第十九章 一次函数（单元重点综合测试，人教版）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（湖南专用）

第十九章 一次函数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（k为常数）中，正比例函数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（本题3分）【情境】跑步是一种简单而强大的有氧运动，被广泛认为是最佳的锻炼方式．周末小明从家出发跑步去健身主题公园，中途休息一段时间，到达健身公园后又再次休息，之后跑步返回家中，已知小明两次休息时间相同且跑步速度始终不变．小明离开家的路程S与时间t的关系（部分数据）如图所示． 【问题】小明每次休息的时间为（    ） A．8分钟 B．10分钟 C．12分钟 D．14分钟 3．（本题3分）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而增大 C．当时， D．它的图象经过第一、二、四象限 4．（本题3分）已知一次函数的图象不经过第四象限，则满足题意的整数a的个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（本题3分）已知一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）若点都在一次函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）已知一次函数，其中，当时，函数有最大值为2，则m的值为(   ) A．4 B． C．或4 D．4或2 8．（本题3分）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，设点运动的路程为，三角形的面积为，如果关于的图象如图②所示，则长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与轴相交于点；过动点且垂直于轴的直线与，分别交于点，，则下列说法：①；②点的坐标为；③；④当点位于点下方时，．其中所有正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③ 10．（本题3分）正方形、，按如图所示的方式放置，点、、和点、、分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）若关于x的函数是一次函数，则的值为 ． 12．（本题3分）将直线先向上平移2个单位，再向右平移2个单位到的直线l对应的一次函数的表达式为 ． 13．（本题3分）已知与成正比例，且当时，，则y与x的函数关系式是 ． 14．（本题3分）已知一次函数的图象经过点且平行于直线，则的值为 ． 15．（本题3分）已知点，是一次函数图象上的两点，那么，的大小关系是 （填“>”、“=”或“<”）． 16．（本题3分）如图，一次函数与相交于点，则关于的不等式的解集是 ． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题6分）已知关于的函数是一次函数． (1)求一次函数的表达式； (2)判断点是否在该函数的图象上，请说明理由． 18．（本题6分）已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A（3，4），点B在x轴负半轴上，且OA=OB． （1）求两个函数的解析式； （2）求△AOB的面积． 19．（本题6分）已知，其中是的正比例函数，与成正比例，当时，；当时，，求与的函数关系式． 20．（本题8分）某市为大力推销本市果农的水果产品，计划把甲水果大约700吨，乙水果大约1020吨，一次性运往外地销售．需要不同型号的A、B两种车皮共30节，A种车皮每节运费2500元，B种车皮每节运费3000元． (1)设租车皮的总费用为y元，租A种车皮x节，请写出y和x之间的函数关系式． (2)如果每节A车皮最多可装甲水果30吨和乙水果20吨，每节B车皮最多可装甲水果25吨和乙水果40吨，装水果时按此要求安排A、B两种车皮，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费． (3)计划下一次租用A、B两种车皮时，想用（2）中的最低费用同时租用A、B两种车皮，请直接写出有哪几种租车方案？ 21．（本题8分）如图，直线与坐标轴分别交于、两点，．点在直线上．动点从点出发，沿路线以每秒1个单位长度的速度运动，到达点时运动停止．设点的运动时间为秒． (1)求点的坐标； (2)用含的代数式表示的长度； (3)当时，求的面积； (4)当的面积为6时，直接写出的值． 22．（本题9分）如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点C，，点M 在直线上，． (1)求直线的函数解析式． (2)如图1，点N在的延长线上，，连接交x轴于点P，求点P的坐标． (3)如图2，连接 ，在直线 上是否存在点 K，使得．若存在，求点K的坐标；若不存在，说明理由． 23．（本题9分）直线分别与轴交于两点，点A的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)在轴上方存在点，便以点为顶点的三角形与全等，画出并求出点的坐标； (3)若在线段上存在点，使点到点的距离相等，求出点的坐标． 24．（本题10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与交于点，点为轴上正半轴一动点，过点作轴的垂线与直线，分别相交于，两点，过点作轴的直线交于点． (1)求的值及的函数表达式； (2)当，求点的坐标； (3)以，为边作长方形，当点在运动过程中，试探究的运动轨迹是否为一条直线中的一部分？