专题训练(十四) 平行四边形的证明思路（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年八年级数学下册（北师大版 辽宁专用）

专题训练(十四)　平行四边形的证明思路 数学 八年级下册 北师版 四清导航 类型一　已知四边形中边的关系 1．若已知一组对边平行 思路1：再证这组对边相等 1．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD，OA＝OC.求证：四边形ABCD是平行四边形． 2 证明：∵AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO.又∵OA＝OC，∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD(ASA)，∴AB＝CD.又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形 2．如图，B，E，C，F四点在同一条直线上，且AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形． 证明：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F.又∵BE＝CF，∴BE＋CE＝CF＋CE，即BC＝EF，∴△ABC≌△DEF(ASA)，∴AB＝DE.又∵AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形 3．如图，E，F均在▱ABCD的对角线AC上，且BE∥DF，连接BF，DE，求证：四边形BEDF是平行四边形． 6 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAF＝∠BCE.又∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA，∴△ADF≌△CBE(AAS)，∴BE＝DF，∴四边形BEDF是平行四边形 思路2：再证另一组对边平行 4．如图，AC是▱ABCD的对角线，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，求证：四边形ACED是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AD∥CE.又∵DE∥AC，∴四边形ACED是平行四边形 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF＝EC.求证：四边形BDEF是平行四边形． 证明：∵AB＝AC，EF＝EC，∴∠B＝∠C，∠EFC＝∠C，∴∠B＝∠EFC，∴AB∥EF.又∵DE∥BC，∴四边形BDEF是平行四边形 2．若已知一组对边相等 思路1：再证这组对边平行 6．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，∠ABC的平分线与CD的延长线交于点E，且BC＝CE，求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.又∵BC＝CE，∴∠CBE＝∠E，∴∠ABE＝∠E，∴AB∥CE，∴AB∥CD.又∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形 7．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，将对角线AC向两端分别延长至点E，F，使AE＝CF，连接BE，DF，若BE＝DF，求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵AB＝CD，AE＝CF，BE＝DF，∴△ABE≌△CDF(SSS)，∴∠BAE＝∠DCF，∴∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD.又∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形 思路2：再证另一组对边也相等 8．如图，在▱ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF，求证：四边形BEDF是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，AD＝BC，∠DAB＝∠BCD.又∵△ADE和△BCF都是等边三角形，∴AD＝DE＝AE，CF＝FB＝BC，∠DAE＝∠BCF＝60°，∴DE＝BF，AE＝CF，∠DCF＝∠BCD－∠BCF＝∠DAB－∠DAE＝∠BAE，∴△DCF≌△BAE(SAS)，∴DF＝BE，∴四边形BEDF是平行四边形 15 类型二　若已知条件与四边形的对角线有关，则可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明该四边形是平行四边形 9．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在CA的延长线和反向延长线上，点G，H均在BD上，且AE＝CF，BG＝DH，求证：四边形EGFH是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.又∵AE＝CF，BG＝DH，∴OA＋AE＝OC＋CF，OB－BG＝OD－DH，即OE＝OF，OG＝OH，∴四边形EGFH是平行四边形 17 10．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，直线EF经过点O，分别交AD，BC于点E，F，连接AF，CE，求证：四边形AFCE是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠OAE＝∠OCF.又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OF＝OE.又∵AO＝CO，∴四边形AFCE是平行四边形 【变式】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，直线EF，GH均经过点O，直线EF分别交AD，BC于点E，F，直线GH分别交AB，CD于点G，H，求证：四边形EGFH是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠OAE＝∠OCF.又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OF＝OE.同理可证△BOG≌△DOH，∴OG＝OH，∴四边形EGFH是平行四边形 $$