专题01 平面向量及其应用（9大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编（青海专用）

专题01 平面向量及其应用 题型概览 题型01平面向量的概念 优选提升题 题型02平面向量的运算 题型01平面向量中的最值问题 题型03平面向量的坐标运算与表示 题型02平面向量中的探索问题 题型04投影向量 题型05平面向量的模长与夹角 题型06平面向量基本定理 题型07平面向量的位置关系 平面向量的概念题型01 1. （23-24高一下·海南州·期中）下列说法错误的是（ ） A. 长度为0的向量叫做零向量 B. 零向量与任意向量都不平行 C. 平行向量就是共线向量 D. 长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量 2. （23-24高一下·西宁市·期中）设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（ ） A. 相同的向量 B. 模相等的向量 C. 共线向量 D. 共起点的向量 3. （23-24高一下·海南州·期中）已知点是平行四边形的对角线的交点，则（ ） A. B. C. D. 4. （23-24高一下·海东市·期中）（多选题）以下关于平面向量的说法中，正确的是（ ） A. 既有大小，又有方向的量叫做向量 B. 所有单位向量都相等 C. 零向量没有方向 D. 平行向量也叫做共线向量 平面向量的运算题型02 5. （23-24高一下·西宁市·期中）已知向量满足，且，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 6. （23-24高一下·海南州·期中）如图，在中，，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. （23-24高一下·西宁市·期中）在矩形中，为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. （23-24高一下·西宁市·期中）如图，四边形为平行四边形，，为线段BE中点，若以，为基底表示向量，则（ ） A. B. C. D. 9. （23-24高一下·海南州·期中）（多选题）如图所示，在正六边形中，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 10. （23-24高一下·西宁市·期中）在平行四边形中，是直线上的一点，且，若，则__________. 11. （23-24高一下·西宁市·期中）已知，，与的夹角为． （1）求； （2）若向量与相互垂直，求实数k的值． 12. （23-24高一下·西宁市·期中）（1）已知单位向量与的夹角为，且，求； （2）已知，求. 平面向量的坐标表示与运算题型03 13. （23-24高一下·西宁市·期中）平面内顺次连接所组成的图形是（ ） A. 平行四边形 B. 直角梯形 C. 等腰梯形 D. 以上都不对 14. （23-24高一下·西宁市·期中）（多选题）已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为45° D. 15. （23-24高一下·西宁市·期中）已知向量，且. （1）求的值； （2）求向量与的夹角的余弦值. 16. （23-24高一下·西宁市·期中）已知向量，． （1）若，求向量与的夹角的大小； （2）若向量与的方向相同，求的坐标． 投影向量题型04 17. （23-24高一下·西宁市·期中）已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 18. （23-24高一下·海南州·期中）已知向量，，则在方向上的投影向量为____________． 19. （23-24高一下·西宁市·期中）若，为单位向量，且，则在方向上投影向量为______． 平面向量的模长与夹角题型05 20. （23-24高一下·西宁市·期中）若，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 21. （23-24高一下·海南州·期中）已知平面向量满足，且，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 22. （23-24高一下·西宁市·期中）已知平面向量满足，且，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 23. （23-24高一下·西宁市·期中）已知平面向量，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 24. （23-24高一下·海南州·期中）已知向量，． （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 平面向量基本定理题型06 25. （23-24高一下·西宁市·期中）已知P是所在平面内一点，若，其中，则点P一定在（ ） A. 边所在直线上 B. 边所在直线上 C. 边所在直线上 D. 的内部 26. （23-24高一下·海南州·期中）（多选题）下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A. B. C. D. 27. （23-24高一下·西宁市·期中）（多选）若是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ） A. 可以表示平面内的所有向量 B. 对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对 C. 均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D. 若存在实数，使，则 28. （23-24高一下·西宁市·期中）在平行四边形中，. （1）若与交于点，求的值； （2）求的取值范围. 平面向量的位置关系题型07 29. （23-24高一下·海南州·期中）平面内顺次连接所组成的图形是（ ） A. 平行四边形 B. 直角梯形 C. 等腰梯形 D. 以上都不对 30. （23-24高一下·西宁市·期中）已知向量，则与向量平行的单位向量为__________. 