专题02 解三角形（5大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编（青海专用）

专题02 解三角形 题型概览 题型01正弦定理 题型01 解三角形综合问题 题型02余弦定理 题型03三角形的面积 题型04正、余弦定理的应用 正弦定理题型01 1. （23-24高一下·西宁市·期中）已知中，内角所对的边分别，若，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理可直接求得结果. 【详解】在中，由正弦定理得：. 故选：B. 2.（23-24高一下·西宁市·期中） 在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值. 【详解】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则. 故选：C. 3. （23-24高一下·海南州·期中）（多选）在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，，，则C的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由正弦定理解三角形，逐项进行判断. 详解】由正弦定理，有，得， 由且，得或 故选：BD 4.（23-24高一下·西宁市·期中）（多选） 在中，，，，若满足条件的三角形有两个，则的取值可能为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，再根据三角形有两解的条件可得，且，由此求出的范围即可得解. 【详解】在中，由正弦定理得， ， 因满足条件的三角形有两个，则必有，且， 即， 于是得，解得， 因为，所以的取值可能为8，9. 故选：BC. 5. （23-24高一下·海南州·期中）内角的对边分别为，则等于______． 【答案】 【解析】 【分析】运用正弦定理解三角形即可. 【详解】由正弦定理，得，所以. 故答案为：. 6. （23-24高一下·西宁市·期中）在中，角所对应的边分别为．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】因为，所以． 故答案为：. 余弦定理题型02 7. （23-24高一下·海南州·期中）在中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. 2 C. 1或2 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理即可求. 【详解】由余弦定理得， 化简得，解出或2. 故选：C. 8. （23-24高一下·海南州·期中）在中，三角形三条边上的高之比为，则为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得三角形三条边之比为，然后利用余弦定理，求出最大边所对角余弦值，即可判断出结果. 【详解】因为三角形三条边上的高之比为， 所以三角形三条边之比为，即， 不妨设， 则最大角的余弦值为， 因此角为钝角，三角形为钝角三角形. 故选：A. 9. （23-24高一下·西宁市·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，由正弦定理得，可令，再利用余弦定理求解. 【详解】由正弦定理： 得 又因为，所以 令 所以 故选：D. 10. （23-24高一下·西宁市·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则是（ ） A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰不等边三角形 D. 直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】先依据求得，再利用可以求得，从而判断的形状是等边三角形. 【详解】中，，则， 又，则，由，可得， 所以，即， 所以，可得，所以，则的形状是等边三角形. 故选：A 11. （23-24高一下·西宁市·期中）在中，，的角平分线交BC于D，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出； 方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出． 【详解】 如图所示：记， 方法一：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得：． 故答案为：． 方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由正弦定理可得，，解得：，， 因为，所以，， 又，所以，即． 故答案为：． 【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规． 三角形的面积题型03 12. （23-24高一下·西宁市·期中）在中，与的角平分线交于点D，已知． （1）求角B的大小； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）结合角的关系利用二倍角公式及余弦差角公式化简即可； （2）由（1）可知，由余弦定理及基本不等式可得，再根据三角形面积公式求最值即可. 【小问1详解】 由题意可知， 由， 可知 ， 所以， ． 因为， 所以．因为，所以． 【小问2详解】 因为，所以， 所以，所以． 由余弦定理得， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立． 因为， 所以△ACD面积的最大值为． 13. （23-24高一下·西宁市·期中）如图，在中，内角的对边分别为，过点作，交线段于点D，且，． （1）求； （2）求面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理得到，再结合余弦定理，即可求解； （2）由（1）求得，再由，得到，利用正弦定理求得，结合面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理得，即， 又由余弦定理得， 因为，所以， 【小问2详解】 解：因为，所以， 由（1）知，，所以， 又因为，所以， 在中，由正弦定理，所以， 又因为，所以， 所以的面积为. 14. （23-24高一下·海南州·期中）的内角所对的边分别是，已知. (1)求； (2)若的面积为，，，求，. 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由正弦定理得 ；（2）由，再由余弦订立的得. 试题解析： （1）由已知 结合正弦定理得 所以 即，亦即 因为，所以. （2）由，，得，即， 又，得 所以，又，∴ 15. （23-24高一下·海南州·期中）已知的内角的对边分别为． （1）求边； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可求得，可求得B，进而由正弦定理可求； （2）求得角，进而求得，利用，可求的面积． 【小问1详解】 由余弦定理，因为，所以． 由正弦定理，得，所以． 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 所以． 所以． 16. （23-24高一下·西宁市·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且． （1）求角B的大小； （2）若的面积为，求AC边上的中线长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得，代入得到三边关系，由余弦定理求得后得到大小，从而求得大小； （2） 由条件可求得的各边与各角，在中由余弦定理求AC边上的中线长． 【小问1详解】 ∵，∴， 由正弦定理得， 由，得， 又由，得，，， 由余弦定理得， 又∵，∴， 由，，，得， ∴，； 【小问2详解】 由（1）得，，，，，，， 所以， 设AC的中点为D，则， 在中，由余弦定理得， 所以AC边上的中线长为． 正、余弦定理的应用题型04 17. （23-24高一下·西宁市·期中）化橘红具有散寒燥湿，利气消疾，止咳、健脾消食等功效．如图，小明为了测量一棵老橘红树的高度，他选取与树根部在同一水平面的、两点，在点测得树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行20米到处，测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则树的高度是（ ） A 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形，在中利用正弦定理求得的值，在中求出的值． 【详解】依题意可得如下图形， 在中，，，， 由正弦定理得，，解得，， 在中，， 所以，． 所以树的高度为米． 故选：D． 18. （23-24高一下·海东市·期中）如图，AB是底部不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，某同学选择地面CD作为水平基线，使得C，D，B在同一直线上，在C，D两点用测角仪器测得A点的仰角分别是45°和75°，，则建筑物AB的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理求出，再在直角三角形中求解即可. 【详解】在中，根据正弦定理可得， 在中， ， 故选：A 19. （23-24高一下·西宁市·期中）如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为，然后从点C处沿南偏东方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是（ ） A. 70米 B. 80米 C. 90米 D. 100米 【答案】A 【解析】 【分析】先由题意得出，，再在中，由余弦定理即可求解. 【详解】由题， 所以， 故在中，由余弦定理得， 所以即， （舍去）或，故铁塔的高度是70米. 故选：A. 20. （23-24高一下·海南州·期中）如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】设该塔的高度为米，由题意，根据同角的商关系可得，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】设该塔的高度为米， 则． 在中，， 即，由，解得， 即塔高为30米. 故选：A 21. （23-24高一下·西宁市·期中）已知测量队员在山脚处测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走400米到达处，在处测得山顶的仰角为，与在同一水平面上，M，O，N，P四点在同一铅垂面上，则山的高度OP为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】过作交MO于点，过作交PO于点，在直角三角形中由可得答案． 【详解】过作交MO于点，过作交PO于点， 则，，． 因为米，所以米， 米． 设米，则米， ，解得， 故山的高度OP为米． 故选：C. 解三角形综合问题题型01 22. （23-24高一下·西宁市·期中）（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则是钝角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：由大角对大边，及正弦定理判定；利用正弦定理及二倍角公式判断B；根据正弦函数的性质及诱导公式判断C；根据余弦定理判断D； 【详解】解：对于A：在中，若，则， 则，则，故正确； 对于B：，， ，，或即， 为等腰或直角三角形，故不正确． 对于C：当为锐角三角形时，，， ，可得成立，故正确． 对于D：若，则， 即，即，即所以， 即为钝角，故是钝角三角形,故D正确； 故选：ACD. 23. （23-24高一下·海南州·期中）（多选）在中，内角所对的边分别为，其中，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 若为边的中点，则的最大值为3 D. 若为锐角三角形，则其周长的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A,用余弦定理可解；对于B，用面积公式，结合基本不等式可解；对于C，用两次余弦定理，互补角余弦值互为相反数来构造方程可解；对于D，周长问题，边化角，用三角函数解题． 【详解】对于A,由题意可知，利用余弦定理得，，因为，所以，故A正确； 对于B，由上述可知，的面积，且易知，解出，当且仅当时取等号，此时，故B错误； 对于C，在和中，对和利用余弦定理，，化简后有，由B知，的最大值为12，因此最大为3，故C正确； 对于D，利用正弦定理，，则，于是的周长， 由于是锐角三角形，因此即解出， 则则，则，故D正确. 故选：ACD. 24. （23-24高一下·西宁市·期中）（多选）在中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的面积为2 C. 