专题16 一元二次方程中含参数问题的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（北京版）

专题16 一元二次方程中含参数问题的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用一元二次方程的定义求参数 2 类型二、一元二次方程的解求参数或代数式的值 3 类型三、根据一元二方程根的情况求参数 5 类型四、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 8 压轴能力测评（22题） 12 解题知识必备 1. 一元二次方程的概念 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2. 一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 3. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0. 4.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 压轴题型讲练 类型一、利用一元二次方程的定义求参数 例1.（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的方程为一元二次方程，则m的值是 ． 【变式训练1】（23-24八年级下·广西百色·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【变式训练2】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则k的值为 ． 【变式训练3】（24-25九年级上·全国·课后作业）若是关于x的一元二次方程，则 ． 【变式训练4】（23-24九年级上·四川内江·期中）已知是关于的一元二次方程，则等于 ． 类型二、一元二次方程的解求参数或代数式的值 例2.1. （2024·江苏镇江·二模）已知是方程的一个根，则实数c的值是 ． 例2.2. （2024·青海玉树·三模）若是关于的方程的解，则的值为 ． 【变式训练1】（2024·山东济南·二模）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是 ． 【变式训练2】（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 【变式训练3】（2024·江苏常州·二模）已知m为方程 的一个根，则代数式的值是 ． 【变式训练4】（2024·福建·模拟预测）已知为方程的根，那么的值为 类型三、根据一元二方程根的情况求参数 例3. （2024·甘肃金昌·三模）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)若该方程有实数根，求的取值范围． 【变式训练1】（23-24八年级下·山东烟台·期中）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若为正整数，请用配方法求出此时方程的解． 【变式训练2】（23-24八年级下·山东泰安·期中）已知：关于x的一元二次方程． (1)当m取何值时，此方程没有实数根； (2)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值． 【变式训练3】（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根； (2)如果这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两边长，其第三边长为4，求的周长． 类型四、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 例4. （23-24八年级下·四川成都·期中）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【变式训练1】（2024·四川南充·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 【变式训练2】（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根为，且，求m的值． 【变式训练3】（23-24八年级下·广西贺州·期中）阅读材料： 材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系：，； 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)类比：一元二次方程的两个实数根为m，n，则 ； ； (2)应用：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足，且，求的值． 压轴能力测评（22题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．0 2．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知关于的一元二次方程有一个根是，则的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D． 3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）若是关于x的一元二次方程，则m的值为（    ） A．5 B． C． D． 4．（2025·河北石家庄·一模）已知关于的一元二次方程的两根互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东中山·一模）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（2025·云南昆明·一模）关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A．且 B． C．且 D． 7．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）若关于的一元二次方程有一个根为2025，则方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 二、填空题 8．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则 ． 9．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知一元二次方程有两个实数根，则 ． 10．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）若是关于的一元二次方程，则的值是 ． 11．（2025·河南洛阳·一模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ． 12．（24-25八年级下·山东东营·阶段练习）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是 ． 13．（重庆市清华中学教育集团2024-2025学年下期九年级数学第一阶段定时作业）若是方程的一个实数根，则的值为 ． 14．（2025·四川绵阳·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值 ． 三、解答题 15．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 16．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程． (2)是关于的一元二次方程． 17．（24-25九年级下·北京·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为非负整数，且该方程的根都是无理数，求的值． 18．（24-25九年级下·四川资阳·阶段练习）已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程的两个实数根为满足，求的值． 19．（24-25九年级上·福建莆田·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，且满足，求m的值． 20．（23-24九年级上·四川南充·开学考试）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，满足，若，求k的值． 21．（23-24八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 22．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）阅读材料： 阅读材料：材料：若一元二次方程的两个根为，则， (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ． (2)类比探究：已知实数m，n满足，． ． (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 一元二次方程中含参数问题的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用一元二次方程的定义求参数 2 类型二、一元二次方程的解求参数或代数式的值 3 类型三、根据一元二方程根的情况求参数 5 类型四、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 8 压轴能力测评（22题） 12 解题知识必备 1. 一元二次方程的概念 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2. 一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 3. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0. 4.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 压轴题型讲练 类型一、利用一元二次方程的定义求参数 例1.（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的方程为一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，列出关于的一元二次方程和一元一次不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：，， ， 解得：， 即， 故答案为：． 【变式训练1】（23-24八年级下·广西百色·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，得到关于a的不等式，解之即可. 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴的系数不为0，即， ∴， 故选：A. 