若是，直接写出该直线解析式；若不是，请说明理由． 25．（本题10分）如图1，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线分别与x轴，y轴相交于C，D两点，两条直线相交于点E． (1)点C的坐标为______，点A的坐标为_______（点A用含k的代数式表示）． (2)若点A关于y轴的对称点恰好落在的内部，求k的取值范围． (3)如图2，若点D为的中点，点Q为直线上一点，连接，记点E关于直线的对称点为．请问：是否存在点Q，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十九章 一次函数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（k为常数）中，正比例函数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如（k为常数，）的函数叫做正比例函数，由此判断即可． 【详解】解：(1)是正比例函数； (2)，是一次函数，不是正比例函数； (3)不是正比例函数； (4)不是正比例函数； (5)（k是常数），当时，不是函数，当时，是正比例函数； 所以是正比例函数的个数有1个， 故选：A． 2．（本题3分）【情境】跑步是一种简单而强大的有氧运动，被广泛认为是最佳的锻炼方式．周末小明从家出发跑步去健身主题公园，中途休息一段时间，到达健身公园后又再次休息，之后跑步返回家中，已知小明两次休息时间相同且跑步速度始终不变．小明离开家的路程S与时间t的关系（部分数据）如图所示． 【问题】小明每次休息的时间为（    ） A．8分钟 B．10分钟 C．12分钟 D．14分钟 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象．先求出跑步速度，再求出跑步返回家中所用的时间，根据两次休息时间相同且跑步速度始终不变，即可求解． 【详解】解：由题意，小明跑步速度为（米/分钟）， 跑步返回家中所用的时间为（分钟）， ∴小明每次休息的时间为（分钟）， 故选：B． 3．（本题3分）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而增大 C．当时， D．它的图象经过第一、二、四象限 【答案】A 【分析】本题主要查了一次函数的图象和性质．根据一次函数的图象和性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A．当时，，则它的图象与y轴交于点，故本选项符合题意； B．因为，则y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； C．当时，，则当时，，故本选项不符合题意； D．它的图象经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意； 故选：A 4．（本题3分）已知一次函数的图象不经过第四象限，则满足题意的整数a的个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的性质，解一元一次不等式等知识点，解本题的关键是根据图象性质确定和的值，用的数学思想是数形结合思想． 根据已知条件可得：且，解得：，即可得到所选选项． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第四象限， ∴且， 即：， 满足的整数有：，，，，0，共5个， 故选：B． 5．（本题3分）已知一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与系数，明确一次函数图象与系数之间的关系是解题关键．根据一次函数的图象和性质求解． 【详解】解：由图象得一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：D． 6．（本题3分）若点都在一次函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的性质，根据一次函数，随的增大而减小，从而可得答案． 【详解】解：， 一次函数，随的增大而减小， 点都在一次函数的图象上， ∴． 故选：C． 7．（本题3分）已知一次函数，其中，当时，函数有最大值为2，则m的值为(   ) A．4 B． C．或4 D．4或2 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，理解一次函数的性质是解决本题的关键． 分两种情况：当时，把代入即可解得；当时，把代入即可解得． 【详解】解：当，即时，一次函数中，y随x的增大而增大， ∴时，y有最大值2， 把代入得：， 解得：； 当，即时，中，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值2， 把代入得：， 解得：， 综上所述，m的值为或4． 故选：C． 8．（本题3分）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，设点运动的路程为，三角形的面积为，如果关于的图象如图②所示，则长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用图象法表示两个变量的关系，根据图象结合图形得出，，即可得出长方形的面积，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，当点在上时，的面积逐渐增大，当点在上时，的面积不变，结合图象可得，， ∴长方形的面积是， 故选：C． 9．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与轴相交于点；过动点且垂直于轴的直线与，分别交于点，，则下列说法：①；②点的坐标为；③；④当点位于点下方时，．其中所有正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．将点代入直线可得，由此即可判断①正确；根据点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，再求出时，的值，由此即可判断②正确；根据点的坐标，利用三角形的面积公式即可判断③正确；当点位于点下方时，直线位于直线的下方，结合函数图象可得，由此即可判断④错误． 【详解】解：将点代入直线得：， 解得，则说法①正确； ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 将代入得：， ∴点的坐标为，则说法②正确； ∴， 又∵， ∴的边上的高为3， ∴，则说法③正确； ∵过动点且垂直于轴的直线与，分别交于点，，点位于点下方， ∴直线位于直线的下方， 结合函数图象可知，，则说法④错误； 综上，所有正确的是①②③， 故选：D． 10．（本题3分）正方形、，按如图所示的方式放置，点、、和点、、分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键． 分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ，是等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， 于是：，，，， ， ． 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）若关于x的函数是一次函数，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数的一次项系数不能为0成为解题的关键． 由于函数是一次函数，则二次项系数为0且一次项系数不为0，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵关于的函数是一次函数， ∴，解得：， 故答案为：． 12．（本题3分）将直线先向上平移2个单位，再向右平移2个单位到的直线l对应的一次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图像的平移， 利用一次函数平移规律“左加右减，上加下减”进而得出答案． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移2个单位，再向右平移2个单位得到直线：，即． 故答案为：． 13．（本题3分）已知与成正比例，且当时，，则y与x的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义与性质，形如的函数，叫做正比例函数，其中叫比例系数，正比例函数上的点都满足解析式，熟练掌握正比例函数的定义与性质是解题的关键．由与成正比例可设，代入，，进行计算求出的值，整理即可得到答案． 【详解】解：与成正比例， 设， 当时，， ， 解得：， ， 整理得：， 与之间的函数关系式为：， 故答案为：． 14．（本题3分）已知一次函数的图象经过点且平行于直线，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征与性质，掌握以上知识点是解答本题的关键．根据一次函数平行于直线，可得到的值，然后，将点代入函数表达式，即可求出的值． 【详解】解：一次函数平行于直线， ， ， 又一次函数的图象经过点， ， 解得：， 故答案为：4． 15．（本题3分）已知点，是一次函数图象上的两点，那么，的大小关系是 （填“>”、“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题考查比较一次函数的函数值大小，掌握对于一次函数，当时， y随x的增大而增大，当时， y随x的增大而增减小是解题的关键． 根据一次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴对于一次函数，随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 16．（本题3分）如图，一次函数与相交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，根据交点坐标求不等式的解集，掌握一次函数和一元一次不等式的关系是解题关键． 先对不等式移项，整理，可得，即，再根据图象可知，当时，，从而求出不等式的解集． 【详解】解：整理得：， 即，即， 由图象可知，一次函数与相交于点，在交点和交点的右侧，， 时，， 的解集是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题6分）已知关于的函数是一次函数． (1)求一次函数的表达式； (2)判断点是否在该函数的图象上，请说明理由． 【答案】(1) (2)在，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1． （1）先根据一次函数的定义求出m的值，进而可得解析式； （2）把代入一次函数的解析式，若计算出来的值等于纵坐标，则点在一次函数图象上，否则不在． 【详解】（1）解：因为函数是关于的一次函数， 所以，所以． 又因为当时，，不合题意，舍去； 所以的值为， 所以． （2）解：由（1）可知，此函数的表达式为． 当时，， 所以点在此函数图象上． 18．（本题6分）已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A（3，4），点B在x轴负半轴上，且OA=OB． （1）求两个函数的解析式； （2）求△AOB的面积． 