18.2 勾股定理的逆定理 练习题 2024-2025学年沪科版八年级数学下册

18.2 勾股定理的逆定理 一、选择题： 1.下列各组个整数是勾股数的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2.一棵高为的大树被台风刮断，若树在离地面处折断，则树顶端落在离树底部处． A. B.   C.   D.   3.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多，当他把绳子的下端拉开后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为(    ) A. B. C. D. 4.甲、乙两人从同一地点出发，甲以的速度向北偏东方向直行，乙以的速度向南偏东方向直行，若他们同时出发，则后他们相距(    ) A. B. C. D. 5.在中，，，的对边长分别为，，，且，则(    ) A. 为直角 B. 为直角 C. 为直角 D. 是锐角 6.已知的三边长分别为，，，且满足，则    ． A. 不是直角三角形 B. 是以为斜边的直角三角形 C. 是以为斜边的直角三角形 D. 是以为斜边的直角三角形 7.如图，一圆柱高，底面半径，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程取是(    ) A. B. C. D. 无法确定 8.小南同学报名参加了攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，如图所示，他根据学过的数学知识准确地判断出：从点攀爬到点的最短路径长为  (    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二、填空题： 9.如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了          米． 10.古代有“偃矩以望高”的测高方法，图是测量工具“矩”，小亮同学利用“矩”测量某物体的高度如图通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使保持水平，且，，三点在同一直线上，，米，若点恰为线段的中点，则此物体的高度为______米 11.如图，在底面为正三角形的直三棱柱中，，，点为的中点，一只小虫从沿三棱柱的表面爬行到处，则小虫爬行的最短路程等于______． 12.如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱圈，正好从点绕到正上方的点，已知圆柱底面周长是，高为，则所需彩带最短是______ 13.如图，已知，，，，，则______． 14.已知三边长，，满足，则的形状是          ． 三、解答题： 15.如图，在的网格中，点，在格点网格线的交点上． 在图中，找一格点，使得是以为腰的等腰直角三角形． 在图中，作线段的垂直平分线． 16.如图，长方体的高为，底面长为，宽为． 求点到点之间的距离； 若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，请直接写出爬行的最短路程为______． 17.某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． 求的长； 若已知楼梯宽，每平方米地毯元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶假设地毯在铺的过程中没有损耗 18.如图，一架长的梯子斜靠在墙上，，此时，梯子的底端离墙底的距离为． 求此时梯子的顶端距地面的高度； 如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的顶端在水平方向上向右滑动了多远？ 19.通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 如图，如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么两直角边的平方和等于斜边的平方，即，这个命题叫做勾股定理，在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理．         图                        图 【初步应用】已知一个直角三角的一条直角边，斜边，求另一直角边的值； 【深入探究】如图，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形，，，的边长分别是，，，求最大正方形的面积． 【实际应用】有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 答案和解析 1.【答案】  2.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是勾股定理首先根据题意画出相应的直角三角形，再利用勾股定理求解即可． 【解答】 解：如图， 根据题意有：，，， ， 在中，， 树顶端落在离树底部处． 故选C． 3.【答案】  【解析】解：根据题意，画出图形， ，如图： 设旗杆的高为： ，则绳子 的长为 ， 在 中， 由勾股定理得：， ， 即 ， 解得： ， 即旗杆的高为 ． 4.【答案】  【解析】解：甲船沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行， ， 根据题意得，，， ， 故后他们相距． 故选：． 根据方向角的概念求出，根据勾股定理求出的长，得到答案． 