a,a－２},且－３∈A,则a ＝　　　　． 解析:因为－３∈A,所以－３＝a２＋４a 或－３＝a －２． 若－３＝a２＋４a,解得a＝－１或a＝－３． 当a＝－１时,a２＋４a＝a－２＝－３,不满足集合中 元素的互异性,故舍去; 当a＝－３时,集合A＝{１２,－３,－５},满足题意, 故a＝－３成立． 若－３＝a－２,解得a＝－１,由上述讨论可知,不满 足题意,故舍去． 综上所述,a＝－３． 答案:－３ 　　　集合间的基本关系 [例２]　(１)已知集合 A＝{x|y＝ln(x＋３)},B＝ {x|x≥２},则下列结论正确的是 (　　) A．A＝B B．A∩B＝⌀ C．A⊆B D．B⊆A [解析]　因为A＝{x|x＞－３},B＝{x|x≥２},结 合数轴可得:B⊆A． [答案]　D (２)(２０２５􀅰衡水调研)已知集合A＝{x|２x－１＞ ５},B＝{x|(x－a)(x－a＋１)≥０},若A∪B＝R, 则a的取值范围是 (　　) A．[４,＋∞) B．[３,＋∞) C．(－∞,４] D．(－∞,３] [解析]　由题意可得A＝{x|x＞３},B＝[a,＋∞) ∪(－∞,a－１]． 因为A∪B＝R,所以a－１≥３,即a≥４． [答案]　A 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 根据两集合的关系求参数的方法 (１)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必 须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解． (２)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条 件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化 为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来 直观解决这类问题． １．设集合A＝{０,－a},B＝{１,a－２,２a－２},若A⊆ B,则a＝ (　　) A．２ B．１ C．２３ D．－１ 解析:B　[因为A⊆B,若a－２＝０,解得a＝２,此 时A＝{０,－２},B＝{１,０,２},不符合题意;若２a－ ２＝０,解得a＝１,此时 A＝{０,－１},B＝{１,－１, ０},符合题意;若－a＝１,解得a＝－１,此时A＝{０, １},B＝{１,－３,－４},不符合题意;若－a＝a－２, 解得a＝１,符合题意;若－a＝２a－２,解得a＝２３ , 不符合题意;综上所述,a＝１．] ２．已知集合A＝{x|(x＋１)(x－６)≤０},B＝{x|m－ １≤x≤２m＋１}．若B⊆A,则实数m 的取值范围为 　　　　． 解析:A＝{x|－１≤x≤６},若B⊆A,则当B＝⌀ 时,有m－１＞２m＋１,即m＜－２,符合题意;当B≠ ⌀时,有 m－１≤２m＋１, m－１≥－１, ２m＋１≤６, ì î í ïï ï 解得０≤m≤５２． 综上,实 数m 的取值范围是 m m＜－２或０≤m≤５２}{ ． 答案:m m＜－２或０≤m≤５２}{ 　　　集合的基本运算 ▶[角度１]　集合的交集、并、补运算 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例３－１]　(１)(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷)已知集合A＝ {x|－５＜x３＜５},B＝{－３,－１,０,２,３},则A∩B ＝ (　　) A．{－１,０} B．{２,３} C．{－３,－１,０} D．{－１,０,２} [解析]　因为 A＝{x|－ ３ ５＜x＜ ３ ５},B＝{－３, －１,０,２,３},且注意到１＜ ３ ５＜２, 从而A∩B＝{－１,０}． [答案]　A 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３􀅰 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 (２)[多选]已知 M、N 均为实数集 R 的子集,且 N∩(∁RM)＝⌀,则下列结论中正确的是 (　　) A．M∩(∁RN)＝⌀ B．M∪(∁RN)＝R C．(∁RM)∪(∁RN)＝∁RM D．