【答案】（1）y=x，；（2）7.5 【分析】（1）根据A的坐标先求出正比例函数的解析式，再根据已知条件求出点B的坐标，进而可得一次函数解析式； （2）由A点坐标可求得A到y轴的距离，根据三角形面积公式可求得S． 【详解】解：（1）∵A(3，4)， ∴OA=， ∴OB= OA=5 ∴ B(-5，0) 设正比例函数的解析式为y=mx，∵正比例函数的图象过A(3，4) ∴4=3m，m=， ∴正比例函数的解析式为y=x； 设一次函数的解析式为y=kx+b， ∵过A(3，4)、B(-5，0) ∴． 解得：． ∴一次函数的解析式为； （2）∵A(3，4)，B(-5，0)， ∴三角形AOB的面积为5×3×=7.5． 【点睛】主要考查了用待定系数法解函数解析式和一次函数图象的性质，还考查了学生的分析能力和读图能力． 19．（本题6分）已知，其中是的正比例函数，与成正比例，当时，；当时，，求与的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查的是用待定系数法求正比例函数的解析式，一定要熟练掌握并灵活运用．根据正比例的定义设出与之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式计算即可得解． 【详解】解：设，， 则，（，）， 将、和、分别代入，得 ， 解得． 故函数与的函数关系式为， 即． 20．（本题8分）某市为大力推销本市果农的水果产品，计划把甲水果大约700吨，乙水果大约1020吨，一次性运往外地销售．需要不同型号的A、B两种车皮共30节，A种车皮每节运费2500元，B种车皮每节运费3000元． (1)设租车皮的总费用为y元，租A种车皮x节，请写出y和x之间的函数关系式． (2)如果每节A车皮最多可装甲水果30吨和乙水果20吨，每节B车皮最多可装甲水果25吨和乙水果40吨，装水果时按此要求安排A、B两种车皮，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费． (3)计划下一次租用A、B两种车皮时，想用（2）中的最低费用同时租用A、B两种车皮，请直接写出有哪几种租车方案？ 【答案】(1) (2)共10种方案，A种车皮9 节，B种车皮21 节，最低费用为85500元 (3)或或或或或，所以共6种租车方案． 【分析】本题考查了一次函数的建模和求解与不等式组、整数解分析和费用最小化等知识点，解题关键在于正确建立函数模型并求解． （1）根据关系，列出函数关系式，化简即可； （2）根据题意列出不等式组，计算出x的取值范围，即可知有10种方案且计算出最低费用； （3）列出方程式，解得其整数解即可． 【详解】（1）解：， 和x之间的函数关系式为； （2）解：， 解得， ∵， ∴ x的可能取值为的整数，共10种方案， 费用函数中，y随x增大而减小， 当时，费用最低， 此时元， 对应方案为A种车皮9节，B 种车皮21节， 故答案为：共10种方案，最低费用为85500元； （3）解：解方程， 化简为，满足，， 整数解有：或或或或或，所以共6种租车方案． 21．（本题8分）如图，直线与坐标轴分别交于、两点，．点在直线上．动点从点出发，沿路线以每秒1个单位长度的速度运动，到达点时运动停止．设点的运动时间为秒． (1)求点的坐标； (2)用含的代数式表示的长度； (3)当时，求的面积； (4)当的面积为6时，直接写出的值． 【答案】(1)点的坐标为； (2)； (3)； (4)当的面积为6时，的值为4或11． 【分析】本题主要考查对于一次函数的应用． （1）利用待定系数法求得直线的解析式，再将代入求解即可； （2）分两种情况，写出的长度即可； （3）先求得的长度，利用三角形的面积公式求解即可； （4）分两种情况，利用三角形的面积公式列式，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； （2）解：当点在上即时，， ∴， 当点在上即时，； 综上，； （3）解：当时，， ∵点的坐标为， ∴； （4）解：当时，由题意得， 解得； 当时，由题意得， 解得； ∴当的面积为6时，的值为4或11． 22．（本题9分）如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点C，，点M 在直线上，． (1)求直线的函数解析式． (2)如图1，点N在的延长线上，，连接交x轴于点P，求点P的坐标． (3)如图2，连接 ，在直线 上是否存在点 K，使得．若存在，求点K的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数、全等三角形的性质与判定、勾股定理，解决本题的关键是用待定系数法求一次函数的解析式，在（3）中，根据直线的斜率判定点K的存在是关键，并注意数形结合思想的应用． （1）根据直线交x轴于点A，交y轴于点C，得到，，进而得到点，过点M作轴于点E，证明，所以，，所以点M的坐标为，设直线的解析式为，把点M的坐标为，点代入得，即可解答； （2）根据点N在直线直线上，设点N的坐标为，根据，求出点N的坐标为，设直线的解析式为，把点N的坐标为，代入得：，所以直线的解析式为，当时，，所以点P的坐标为． （3）①将线段绕点M逆时针旋转得到，连接交于K，此时满足条件．②将线段绕点M顺时针旋转得到，作直线交直线于，此时满足条件． 【详解】（1）解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点C， 令，则；令，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴点， 如图①，过点M作轴于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， 设直线的解析式为， 把点点M的坐标为，点代入得， 解得， ∴直线的解析式为：． （2）解：∵点N在直线直线上， ∴设点N的坐标为， ∵， ∴， 解得：， ∵点N在的延长线上， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， 设直线的解析式为， 把点N的坐标为，代入得：， 解得： ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为． （3）解：将线段绕点M逆时针旋转得到，连接交于K， ∵ ∴是等腰直角三角形， 此时满足条件． 