第9章 复数（知识归纳+题型突破 6题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（沪教版2020必修第二册）

第9章 复数（6题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01：实数系 （1）实数系的分类 (2)实数的性质 ①实数对四则运算是封闭的,即两个实数进行四则运算的结果仍是实数； ②加法与乘法满足交换律、结合律,乘法对加法满足分配律； ③实数和数轴上的点可以建立一一对应关系. 知识点02：复数的概念 （1）复数的引入 为了解决这样的方程在实数系中无解的问题,设想引入一个新数,使得是方程的解,即使得,并且可与实数进行四则运算,且原有的加法与乘法的运算律仍成立. 所以实数系经过扩充后得到的新数集是. （2）复数的概念 我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集. 复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部. （3）复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 知识点03：复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 知识点04：复数的几何意义 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 知识点05：复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 知识点06：共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. （2）表示方法 表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则. 知识点07：复数代数形式的加（减）法运算 （1）复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和： （2）复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 知识点08：()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 知识点09：复数代数形式的乘法运算 （1）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 知识点10：共轭复数的性质 设，（） ①；②为实数；③且为纯虚数 ④；⑤，， 知识点11：复数代数形式的除法运算 （1）定义 规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或 （2）复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 03 题型归纳 题型一 复数的概念　 例题1：（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列说法是否正确： .( ) 【答案】错误 【知识点】复数的基本概念 【分析】利用复数的定义，即可得出结果. 【详解】根据复数定义知，虚数不能比较大小，所以这种说话错误， 故答案为：错误. 例题2：（24-25高二上·上海徐汇）下列命题中，正确的是（    ） A．任意两个复数都能比较大小 B．任意两个复数都不能比较大小 C．设，如果，那么 D．设，如果，那么 【答案】C 【知识点】复数的基本概念 【分析】利用复数的概念与性质判断选项的正误，即可得到结果． 【详解】当两个复数有虚数时，不可以比较大小，所以A错误； 当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以B错误； 因为，且，所以是实数，故，所以C正确； 因为，若，则，但是此时与不能比较大小，所以D错误. 故选:C. 巩固训练 1．（23-24高二下·上海金山）已知复数（为虚数单位），则的实部为 ． 【答案】 【知识点】复数的基本概念 【分析】由已知复数，直接写出它的实部即可. 【详解】由知：其实部为. 故答案为： 2．（23-24高一下·上海·课后作业）若为虚数，则、满足的条件是 . 【答案】， 【知识点】复数的基本概念 【分析】根据复数的有关概念求解. 【详解】因为为虚数， 所以， 故答案为：， 题型二 复数相等　 例题1：（23-24高二下·上海金山·期末）设复数的共轭复数为，若，其中为虚数单位，则的值为 ． 【答案】 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、复数加减法的代数运算、共轭复数的概念及计算 【分析】设，则，利用复数的四则运算以及复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，再利用复数的乘法化简可得出的值. 【详解】设，则， 所以，， 所以，，解得， 因此，． 故答案为：. 例题2：（2024·上海奉贤）已知，，则a＝ ； 【答案】 【知识点】复数的相等 【分析】利用复数相等即可求出结果. 【详解】因为， 则由复数相等可得：， 即. 故答案为：. 例题3：（24-25高一上·上海·课堂例题）已知成立，求实数a的值. 【答案】 【知识点】复数的相等 【分析】利用复数相等的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，所以由， 可得解得或. 所以实数的值为. 巩固训练 1．（24-25高一·上海·课堂例题）若关于的方程有实根，则实数的值为 . 【答案】或 【知识点】复数的相等、复数范围内方程的根 【分析】根据复数相等的定义求解． 【详解】设原方程的实根为，则，即， 所以，解得或， 故答案为：或． 2．（23-24高一·全国·课后作业）已知x、，若，则 ． 【答案】2 【知识点】复数的相等 【分析】根据相等复数的概念列出方程组，解之即可求解. 【详解】由题意，得， 所以. 故答案为：2. 3．（23-24高一下·福建莆田）已知为z的共轭复数，若，求z. 【答案】或 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算 【分析】由复数的乘法公式及复数相等的充要条件求解. 【详解】解：设（a、）， 则（a、）. 由题意得，即， 则有解得或 所以或. 题型三 复数模　 例题1：（2025·上海·模拟预测）已知复数，其中i为虚数单位，则 ． 【答案】 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可. 【详解】， 故． 故答案为：. 例题2：（24-25高三上·上海松江·期中）已知复数满足（是虚数单位），则 . 【答案】 【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数得到，计算进行求模运算即可求出结果. 【详解】因为，所以， 则，. 故答案为： 例题3：（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数的实部与虚部互为相反数，求． 【答案】 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法运算进行化简，然后根据题意列出方程求解即可. 【详解】, 由题意可知, 解得, 所以, 所以. 巩固训练 1．（24-25高三上·上海青浦·期中）已知复数满足：（为虚数单位），则 【答案】 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】首先化简复数，再求，进而结合复数模的公式求解即可. 【详解】因为， 所以，则. 故答案为：. 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）若，则 . 