本题考查的是勾股定理的应用和方向角问题，正确运用勾股定理．善于观察题目得到直角三角形是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：， ， ， 是直角三角形， 为直角， 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了绝对值以及偶次方的性质再结合二次根式的性质、勾股定理的逆定理等知识，正确得出，，的值是解题关键． 直接利用绝对值以及偶次方的性质再结合二次根式的性质得出，，的值，进而得出答案． 【解答】 解：， ，，， ， 是以为斜边的直角三角形． 故选：． 7.【答案】  【解析】解：如图所示： 可以把和展开到一个平面内， 即圆柱的半个侧面是矩形： 矩形的长，矩形的宽， 在直角三角形中，，， 根据勾股定理得：． 8.【答案】  【解析】解：如图： ，， 在中，． 即从点攀爬到点的最短路径为米． 故选：． 将长方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而根据勾股定理求出的长． 本题考查了平面展开最短路径问题，解答此题的关键是先将图形展开，再根据两点之间线段最短然后利用勾股定理解答． 9.【答案】  【解析】本题考查了勾股定理的应用；由勾股定理求出“路”长，再用两直角边和减去“路”长即可． 【详解】解：由题意知，“路”长米， 则少走了：米； 故答案为：． 10.【答案】  【解析】解：，，三点在同一直线上，，米，点恰为线段的中点， ， ，， ∽， ， ， 解得， 故答案为：． 证明∽，由相似三角形的性质列式求解即可． 本题主要考查相似三角形的判定和性质，正确进行计算是解题关键． 11.【答案】  【解析】解：如图，将三棱柱的侧面和侧面沿展开在同一平面内，连接， 是的中点，和是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 如图，把底面和侧面沿展开在同一平面内，连接，过点作于点，交于点， 则四边形是矩形，， 在中，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 如图，连接，交于点，则，， 在中，， ， ， ， 小虫爬行的最短路程为． 故答案为：． 利用平面展开图可总结为种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 本题主要考查了立体图形的展开图，两点之间线段最短，关键是正确画出立体图形的平面展开图并进行分类讨论． 12.【答案】  【解析】解：如图，将这个圆柱体侧面展开得， 由勾股定理得， ， 故答案为：． 化“曲”为“平”，在平面内，利用两点之间线段最短，根据勾股定理求解即可． 本题考查最短距离问题，化“曲”为“平”，在平面内，利用两点之间线段最短和勾股定理是常用求解方法． 13.【答案】  【解析】解：在直角中，，，， ， 在中，， ， 故答案为：． 先在直角中运用勾股定理求出，然后根据勾股定理的逆定理得出． 本题考查了勾股定理及其逆定理，比较简单．在直角中求出是解题的关键． 14.【答案】直角三角形  【解析】解：， ，，， ，，． ， 是直角三角形， 故答案为直角三角形． 15. 【解析】解：使得是以为腰的等腰直角三角形的点，如图即为所求； ，，， ，， 是以为腰的等腰直角三角形； 如图，直线即为所作； 由矩形的对角线互相平分可得点，分别是线段，的中点， ， ， 直线是的垂直平分线． 根据网格即可找一个格点，使得是以为腰的等腰直角三角形即可； 先作出线段，的中点，，再作直线即可． 本题考查了作图应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理及中位线的性质是解决本题的关键． 16.【答案】．  ．  【解析】解：连接，， 在中，， 长方体的高为，底面长为，宽为， ， 在中，， ． 点到点的距离为． 如图所示：， 如图所示：， 如图所示：， ， 一只蚂蚁从点爬到，则爬行的最短路程是． 故答案为：． 利用勾股定理得出的长，再利用勾股定理得出的长； 分类讨论画出解答几何体的部分侧面展开图，利用直角三角形的边的关系容易解得的值，从而得出其中的最小值． 此题主要考查了勾股定理的应用以及平面展开图最短路径问题，利用分类讨论得出是解题关键 17.【答案】的长为；   元．  【解析】解：，，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 答：的长为； 地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯元， 地毯的面积为， 需要花费元， 答：需要花费元地毯才能铺满所有台阶． 由勾股定理列式计算即可； 由长方形面积公式计算即可． 本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长度是解题的关键． 18.【答案】【小题】 解：， ， 此时梯子的顶端距地面的高度为． 【小题】 解：根据题意得：， ， ， 答：梯子的顶端在水平方向上向右滑动了．   【解析】  本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，是解题关键． 直接利用勾股定理求出的长，进而得出答案；   直接利用勾股定理得出，进而得出答案． 19.【答案】解：由题可得 设水深尺，芦苇尺， 根据题意可得尺， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 则尺， 答：水深尺，芦苇的长度是尺．  第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $$