第五讲 三角形（导图+知识精讲+易错点拨+10大考点讲练+易错压轴练+难度分层练 共70题）-2024-2025学年四年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（人教版）

2024-2025学年四年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（人教版） 第5讲 三角形 （导图+知识精讲+易错点拨+10大考点讲练+易错压轴练+难度分层练 共70题） 目录 课前指导 讲义介绍 2 思维导图 一目了然 2 知识精讲 梳理脉络 3 知识点梳理01：三角形的特性 3 知识点梳理02：三角形的分类 3 知识点梳理03：三角形的内角和 4 易错点拨 查漏补缺 4 易错知识点01：三角形的高与稳定性 4 易错知识点02：三边关系判断错误 5 易错知识点03：三角形分类混淆 5 易错知识点04：内角和与角度计算错误 5 易错知识点05：易错题示例与解析 6 考点讲练 明确目标 考点一：三角形的概念及表示方法 6 考点二：三角形的高及画法 7 考点三：三角形的稳定性及应用 8 考点四：两点间线段最短与两点间的距离 8 考点五：三角形三边关系 9 考点六：三角形的分类 9 考点七：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 10 考点八：画三角形 10 考点九：三角形的内角和 11 考点十：多边形的内角和 11 易错真题 培优必刷 12 压轴专练 培优拔尖 12 培优巩固 拔尖冲刺 13 基础夯实优选题专练 15 培优优选题专练 17 同学你好！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点梳理01：三角形的特性 1、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），叫三角形。 2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。三角形只有3条高。 重点：三角形高的画法：一落二移三画四标 3、三角形具有稳定性。如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。 4、三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。两边之差〈 第三边〈 两边之和。 判断三条线段能不能组成三角形，只要看最短的两条边的和是不是大于第三条边。 5、为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC。 知识点梳理02：三角形的分类 1、按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。 2、按照边长短来分：三边不等的△，三边相等的△,等腰△（等边三角形或正三角形是特殊的等腰△）。 3、等边△的三边相等，每个角是60度。（顶角、底角、腰、底的概念） 4、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。 5、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。 6、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。 7、每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。 8、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 9、三条边都相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。 10、等边三角形是特殊的等腰三角形 知识点梳理03：三角形的内角和 1、三角形的内角和是180°。四边形的内角和是360°。一个三角形中至少有两个锐角，每个三角形都至多有一个直角；每个三角形都至多有一个钝角。可以根据最大的角判断三角形的类型。最大的角是哪类角，就属于那类三角形。最大的角是直角，就是直角三角形。最大的角是钝角，就是钝角三角形。 2、图形的拼组：（1）当两个三角形有一条边长度相等时，就可以拼成四边形。 （2）任何两个（完全一样）的三角形可以拼成一个平行四边形。 并且将不同的等边重合，还可以拼出不同形状的四边形。 （3）两个（完全一样）的直角三角形可以拼成 （平行四边形）或（长方形）或（等腰三角形）。 （4）用两个相同的等腰直角三角形可以拼成一个平行四边形、一个正方形、一个大的等腰直角三角形。 （5）三个相同的三角形能拼成梯形；三个相同的等腰三角形能拼成一个等腰梯形。 （6）至少需要两个三角形，才可以拼四边形。 至少需要三个相同的三角形才可以拼梯形。 至少用（2个）直角三角形可以拼成一个长方形。 至少用（3个）等边三角形可以拼成一个等腰梯形。 至少用（2个）等边三角形可以拼成一个平行四边形。 （7）多个三角形可以拼出各种美丽的图案。 密铺：可以进行密铺的图形有长方形、正方形、三角形以及正六边形 易错知识点01：三角形的高与稳定性 1. 画高错误 错误表现： 钝角三角形只画内部1条高，忽略外侧2条高； 未用虚线表示高，或漏标直角符号。 示例：钝角三角形ABC中，若底边为BC，学生常仅画出从A到BC的高，未画出从B向AC延长线的高。 应对方法： 口诀：“一找底边二对顶点，三画垂线四标符号”； 钝角三角形外侧高需延长边再画垂线。 2. 稳定性理解偏差 错误表现：认为所有多边形都稳定，或误用稳定性解释现象（如“自行车三角形车架是为了美观”）。 应对方法：对比实验（如用木条搭三角形和四边形，按压观察形变）强化理解。 易错知识点02：三边关系判断错误 1. 忽略“任意”两字 错误表现：仅验证两短边之和大于第三边，未检查所有组合。 示例：判断3cm、4cm、7cm能否组成三角形，误认为3+4>7成立，忽略3+4=7不满足“大于”条件。 应对方法：牢记口诀“短+短>长，三边可成三角形”。 2. 混淆线段差与和的关系 错误表现：错误应用“两边差小于第三边”判断，如认为3cm、5cm、9cm可组成三角形（5-3<9，但3+5<9）。 应对方法：明确三边关系需同时满足“任意两边和>第三边”与“任意两边差<第三边”。 易错知识点03：三角形分类混淆 1. 等腰与等边三角形关系错误 错误表现：认为“等边三角形不是等腰三角形”，或“等腰三角形一定是锐角三角形”。 示例：等腰三角形顶角为120°，底角为30°，实为钝角三角形，但学生误判为锐角三角形。 应对方法：用韦恩图展示分类关系（等边三角形是特殊等腰三角形），强调按角、边分类的独立性。 2. 直角三角形高的误解 错误表现：认为直角三角形只有1条高（忽略两条直角边互为底和高）。 示例：直角三角形ABC（∠B=90°），误认为仅AC边上的高BD存在，未将AB、BC视为底和高。 应对方法：动手标注直角三角形的3条高（两条直角边互为底和高，斜边高需作垂线）。 易错知识点04：内角和与角度计算错误 1. 内角和公式误用 错误表现： 计算时遗漏角（如四边形内角和误用180°而非360°）； 未区分三角形内角和与单个角度（如求等边三角形内角和时写60°×3=180°，正确但表述不规范）。 应对方法：用撕角拼接法验证内角和，强化“所有三角形内角和均为180°”的普适性。 2. 多角度推算错误 示例：已知等腰三角形顶角50°，求底角时误算为(180°-50°)÷2=65°，但若题目未明确顶角或底角，可能引发错误。 应对方法：标注已知角位置（顶角或底角），用方程解题（如设底角为x，则x+x+50°=180°）。 易错知识点05：易错题示例与解析 例题1（参考）： 判断：等腰三角形一定是锐角三角形。（ ） 错误解答：√（认为等腰三角形顶角必为锐角）。 正确解析： 等腰三角形顶角可为锐角、直角或钝角，如顶角120°时是钝角三角形，顶角90°时是直角三角形58。 答案：× 例题2（参考）： 一个三角形的两条边分别为4cm和9cm，第三边可能是多少？（选整数） 错误解答：5cm（仅验证4+5>9，未检查4+9>5）。 正确解析： 第三边需满足：9-4 <第三边<9+4 → 5cm<第三边<13cm，故可能为6cm、7cm、…、12cm。 考点一：三角形的概念及表示方法 【精讲题】（22-23四年级下·四川绵阳·期末）找规律：……第5个图共有( )个三角形。 【精练题01】（23-24四年级上·浙江宁波·期末）乐乐不小心把家里的一块玻璃摔成3块（如图），他只拿其中一块玻璃去玻璃店切割出一块与原来一样大的玻璃，你知道他拿的是哪一块玻璃吗？（    ） A．3 B．2 C．1 D．都可以 【精练题02】（23-24四年级下·甘肃平凉·期末）按要求画一画。 （1）在上图中画两条互相平行的直线和两条互相垂直的直线。 （2）在上图中先画一个梯形，再在里面画一条线段，把它分成一个平行四边形和一个三角形。 考点二：三角形的高及画法 【精讲题】（24-25四年级下·全国·单元测试）画一个底是5厘米，高是3厘米的三角形。 【精练题01】（22-23四年级下·四川乐山·期末）先画一条长4厘米的线段，标为线段AB，再以这条线段为底，任意画一个三角形，并作出AB边上的高。 【精练题02】（23-24四年级下·四川德阳·期末）画出下面三角形指定底边上的高。 考点三：三角形的稳定性及应用 【精讲题】（22-23四年级下·四川乐山·期末）长方形比三角形多一条边和一个角，所以长方形比三角形稳定。