专题08 整式的乘法与除法（考点清单，6考点13题型+命题预测）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（浙教版2024）

清单08 整式的乘法与除法 （6个考点梳理+13种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 单项式乘单项式 运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 实质：乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. 清单02 单项式乘多项式 运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即. 实质：利用乘法的分配律将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式. 【补充】 1.运算的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同. 2.计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. 3.对单项式乘多项式，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 清单03 多项式乘多项式 运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即 . 【补充】 1.多项式乘多项式时，要按一定的顺序进行，必须做到不重不漏. 2.多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号. 3.运算结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 4.若结果中含有同类项，则一定要进行合并同类项，使得结果为最简形式. 清单04 单项式除单项式 运算法则：一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 【注意】 1. 系数相除时，不要遗漏系数前面的符号； 2. 不要遗漏只在被除式里含有的字母. 清单05 多项式除单项式 运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 实质：把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式. 【注意】 1. 在计算时，多项式各项要包括前面的符号，商的各项的符号由多项式中各项的符号与单项式的符号决定. 2. 在进行多项式除以单项式的计算时不要漏项，所得结果的项数应与被除式的项数相同. 清单06 整式的混合运算 运算顺序: 先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 【考点题型一】计算单项式乘单项式（） 1．（2024·陕西西安·一模）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·全国·课后作业）如果表示，表示，则= 3．（22-23七年级下·浙江金华·期中）计算： (1)； (2)． 【考点题型二】计算单项式乘多项式及求值（） 4．（22-23八年级上·天津西青·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 5．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）将代数式去括号后，得到的正确结果是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 【考点题型三】单项式乘多项式的应用（） 8．（23-24八年级上·浙江台州·期末）面积相等的正方形与长方形按如图叠放，已知，则下列等式成立的是（　　）      A． B． C． D． 9．（2025九年级下·浙江·专题练习）一个长方体的包装箱，长为米，宽为米，高为米． (1)该包装箱的体积为 　　立方米． (2)若给该包装箱的表面都喷上油漆，通过计算说明，共需喷上多少平方米的油漆？ 10．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）有总长为l的篱笆，利用它和一面墙围成长方形园子，园子的宽度为a． (1)如图1，①园子的面积为 （用关于l，a的代数式表示）． ②当时，求园子的面积． (2)如图2，若在园子的长边上开了长度为1的门，则园子的面积相比图一 （填增大或减小），并求此时园子的面积（写出解题过程，最终结果用关于l，a的代数式表示）． 【考点题型四】计算多项式乘多项式（） 11．（23-24七年级下·浙江·期中）若，则常数，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 12．（22-23七年级下·浙江·期中）已知，其中（），则（    ） A． B． C． D． 13．（22-23八年级上·重庆·阶段练习）若的积中，的系数为5，的系数为1，则的值为 ． 14．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）已知，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)． 【考点题型五】(x+p)(x+q)型多项式乘法（） 15．（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知，其中，为整数，则整数可能的取值有__________个． A．2 B．4 C．6 D．8 16．（2023七年级下·浙江·专题练习）若，求的值． 17．（21-22七年级下·江苏宿迁·阶段练习）探索题： (1)计算：＝ ， ＝ ， ＝ ； (2)发现：＝             ；并证明你的发现． 【考点题型六】多项式乘多项式与图形面积（） 18．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图是某住宅的平面结构示意图及有关尺寸（墙壁厚度忽略不计，单位：）． (1)求该住宅的面积（用含，的代数式表示）． (2)该住宅的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，其中卫生间的地面面积为．如果地砖的价格是每平方米80元，那么购买地砖至少需要花费多少元？ 19．（22-23七年级下·浙江金华·期中）用如图所示的甲、乙、丙三块木板做一个长、宽、高分别为厘米，厘米和厘米的长方形木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板锯成两块刚好能做成一个长侧面和一个短侧面，丙块木板锯成两块刚好能做箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计）．    (1)请用含的代数式表示这三块木板的面积总和； (2)如果购买一块长厘米，宽厘米的长方形木板做这种箱子，若不考虑损耗，是否存在整数，刚好可以做成几只完整的箱子？若可以，请求出的值以及相应的箱子只数． 20．