精品解析：安徽省安庆市怀宁县2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

九年级数学限时作业训练 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列四个有理数中，是正整数的是（ ） A. 0 B. C. 2 D. 2. 某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 三棱柱 D. 三棱锥 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，交于点，于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 以下因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某购物APP二月份用户比一月份增加了，三月份用户比二月份增加了，求二、三两个月用户的平均增长率．设二、三两个月平均增长率为，下列方程正确的是（ ） A. B. C D. 7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ） A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 米 8. 如图，矩形中，，，点在上，点在上，点，在对角线上．若四边形是正方形，则的长是（ ） A. B. C. 5 D. 9. 在同一直角坐标系中，函数和（，常数，且，）图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在平行四边形ABCD中，BC⊥BD，点F从点B出发，以2cm/s的速度沿B→C→D匀速运动，点E同时从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图2是△BEF的面积S（cm2）随时间t（s）变化的函数图象（图中MN为线段），当△BEF的面积为cm2时，运动时间t为（　　） A. s B. s或s C. s D. s 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：_______________． 12. 据报道，2023年黄山风景区共接待游客457万人次，创历史新高．将数据“457万”用科学记数法表示为______． 13. 如图，正方形，点、分别在边和对角线上且，若，则_____． 14. 已知二次函数 （1）该函数图象一定过定点，则该定点的坐标是_________． （2）已知点，若函数图象与线段有且只有一个公共点，则的取值范围是________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，． （1）将绕着点按顺时针方向旋转得到，请画出． （2）将关于轴对称，得到，请画出，并直接写出点的坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 节日期间，丽丽两次去超市购买甲、乙两种不同单价的苹果，第一次购买甲种苹果的质量比乙种苹果的质量多，第二次购买乙种苹果的质量是甲种苹果质量的倍，第二次购买甲、乙两种苹果的总质量比第一次购买甲、乙两种苹果的总质量多．设第一次购买乙种苹果的质量为千克，请用含的代数式填表． 甲种苹果质量/千克 乙种苹果质量/千克 总质量/千克 第一次 _____ 第二次 _____ _____ _____ 18. 【观察思考】 如图所示的“中国结”图案，是用小红花盆（黑色圆点表示）和小黄花盆（白色圆点）组成的． 【规律总结】 （1）第6个图案中，小红花盆数为_____盆，第n个图案中小红花的盆数为_____盆（用含n的式子表示）； （2）第10个图案中，小黄花的盆数为_____盆，第n个图案中小黄花的盆数为_____盆（用含n的式子表示）； 【问题解决】 （3）已知按照上述规律摆放的第n个“中国结”图案中小红花比小黄花多86盆，求的值． 19. 某种落地灯如图1所示，图2是其侧面示意图（假设台灯底座为线段，其高度忽略不计，灯罩和灯泡假设为点，为立杆，其高为；为支杆，它可以绕点旋转，其中长为；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度，它也可以绕点旋转．使用过程中发现：当灯泡与地面的距离不低于且不高于时，台灯光线最佳．现测得为，支杆与悬杆之间的夹角，支杆与立杆之间所成的，请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：， 20. 如图，是的直径，点为上一点，交于点，与交于点． （1）求证：； （2）若的直径为5，，求的长． 六、（本大题满分12分） 21. 2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，成为我国航天事业的里程碑，某校对七年级学生以20人为一组随机分组，进行了“航空航天知识”了解情况的调查，调查结果用5级记分法呈现：“不及格”记为1分，“及格”记为2分，“中等”记为3分，“良好”记为4分，“优秀”记为5分，现从调查结果中随机抽取了3个小组学生的成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 平均数 中位数 众数 第1小组 3.9 4 第2小组 2 1 第3小组 3.25 3 请根据以上信息，完成下列问题： （1）请补全第1小组得分条形统计图；第2小组得分扇形统计图中，“得分为3分”这一项所对应的圆心角的度数为______． （2）______，______，______； （3）若该校有3600人，请你估计该校学生在调查中表现为“优秀”的有多少人？ 七、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 22. 如图，在中，，，D，E是边上两点，过点D，E分别作，，垂足为M，N，与的延长线交于点F，连接． （1）若． ①求证：． ②试判断四边形是什么特殊的四边形，并说明理由． （2）若，，，求的值． 八、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 23. 在平面直角坐标系中，点，点，抛物线（为常数，）的顶点为P． （1）当抛物线经过点A，B时，求点P的坐标； （2）若，抛物线上的点M的横坐标为m（），且． ①求的长； ②当取得最小值时，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学限时作业训练 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列四个有理数中，是正整数的是（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题开车有理数的定义及分类，掌握整数分为正整数、负整数和是解决问题的关键．根据有理数的分类：整数与分数统称为有理数，其中整数又分为正整数、负整数和，结合定义及分类即可得到答案． 【详解】解：A．是整数，但不是正数也不是负数，故本选项不符合题意； B．不是整数，故本选项不符合题意； C．是正整数，故本选项符合题意； D．不是整数，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 三棱柱 D. 三棱锥 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，再由俯视图是圆形，即可判断出这个几何体应该是圆锥． 故选A 考点：由三视图判断几何体 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：∵， 故A不合题意． ∵， ∴B不合题意． ∵， ∴C不合题意． ∵， ∴D合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键． 4. 如图，直线，交于点，于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直的意义，平角的定义，解答即可． 本题考查了垂直的意义，平角的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5. 以下因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解，灵活掌握因式分解的定义和方法是解题的关键． 根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解．选项A没有分解彻底，还可以利用平方差公式进行分解；选项B符合因式分解的定义，选项C等号的右边不是几个整式的积的形式；选项D分解错误． 【详解】解：A. ，故A错误； B. ，故B正确； C. ，故C错误； D. ，故D错误． 故答案选：B． 6. 某购物APP二月份用户比一月份增加了，三月份用户比二月份增加了，求二、三两个月用户的平均增长率．设二、三两个月平均增长率为，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设二、三两个月平均增长率为x，表示出二月份和三月份的用户数，列出方程即可． 【详解】解：设二、三两个月平均增长率为x，根据题意： 故选：A． 7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ） A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OC﹣OD即可求解． 【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点， 连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD=AB=3， 在Rt△OAD中，OA=4，AD=3， ∴OD===， ∴CD=OC﹣OD=4﹣， 即点到弦所在直线的距离是（4﹣）米， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键． 8. 如图，矩形中，，，点在上，点在上，点，在对角线上．若四边形的是正方形，则的长是（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，交于点M，根据矩形的性质，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，解答即可． 【详解】解：连接，交于点M， ∵四边形的是正方形， ∴， ∵矩形，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 9. 在同一直角坐标系中，函数和（，常数，且，）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，数形结合是解答本题的关键．根据一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质逐项分析即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴是直线． A．由二次函数图象得，由一次函数图像得，∴，这与开口方向向下相矛盾，故不正确； B．由二次函数图象得，由一次函数图像得，∴，这与开口方向相符，故正确； C．由二次函数图象得，由一次函数图像得，∴，这与开口方向向下相矛盾，故不正确； D．由二次函数图象得，由一次函数图像得，∴，这与开口方向向上相矛盾，故不正确； 故选B． 10. 如图1，在平行四边形ABCD中，BC⊥BD，点F从点B出发，以2cm/s的速度沿B→C→D匀速运动，点E同时从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图2是△BEF的面积S（cm2）随时间t（s）变化的函数图象（图中MN为线段），当△BEF的面积为cm2时，运动时间t为（　　） A. s B. s或s C. s D. s 【答案】C 【解析】 【分析】观察图1、图2，可知当时，点F与点C重合；当时，点F在上运动，而点E继续在上运动，可求得，，由勾股定理求得；再分两种情况讨论，一是时，点F在上运动，作，交的延长线于点G，可证明，求得，则可求得当时的t值；二是时，点F在上运动，作，交的延长线于点H，可求得，则，可求得当时的t值． 【详解】解：由图1、图2可知，当时，点F与点C重合； 当时，点F在上运动，而点E继续在上运动， ∵四边形是平行四边形，点F、点E的速度都是2cm/s， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当时，如图3，作，交的延长线于点G，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，则 解得； 当时，如图4，作，交的延长线于点H， ∵ ∴， 解得， ∴， 当时，则 解得t，不符合题意，舍去， 综上所述，运动时间t为s； 故选：C． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、一次函数的性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，求出S与t之间的函数关系式是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：_______________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法，零指数幂，根据相应法则，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：1． 