( )（判断对错） 【精练题01】（22-23四年级下·重庆丰都·期末）通过学习，我们知道了三角形具有稳定性。( )（判断对错） 【精练题02】（23-24四年级下·广西柳州·期末）露营是小朋友喜欢的户外活动，三角形帐篷是露营时最常见的设备（如图），它是利用了三角形( )的特性。 考点四：两点间线段最短与两点间的距离 【精讲题】（23-24四年级下·云南昆明·期末）下列说法错误的是（    ）。 A．0.6和0.60大小相同，计数单位不相同。 B．明明从家去书店买书，走②号路线最近。 C．按照“四舍五入”法，近似数为6.0的最大两位小数是5.99。 D．三角形的三边长度确定后，它的形状和周长就确定了。 【精练题01】（21-22四年级下·四川乐山·期末）三角形屋顶的高在哪，请你在图中画出来。菲菲站在A点的位置，请你分别画出她回家最近的路和她到公路边候车最近的路。 【精练题02】（22-23四年级下·云南德宏·期末）从小华家到学校有三条路线如下图，请你选择一条最近的路线并说明理由。如果小华家到学校的距离是1200米，小华步行需要15分钟，平均每分钟走多少米？ 考点五：三角形三边关系 【精讲题】（24-25四年级下·全国·单元测试）如图，湖边有A，B，P，Q四个村庄。邮递员从A村送信到B村，总是走经过Q村的道路，不走经过P村的道路，这是为什么呢？ 【精练题01】（23-24四年级下·陕西渭南·阶段练习）一个三角形三条边的长度都是整厘米数，其中两条边分别是20厘米和30厘米，第三条边最短是( )厘米，最长是( )厘米。 【精练题02】（23-24四年级下·重庆渝北·期末）用三根长度为整厘米数的小棒围成一个三角形，如果其中两根小棒分别长8cm、10cm，那么第三根小棒最短是（    ）cm。 A．3 B．9 C．2 考点六：三角形的分类 【精讲题】（24-25六年级下·河北廊坊·开学考试）在一个等腰三角形中，有两条边分别长5厘米和10厘米，那么，这个等腰三角形是（    ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【精练题01】（23-24四年级下·四川成都·期末）在下面的点子图上画出一个直角三角形和一个等腰三角形。 【精练题02】（23-24四年级下·全国·课后作业）猜一猜，填一填。 (1)有一个三角形，最大的角是钝角，它是( )三角形。 (2)有一个三角形，三条边都相等，它是( )三角形。 考点七：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【精讲题】（23-24四年级下·四川成都·期末）如果一个等腰三角形中，有两条边的长度分别是4cm和8cm，那么它的第三条边长是( )；一个等边三角形的一条边长是15cm，它的周长是( )。 【精练题01】（22-23四年级下·四川南充·期末）取一根15厘米长的铁丝折成一个等边三角形铁框，铁框的一条边长为( )厘米，如果折成一个腰长6厘米的等腰三角形铁框，那么铁框的底边长为( )厘米。 【精练题02】（23-24四年级下·重庆渝北·期末）小芳家有一个等腰三角形的相框，她打算用丝带沿边围一周装饰这个相框。量得这个相框的腰长18厘米，底边长2分米，小芳至少需要买多少厘米长的丝带？ 考点八：画三角形 【精讲题】（22-23五年级下·福建龙岩·期末）请你从长度分别为3厘米、5厘米、10厘米、4厘米的四根小棒中选出三根，围成一个三角形。 （1）你准备怎么选？为什么？ （2）请把它画出来。 （3）这是一个（      ）三角形。 【精练题01】（23-24四年级下·河北承德·期末）请你在格子图中按要求各画出一个三角形。 【精练题02】（2024四年级下·全国·专题练习）画一个直角三角形，其中一个角是60°。 考点九：三角形的内角和 【精讲题】（24-25四年级下·全国·单元测试）如图，在三角形ABC中，∠B＝∠C，∠B等于( )°。 【精练题01】（23-24四年级下·河南周口·期中）在一个直角三角形中，两个锐角度数之和正好等于( )度。 【精练题02】（23-24四年级下·陕西渭南·阶段练习）一个等腰三角形的一个底角是，那么它的顶角是( )，按角分，这个等腰三角形是( )三角形。 考点十：多边形的内角和 【精讲题】（24-25四年级上·湖南株洲·期末）有一个直角梯形，如果它的一个角是115°，那么除了两个直角外的另一个角是( )°，属于( )角。 【精练题01】（23-24四年级下·四川遂宁·期末）分一分，算一算，下边图形的内角和是( )°。 【精练题02】（23-24四年级下·陕西渭南·期末）下面这个多边形的内角和是多少？在图中画一画，并算一算。 1．（2024•兰山区）一个三角形最小的锐角是50度，这个三角形一定是（　　）三角形． A．钝角 B．