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图，在某高铁站广场前有一块长为，宽为的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道．    (1)求该长方形空地的面积；（用代数式表示） (2)求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示） (3)当，时，求这两个长方形喷泉池的总面积． 【考点题型七】多项式乘法种的规律性问题（） 21．（2023七年级下·浙江·专题练习）观察下列多项式的乘法计算，回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)根据你发现的规律，猜想　 　； (2)若，求n的值． 22．（22-23八年级上·山西长治·期末）阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律． 根据上述规律，完成下列问题： (1)直接写出_________． (2)的展开式中a项的系数是__________． (3)利用上述规律求的值，写出过程． 23．（2023七年级下·浙江·专题练习）你能求出的值吗？ (1) … 　 ． (2)请你用上面的结论，计算：． 【考点题型八】计算单项式除单项式（） 24．（23-24八年级上·浙江台州·期末）的运算结果是（    ） A． B． C． D． 25．（22-23七年级上·福建福州·期末）如果三角形的面积为，且其中一边的长为，则这条边上的高为（    ） A． B． C． D． 26．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）湖北省科技馆位于武汉市光谷，其中“数理世界”展厅的WFI的密码被设计成如图数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 ． 27．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【考点题型九】计算多项式除单项式（） 28．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 29．（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）已知与一个多项式的积是，则这个多项式是（    ） A． B． C． D． 30．（22-23八年级上·湖北襄阳·期末）化简求值，其中，时，结果正确的是（    ）． A． B． C． D． 31．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）计算，可用竖式除法，如图． ∴除以，商式为，余式为0， 根据阅读材料，请回答下列问题： 除以，商式为 ，余式为 ． 32．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)． 【考点题型十】与多项式乘多项式的“不含”与“无关”类问题（） 33．（21-22七年级下·内蒙古包头·阶段练习）若 的展开式中不含和项，则的值为 ． 34．（22-23七年级下·浙江·期中）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 35．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）在长方形内，将两张边长分别为和的正方形纸片按图，两种方式放置（图，中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，，图中阴影部分的面积表示为，图中阴影部分的面积表示为，的值与四个字母中哪个字母的取值无关（    ） A．与的取值无关 B．与的取值无关 C．与的取值无关 D．与的取值无关 36．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割成小块，除阴影部分A，B外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为． (1)由图可知，每个小长方形较长一边长为________．（用含的代数式表示） (2)分别用含，的代数式表示阴影部分A，B的面积． (3)当取何值时，阴影部分A与阴影部分的面积之差与的值无关？并求出此时阴影部分A与阴影部分的面积之差． 【考点题型十一】整式的混合运算（） 37．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 38．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）计算： (1)； (2)． 39．（23-24八年级上·北京·期中）计算 (1) (2) (3) 【考点题型十二】与整式乘除有关的新定义问题（） 40．（20-21七年级下·浙江宁波·期末）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如：．当，则 ；当时，对任意有理数都成立，则满足的关系式是 ． 41．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）定义运算，比如，，那么关于“*”运算，以下等式成立的是 ． ①；        ②；        ③ 42．（21-22七年级下·浙江温州·期中）若定义 表示， 表示，则运算÷的结果为（　　） A． B． C． D． 43．（22-23七年级上·浙江金华·期中）符号“”称为二阶行列式．规定它的运算法规为：． (1)计算：=_________；（直接写出答案） (2)化简二阶行列式： 【考点题型十三】探索整式混合运算的错误步骤（） 44．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期中）小马同学化简的过程如下： 解：原式①②③ (1)请把，分别代入原式以及化简后的式子，并分别求出它们的值；由两者的求值结果可知，小马同学的化简结果对吗？ (2)指出小马同学化简错误的步骤：_______（填写序号）；并写出正确的化简过程． 45．（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）下面是小明的运算步骤，请你认真阅读并完成相应的任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 任务： (1)运算从第 步开始出错，出现错误的原因是 ． (2)正确运算结果为 ． 46．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）下面是聪聪同学进行整式运算的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 计算： 解：原式第一步 第二步 ．第三步 任务一：仔细检查聪聪同学的解题过程，回答下列问题． ①以上解题过程中，第一步需要依据________和________公式进行运算（用字母表示公式）． ②第________步开始出现错误． 任务二：请写出本题的正确解题过程． 【命题预测】 1．