31. （23-24高一下·西宁市·期中）已知，，，．当k为何值时： （1） （2） 32. （23-24高一下·海南州·期中）已知向量，. （1）若，求实数k的值； （2）若，求实数k的值. 33. （23-24高一下·海南州·期中）设为两个不共线的向量，若 （1）若，且与的夹角为，求； （2）若与共线，求实数的值； 平面向量中的最值问题题型01 34. （23-24高一下·西宁市·期中）在矩形中，，点是线段上一点，且满足.在平面中，动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 平面向量中的探索问题题型02 35. （23-24高一下·西宁市·期中）如图，在等腰三角形中，是线段上的动点（异于端点），. （1）若是边的中点，求的值； （2）当时，请确定点的位置. 36. （23-24高一下·西宁市·期中）如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量及其应用 题型概览 题型01平面向量的概念 优选提升题 题型02平面向量的运算 题型01平面向量中的最值问题 题型03平面向量的坐标运算与表示 题型02平面向量中的探索问题 题型04投影向量 题型05平面向量的模长与夹角 题型06平面向量基本定理 题型07平面向量的位置关系 平面向量的概念题型01 1. （23-24高一下·海南州·期中）下列说法错误的是（ ） A. 长度为0的向量叫做零向量 B. 零向量与任意向量都不平行 C. 平行向量就是共线向量 D. 长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量的相关概念判断. 【详解】A. 规定长度为0的向量叫做零向量，故正确； B.规定零向量与任意向量都平行，故错误； C.平行向量就是共线向量，故正确； D.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，故正确； 故选：B 2. （23-24高一下·西宁市·期中）设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（ ） A. 相同的向量 B. 模相等的向量 C. 共线向量 D. 共起点的向量 【答案】B 【解析】 【分析】根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，即可判断得解 【详解】是正的中心，向量分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量， 到三个顶点的距离相等，但向量，，不是相同向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量. 故选：B 3. （23-24高一下·海南州·期中）已知点是平行四边形的对角线的交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的基本概念，结合图象即可得答案. 【详解】为相反向量，故A错误； 为相反向量，故B错误； 方向相反，故，C正确； 因为平行四边形不一定为矩形，所以对角线不一定相等，故D错误. 故选：C 4. （23-24高一下·海东市·期中）（多选题）以下关于平面向量的说法中，正确的是（ ） A. 既有大小，又有方向的量叫做向量 B. 所有单位向量都相等 C. 零向量没有方向 D. 平行向量也叫做共线向量 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件结合平面向量的基本概念，逐项分析判断作答. 【详解】由向量的定义知，既有大小，又有方向的量叫做向量，A正确； 单位向量是长度为1的向量，其方向是任意的，B不正确； 零向量有方向，其方向是任意的，C不正确； 由平行向量的定义知，平行向量也叫做共线向量，D正确. 故选：AD 平面向量的运算题型02 5. （23-24高一下·西宁市·期中）已知向量满足，且，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件直接化简求解即可. 【详解】因为向量满足，且， 所以. 故选：C. 6. （23-24高一下·海南州·期中）如图，在中，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 7. （23-24高一下·西宁市·期中）在矩形中，为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】选做基底，根据向量的加法和减法的平行四边形法则和三角形法则运算，即可求得答案. 【详解】在矩形中，为的中点， 故选：D. 8. （23-24高一下·西宁市·期中）如图，四边形为平行四边形，，为线段BE中点，若以，为基底表示向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算计算即可求解. 【详解】∵为的中点，∴， ∴， ∵，∴， 则． 故选：C. 9. （23-24高一下·海南州·期中）（多选题）如图所示，在正六边形中，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用平面向量的减法可判断A选项；利用平面向量的加法可判断B选项；利用平面向量数量积的定义可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】设正六边形的中心为点，如下图所示： 对于A选项，由正六边形的性质可知，则四边形为平行四边形， 所以，，所以，，A对； 对于B选项，由正六边形的性质可知，、均为等边三角形， 则，故四边形为菱形，所以，， 由正六边形的几何性质可知， 所以， ，B对； 对于C选项，易知为等边三角形， 故，C对； 对于D选项，因为为等腰三角形，且，，故， 设，则为的中点，故， 所以，，则， 所以，在上的投影向量为，D错. 故选：ABC. 10. （23-24高一下·西宁市·期中）在平行四边形中，是直线上的一点，且，若，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】将向量进行转化得，从而得解. 【详解】记，又，所以，所以， 解得. 