12. 据报道，2023年黄山风景区共接待游客457万人次，创历史新高．将数据“457万”用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：457万， 故答案为：． 13. 如图，正方形，点、分别在边和对角线上且，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作，交于M，交于N，证明四边形是矩形得，由勾股定理求出，，可证，然后利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点E作，交于M，交于N， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可求，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键． 14. 已知二次函数 （1）该函数图象一定过定点，则该定点的坐标是_________． （2）已知点，若函数图象与线段有且只有一个公共点，则的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）将原函数化为即可求解； （2）分二次函数图象左半部分与线段相交和二次函数图象与线段相切两种情况求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵当时，， ∴该定点的坐标是； （2）∵抛物线开口向上，且过定点， ①抛物线左半部分与线段相交， ∴， ∴． ②当二次函数与直线只有一个交点时， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 与联立得， ， ∴， 由得， 或， ∴若函数图象与线段有且只有一个公共点，则的取值范围是：或或． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键； 先把方程整理为，再利用因式分解法，求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得，． 16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，． （1）将绕着点按顺时针方向旋转得到，请画出． （2）将关于轴对称，得到，请画出，并直接写出点的坐标． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形-旋转变换和轴对称变换，熟知旋转和轴对称的性质和网格特点是解答的关键． （1）根据旋转性质，得到对应的位置，然后顺次连接即可； （2）根据轴对称的性质得到对应点的性质，然后顺次连接可得，然后根据点的位置写出坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求： 【小问2详解】 解：如图，即为所求作： 由图知，点的坐标为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 节日期间，丽丽两次去超市购买甲、乙两种不同单价的苹果，第一次购买甲种苹果的质量比乙种苹果的质量多，第二次购买乙种苹果的质量是甲种苹果质量的倍，第二次购买甲、乙两种苹果的总质量比第一次购买甲、乙两种苹果的总质量多．设第一次购买乙种苹果的质量为千克，请用含的代数式填表． 甲种苹果质量/千克 乙种苹果质量/千克 总质量/千克 第一次 _____ 第二次 _____ _____ _____ 【答案】；；；． 【解析】 【分析】本题考查列代数式．先求出第一次购买甲种苹果的质量，再求出第二次购买苹果的总质量，然后根据第二次购买乙种苹果的质量是甲种苹果质量的倍，可得出乙种苹果质量和甲种苹果质量． 【详解】解：∵第一次购买甲种苹果的质量比乙种苹果的质量多， ∴第一次购买甲种苹果的质量为：(千克)， ∵第二次购买苹果的总质量比第一次购买苹果的总质量多， ∴第二次购买的苹果质量为∶(千克)； ∵第二次购买乙种苹果的质量是甲种苹果质量的倍， ∴第二次购买的甲种苹果质量为∶ (千克)， 第二次购买的乙种苹果质量为∶ (千克)， 故答案∶；；；． 18. 【观察思考】 如图所示的“中国结”图案，是用小红花盆（黑色圆点表示）和小黄花盆（白色圆点）组成的． 【规律总结】 （1）第6个图案中，小红花的盆数为_____盆，第n个图案中小红花的盆数为_____盆（用含n的式子表示）； （2）第10个图案中，小黄花的盆数为_____盆，第n个图案中小黄花的盆数为_____盆（用含n的式子表示）； 【问题解决】 （3）已知按照上述规律摆放的第n个“中国结”图案中小红花比小黄花多86盆，求的值． 【答案】（1）42，（2）24， （3）10 【解析】 【分析】（1）根据题意，第1个图案中小红花的盆数为（盆)，第2个图案中小红花的盆数为（盆)，第3个图案中小红花的盆数为（盆），得到规律即可解答． （2）根据题意，第1个图案中小黄花的盆数为（盆），第2个图案中小黄花的盆数为（盆），第3个图案中小黄花的盆数为（盆），依次规律解答即可． （3）根据题意，得，解方程计算即可． 本题考查了规律探索，解方程，熟练掌握探索规律，灵活解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，第1个图案中小红花的盆数为（盆），第2个图案中小红花的盆数为（盆），第3个图案中小红花的盆数为（盆）， 第6个图案中小红花的盆数为（盆）， 第n个图案中小红花的盆数为盆， 故答案为：42，． （2）根据题意，第1个图案中小黄花的盆数为盆，第2个图案中小黄花的盆数为盆，第3个图案中小黄花的盆数为（盆）， 第10个图案中，小黄花的盆数为（盆）， 第n个图案中小黄花的盆数为盆， 故答案为：24，． （3）解：根据题意，得， 整理，得， 解得（舍去）， 故． 19. 某种落地灯如图1所示，图2是其侧面示意图（假设台灯底座为线段，其高度忽略不计，灯罩和灯泡假设为点，为立杆，其高为；为支杆，它可以绕点旋转，其中长为；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度，它也可以绕点旋转．使用过程中发现：当灯泡与地面的距离不低于且不高于时，台灯光线最佳．现测得为，支杆与悬杆之间的夹角，支杆与立杆之间所成的，请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：， 【答案】是最佳，计算见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．