【变式训练2】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据未知数的最高次数等于2且二次项系数不等于0列式求解即可． 【详解】由题意，得且， 解得 故答案为：． 【变式训练3】（24-25九年级上·全国·课后作业）若是关于x的一元二次方程，则 ． 【答案】0 【分析】此题考查一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程是一元二次方程，根据定义求出m的值即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得． 故答案为：0． 【变式训练4】（23-24九年级上·四川内江·期中）已知是关于的一元二次方程，则等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键． 根据一元二次程的定义得出关于a的不等式组，求出a的值即可． 【详解】解：由题意得， 解得：． 故答案为：． 类型二、一元二次方程的解求参数或代数式的值 例2.1. （2024·江苏镇江·二模）已知是方程的一个根，则实数c的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，把代入即可求出c的值． 【详解】解：把代入， 可得出， 解得：， 故答案为：2． 例2.2. （2024·青海玉树·三模）若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的定义、代数式求值，根据方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程得出，整理为，整体代入计算即可，熟练掌握方程的解的定义、代数式求值是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式训练1】（2024·山东济南·二模）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一个根是，将代入原方程得到关于的一元一次方程进而即可解答．本题考查了一元二次方程的根，一元一次方程的解，理解一元二次方程的根是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴将代入方程得：， 解得：， 故答案为：． 【变式训练2】（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴ ， 故答案为：． 【变式训练3】（2024·江苏常州·二模）已知m为方程 的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解等知识点，先根据方程解的定义，化简关于m的方程，然后整体代入求值，掌握方程解的定义和整体代入的思想方法是解决本题的关键． 【详解】∵m为方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式训练4】（2024·福建·模拟预测）已知为方程的根，那么的值为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义；将方程的根代入方程，化简得，将代数式变形，整体代入求值即可． 【详解】∵为方程的根， ∴， ∴， ∴原式 ． 故答案为：． 类型三、根据一元二方程根的情况求参数 例3. （2024·甘肃金昌·三模）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)若该方程有实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判别式． （1）利用配方法解方程即可； （2）根据一元二次方程跟的判别式，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为， 配方，得， 解得； （2）解：∵该方程有实数根， ∴， 解得， 即若该方程有实数根，的取值范围是． 【变式训练1】（23-24八年级下·山东烟台·期中）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若为正整数，请用配方法求出此时方程的解． 【答案】(1)且 (2)， 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及用配方法解方程， （1）由关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得且，即，两个不等式的公共解即为的取值范围； （2）求出的值，用配方法解方程即可； 解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围为且； （2）∵且，且m为正整数， ∴， ∴原方程为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时方程的解为：，． 【变式训练2】（23-24八年级下·山东泰安·期中）已知：关于x的一元二次方程． (1)当m取何值时，此方程没有实数根； (2)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式，熟知根的判别式为是解题的关键． （1）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可解答； （2）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可得到m的最小整数值． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程， 可得， 当，即时，此方程没有实数根； （2）解：∵有两个实数根， ∴， ∴； ∴m的最小整数值为． 【变式训练3】（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根； (2)如果这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两边长，其第三边长为4，求的周长． 【答案】(1)见详解 (2)的周长为11或10． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根据根的情况求参数和等腰三角形的性质. （1）先计算出，然后根据非负数的性质即可证明． （2）分两种情况计算，当腰长为4时，代入方程，求出k值，得出方程，进而求得方程的另一个根，当底边长为4时，此时方程有两个相等的实数根，根据得出k的值，把k值代入方程，解方程即可求的的腰长． 【详解】（1）证明：， ∵，即， ∴无论取任何实数，方程总有实数根． （2）当腰长为4时，把代入， 得，， 解得； 方程化为， 则其另一个解为， 此时的周长为． 当底边长为4时，则方程有两个相等的实数根， ∴， ∴，此时方程化为， 即, 解得：， 此时的周长为． 综上所述，的周长为11或10． 类型四、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 例4. （23-24八年级下·四川成都·期中）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由关于的方程有两个实数根，得到判别式非负，解不等式即可得到答案； （2）根据根与系数关系得到，代入，解方程得或5，再由（1）中即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， ，解得； （2）解：由根与系数的关系得， ∴ ∵， ∴， ，解得或5， 由（1）知，则． 【点睛】本题考查一元二次方程综合，涉及由一元二次方程根的情况求参数范围、解不等式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解决问题的关键． 【变式训练1】（2024·四川南充·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）时，方程变为，利用根与系数的关系得到，，再将变形代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：时，方程变为， 设方程的两个实数根分别为，， ，， ． 【变式训练2】（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根为，且，求m的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据根的判别式得出，据此可得答案； （2）根据根与系数的关系得出，，代入得出关于的方程，解之可得答案． 本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，． 【详解】（1）证明： ， ∵ 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系，得，， 由，得， 解得． 【变式训练3】（23-24八年级下·广西贺州·期中）阅读材料： 材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系：，； 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)类比：一元二次方程的两个实数根为m，n，则 ； ； (2)应用：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)的值为 【分析】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系及巧妙使用整体思想是解题的关键． （1）利用根与系数的关系即可解决问题． （2）将所给代数式转化为m与n的和与积的形式即可解决问题． （3）将s和t看作方程的两个根即可解决问题． 【详解】（1）解：，， 故答案为：， （2）解：根据题意，一元二次方程的两个实数根为m，n， ∴， ∴； （3）解：∵实数s，t满足，且， ∴实数s，t是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 压轴能力测评（22题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解体的关键． 根据一元二次方程的定义可得，根据常数项为0得到，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项为0， ∴， 解得：， 故选：B． 2．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知关于的一元二次方程有一个根是，则的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D． 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】将代入方程，可得关于k的一元一次方程，求解即可得到k的值． 本题主要考查了一元二次方程的解，明确一元二次方程的解的定义是解题关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是， ∴， 解得． 故选：C． 3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）若是关于x的一元二次方程，则m的值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义可得且，即可求出m的值． 