（2024·河南开封·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪开，再拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（　　） A． B． C． D．2 3．（2024七年级下·浙江·专题练习）式子化简后的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·山东临沂·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·安徽黄山·期末）在中，多项式 ． 7．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知，B是多项式，在计算时，某同学把看成了，结果得，则 ． 8．（22-23七年级下·浙江金华·期中）如图，把一张长方形纸板裁去两个边长为6cm的小正方形和两个全等的小长方形，再把剩余部分（阴影部分）四周折起，恰好做成一个有底有盖的长方体纸盒，纸盒底面长方形的长为，宽为，则： （1）裁去的每个小长方形面积为 cm2．（用的代数式表示） （2）若长方体纸盒的表面积是底面积的偶数倍，则正整数的值为 ． 9．（23-24七年级下·浙江·期中）欢欢和乐乐两人分别计算，欢欢抄错了的符号，得到的结果为，乐乐漏抄了第二个括号中的系数，得到的结果为． (1)求，的值． (2)请你计算这道题的正确结果． 10．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）计算： (1) (2) 11．（2023八年级上·全国·专题练习）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，若干张边长为a的正方形A纸片，边长为b的正方形B纸片，长和宽分别为a与b的长方形C纸片（如图1）．    (1)小李同学拼成一个宽为，长为的长方形（如图2），并用不同的方法计算面积，从而得出相应的等式： （答案直接填写到横线上）； (2)如果用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张； (3)利用上述方法，画出面积为的长方形，并求出此长方形的周长（用含a，b的代数式表示）． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单08 整式的乘法与除法 （6个考点梳理+13种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 单项式乘单项式 运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 实质：乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. 清单02 单项式乘多项式 运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即. 实质：利用乘法的分配律将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式. 【补充】 1.运算的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同. 2.计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. 3.对单项式乘多项式，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 清单03 多项式乘多项式 运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即 . 【补充】 1.多项式乘多项式时，要按一定的顺序进行，必须做到不重不漏. 2.多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号. 3.运算结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 4.若结果中含有同类项，则一定要进行合并同类项，使得结果为最简形式. 清单04 单项式除单项式 运算法则：一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 【注意】 1. 系数相除时，不要遗漏系数前面的符号； 2. 不要遗漏只在被除式里含有的字母. 清单05 多项式除单项式 运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 实质：把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式. 【注意】 1. 在计算时，多项式各项要包括前面的符号，商的各项的符号由多项式中各项的符号与单项式的符号决定. 2. 在进行多项式除以单项式的计算时不要漏项，所得结果的项数应与被除式的项数相同. 清单06 整式的混合运算 运算顺序: 先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 【考点题型一】计算单项式乘单项式（） 1．（2024·陕西西安·一模）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了单项式乘以单项式，利用单项式乘以单项式的法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 2．（22-23七年级下·全国·课后作业）如果表示，表示，则= 【答案】 【分析】 根据题目所给的信息得 表示，表示，再进行单项式乘以单向式的运算即可．此题考查了新定义下的单项式乘以单项式的运算，解题的关键是读懂题意，根据题目所给的信息写出相应的式子． 【详解】 解：根据题意，得表示，表示，则 ． 故答案为：． 3．（22-23七年级下·浙江金华·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案； （2）直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘单项式运算法则、合并同类项法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】此题主要考查了单项式乘单项式以及积的乘方运算法则，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【考点题型二】计算单项式乘多项式及求值（） 4．（22-23八年级上·天津西青·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 5．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）将代数式去括号后，得到的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式乘以多项式的运算法则，计算时注意符号，熟练掌握相关计算法则是解答本题的关键． 6．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得，然后代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选C． 