【答案】1 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】先求出的值，再根据复数模长计算公式算出模长. 【详解】由题意得，因为， 所以， 故， 故答案为1. 3．（23-24高三下·上海青浦·阶段练习）i为虚数单位，则 ． 【答案】/ 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 题型四 复数四则运算　 例题1：（24-25高三上·湖北武汉·期末）若，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】根据复数的乘法、除法运算求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 故选：B 例题2：（24-25高一上·上海·课后作业）计算： （1） ； （2） ； （3） . 【答案】 【知识点】复数代数形式的乘法运算 【分析】根据平方差公式，利用复数代数形式的乘法运算及虚数单位的运算性质化简求值即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 故答案为：①，②，③. 例题3：（24-25高一上·上海·课堂例题）若，且，则 . 【答案】 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算 【分析】利用复数相等的性质建立方程求解参数，再求所求复数即可. 【详解】因为，所以， 所以，故，解得， 可得，故. 故答案为： 巩固训练 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）若复数满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】先化简再根据复数的乘除法计算可得. 【详解】因为，所以, 所以 . 故选：D. 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知复数满足(i为虚数单位)，则 . 【答案】 【知识点】复数加减法的代数运算、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法及加减运算即可得出复数. 【详解】因为,所以, 可得. 故答案为：. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据复数的乘除法运算即可. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. （5） . 题型五 共轭复数　 例题1：（2024·上海嘉定·一模）如果复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】/ 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据给定条件，利用复数除法求出，进而求出复数. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 例题2：（24-25高二上·上海·期中）已知复数满足，则 ． 【答案】 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据乘法运算可得，即可得. 【详解】因为，则， 所以. 故答案为：. 例题3：（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数和复数满足，．求． 【答案】 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、共轭复数的概念及计算 【分析】设复数，根据，计算，然后代入即可. 【详解】设复数， 则， 因为， 所以， ， 所以， 解得. 所以 . 巩固训练 1．（24-25高三上·上海·期中）设，则 【答案】25 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的共轭概念和乘法运算即可； 【详解】， 故答案为：25. 2．（24-25高三上·上海·开学考试）若（为虚数单位），则的共轭复数为 . 【答案】 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合共轭复数的概念，即可求解. 【详解】由复数，可得， 则的共轭复数为. 故答案为：. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）若复数满足，，求． 【答案】 【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的运算以及模长公式求解即可. 【详解】设复数，则， 所以， 即， 又， 即， 所以， 故. 题型六 复数分类 例题1：（23-24高一·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】（1）由虚部为0，求解的值； （2）由虚部不为0求解值； （3）由实部为0且虚部不为0，求解值. 【详解】（1）若为实数，则，即； （2）若为虚数，则，即； （3）若为纯虚数，则且，即. 例题2：（23-24高一下·湖南邵阳·期中）当为何实数时，复数分别是： (1)实数； (2)纯虚数． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】（1）首先得到复数的实部与虚部，依题意只需虚部为即可； （2）复数为纯虚数，则实部为且虚部不为. 【详解】（1）复数的实部为，虚部为， 若为实数，则，解得； （2）若为纯虚数，则，解得； 例题3：（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知复数． (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)若在复平面上对应的点在第三象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、共轭复数的概念及计算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）根据纯虚数的定义，限制实部虚部求解即可. （2）根据共轭复数的定义限制实部虚部的范围，解不等式组求解即可. 【详解】（1）由题意得， 因为为纯虚数， 所以解得 （2）复数 它在复平面上对应的点在第三象限，所以， 解得或, 所以实数的取值范围为． 巩固训练 1．（23-24高一·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数在复平面上所对应的点分别位于 (1)实轴上； (2)虚轴上； (3)第四象限． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）根据题意可得，运算求解即可； （2）由求m，代入验证，即可得结果； （3）由求出m的范围即可. 【详解】（1）由题意可得：，解得或. （2）由题设，，可得或， 当时，对应点在虚轴上； 当时，对应点在虚轴上； 综上，或. （3）由题设，可得. 2．（23-24高一下·山东泰安·期中）已知为虚数单位，复数． (1)当实数取何值时，是纯虚数； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】复数的相等、已知复数的类型求参数、复数范围内方程的根 【分析】（1）利用纯虚数的定义列方程组求解即可； （2）当时，，再将其代入方程，利用复数相等列方程组，解得参数即可. 【详解】（1）若复数z是纯虚数，则， 解得， 所以得. （2）当时，， 把代入方程， 得， 整理得，， 所以，解得. 3．