(∁RM)∩(∁RN)＝∁RM [解析]　∵N∩(∁RM)＝⌀,∴N⊆M, 若 N 是M 的真子集,则 M∩∁RN≠⌀,故 A 错误; 由 N⊆M 可得M∪(∁RN)＝R,故B正确; 由 N⊆M 可得∁RN⊇∁RM,故C错误,D正确． [答案]　BD ▶[角度２]　利用集合的运算求参数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例３－２]　(１)[多选]已知A＝{x|x２＋x－６＝０}, B＝{x|mx＋１＝０},且 A∪B＝A,则 m 的值可 能为 (　　) A．－１３ B． １ ３ C．０ D．－ １ ２ [解析]　由题意知A＝{x|x２＋x－６＝０}, 由x２＋x－６＝０,解得x＝２或x＝－３, 所以A＝{２,－３}, 因为A∪B＝A,所以B⊆A, 当B＝⌀时,m＝０,满足题意; 当B≠⌀时,B＝ －１m{ }, －１m＝２ 或－１m＝－３ , 解得m＝－１２ 或m＝１３ , 综上,m＝０或－１２ 或１ ３． [答案]　BCD (２)(２０２５􀅰本溪模拟)设集合A＝{x|x＜a２},B＝ {x|x＞a},若A∩(∁RB)＝A,则实数a的取值范 围为 (　　) A．[０,１] B．[０,１) C．(０,１) D．(－∞,０]∪[１,＋∞) [解析]　因为B＝{x|x＞a}, 所以∁RB＝{x|x≤a}, 又A∩(∁RB)＝A,所以A⊆∁RB, 又A＝{x|x＜a２},所以a２≤a, 解得０≤a≤１,即实数a的取值范围为[０,１]． [答案]　A ▶[角度３]　集合中数学模型的构造与应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例３－３]　某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有 ９６％的学生喜欢足球或游泳,６０％的学生喜欢足球, ８２％的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游 泳的学生数占该校学生总数的比例是 (　　) A．６２％ B．５６％ C．４６％ D．４２％ [解析]　用 Venn图表示该中学喜欢足球和游泳 的学生所占比例之间的关系如图,设既喜欢足球又 喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x,则 (６０％－x)＋(８２％－x)＋x＝９６％,解得x＝４６％． [答案]　C 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 集合的基本运算的关注点 (１)看元素组成．从研究集合中元素的构成入手是 解决集合运算问题的前提． (２)有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系 并进行运算,可使问题简单明了,易于解决． (３)注意数形结合的应用,常用的数形结合形式有 数轴、坐标系和 Venn图． １．[多选]已知集合A＝{x|x２－２x＞０},B＝{x|１＜x ＜３},则 (　　) A．(∁RA)∪B＝{x|０≤x＜３} B．(∁RA)∩B＝{x|１＜x＜２} C．A∩B＝{x|２＜x＜３} D．A∩B 是{x|２＜x＜５}的真子集 解析:ACD　[由x２－２x＞０,得x＜０或x＞２, 所以A＝{x|x＜０或x＞２}, 所以∁RA＝{x|０≤x≤２}, 对于 A,因为B＝{x|１＜x＜３},所以(∁RA)∪B＝ {x|０≤x＜３},所以 A 正确, 对于B,因为B＝{x|１＜x＜３},所以(∁RA)∩B＝ {x|１＜x≤２},所以B错误, 对于C,因为A＝{x|x＜０或x＞２},B＝{x|１＜x ＜３},所以A∩B＝{x|２＜x＜３},所以C正确, 对于 D,因为A∩B＝{x|２＜x＜３},所以A∩B 是 {x|２＜x＜５}的真子集,所以 D正确,] ２．(２０２５􀅰湖北新高考联考协作体联考)若集合A＝ {x|－１＜x＜２},B＝{x|－２＜x＜a},若A⊆B,则 实数a的取值范围是 (　　) A．(－２,１) B．(－１,２) C．[１,＋∞) D．[２,＋∞) 解析:D　[集合A＝{x|－１＜x＜２},B＝{x|－２＜ x＜a},若A⊆B 则２≤a,即a的取值范围是[２,＋∞)．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４􀅰 高考总复习　数学 A版 ３．某班有３６名同学参加数学、物理、化学课外探究 小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数 学、物理、化学小组的人数分别为２６,１５,１３,同 时参加数学和物理小组的有６人,同时参加物理 和化学小组的有４人,则同时参加数学和化学小 组的有　　　　人． 