故答案为：3 11. （23-24高一下·西宁市·期中）已知，，与的夹角为． （1）求； （2）若向量与相互垂直，求实数k的值． 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意求得数量积，再求向量的模长即可； （2）根据向量垂直则数量积为零，结合（1）中所求，即可求得参数值. 【小问1详解】 根据题意，， 又. 小问2详解】 根据题意， ，即，，解得. 12. （23-24高一下·西宁市·期中）（1）已知单位向量与的夹角为，且，求； （2）已知，求. 【答案】（1）；（2）2 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，利用向量数量积的运算律展开，即可求解； （2）根据题意，对两边平方，并代入，即可求解. 【详解】（1）单位向量与的夹角为，则. . （2）由，即 平面向量的坐标表示与运算题型03 13. （23-24高一下·西宁市·期中）平面内顺次连接所组成的图形是（ ） A. 平行四边形 B. 直角梯形 C. 等腰梯形 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，然后通过判断它们间的关系进行判断即可. 【详解】因为， 所以，， 所以，，∥， 所以四边形为直角梯形. 故选：. 14. （23-24高一下·西宁市·期中）（多选题）已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为45° D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A；利用向量模的坐标求法可判断B；利用向量数量积的坐标运算可判断C；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由向量，， 则，故A正确； ，故B错误； ， 又，所以与的夹角为45°，故C正确； 由，，，故D错误. 故选：AC 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题. 15. （23-24高一下·西宁市·期中）已知向量，且. （1）求的值； （2）求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用平面向量垂直的坐标公式计算即可. （2）运用平面向量夹角公式计算即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，解得. 故的值为3. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以， 所以. 故与的夹角的余弦值为. 16. （23-24高一下·西宁市·期中）已知向量，． （1）若，求向量与的夹角的大小； （2）若向量与的方向相同，求的坐标． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由，得，化简后可求得，然后利用向量的夹角公式可求得答案； （2）由题意设，再由可求出，从而可求出的坐标． 【小问1详解】 由，得， 则，解得， 则． 因为， 所以向量与的夹角的大小为． 【小问2详解】 因为向量与的方向相同，所以设． 因为，所以， 解得（负值舍去），故． 投影向量题型04 17. （23-24高一下·西宁市·期中）已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，利用投影向量的定义即可求解. 【详解】因为单位向量，满足，所以， 化简得：，即或(舍去)， 所以在上的投影向量为， 故选：D 18. （23-24高一下·海南州·期中）已知向量，，则在方向上的投影向量为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量公式求出答案. 【详解】在方向上的投影向量为. 故答案为：. 19. （23-24高一下·西宁市·期中）若，为单位向量，且，则在方向上投影向量为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合投影向量的公式，即可求解． 【详解】，为单位向量，且， 则，即，解得， 在方向上的投影向量为：． 故答案为：． 平面向量的模长与夹角题型05 20. （23-24高一下·西宁市·期中）若，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，对等式两边同时平方求得，结合平面向量数量积的定义计算即可求解. 【详解】由，，， 则，得， 所以，又 所以与的夹角为． 故选：B． 21. （23-24高一下·海南州·期中）已知平面向量满足，且，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设夹角为，根据向量数量积的运算律即可求解． 【详解】因为，所以，即， 设夹角为，则，， 又因为，所以， 故选：D． 22. （23-24高一下·西宁市·期中）已知平面向量满足，且，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设夹角为，根据向量数量积的运算律即可求解． 【详解】因为，所以，即， 设夹角为，则，， 又因为，所以， 故选：D． 23. （23-24高一下·西宁市·期中）已知平面向量，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量数量积的坐标运算可得，再由平面向量的夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】， ， ， ，． 故选：B 24. （23-24高一下·海南州·期中）已知向量，． （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算求模长即可； （2）根据平面向量的坐标运算求夹角的余弦值． 【小问1详解】 ∵，， ∴， ， ∴； 【小问2详解】 设与夹角为，则， ，， ，， ∴， ∴向量与夹角的余弦值为． 平面向量基本定理题型06 25. （23-24高一下·西宁市·期中）已知P是所在平面内一点，若，其中，则点P一定在（ ） A. 边所在直线上 B. 边所在直线上 C. 边所在直线上 D. 