（23-24高一下·河北·期中）已知，其中． (1)若为纯虚数，求的共轭复数； (2)若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知复数的类型求参数、共轭复数的概念及计算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）根据复数类型得到方程组，再利用共轭复数概念即可； （2）根据复数的几何意义得到不等式组，解出即可. 【详解】（1）由题意可得， 解得，则， 所以的共轭复数为． （2）由题意可得， 即， 解得，即的取值范围是． 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 复数（6题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01：实数系 （1）实数系的分类 (2)实数的性质 ①实数对四则运算是封闭的,即两个实数进行四则运算的结果仍是实数； ②加法与乘法满足交换律、结合律,乘法对加法满足分配律； ③实数和数轴上的点可以建立一一对应关系. 知识点02：复数的概念 （1）复数的引入 为了解决这样的方程在实数系中无解的问题,设想引入一个新数,使得是方程的解,即使得,并且可与实数进行四则运算,且原有的加法与乘法的运算律仍成立. 所以实数系经过扩充后得到的新数集是. （2）复数的概念 我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集. 复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部. （3）复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 知识点03：复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 知识点04：复数的几何意义 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 知识点05：复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 知识点06：共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. （2）表示方法 表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则. 知识点07：复数代数形式的加（减）法运算 （1）复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和： （2）复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 知识点08：()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 知识点09：复数代数形式的乘法运算 （1）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 知识点10：共轭复数的性质 设，（） ①；②为实数；③且为纯虚数 ④；⑤，， 知识点11：复数代数形式的除法运算 （1）定义 规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或 （2）复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 03 题型归纳 题型一 复数的概念　 例题1：（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列说法是否正确： .( ) 例题2：（24-25高二上·上海徐汇）下列命题中，正确的是（    ） A．任意两个复数都能比较大小 B．任意两个复数都不能比较大小 C．设，如果，那么 D．设，如果，那么 巩固训练 1．（23-24高二下·上海金山）已知复数（为虚数单位），则的实部为 ． 2．（23-24高一下·上海·课后作业）若为虚数，则、满足的条件是 . 题型二 复数相等　 例题1：（23-24高二下·上海金山·期末）设复数的共轭复数为，若，其中为虚数单位，则的值为 ． 例题2：（2024·上海奉贤）已知，，则a＝ ； 例题3：（24-25高一上·上海·课堂例题）已知成立，求实数a的值. 巩固训练 1．（24-25高一·上海·课堂例题）若关于的方程有实根，则实数的值为 . 2．（23-24高一·全国·课后作业）已知x、，若，则 ． 3．（23-24高一下·福建莆田）已知为z的共轭复数，若，求z. 题型三 复数模　 例题1：（2025·上海·模拟预测）已知复数，其中i为虚数单位，则 ． 例题2：（24-25高三上·上海松江·期中）已知复数满足（是虚数单位），则 . 例题3：（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数的实部与虚部互为相反数，求． 巩固训练 1．（24-25高三上·上海青浦·期中）已知复数满足：（为虚数单位），则 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）若，则 . 3．（23-24高三下·上海青浦·阶段练习）i为虚数单位，则 ． 题型四 复数四则运算　 例题1：（24-25高三上·湖北武汉·期末）若，则（    ） A． B．2 C． D． 例题2：（24-25高一上·上海·课后作业）计算： （1） ； （2） ； （3） . 例题3：（24-25高一上·上海·课堂例题）若，且，则 . 巩固训练 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）若复数满足，则（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知复数满足(i为虚数单位)，则 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型五 共轭复数　 例题1：（2024·上海嘉定·一模）如果复数满足（为虚数单位），则 . 例题2：（24-25高二上·上海·期中）已知复数满足，则 ． 例题3：（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数和复数满足，．求． 巩固训练 1．（24-25高三上·上海·期中）设，则 2．（24-25高三上·上海·开学考试）若（为虚数单位），则的共轭复数为 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）若复数满足，，求． 题型六 复数分类 例题1：（23-24高一·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 例题2：（23-24高一下·湖南邵阳·期中）当为何实数时，复数分别是： (1)实数； (2)纯虚数． 例题3：（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知复数． (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)若在复平面上对应的点在第三象限，求的取值范围． 巩固训练 1．（23-24高一·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数在复平面上所对应的点分别位于 (1)实轴上； (2)虚轴上； (3)第四象限． 2．（23-24高一下·山东泰安·期中）已知为虚数单位，复数． (1)当实数取何值时，是纯虚数； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数的值． 3．（23-24高一下·河北·期中）已知，其中． (1)若为纯虚数，求的共轭复数； (2)若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$