的外接圆直径是 D. 的内切圆半径是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二倍角公式求出，根据同角三角函数的基本关系求出，再由余弦定理求出，由正弦定理求出外接圆的直径，利用面积公式及等面积法判断B、D； 【详解】解：因为，所以， 所以，，故A、B正确； 由余弦定理，即，所以， 所以外接圆的直径，故C错误； 设的内切圆半径为，则，即，所以，故D正确； 故选：ABD 25. （23-24高一下·西宁市·期中）（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列叙述正确的是（ ） A. ，，，有两解 B. 若，则为等腰三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则为钝角三角形 【答案】CD 【解析】 【分析】根据大边对大角，结合角A即可判断A；利用正弦定理边化角，在由二倍角公式化简可得或，可判断B；由为锐角三角形可得，然后由正弦函数的单调性和诱导公式可判断C；由正弦定理可得三边比值，然后由余弦定理求解即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 又，所以，不满足内角和定理， 所以满足条件的三角形不存在，A错误； 对于B，因为，所以， 所以，即， 因为且，所以或， 即或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，若为锐角三角形，则， 所以，所以，即，C正确； 对于D，若，则， 设，则， 因为，所以，即为钝角，D正确. 故选：CD 26. （23-24高一下·西宁市·期中）锐角中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且的面积是1，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理求出和的关系，求出的范围，求出的范围，根据的面积是1得到，化为：再化简即可求解. 【详解】， 由正弦定理可得：，  即， 化为：， 是锐角三角形，， 解得， ，解得 ，， ，的面积是1， ，化为： 故答案为： 27. （23-24高一下·西宁市·期中）在中，内角的对边分别为，向量且. （1）求角； （2）若，求内切圆的半径. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示，结合正弦定理边角互化，求得，即可求得； （2）利用余弦定理求得，利用等面积法，结合三角形面积公式，即可求得内切圆半径. 【小问1详解】 因为向量与平行，所以， 由正弦定理得， 又，所以，所以， 又，所以. 小问2详解】 由余弦定理得，所以，解得或（舍）， 所以的面积， 设内切圆的半径为， 所以，解得. 28. （23-24高一下·西宁市·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再用余弦定理边化角，即可求出角； （2）由中线向量公式来计算中线长，再利用边化角得到中线与角的三角函数，再利用三角恒等变换，再结合锐角三角形得到角的范围，即可求出中线长的取值范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 所以， 由余弦定理得， 又，所以； 【小问2详解】 因为，所以． 因为D是线段AC的中点，所以， 所以， 由正弦定理得，所以，， 所以 , 又为锐角三角形，所以，解得，所以， 即，则，所以， 即，则BD的长的取值范围是． 29. （23-24高一下·西宁市·期中）在①，②，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题. 在中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且___________. （1）求角B的大小； （2）若，求周长的最大值. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）若选①，则由正弦定理统一成边的形式，然后利用余弦定理可求出角B的大小，若选②，则，由正弦定理统一成角的形式，化简可求出角B的大小，若选③，则，化简后可求出角B的大小， （2）由余弦定理结合基本不等式求出的最大值，从而可求出周长的最大值 【小问1详解】 若选①，因为， 所以， 所以由正弦定理得， 化简整理得， 所以， 因为， 所以， 若选②，由，得， 所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 因为， 所以， 若选③，由，得 ， 所以， 所以， 因为， 所以， 【小问2详解】 因为， 所以由余弦定理得 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为6 30. （23-24高一下·海南州·期中）在平面四边形中（在的两侧），. （1）若，求； （2）若，求四边形的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中用余弦定理求出，再由角度之间的关系，在中用正弦定理可求出； （2）将四边形，分成，，的面积为定值，的面积可用余弦定理与三角形面积公式求出最大值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， 即. 因为，，所以， 又，所以. 在中，由正弦定理得， 所以， 又，所以，所以； 【小问2详解】 设，所以. 在中，由余弦定理得. 所以的面积 ， 所以，此时， 又的面积， 所以四边形的面积的最大值为 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 解三角形 题型概览 题型01正弦定理 题型01 解三角形综合问题 题型02余弦定理 题型03三角形的面积 题型04正、余弦定理的应用 正弦定理题型01 1. （23-24高一下·西宁市·期中）已知中，内角所对的边分别，若，，，则（　　） A. B. C. D. 2.（23-24高一下·西宁市·期中） 在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ） A. B. C. D. 3. （23-24高一下·海南州·期中）（多选）在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，，，则C的值可以是（ ） A. B. C. D. 4.