直角 C．锐角 2．（2024春•息县期末）自行车的支架常常做成三角形，是利用了三角形（　　）的特性． A．内角和是180° B．容易变形 C．稳定性 3．（2021春•汕尾期末）等边三角形一定是（　　）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 4．（2024•梅县区）一个直角三角形的两个锐角的度数比是3：2．这两个锐角分别是 　 　 度和 　 　 度． 5．（2023春•鱼台县期末）在一个三角形的三个角中，一个是50度，一个是80度，这个三角形既是 　 　 三角形，又是 　 　 三角形． 6．（2023春•商都县期末）一个三角形的三条边都是整厘米数．其中两条边长分别是6厘米和8厘米，第三条边最长是　 　 厘米，最短是　 　 厘米． 7．（2024春•防城港期末）等边三角形也叫正三角形．　 　 （判断对错） 8．在格子里画一个锐角三角形、等腰三角形和钝角三角形，并分别画出它们的一条高． 9．（2018春•滨湖区期中）求出下面各三角形中未知角的度数． 10． （2020春•武陵区期末）等腰三角形的一个底角是75°，它的顶角是多少度？ 11．（2024春•管城区期末）如图，点B在∠CAB的一条边上固定不动，点C在∠CAB的另一条边上任意移动，连接CB，则组成的三角形ABC可能是（　　） ①等边三角形。 ②等腰直角三角形。 ③锐角三角形。 A．①③ B．②③ C．①② 12．（2021春•玉门市期末）一个等腰三角形中，顶角是100°，一个底角是（　　） A．100° B．40° C．55° 13．一个三角形中的两个角分别是30°、60°，这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 14．（2023春•建邺区期末）如图，把正方形剪成一个特殊的三角形。 （1）图中∠1＝　 　 °，∠2＝　 　 °。 （2）如果正方形的边长是5厘米，那么三角形的周长是 　 　 厘米。 15．（2022春•陕州区期末）某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带第 　 　 块去．这是因为 　 　 ． 16．（2015春•慈溪市校级期中）直角三角形中，一个角是42度，另一个非直角是　 　 度． 17．（2021春•富县期末）任何四边形的内角和等于三角形内角和的2倍．　 　 （判断对错） 18．（2023春•义安区期末）画出如图三角形的底边上的高。 19． （2024春•惠东县期末）妈妈给淘气买了一个等腰三角形的风筝．它的顶角是40°，它的一个底角是多少？ 20．（2023春•济南期末）埃及金字塔的四个侧面的形状都是等腰三角形，每个等腰三角形的顶角约是52°．金字塔每个侧面的底角大约是多少度？ 基础夯实优选题专练 1．（24-25四年级下·全国·单元测试）下面是三名同学为了验证“三角形的内角和是180°”采用的三种方法，不能验证这个结论的是（    ）。 A． B． C． 2．（24-25四年级下·海南海口·单元测试）自行车的三角架做成一个三角形，这是运用了三角形的（    ）。 A．有三条边的特征 B．容易变形的特征 C．稳定性的特征 3．（24-25四年级下·海南海口·单元测试）下面每组中的三个角，不可能在同一个三角形的是（    ）。 A．80°、50°、58° B．120°、55°、5° C．35°、87°、58° 4．（24-25四年级下·全国·单元测试）如图，把一张正方形纸沿对角线对折，折出的两个三角形按角分是( )三角形，按边分是( )三角形。如果继续对折、再对折，折出的三角形最小角是( )°。 5．（23-24四年级下·陕西西安·阶段练习）一个三角形的三条边长均为整数，其中两条边长分别是7cm、13cm，第三条边长最长是( )cm，最短是( )cm。 6．（22-23四年级下·四川乐山·期末）一个等腰三角形的周长是30厘米，底边长是14厘米，它的一条腰长是( )厘米，在这个三角形中，其中的一个底角是40°，则顶角是( )°。 7．（23-24四年级下·四川德阳·期末）算一算。 8．（22-23四年级下·四川广元·期末）计算下面图形中未知角的度数。 9．（23-24四年级下·广东珠海·期末）2024“珠海•‘筝’有你的”香洲区第六届风筝会于5月1日～5月2日在香炉湾沙滩举行。各式风筝表演惊艳亮相。淘淘也参与了此次活动，他做了一个等腰三角形的风筝。 （1）如果风筝的周长是32分米，底边是8分米，那么这个风筝的一条腰长多少分米？ （2）如果这个风筝的一个内角是50°，那么它的另外两个内角分别是多少度？ 10．（23-24四年级下·山西晋中·期末）同学们在进行“剪小棒摆三角形”的探索活动中，“奋进组”同学尝试把长度为12厘米的小棒剪成三段（每段的长度均为整厘米数），再把这三段首尾相接摆一个三角形。 