【点睛】本题考查了求代数式的值，单项式与多项式的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 7．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式的运算法则化简，再把，代入计算即可得解； （2）根据单项式乘多项式的运算法则、合并同类项把原式化简，把，的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 当,时， 原式 ； （2）解： ， 当，时， 原式． 【考点题型三】单项式乘多项式的应用（） 8．（23-24八年级上·浙江台州·期末）面积相等的正方形与长方形按如图叠放，已知，则下列等式成立的是（　　）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式混合运算的应用．根据题意得，利用长方形的面积公式列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形与长方形的面积相等， ∴， ∵， ∴，， ∴，整理得， 故选：A． 9．（2025九年级下·浙江·专题练习）一个长方体的包装箱，长为米，宽为米，高为米． (1)该包装箱的体积为 　　立方米． (2)若给该包装箱的表面都喷上油漆，通过计算说明，共需喷上多少平方米的油漆？ 【答案】(1) (2)共需喷上平方米的油漆 【分析】本题考查了几何体的表面积，关键是掌握几何体的表面积公式． （1）根据长方体的体积公式计算即可； （2）根据长方体的表面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵长方体的长为米，宽为米，高为米， ∴该长方体的体积为立方米， 故答案为：； （2）解：长方体的表面积为： 平方米， 答：共需喷上平方米的油漆． 10．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）有总长为l的篱笆，利用它和一面墙围成长方形园子，园子的宽度为a． (1)如图1，①园子的面积为 （用关于l，a的代数式表示）． ②当时，求园子的面积． (2)如图2，若在园子的长边上开了长度为1的门，则园子的面积相比图一 （填增大或减小），并求此时园子的面积（写出解题过程，最终结果用关于l，a的代数式表示）． 【答案】(1)①；②1200 (2)增大； 【分析】本题考查了列代数式及代数式求值，正确列出代数式是解题的关键． （1）①先用和的代数式表示出园子的长，再表示出园子的面积；②把，代入①中的代数式进行计算即可； （2）由园子的宽不变，长增加了，即可判断出园子的面积增大了，表示出园子的长，即可求出园子的面积． 【详解】（1）解：①总长为，宽为， 园子的长为：， 园子的面积为：； 故答案为：； ②当，时， ； （2）解：园子的宽不变，长增加了， 园子的面积增大了， 在园子的长边上开了1的门， 园子的长为：， 园子的面积为：， 园子增加的面积为：， 答：园子的面积增加了，此时园子的面积． 故答案为：增大． 【考点题型四】计算多项式乘多项式（） 11．（23-24七年级下·浙江·期中）若，则常数，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】先根据多项式乘多项式是运算法则计算，得出，再根据，由此可得，即可得出，，进而得出答案． 本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：，， ， ，， 解得：，． 故选：D． 12．（22-23七年级下·浙江·期中）已知，其中（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用作差法比较即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了整式的加减，整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号先去括号，然后再合并同类项． 13．（22-23八年级上·重庆·阶段练习）若的积中，的系数为5，的系数为1，则的值为 ． 【答案】 【分析】先计算多项式乘以多项式，然后根据的系数为5，的系数为1得出关于a、b的方程组，求解即可． 【详解】解： ， ∵的系数为5，的系数为1， ∴ 解得 ． ∴． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组，代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 14．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1 (2) (3)122 【分析】本题考查多项式的乘法，恒等式，解方程组，利用特殊值法进行求解，是解题的关键． （1）令，代入计算即可； （2）的展开式中的系数为：，令，求出，再根据（1）中的结果，进行求解即可； （3）令，得到，联立（1）中结果，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）令， 则：； ∴； （2）根据题意可知，的展开式中的系数为：， ∴， 令，并代入原式可得：， 由（1）知：， ∴； （3）令，并代入原式可得： ， 根据（1）可知， 联立方程组可得：， 得， ∴． 【考点题型五】(x+p)(x+q)型多项式乘法（） 15．（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知，其中，为整数，则整数可能的取值有__________个． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先根据多项式乘以多项式的计算法则得到，从而可得a、b的值，由此即可得到答案，正确得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵a、b为整数， ∴或或或或或或或， 或或或或或或或， ∴或14或11或10或或或或， ∴m的取值有8个， 故选D． 16．（2023七年级下·浙江·专题练习）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法法则以及多项式相等的条件，理解多项式的乘法法则是关键．首先把利用多项式的乘法公式展开，然后根据多项式相等的条件：对应项的系数相同即可得到m、n的值，从而求解． 【详解】解： ， 则， 解得：． ． 17．（21-22七年级下·江苏宿迁·阶段练习）探索题： (1)计算： ＝ ， ＝ ， ＝ ； (2)发现：＝             ；并证明你的发现． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）利用多项式乘多项式的运算法则进行计算． （2）利用（1）中的计算结果得出结论，再利用多项式乘多项式的运算法则进行证明． 【详解】（1）解：． ． ． 故答案分别为：． （2）解：．证明如下： ． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式的运算法则，还考查了整式乘法的计算规律问题的处理能力，解题的关键是能准确利用整式乘法法则进行计算和归纳． 【考点题型六】多项式乘多项式与图形面积（） 18．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图是某住宅的平面结构示意图及有关尺寸（墙壁厚度忽略不计，单位：）． (1)求该住宅的面积（用含，的代数式表示）． (2)该住宅的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，其中卫生间的地面面积为．如果地砖的价格是每平方米80元，那么购买地砖至少需要花费多少元？ 【答案】(1)该住宅的面积 (2)购买地砖至少需要花费4500元 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，有理数乘法的应用，理解题意并正确列式是解题关键． （1）根据图形列式计算即可； （2）先根据卫生间的面积求出，再计算出卧室以外的面积，乘以地砖的价格求解即可． 【详解】（1）解： 即该住宅的面积； （2）解：由图形可知，卫生间的面积为， 卫生间的地面面积为， ， ， 卧室1的面积为， 卧室2的面积为， 卧室以外的面积为， （元）． 答：购买地砖至少需要花费4500元． 19．（22-23七年级下·浙江金华·期中）用如图所示的甲、乙、丙三块木板做一个长、宽、高分别为厘米，厘米和厘米的长方形木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板锯成两块刚好能做成一个长侧面和一个短侧面，丙块木板锯成两块刚好能做箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计）．    (1)请用含的代数式表示这三块木板的面积总和； (2)如果购买一块长厘米，宽厘米的长方形木板做这种箱子，若不考虑损耗，是否存在整数，刚好可以做成几只完整的箱子？若可以，请求出的值以及相应的箱子只数． 【答案】(1) (2)当为时可以做只箱子；当为时可以做只箱子 【分析】（1）根据三块木板与长方体箱子的长、宽、高的情况，几何图形面积的计算方法即可求解； （2）根据长方体箱子的面积与购买木板的面积的比值，根据实际情况确定的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：三块木板的面积总和为cm2． （2）解：由（1）可知长方形箱子的面积为，购买的木板的面积为， ∴， ∵为整数，又要使得箱子是整数只， ∴时，只；时，只； ∴当为时可以做只箱子；当为时可以做只箱子． 【点睛】本题主要考查几何图形的面积与整式的混合运算的综合，掌握几何图形面积的计算方法，整式的混合运算，根据实际情况确定参数的值的方法等知识是解题的关键． 20．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图，在某高铁站广场前有一块长为，宽为的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道．    (1)求该长方形空地的面积；（用代数式表示） (2)求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示） (3)当，时，求这两个长方形喷泉池的总面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据长方形的面积列式并计算即可； （2）根据“长为，宽为的长方形空地，两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道”列式计算即可； （3）把，代入（2）中得到结果计算即可． 【详解】（1）解：， 答：该长方形空地的面积为． （2） ． 答：这两个长方形喷泉池的总面积为． （3）当，时，这两个长方形喷泉池的总面积为． 即这两个长方形喷泉池的总面积为． 【点睛】此题考查了列代数式、多项式乘法的应用、代数式的值等知识，根据题意正确列出代数式是解题的关键． 【考点题型七】多项式乘法种的规律性问题（） 21．（2023七年级下·浙江·专题练习）观察下列多项式的乘法计算，回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)根据你发现的规律，猜想　 　； (2)若，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察各①②③④小题结果的二次项系数、一次项系数及常数项，发现规律得猜想； （2）利用（1）的猜想先求出，再根据得关于n、b的方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据上面的计算，可发现： 故答案为：； （2）解：由（1）的规律知：， ∵， ∴． ∴． ∴． 答：n的值为． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，利用多项式乘多项式法则发现规律得到猜想是解决本题的关键． 22．（22-23八年级上·山西长治·期末）阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律． 根据上述规律，完成下列问题： (1)直接写出_________． (2)的展开式中a项的系数是__________． (3)利用上述规律求的值，写出过程． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）根据给出的等式的特点，可以得到等式右边的多项式按照的降幂，的升幂顺序排列，项数为项，第一项和最后一项的系数相同均为1，第二项和倒数第二项的系数相同，等于上一个等式的第一项和第二项的系数之和，第三项和倒数第三项相同，等于上一个等式的第二项和第三项的和，依次类推，即可得出结论； （2）根据，即可得出结论； （3）根据，利用（1）中等式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴a项的系数是； 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查数字类规律探究，解题的关键是根据已知等式的特点，抽象概括出相应的数字规律． 23．（2023七年级下·浙江·专题练习）你能求出的值吗？ (1) … 　 ． (2)请你用上面的结论，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等式的规律即可求解； （2）根据（1）的结论进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：； 故答案为：； （2）∵ ∴ 【点睛】本题考查了多项式乘法运算的规律问题，找到规律是解题的关键． 【考点题型八】计算单项式除单项式（） 24．（23-24八年级上·浙江台州·期末）的运算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的法则解题即可得到答案． 【详解】解：， 故选D． 25．（22-23七年级上·福建福州·期末）如果三角形的面积为，且其中一边的长为，则这条边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积公式进行计算即可求解． 