过点作轴于点，过点作于点， ∴， 又 ∴, 又， ∴ ∵M点坐标为 ∴                 ∴ ∴， ∴设直线 的解析式为 把代入得， 解得， ∴直线 的解析式为， 由，解得， ∴K点的坐标为． ②将线段绕点M顺时针旋转得到，作直线交直线于，此时满足条件 同法可得直线的解析式为， 由， 解得， ∴． 综上所述，满足条件的点K的坐标为或． 23．（本题9分）直线分别与轴交于两点，点A的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)在轴上方存在点，便以点为顶点的三角形与全等，画出并求出点的坐标； (3)若在线段上存在点，使点到点的距离相等，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)图见解析，点的坐标为或 (3)点P的坐标． 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出b值，进而得到点B坐标及的长度，从而可求出，得出点C坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）分和两种情况，分别求解即可； （3）设，则．由勾股定理得：，即，求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得． ． ， ， ， 点在轴正半轴上， 设直线的解析式为． 把及代入，得， 解得 直线的解析式为：； （2）解：分和两种情况：如图 当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵在第二象限内， ∴； 当时， ∴，， ∴即轴， 又∵，在第二象限内， ∴； 综上，点的坐标为或； （3）解：依照题意画出图形，如图所示． ∵， ∴设，则． 在中，， ∴，即， 解得：x， ∴点P的坐标． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质，平行线的判定，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理． 24．（本题10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与交于点，点为轴上正半轴一动点，过点作轴的垂线与直线，分别相交于，两点，过点作轴的直线交于点． (1)求的值及的函数表达式； (2)当，求点的坐标； (3)以，为边作长方形，当点在运动过程中，试探究的运动轨迹是否为一条直线中的一部分？若是，直接写出该直线解析式；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)是，． 【分析】本题考查了求一次函数的图象及性质的应用等知识，熟练掌握其性质并能灵活运用数形结合分析问题是解决此题的关键． （1）根据直线过点得出a的值，将B，C两点坐标代入，进一步得出结果； （2）设点，则，，根据列出，进一步得出结果； （3）设点，则，，可得出，，根据得出，从而，进一步得出结果； 【详解】（1）解：直线过点， ， 直线与x轴交于点A，与y轴交于点，与交于点， ， ， 直线的解析式为：； （2）解：设点，则，， 由得，， 舍去或， ； （3）解：M的运动轨迹是一条直线中的一部分，理由如下， 设点，则，， 四边形是长方形， ，， 由得，， ， 由得，， 点M在直线上运动． 25．（本题10分）如图1，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线分别与x轴，y轴相交于C，D两点，两条直线相交于点E． (1)点C的坐标为______，点A的坐标为_______（点A用含k的代数式表示）． (2)若点A关于y轴的对称点恰好落在的内部，求k的取值范围． (3)如图2，若点D为的中点，点Q为直线上一点，连接，记点E关于直线的对称点为．请问：是否存在点Q，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)k的取值范围为 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）分别把代入函数解析式，解方程，进一步得出结果； （2）求出，根据恰好落在的内部得出不等式组，求解即可； （3）可推出，，进而得出，从而得出轴，从而得出，求得直线的解析式后，代入求得的值，进而得出结果；当点在轴上时，可求得点，，求得直线直线的解析式后，与直线的解析式联立成方程组，进一步得出结果． 【详解】（1）解：当时， ，， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∵，恰好落在△的内部，直线与直线相交于点E． ∴ 解得：． （3）解：如图1， 当点落在轴上时，设， 关于直线的对称点为， ，， 当时，， ， 点是的中点， ， ，， ， ， ， 轴， ，， ， 轴， ， 过， ， ， ， 由得， ， ， 如图2， 当点在轴上时， ，， ， ， ， ， ，即， 设直线的解析式为：， ， ， ， 由得， ， ， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，二元一次方程组的解法，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$