如图，已从小棒左边剪下5厘米长的一段作为三角形的一条边，（“”表示剪的位置）要想摆成一个三角形，下一处应该从哪里剪？请你在图中画“”表示出要剪的位置，并写出你的思考过程。 培优优选题专练 11．（24-25四年级下·全国·单元测试）如图，在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝5米，OB＝13米，A、B两点的距离可能是（    ）。 A．8米 B．10米 C．18米 12．（24-25四年级下·全国·单元测试）现有3cm、4cm、5cm、7cm和12cm长的小棒各一根，从中选三根围成一个三角形。要使它的周长最大，应选择的三根小棒长度分别是（    ）。 A．5cm、7cm和12cm B．4cm、5cm和12cm C．4cm、5cm和7cm 13．（23-24四年级下·陕西西安·阶段练习）一个等腰三角形的两条边分别长6厘米、11厘米，它的周长是（    ）厘米。 A．23 B．28 C．23或28 14．（2025四年级下·全国·专题练习）小明用一个放大2倍的放大镜观察一个三角形，放大镜里的三角形的内角和是( )°。 15．（24-25四年级下·全国·单元测试）如图是由三个大小不同的等边三角形组成的。AE＝60厘米，BE＝30厘米，∠1＝( )°；从A点经C点到B点的长度是( )厘米；从A点经D点、E点和F点，最后到达B点的长度是( )厘米。 16．（24-25四年级下·全国·单元测试）如图，两个三角形都是等腰三角形，∠1是( )°。 17．（22-23四年级下·四川乐山·期末）已知△ABC是等腰三角形，顶角为110°，请计算下图中未知角的度数。 18．（22-23四年级下·四川宜宾·期末）计算下面各未知角的度数。 20． （23-24四年级下·陕西渭南·阶段练习）佑佑家有一个三角形的小菜园，菜园的最大角是，是最小角的4倍。这个三角形菜园其他角的度数是多少？按角分这个菜园是什么三角形？ 20．（23-24四年级下·陕西商洛·期末）小华是个爱动手、爱动脑的孩子。他把一根15厘米长的吸管剪成3段。 （1）若小华用这三段吸管围成一个最大的等边三角形，则这个等边三角形的边长是（    ）厘米。 （2）若小华用这三段吸管围成一个底边长是7厘米的等腰三角形，这个等腰三角形的腰长是多少厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年四年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（人教版） 第5讲 三角形 （导图+知识精讲+易错点拨+10大考点讲练+易错压轴练+难度分层练 共70题） 目录 课前指导 讲义介绍 2 思维导图 一目了然 3 知识精讲 梳理脉络 3 知识点梳理01：三角形的特性 3 知识点梳理02：三角形的分类 4 知识点梳理03：三角形的内角和 4 易错点拨 查漏补缺 5 易错知识点01：三角形的高与稳定性 5 易错知识点02：三边关系判断错误 5 易错知识点03：三角形分类混淆 6 易错知识点04：内角和与角度计算错误 6 易错知识点05：易错题示例与解析 6 考点讲练 明确目标 考点一：三角形的概念及表示方法 7 考点二：三角形的高及画法 8 考点三：三角形的稳定性及应用 10 考点四：两点间线段最短与两点间的距离 11 考点五：三角形三边关系 13 考点六：三角形的分类 14 考点七：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 16 考点八：画三角形 17 考点九：三角形的内角和 19 考点十：多边形的内角和 20 易错真题 培优必刷 21 压轴专练 培优拔尖 25 培优巩固 拔尖冲刺 30 基础夯实优选题专练 30 培优优选题专练 35 同学你好！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点梳理01：三角形的特性 1、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），叫三角形。 2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。三角形只有3条高。 重点：三角形高的画法：一落二移三画四标 3、三角形具有稳定性。如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。 4、三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。两边之差〈 第三边〈 两边之和。 判断三条线段能不能组成三角形，只要看最短的两条边的和是不是大于第三条边。 