精品解析：广东省湛江市第二十一中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

湛江市第二十一中学2024-2025学年第二学期4月考·高一 数学 考试时间：120分钟，满分：150分 一､单选题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，结合并集的运算，即可求解. 【详解】由， 又由，可得，所以. 故选：D. 2. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由虚数单位的周期性将复数化简，再由复数的除法运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以， 则. 故选：A. 3. 已知向量不共线，，且，则实数（ ） A. 1或4 B. 1或 C. 或1 D. 或1 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用向量的共线的充要条件建立方程组，即可求出结果. 【详解】因为，且， 所以，即， 又向量不共线，得到， 消得到，解得或， 故选：B. 4. 已知向量，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，，结合模长关系运算求解即可. 【详解】因为，则， 又因为，即， 所以，即. 故选：C. 5. 在中，已知，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长. 【详解】设， 结合余弦定理：可得：， 即：，解得：（舍去）， 故. 故选：D. 【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型： (1)已知三角形的三条边求三个角； (2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角； (3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形． 6. 已知，，且，则在上的投影向量为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知算出，根据投影向量的定义即可求解. 【详解】因为，所以，即， 又因为，设的夹角为，所以，在上的投影为：， 所以在上的投影向量为. 故选：C. 7. 已知圆锥的侧面积为，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出圆锥底面圆半径，表示出圆锥母线长，再利用圆锥侧面积公式计算即得. 【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，则，解得， 由圆锥的侧面积为，得，即，所以. 故选：A 8. 若函数对任意都有，且当时，，则（ ） A. B. 8 C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先得，从而周期为6，由此即可进一步根据周期性求解. 【详解】因为，所以，所以周期为6， 当时，，. 故选：A. 二､多选题（，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知平面向量，下列说法不正确的有（ ） A. 若，，则 B. C. D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用平面向量共线、线性运算以及数量积定义即可逐个选项判断. 【详解】对于A，当时， 满足，，但不一定成立，选项A错误； 对于B，因为是常数，则表示与共线的向量； 同理表示与共线的向量，所以与关系不确定，选项B错误； 对于C，，选项C正确； 对于D，由得，， 即， ，即，选项D正确. 故选：AB 10. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. C. 在复平面内的对应点位于直线上 D. 为方程的一个根 【答案】BCD 【解析】 【分析】先化简复数z，再逐项判断. 【详解】对于A，，故，其虚部为，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由复数的几何意义可知在复平面内的对应点位于直线上，故C正确； 对于D，易得，故D正确. 故选：BCD 11. 在中，设角所对的边分别为，则下列命题一定成立的是（ ） A. 若，则是锐角三角形 B. 若，，，则有唯一解 C. 若是锐角三角形，，，设的面积为S，则 D. 若是锐角三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由余弦定理可判断； 由正弦定理可判断； 利用边化角结合面积公式可得，求的范围，结合正弦函数的性质可得的范围，即可判断； 由锐角三角形可得及，利用在上的单调性结合诱导公式可判断. 【详解】， ， ， 为锐角，但不能确定角是否为锐角， 故不一定是锐角三角形，故错误； 由正弦定理得， ， ， 有唯一解，故正确； ， ，， ， 又，解得， ，， ， ， ，即，故正确； 是锐角三角形，， 又， ，， 又在上单调递增， ，， ，故正确； 故选：. 三､填空题（每小题5分，共15分） 12. 设向量，且⊥，则向量的模为_____ 【答案】 【解析】 【分析】由两个向量垂直可得x值，即得到，由向量的模的公式计算即可得到答案. 【详解】向量， 由⊥得=0即 解得x=-3,则 |， 故答案为 【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式和向量的模公式的应用，属于基础题. 13. 在中，，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】结合正弦定理及同角三角函数关系即可求解. 【详解】由正弦定理得：，则， 又因，则，所以. 故答案为： 14. 若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据必要条件的定义直接求解即可. 【详解】由题意，“若，则”为真命题， 故实数的取值范围是. 故答案为： 四､解答题（共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 化简求值： （1） （2）已知，计算 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）由对数运算法则计算； （2）弦化切代入计算． 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 ， 16. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 【答案】（1） （2）设备占地面积为时，y的值最小 【解析】 【分析】（1）由题意得，解不等式即可得解. （2）将变形，再利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 令即，整理得即， 所以解得， 所以设备占地面积的取值范围为. 【小问2详解】 ， 当且仅当即时等号成立， 所以设备占地面积为时，的值最小. 17 已知． （1）求； （2）若，求的最小值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求，然后直接求的平方即可得解； （2）利用向量的运算律，将转化为关于的二次函数，然后求出最值即可. 【小问1详解】 因为， ， 因为 所以， 【小问2详解】 由（1）知，， 因为 所以当时，的最小值为 18. 在锐角中，角的对边分别为，，，已知且． （1）求角A的大小； （2）若，求的面积； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合三角恒等变换运算求解； （2）先利用余弦定理求得，进而可求面积； （3）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数的有界性运算求解. 【小问1详解】 因为， 且，则，可得， 整理得，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，即， 解得或（舍去）， 所以的面积. 【小问3详解】 由正弦定理，可得， 则 ， 因为为锐角三角形，且，则，解得， 则，可得， 则， 所以的取值范围为. 19. 已知函数． （1）当时，求函数的零点； （2）若，求在区间上的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）当时，解方程可得函数的零点； （2）令，将问题转化为求函数在区间上的最大值，然后对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，进而可求得的表达式. 【详解】（1）当时，， ，由，可得，解得， 即当时，函数的零点为； （2）令，即求在区间上的最大值． 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线. ①当时，即当时，函数在区间上单调递增，则； ②当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因为，，，则； ③当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时，，则； ④当时，即当时，函数在区间上单调递减， 所以，. 综上所述，. 【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湛江市第二十一中学2024-2025学年第二学期4月考·高一 数学 考试时间：120分钟，满分：150分 一､单选题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量不共线，，且，则实数（ ） A. 1或4 B. 1或 C. 或1 D. 或1 4. 已知向量，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 在中，已知，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 6. 已知，，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的侧面积为，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆半径为（ ） A B. C. D. 8. 若函数对任意都有，且当时，，则（ ） A. B. 8 C. D. 12 二､多选题（，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知平面向量，下列说法不正确的有（ ） A. 若，，则 B. C. D. 若，则 10. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. C. 在复平面内的对应点位于直线上 D. 为方程的一个根 11. 在中，设角所对的边分别为，则下列命题一定成立的是（ ） A. 若，则是锐角三角形 B. 若，，，则有唯一解 C. 若是锐角三角形，，，设的面积为S，则 D. 若是锐角三角形，则 三､填空题（每小题5分，共15分） 12. 设向量，且⊥，则向量的模为_____ 13. 在中，，，，则________. 14. 若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是__________. 四､解答题（共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 化简求值： （1） （2）已知，计算 16. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 17. 已知． （1）求； （2）若，求的最小值． 18. 在锐角中，角对边分别为，，，已知且． （1）求角A大小； （2）若，求的面积； （3）求的取值范围． 19 已知函数． （1）当时，求函数的零点； （2）若，求在区间上最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$