【详解】∵三角形的面积为，且其中一边的长为， ∴这条边上的高为， 故选：D． 【点睛】本题考查了单项式除以单项式，掌握三角形的面积公式是解题的关键． 26．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）湖北省科技馆位于武汉市光谷，其中“数理世界”展厅的WFI的密码被设计成如图数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 ． 【答案】 【分析】根据幂的乘方，单项式的乘除法计算即可解答 【详解】， 故答案为： 【点睛】本题考查了幂的乘方，单项式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键 27．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】（1）利用同底数幂的除法运算，底数不变指数相减，进而得出即可； （2）利用同底数幂的除法运算，底数不变指数相减，进而得出即可； （3）利用同底数幂的除法运算，底数不变指数相减，进而得出即可； （4）利用同底数幂的除法运算，底数不变指数相减，进而得出即可； （5）利用同底数幂的除法运算，底数不变指数相减，进而得出即可； （6）利用同底数幂的乘除法运算法则，进而得出即可； （7）利用多项式除以单项式运算、同底数幂的除法运算法则得出即可； （8）利用多项式除以多项式、同底数幂的除法运算法则得出即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解： ； （8）解： ． 【点睛】本题主要考查了整式除法运算，涉及单项式除以单项式、多项式除以单项式、同底数幂的乘除运算等，熟练掌握运算法则是解题关键． 【考点题型九】计算多项式除单项式（） 28．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 29．（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）已知与一个多项式的积是，则这个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列式，应用多项式除以单项式运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了整式除法，解题的关键是熟练掌握多项式除以单项式运算法则，准确计算． 30．（22-23八年级上·湖北襄阳·期末）化简求值，其中，时，结果正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多项式乘以多项式、多项式除以单项式、去括号法则、合并同类项运算对代数式先化简，再将，代入化简结果求值即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ， 故选：B． 【点睛】本题考查代数式化简求值，涉及多项式乘以多项式、多项式除以单项式、去括号法则、合并同类项运算、有理数混合运算等知识，掌握相关运算法则是解决问题的关键． 31．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）计算，可用竖式除法，如图． ∴除以，商式为，余式为0， 根据阅读材料，请回答下列问题： 除以，商式为 ，余式为 ． 【答案】 【分析】仿照题干列竖式求解，即可得到答案． 【详解】列竖式如下： 除以，商式为，余式为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了多项式的除法，理解题意正确列竖式是解题关键． 32．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】利用多项式除以单项式运算法则分别进行解答即可，多项式除以单项式，先把多项式的每一项分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 【点睛】本题考查多项式除以单项式运算，多项式除以单项式，先把多项式的每一项分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加，掌握以上运算法则是解题关键． 【考点题型十】与多项式乘多项式的“不含”与“无关”类问题（） 33．（21-22七年级下·内蒙古包头·阶段练习）若 的展开式中不含和项，则的值为 ． 【答案】17 【分析】利用多项式乘以多项式计算法则展开，然后再合并同类项，进而可得、的值．不含二次项、三次项，说明二次项的系数与三次项的系数都为零，由此即可求出答案． 【详解】原式 ， ∵展开式中不含和项，∴ ， ， ∴ ， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即合并同类项．最后根据不含哪项，则该项的系数为零，是解题的关键． 34．（22-23七年级下·浙江·期中）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据多项式乘以多项式的计算法则求出，再根据乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为得到关于a、b的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解： ， ∵关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为， ∴， 解得， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，多项式乘以多项式，正确得到关于a、b的方程组是解题的关键． 35．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）在长方形内，将两张边长分别为和的正方形纸片按图，两种方式放置（图，中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，，图中阴影部分的面积表示为，图中阴影部分的面积表示为，的值与四个字母中哪个字母的取值无关（    ） A．与的取值无关 B．与的取值无关 C．与的取值无关 D．与的取值无关 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的加减和乘法，利用长方形的面积公式分别求得，的值，通过计算的结果即可得出结论，熟练掌握整式的乘法和加减运算及法则是解题的关键． 【详解】∵ ， ， ， ， ∴， ∴的值与无关. 故选：． 36．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割成小块，除阴影部分A，B外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为． (1)由图可知，每个小长方形较长一边长为________．（用含的代数式表示） (2)分别用含，的代数式表示阴影部分A，B的面积． (3)当取何值时，阴影部分A与阴影部分的面积之差与的值无关？并求出此时阴影部分A与阴影部分的面积之差． 【答案】(1) (2) (3)当时，阴影部分与阴影部分的面积之差与的值无关； 【分析】（1）由图形可直接填空； （2）由长方形面积公式结合图形即可解答； （3）计算出，即得出当时，阴影部分A与阴影部分的面积之差与的值无关，求出y的值，即得出阴影部分A与阴影部分的面积之差． 