【详解】解：是关于x的一元二次方程， 且， 解得：． 故选：A． 4．（2025·河北石家庄·一模）已知关于的一元二次方程的两根互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相反数的定义、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、相反数的定义，根据一元二次方程的两根互为相反数，可得：，根据一元二次方程根与系数的关系可得，解一元一次方程即可求出的值． 【详解】解：设、是一元二次方程的两根， 根据一元二次方程的两根互为相反数， 可得：， ， 解得：． 故选：B ． 5．（2025·广东中山·一模）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解一元二次方程无实数根，得到是解题的关键． 根据方程无实数根得到，由此解不等式即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得，， 故选：B ． 6．（2025·云南昆明·一模）关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故选：C． 7．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）若关于的一元二次方程有一个根为2025，则方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】A 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为2025，可得出关于的一元二次方程有一个根为2025，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为2025， ∴关于的一元二次方程有一个根为2025， 即， 解得：， ∴方程必有一个根为2024． 故选：A． 二、填空题 8．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数、一元二次方程的定义 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义得到，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知一元二次方程有两个实数根，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）若是关于的一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．根据x的最高次数是2，系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴且， 解得． 故答案为：． 11．（2025·河南洛阳·一模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得，求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·山东东营·阶段练习）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的定义，把代入方程得，即得，再根据即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（重庆市清华中学教育集团2024-2025学年下期九年级数学第一阶段定时作业）若是方程的一个实数根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程推出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2025·四川绵阳·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值 ． 【答案】2 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．先根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得m的取值范围，再根据范围得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 且， 的最小整数值为2． 故答案为：2． 三、解答题 15．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，由方程的解可得，可得，，再代入计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， ． ∴，． ． 16．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程． (2)是关于的一元二次方程． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】一元二次方程的定义、一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为1的整式方程是一元一次方程． （1）根据题意得到，或，进而求解即可； （2）根据题意得到，，进而求解即可； 【详解】（1）解：根据题意得，，或， ∴或； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴． 17．（24-25九年级下·北京·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为非负整数，且该方程的根都是无理数，求的值． 【答案】(1)的取值范围为 (2)的值为 【知识点】公式法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式以及无理数，解题的关键是牢记当时，方程有两个不相等的实数根和求根公式． （1）根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，解之即可得出的取值范围； （2）由为非负整数，且，可得出可以为0或1，再结合该方程的根都是无理数，即可确定的值． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，解得： 的取值范围为； （2）解：为非负整数，且 可以为0或1， 当时，，代入可以开方，此时方程的根都是有理数，不符合题意，舍去； 当时，，代入不可以开方，此时方程的根都是无理数，符合题意 的值为． 18．（24-25九年级下·四川资阳·阶段练习）已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程的两个实数根为满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【知识点】运用完全平方公式进行运算、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，完全平方公式，熟练掌握概念和运算技巧即可解题． （1）根据根的判别式即可求证出答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得与、的关系式，进一步可以求出答案． 【详解】（1）证明：∵ ， ∵无论为何实数，， ∴， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）由一元二次方程根与系数的关系得：，， ∵， ∴， ∴， ∴，化简得：， 解得或． 19．（24-25九年级上·福建莆田·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，且满足，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键． （1）根据根的判别式进行计算即可． （2）根据根与系数的关系求出，代入求值即可． 【详解】（1）证明： ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解： 又 ． 20．（23-24九年级上·四川南充·开学考试）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，满足，若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程有实数根得到，解不等式即可； （2）求出，原式展开整体代入得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根． ∴∆0，即， 解得 （2）∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 21．（23-24八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)一元二次方程是“有爱方程”，见解析 (2)见解析 (3)或 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键． （1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可； （2）根据“有爱方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程是“有爱方程”．理由如下： ， ， ， ，，， ， 一元二次方程是“有爱方程”． （2）证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”， ， ， ， 为“有爱方程”的根． （3）是关于的“有爱方程”， ， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， ， 或． 22．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）阅读材料： 阅读材料：材料：若一元二次方程的两个根为，则， (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ． (2)类比探究：已知实数m，n满足，． ． (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 【答案】(1)； (2)2或 (3) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）分类讨论，当时，，当时，由题意得出、可看作方程的解，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，实数和可看作方程的两根，根据根与系数的关系求出，，代入所求代数式计算即可． 【详解】（1）解：根据根与系数的关系得，； 故答案为：；； （2）解：当时，符合题意，则， 当时， ，， 、可看作方程的两个根， ，， ， 故答案为：2或； （3）解：两边同时除以变形为， 则实数和可看作方程的两根， ，， ． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$