解析:设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合 分别为A,B,C,同时参加数学和化学小组的有x 人,由题意可得如图所示的 Venn图． 由全班共３６名同学可得(２６－６－x)＋６＋(１５－４ －６)＋４＋(１３－４－x)＋x＝３６, 解得x＝８,即同时参加数学和化学小组的有８人． 答案:８ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 学生用书　P３ 　　与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题,它是化归思想的具体运用,是近几年高考的热点问题,这 类试题的特点是:通过给出的新的数学概念或新的运算法则,在新的情境下完成某种推理证明,或在新的运算 法则下进行运算．常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型．解决此类题的关键是理解问题中的新 概念、新公式、新运算、新法则等的含义,然后分析题目中的条件,设法进行套用． [典例]　已知集合 A１,A２ 满足 A＝{x|x∈A１,或 x∈A２},则称A１,A２ 为集合 A 的一种分拆,并规 定:当且仅当A１＝A２ 时,(A１,A２)与(A２,A１)为集 合A 的同一种分拆,则集合A＝{１,２,３}的不同分 拆的种数是 (　　) A．２７ B．２６ C．９ D．８ [解析]　①当A１＝⌀时,A２＝{１,２,３},只有１种 分拆; ②当A１ 是单元素集合时(有三种可能),则A２ 必须 包含除该元素之外的两个元素,也可能包含三个元 素,有２种情况(如A１＝{１}时,A２＝{２,３}或A２＝ {１,２,３}),所以当A１ 是单元素集合时有６种分拆; ③当A１ 是含两个元素的集合时(有三种可能),则 A２ 必须包含除这两个元素之外的另一个元素,还 可能包含A１ 中的一个或两个元素,有４种情况(如 A１＝{１,２}时,A２＝{３}或A２＝{１,３}或A２＝{２,３} 或A２＝{１,２,３}),所以当A１ 是含两个元素的集合 时有１２种分拆; ④当A１ 是含三个元素的集合时(只有一种可能), 则A２ 可能含零个、一个、两个或三个元素,有２３ 种 情况(即A１＝{１,２,３}时,A２ 可以是集合{１,２,３} 的任意一个子集),所以当A１ 是含三个元素的集合 时,有２３＝８种分拆． 故集合A＝{１,２,３}的不同分拆的种数是１＋６＋１２ ＋８＝２７． [答案]　A 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 集合新定义问题的“３定” (１)定元素:确定已知集合中所含的元素,利用列举 法写出所有元素． (２)定运算:根据要求及新定义运算,将所求解集合 的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的 基本运算问题,或转化为数的有关运算问题． (３)定结果:根据定义的运算进行求解,利用列举法 或描述法写出所求集合中的所有元素． [多选]定义一个集合A 的所有子集组成的集合叫做 集合A的幂集,记为P(A),用n(A)表示有限集A 的 元素个数,给出下列命题,其中正确的命题是 (　　) A．存在集合A,使得n[P(A)]＝５ B．若A⊆B,则P(A)⊆P(B) C．若A∩B＝⌀,则P(A)∩P(B)＝⌀ D．若n(A)－n(B)＝２,则n[P(A)]＝４×n[P(B)] 解析:BD　[对于 A,设n(A)＝m,则 A 的子集个 数为２m,故n[P(A)]＝２m,显然２m＝５无非负整数 解,故 A 错误; 对于B,若A⊆B,则A 的所有子集都是B 的子集, 故P(A)⊆P(B),故B正确 对于C,若A∩B＝⌀,则 A,B 的公共子集只有空 集⌀,故P(A)∩P(B)＝{⌀},故C错误; 对于 D,若n(A)－n(B)＝２,不妨设n(A)＝m, 则n(B)＝m－２, ∴n[P(A)]＝２m,n[P(B)]＝２m－２,显然n[P(A)] ＝４×n[P(B)],故 D正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５􀅰 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式