【详解】（1）由图可知每个小长方形较长一边长为． 故答案为：； （2）， ． （3），                ，       当时，阴影部分A与阴影部分的面积之差与的值无关， 解得：． ∴． 【点睛】本题主要考查列代数式，整式混合运算的应用．利用数形结合的思想是解题关键． 【考点题型十一】整式的混合运算（） 37．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （）根据完全平方公式和乘法分配律计算即可求解； （）根据积的乘方、同底数幂的乘法及单项式除以单项式的运算法则计算即可； （）根据多项式乘以多项式和平方差公式计算即可； 本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 38．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用完全平方公式，平方差公式计算，然后合并解题即可； （2）先运算幂的乘方，然后根据单项式的乘除法进行运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 39．（23-24八年级上·北京·期中）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先计算积的乘方，然后计算单项式乘以单项式； （2）首先计算多项式乘以多项式和单项式乘以多项式，然后计算加减； （3）根据多项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查单项式乘以多项式、多项式除以单项式等运算，解题的关键是掌握法则，正确计算． 【考点题型十二】与整式乘除有关的新定义问题（） 40．（20-21七年级下·浙江宁波·期末）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如：．当，则 ；当时，对任意有理数都成立，则满足的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的运算以及解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法以及整式的运算． （1 ）根据新运算的定义，得，故那么，． （2 ）由，得，故．由当时，对任意有理数都成立，得到当时，对任意有理数都成立．那么， 【详解】解：（1 ）， ． （2 ）， ． ． 若当时，对任意有理数都成立， 当时，对任意有理数都成立． 当时，对任意有理数都成立． 故答案为： 41．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）定义运算，比如，，那么关于“*”运算，以下等式成立的是 ． ①；        ②；        ③ 【答案】①③/③① 【分析】根据新运算的定义、整式的加法与乘法法则进行计算，逐个判断即可得． 【详解】解：，，则等式①成立； ， ，则等式②不成立； ， ，则等式③成立； 综上，等式成立的是①③， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了整式的加法与乘法，理解新运算的定义是解题关键． 42．（21-22七年级下·浙江温州·期中）若定义 表示， 表示，则运算÷的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据定义列出代数式，然后再利用积的乘方、单项式除法解答即可． 【详解】解：由题意可得： ==． 故选A． 【点睛】本题主要考查了整单项式除法运算，根据新定义列出整式是解答本题的关键． 43．（22-23七年级上·浙江金华·期中）符号“”称为二阶行列式．规定它的运算法规为：． (1)计算：=_________；（直接写出答案） (2)化简二阶行列式： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）原式利用题中的新定义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得： 原式； 故答案为：； （2）解：根据题中的新定义得： 原式． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【考点题型十三】探索整式混合运算的错误步骤（） 44．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期中）小马同学化简的过程如下： 解：原式① ② ③ (1)请把，分别代入原式以及化简后的式子，并分别求出它们的值；由两者的求值结果可知，小马同学的化简结果对吗？ (2)指出小马同学化简错误的步骤：_______（填写序号）；并写出正确的化简过程． 【答案】(1)小马同学的化简结果不正确； (2)①； 【分析】（1）代入数据计算即可判断； （2）根据整式的运算法则和混合运算顺序进行化简即可． 【详解】（1）解：当，时， ， ， ∵， ∴小马同学的化简结果不正确； （2）解：小马第①步就出现错误； ． 故答案为：①． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则和混合运算顺序是解题的关键． 45．（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）下面是小明的运算步骤，请你认真阅读并完成相应的任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 任务： (1)运算从第 步开始出错，出现错误的原因是 ． (2)正确运算结果为 ． 【答案】(1)二；与相乘时，的指数没有相加 (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则． （1）根据多项式乘多项式的运算法则判断即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：运算从第二步开始出错，出现错误的原因是与相乘时，的指数没有相加， 故答案为：二；与相乘时，的指数没有相加； （2）解：， ， ， ， 故答案为：． 46．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）下面是聪聪同学进行整式运算的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 计算： 解：原式第一步 第二步 ．第三步 任务一：仔细检查聪聪同学的解题过程，回答下列问题． ①以上解题过程中，第一步需要依据________和________公式进行运算（用字母表示公式）． ②第________步开始出现错误． 任务二：请写出本题的正确解题过程． 【答案】任务一：①；；②一；任务二：见解析 【分析】本题主要查了整式的混合运算： 任务一：①根据完全平方公式和平方差公式解答即可；②第一步中的完全平方公式运用错误； 任务二：先根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项，即可求解． 【详解】解：任务一：①第一步需要依据和公式进行运算； 故答案为：； ②第一步开始出现错误； 故答案为：一． 