分别过点作于点，交于点，于点，于点，交于点，由题意易得，，，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：分别过点作于点，交于点，于点，于点，交于点，如图所示： 由题意得：，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 即灯泡与地面的距离为， ． 落地灯光线是为最佳． 20. 如图，是的直径，点为上一点，交于点，与交于点． （1）求证：； （2）若的直径为5，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂径定理和圆周角定理的推论可证明，进而证明，再利用相似三角形的性质求解即可； （2）连接，解直角三角形可得，再根据勾股定理可求出，根据，求出即，在中，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ． 又， ， ，即； 小问2详解】 解：连接． 是的直径， ． 的直径为5，， ． 在中，由勾股定理得，， ，， ，即． 在中，． 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相关性质定理、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 六、（本大题满分12分） 21. 2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，成为我国航天事业的里程碑，某校对七年级学生以20人为一组随机分组，进行了“航空航天知识”了解情况的调查，调查结果用5级记分法呈现：“不及格”记为1分，“及格”记为2分，“中等”记为3分，“良好”记为4分，“优秀”记为5分，现从调查结果中随机抽取了3个小组学生的成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 平均数 中位数 众数 第1小组 3.9 4 第2小组 2 1 第3小组 3.25 3 请根据以上信息，完成下列问题： （1）请补全第1小组得分条形统计图；第2小组得分扇形统计图中，“得分为3分”这一项所对应的圆心角的度数为______． （2）______，______，______； （3）若该校有3600人，请你估计该校学生在调查中表现为“优秀”的有多少人？ 【答案】（1）见解析，； （2）2.1，3，5 （3）660人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图与折线统计图，平均数、中位数与众数，利用样本估计总体，根据题意找出所需数据是解题关键． （1）求出第1小组“得分为4分”的人数补全条形统计图，再求出第2小组“得分为3分”这一项所占的百分比，乘以即可求出对应圆心角； （2）根据加权平均数、中位数、众数的定义即可求解； （3）用总人数乘以3个小组中表现为“优秀”人数的占比求解即可． 【小问1详解】 解：第1小组“得分为4分”的人数为， 补全条形统计图如下： 第2小组“得分为3分”这一项所占的百分比为， 对应圆心角为， 故答案为： 【小问2详解】 解：第2小组的平均数， 第3小组的中位数为第10和11名得分的平均数，由折线统计图可知，第10和11名得分分别为3、3， ， 第1小组得分为5分有8人，人数最多， ， 故答案为：2.1，3，5 【小问3详解】 解：， 即估计该校学生在调查中表现为“优秀”的有人． 七、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 22. 如图，在中，，，D，E是边上的两点，过点D，E分别作，，垂足为M，N，与的延长线交于点F，连接． （1）若． ①求证：． ②试判断四边形是什么特殊的四边形，并说明理由． （2）若，，，求的值． 【答案】（1）①见解析②四边形是正方形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①证明，即可得出结论；②先证明四边形是矩形，再证明，推出，即可得出结论； （2）将绕点按顺时针方向旋转至，根据旋转的性质和勾股定理定理，得到，证明，进而得到，证明，得到，进而得到，即可得出结果． 【小问1详解】 解：①证明：，， ． 在和中， ， ． ②四边形是正方形． 理由：，， ． ， 四边形是矩形． ，，， 和均为等腰直角三角形，． 在与中， ， ． ， ， 四边形是正方形． 【小问2详解】 如图，将绕点按顺时针方向旋转至， 则，． ， ， ， ， ， ． 与中， ， ． ，， ． 又， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定，旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，利用旋转构造特殊三角形和全等以及相似三角形，是解题的关键． 八、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 23. 在平面直角坐标系中，点，点，抛物线（为常数，）的顶点为P． （1）当抛物线经过点A，B时，求点P的坐标； （2）若，抛物线上的点M的横坐标为m（），且． ①求长； ②当取得最小值时，求点M的坐标． 【答案】（1） （2）①，② 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出点的坐标即可； （2）①求出的解析式，求出点坐标，进而求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点坐标，进而求出的长即可； ②将A向右向上各平移一个单位长度，可得四边形为平行四边形，进而得到，作点O关于直线的对称点，连接交直线于，得到当点与重合时，取得最小值，进行求解即可． 【小问1详解】 解：把点，点，代入，得： ，解得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 当时，， ∴， ①∵点，点， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∵， ∴设直线解析式为：，把代入，得：， ∴， 联立，解得：或， ∴， ∴； ②∵， ∴将A向右向上各平移一个单位长度，可得四边形为平行四边形， ∴， 作点O关于直线的对称点，连接交直线于， 则， ∴当点与重合时，取得最小值， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时 ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，求顶点坐标，两点间的距离以及利用轴对称解决线段最值问题，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$