（23-24高一下·西宁市·期中）（多选） 在中，，，，若满足条件的三角形有两个，则的取值可能为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. （23-24高一下·海南州·期中）内角的对边分别为，则等于______． 6. （23-24高一下·西宁市·期中）在中，角所对应的边分别为．若，则__________． 余弦定理题型02 7. （23-24高一下·海南州·期中）在中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. 2 C. 1或2 D. 2或 8. （23-24高一下·海南州·期中）在中，三角形三条边上的高之比为，则为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 9. （23-24高一下·西宁市·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则（ ） A. B. C. D. 10. （23-24高一下·西宁市·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则是（ ） A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰不等边三角形 D. 直角三角形 11. （23-24高一下·西宁市·期中）在中，，的角平分线交BC于D，则_________． 三角形的面积题型03 12. （23-24高一下·西宁市·期中）在中，与的角平分线交于点D，已知． （1）求角B的大小； （2）若，求面积的最大值． 13. （23-24高一下·西宁市·期中）如图，在中，内角的对边分别为，过点作，交线段于点D，且，． （1）求； （2）求面积． 14. （23-24高一下·海南州·期中）的内角所对的边分别是，已知. (1)求； (2)若的面积为，，，求，. 15. （23-24高一下·海南州·期中）已知的内角的对边分别为． （1）求边； （2）求的面积． 16. （23-24高一下·西宁市·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且． （1）求角B的大小； （2）若的面积为，求AC边上的中线长． 正、余弦定理的应用题型04 17. （23-24高一下·西宁市·期中）化橘红具有散寒燥湿，利气消疾，止咳、健脾消食等功效．如图，小明为了测量一棵老橘红树的高度，他选取与树根部在同一水平面的、两点，在点测得树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行20米到处，测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则树的高度是（ ） A 米 B. 米 C. 米 D. 米 18. （23-24高一下·海东市·期中）如图，AB是底部不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，某同学选择地面CD作为水平基线，使得C，D，B在同一直线上，在C，D两点用测角仪器测得A点的仰角分别是45°和75°，，则建筑物AB的高度为（ ） A. B. C. D. 19. （23-24高一下·西宁市·期中）如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为，然后从点C处沿南偏东方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是（ ） A. 70米 B. 80米 C. 90米 D. 100米 20. （23-24高一下·海南州·期中）如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 21. （23-24高一下·西宁市·期中）已知测量队员在山脚处测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走400米到达处，在处测得山顶的仰角为，与在同一水平面上，M，O，N，P四点在同一铅垂面上，则山的高度OP为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 解三角形综合问题题型01 22. （23-24高一下·西宁市·期中）（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则是钝角三角形 23. （23-24高一下·海南州·期中）（多选）在中，内角所对的边分别为，其中，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 若为边的中点，则的最大值为3 D. 若为锐角三角形，则其周长的取值范围为 24. （23-24高一下·西宁市·期中）（多选）在中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的面积为2 C. 的外接圆直径是 D. 的内切圆半径是 25. （23-24高一下·西宁市·期中）（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列叙述正确的是（ ） A. ，，，有两解 B. 若，则为等腰三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则为钝角三角形 26. （23-24高一下·西宁市·期中）锐角中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且的面积是1，则的取值范围是__________． 27. （23-24高一下·西宁市·期中）在中，内角的对边分别为，向量且. （1）求角； （2）若，求内切圆的半径. 28. （23-24高一下·西宁市·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围． 29. （23-24高一下·西宁市·期中）在①，②，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题. 在中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且___________. （1）求角B的大小； （2）若，求周长的最大值. 30. （23-24高一下·海南州·期中）在平面四边形中（在的两侧），. （1）若，求； （2）若，求四边形的面积的最大值. 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$