的内部 【答案】B 【解析】 【分析】根据，利用平面向量的线性运算转化为，再利用平面向量共线定理求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以点P在边所在直线上． 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量共线定理，属于基础题. 26. （23-24高一下·海南州·期中）（多选题）下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面共线向量的坐标表示，结合基底的定义依次求解即可. 【详解】A：零向量与任意向量共线，所以向量与共线，不能作为基底，故A不符合题意； B：由，得与不共线，能作为基底，故B符合题意； C：由，得与不共线，能作为基底，故C符合题意； D：由，得与不共线，能作为基底，故D符合题意； 故选：BCD． 27. （23-24高一下·西宁市·期中）（多选）若是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ） A. 可以表示平面内的所有向量 B. 对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对 C. 均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D. 若存在实数，使，则 【答案】BC 【解析】 【分析】运用平面向量基本定理可判断A项、B项、D项，通过举反例可判断C项. 【详解】由题意可知：可以看成一组基底向量，根据平面向量基本定理可知：A项、D项正确，B项不正确； 对于C项，当时，则， 此时任意实数均有，故C项不正确. 故选：BC. 28. （23-24高一下·西宁市·期中）在平行四边形中，. （1）若与交于点，求的值； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选择，为一组基向量，设，，将分别用，的两种形式表示，根据平面向量基本定理可得关于的方程组，求解即得； （2）分别将用，表示，计算它们的数量积，整理成关于的二次函数，结合二次函数的图象和的范围即可求得的取值范围. 【小问1详解】 设，则 设. 根据平面向量基本定理得解得， 所以，则，所以. 【小问2详解】 因为， ， , 所以. . 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为， 当时，取得最大值，且最大值为. 故的取值范围为. 平面向量的位置关系题型07 29. （23-24高一下·海南州·期中）平面内顺次连接所组成的图形是（ ） A. 平行四边形 B. 直角梯形 C. 等腰梯形 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，然后通过判断它们间的关系进行判断即可. 【详解】因为， 所以，， 所以，，∥， 所以四边形为直角梯形. 故选：. 30. （23-24高一下·西宁市·期中）已知向量，则与向量平行的单位向量为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】利用与向量平行的单位向量为，求解即可 【详解】因为，所以，所以与向量平行的单位向量为或. 故答案为：或 31. （23-24高一下·西宁市·期中）已知，，，．当k为何值时： （1） （2） 【答案】（1）或2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，利用共线向量定理求解； （2）根据，利用数量积运算求解. 【小问1详解】 解：因为，，，， 所以， ． 因为，所以， 整理为， 解得或2； 【小问2详解】 因为， 所以， 整理为， 解得：. 32. （23-24高一下·海南州·期中）已知向量，. （1）若，求实数k的值； （2）若，求实数k的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得到，然后即可解出； （2）由得到，然后用数量积的坐标运算即可解出. 【小问1详解】 由知，即. 【小问2详解】 由，，知. 由知， 故，即，从而. 33. （23-24高一下·海南州·期中）设为两个不共线的向量，若 （1）若，且与的夹角为，求； （2）若与共线，求实数的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把先平方再求算术平方根，代入计算即可； （2）若与共线，则存在实数，使得，根据为两个不共线的向量可列出关于和的方程，求解方程即可. 【小问1详解】 因为， 所以 . 【小问2详解】 若与共线，则存在实数，使得， 即， 则且，解得，. 平面向量中的最值问题题型01 34. （23-24高一下·西宁市·期中）在矩形中，，点是线段上一点，且满足.在平面中，动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立直角坐标系，利用向量坐标运算即可结合三角函数的性质求解. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，故设， 则, ，其中锐角满足，故的最大值为, 故选：A 平面向量中的探索问题题型02 35. （23-24高一下·西宁市·期中）如图，在等腰三角形中，是线段上的动点（异于端点），. （1）若是边的中点，求的值； （2）当时，请确定点的位置. 【答案】（1） （2）是线段靠近处的四等分点 【解析】 【分析】（1）用、作基底分别表示、，结合数量积运算即可. （2）设，则，结合数量积运算即可 【小问1详解】 由题意知， 由于是边的中点，因此， 因此. 【小问2详解】 不妨设，因此， 又， 所以 解得，即， 故是线段靠近处的四等分点. 36. （23-24高一下·西宁市·期中）如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意得，结合即可得解； （2）由，求解即可. 【小问1详解】 在直角三角形中，． ∴，， ， ∵，∴． 【小问2详解】 令，得或（舍）. ∴存在实数，使得． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$