任务二： 原式 ． 【命题预测】 1．（2024·河南开封·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的乘法．先利用完全平方公式将原式展开，然后再根据单项式乘多项式的运算法则进行运算即可．掌握相应的运算法则和公式是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：D． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪开，再拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数点式表示拼成后长方形的长与宽是正确解答的关键．根据拼图用代数式表示拼成的长方形的长与宽，进而利用长方形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：根据拼图可知，拼成的长方形的长为，宽为，因此面积为． 故选：A． 3．（2024七年级下·浙江·专题练习）式子化简后的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方运算法则、同底数幂的乘法法则分别计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】 解：原式 ， ， 故选：． 4．（23-24八年级上·山东临沂·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项，再求出答案即可．能正确根据多项式乘多项式法则进行计算是解此题的关键． 【详解】解： ， ， ． 故选：A． 5．（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是去括号，同底数幂的乘法，单项式乘以多项式，多项式除以单项式，掌握运算法则是解本题的关键；根据以上举出运算的运算法则逐一分析判断即可． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选C 6．（23-24八年级上·安徽黄山·期末）在中，多项式 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式除单项式，掌握多项式除单项式的法则是解题的关键．由题意可知，再根据多项式除单项式的法则解答即可． 【详解】解：由题意可知． 故答案为：． 7．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知，B是多项式，在计算时，某同学把看成了，结果得，则 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，根据结果为，利用整式的混合运算法则算出，再算出，即可解题． 【详解】解：根据题意列出， 则． 故答案为：． 8．（22-23七年级下·浙江金华·期中）如图，把一张长方形纸板裁去两个边长为6cm的小正方形和两个全等的小长方形，再把剩余部分（阴影部分）四周折起，恰好做成一个有底有盖的长方体纸盒，纸盒底面长方形的长为，宽为，则： （1）裁去的每个小长方形面积为 cm2．（用的代数式表示） （2）若长方体纸盒的表面积是底面积的偶数倍，则正整数的值为 ． 【答案】 1或5 【分析】（1）求出小长方形的长与宽，再根据面积公式进行计算即可得到答案； （2）先表示出长方体纸盒的底面积和表面积，再根据长方体纸盒的表面积是底面积的偶数倍得到，整理得，最后由为偶数，为正整数即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得， 小长方形的长为，宽为， 裁去的每个小长方形面积为：， 故答案为：； （2）长方体纸盒的底面积为：， 长方体纸盒的表面积为：， 长方体纸盒的表面积是底面积的偶数倍， （为偶数）， 整理得：， 为偶数，为正整数， ；或， 正整数的值为1或5， 故答案为：1或5． 【点睛】本题考查了列代数式，整式的乘除运算，长方体表面积的计算，解题的关键是学会利用参数解决问题． 9．（23-24七年级下·浙江·期中）欢欢和乐乐两人分别计算，欢欢抄错了的符号，得到的结果为，乐乐漏抄了第二个括号中的系数，得到的结果为． (1)求，的值． (2)请你计算这道题的正确结果． 【答案】(1)，的值分别为3，-2 (2) 【分析】（1）根据题意可得出①，②，联立方程组即可得出答案； （2）根据多项式乘多项式的运算法则计算即可． 本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）欢欢由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果是， 可知， 可得①， 乐乐由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是， 可知， 可得②， ①②联立方程组得， 解得：， ，的值分别为3，-2． （2）． 10．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题主要考查整式的乘除运算，解题的关键是熟知乘方公式的运用． （1）根据多项式除以单项式的运算法则即可求解； （2）根据平方差公式及完全平方公式即可化简求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 11．（2023八年级上·全国·专题练习）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，若干张边长为a的正方形A纸片，边长为b的正方形B纸片，长和宽分别为a与b的长方形C纸片（如图1）．    (1)小李同学拼成一个宽为，长为的长方形（如图2），并用不同的方法计算面积，从而得出相应的等式： （答案直接填写到横线上）； (2)如果用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张； (3)利用上述方法，画出面积为的长方形，并求出此长方形的周长（用含a，b的代数式表示）． 【答案】(1) (2)A纸片需要2张，B纸片需要3张，C纸片需要7张 (3) 【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是： （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图2的面积即可； （2）用代数式表示纸片，纸片，纸片的面积，再根据总面积得出数量即可； （3）根据拼成的长方形的面积是可得，需要纸片需要2张，纸片需要2张，纸片需要5张，画出相应的图形，并根据长方形的周长公式计算其周长即可． 【详解】（1）解：图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，图2是6个部分的 面积和，即， 因此， 故答案为：； （2）， 纸片的面积为，纸片的面积为，纸片的面积为， 纸片需要2张，纸片需要3张，纸片需要7张； （3）由于， 因此可以拼成长为，宽为的长方形， 如图所示：    这个长方形的周长为：， 答：此长方形的周长为． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$