18.1 勾股定理 练习题 2024-2025学年沪科版八年级数学下册

18.1 勾股定理 一、选择题： 1.在一个直角三角形中，一个锐角是，另一个锐角是(    ) A. B. C. D. 2.如图，在中，，，，平分，交于点，于点，则的长为(    ) A. B. C. D. 3.如图，在中，，点，在边上，且，，则的长是(    ) A. B. C. D. 4.有下列条件：；：：；；．其中能确定是直角三角形的条件有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形的直角边长分别为，若小正方形的面积为，，则大正方形的面积为(    ) A. B. C. D. 6.如图，每个小正方形的边长为个单位长度，阴影部分正方形的边长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 7.直角三角形中，若两条边的长分别为，，则第三条边的长为______． 8.在中，，，那么____． 9.如图，四边形中，，，，若平分，则与之间的距离是______． 10.如图，等腰直角三角形中，，平分，，则________． 11.如图，中，，，是的平分线，，          ． 12.如图，在长方形中，，，现以点为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点，则线段的长为          ． 三、解答题： 13.在中，，、、的对边分别为、、． 若，，求； 若，，求． 14.可以用如图所示的方法证明勾股定理，其中剪开前的空白部分由个正方形和个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由个全等的直角三角角形和个正方形组成，面积记为请你写出用此方法证明勾股定理的过程． 15.如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且 求证：≌； 若，求的度数． 16.如图，在中，，点在上，，，，垂足分别为点，，且，求的长． 17.如图，在四边形中，点在上，，且，． 试说明：． 若，求的度数． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：直角三角形中，一个锐角等于， 另一个锐角的度数． 2.【答案】  【解析】解：，，平分， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：． 由等腰三角形的性质可得，由勾股定理即可求出的长度，最后用面积法求得的长． 本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：由条件可知， ， ， 把绕点逆时针旋转得到，连接， 则，，，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得，， 得， 即． 故选：． 由题意得出，，由旋转的性质，再证≌，得出，，设，则，，由勾股定理得出方程，解方程即可． 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：， ， ， 是直角三角形； ：：：：， 设，，，则， 解得， ， 是直角三角形； ， ， ， 是直角三角形； ， ， ， 为钝角三角形． 能确定是直角三角形的有，共个， 故选：． 根据直角三角形的定义对各个条件进行分析，即可得到答案． 本题主要考查了直角三角形的定义，三角形内角和定理，掌握有一个内角为的三角形是直角三角形是解决问题的关键． 5.【答案】  【解析】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ，即， ， ， 得， 大正方形的面积为：， 故选：． 6.【答案】  【解析】解：根据题意得： 阴影正方形的边长是：； 故选：． 7.【答案】或  【解析】解：当为直角边时，第三边为， 当为斜边时，第三边为， 故答案为：或． 分为斜边和直角边，分别利用勾股定理可得答案． 本题主要考查了勾股定理，运用分类思想是解题的关键． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查直角三角形的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题根据直角三角形两锐角互余，构建方程组即可解决问题． 【解答】 解：， ， ， ， ． 故答案为． 9.【答案】  【解析】解：如图，作于点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 与之间的距离是． 故答案为：． 作于点，根据平行线的性质得，在中，根据，可求出，即可得出答案． 此题主要考查了平行线之间的距离，平行线的性质，含度角的直角三角形，解答此题的关键是熟练掌握平行线间的距离的定义． 10.【答案】  【解析】解：作于，如图， 平分，，， ， 为等腰直角三角形， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ． 故答案为． 作于，如图，根据角平分线的性质得到，再利用等腰直角三角形的性质得到，，所以，然后计算出即可． 本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了等腰直角三角形． 11.【答案】  【解析】利用已知条件求出，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：，，是的平分线， ， ， ， ． 故答案为： 12.【答案】  【解析】解：由题意知，， 四边形是长方形， ，，， 在中，， ， 13.【答案】解：如图， ，， ； ，， ．  【解析】根据题意画出图形，利用勾股定理即可得出结论． 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 14.【答案】证明：根据题意，得，． ，，．   15.【答案】证明：在与中， ， ≌                     解：≌， ； ，， ， ．  【解析】根据全等三角形的判定方法斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，判断出≌即可． 首先根据≌，可得；然后根据，，求出的度数，即可求出的度数． 此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握． 16.【答案】  【解析】解：，，， 平分， ， ， ． 由角平分线性质定理的逆定理推出，由含角的直角三角形的性质得到． 本题考查角平分线性质定理的逆定理，含角的直角三角形，关键是由角平分线性质定理的逆定理推出平分． 17.【答案】【小题】 证明：，，  ， 在和中 ； 【小题】 解： ，， ． 是等腰直角三角形，   【解析】  利用四边形的内角和为，说明，再利用证明；   利用全等三角形的性质可得，，，从而得到 第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$