5、为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC。 知识点梳理02：三角形的分类 1、按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。 2、按照边长短来分：三边不等的△，三边相等的△,等腰△（等边三角形或正三角形是特殊的等腰△）。 3、等边△的三边相等，每个角是60度。（顶角、底角、腰、底的概念） 4、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。 5、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。 6、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。 7、每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。 8、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 9、三条边都相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。 10、等边三角形是特殊的等腰三角形 知识点梳理03：三角形的内角和 1、三角形的内角和是180°。四边形的内角和是360°。一个三角形中至少有两个锐角，每个三角形都至多有一个直角；每个三角形都至多有一个钝角。可以根据最大的角判断三角形的类型。最大的角是哪类角，就属于那类三角形。最大的角是直角，就是直角三角形。最大的角是钝角，就是钝角三角形。 2、图形的拼组：（1）当两个三角形有一条边长度相等时，就可以拼成四边形。 （2）任何两个（完全一样）的三角形可以拼成一个平行四边形。 并且将不同的等边重合，还可以拼出不同形状的四边形。 （3）两个（完全一样）的直角三角形可以拼成 （平行四边形）或（长方形）或（等腰三角形）。 （4）用两个相同的等腰直角三角形可以拼成一个平行四边形、一个正方形、一个大的等腰直角三角形。 （5）三个相同的三角形能拼成梯形；三个相同的等腰三角形能拼成一个等腰梯形。 （6）至少需要两个三角形，才可以拼四边形。 至少需要三个相同的三角形才可以拼梯形。 至少用（2个）直角三角形可以拼成一个长方形。 至少用（3个）等边三角形可以拼成一个等腰梯形。 至少用（2个）等边三角形可以拼成一个平行四边形。 （7）多个三角形可以拼出各种美丽的图案。 密铺：可以进行密铺的图形有长方形、正方形、三角形以及正六边形 易错知识点01：三角形的高与稳定性 1. 画高错误 错误表现： 钝角三角形只画内部1条高，忽略外侧2条高； 未用虚线表示高，或漏标直角符号。 示例：钝角三角形ABC中，若底边为BC，学生常仅画出从A到BC的高，未画出从B向AC延长线的高。 应对方法： 口诀：“一找底边二对顶点，三画垂线四标符号”； 钝角三角形外侧高需延长边再画垂线。 2. 稳定性理解偏差 错误表现：认为所有多边形都稳定，或误用稳定性解释现象（如“自行车三角形车架是为了美观”）。 应对方法：对比实验（如用木条搭三角形和四边形，按压观察形变）强化理解。 易错知识点02：三边关系判断错误 1. 忽略“任意”两字 错误表现：仅验证两短边之和大于第三边，未检查所有组合。 示例：判断3cm、4cm、7cm能否组成三角形，误认为3+4>7成立，忽略3+4=7不满足“大于”条件。 应对方法：牢记口诀“短+短>长，三边可成三角形”。 2. 混淆线段差与和的关系 错误表现：错误应用“两边差小于第三边”判断，如认为3cm、5cm、9cm可组成三角形（5-3<9，但3+5<9）。 应对方法：明确三边关系需同时满足“任意两边和>第三边”与“任意两边差<第三边”。 易错知识点03：三角形分类混淆 1. 等腰与等边三角形关系错误 错误表现：认为“等边三角形不是等腰三角形”，或“等腰三角形一定是锐角三角形”。 示例：等腰三角形顶角为120°，底角为30°，实为钝角三角形，但学生误判为锐角三角形。 应对方法：用韦恩图展示分类关系（等边三角形是特殊等腰三角形），强调按角、边分类的独立性。 2. 直角三角形高的误解 错误表现：认为直角三角形只有1条高（忽略两条直角边互为底和高）。 示例：直角三角形ABC（∠B=90°），误认为仅AC边上的高BD存在，未将AB、BC视为底和高。 应对方法：动手标注直角三角形的3条高（两条直角边互为底和高，斜边高需作垂线）。 易错知识点04：内角和与角度计算错误 1. 内角和公式误用 错误表现： 计算时遗漏角（如四边形内角和误用180°而非360°）； 未区分三角形内角和与单个角度（如求等边三角形内角和时写60°×3=180°，正确但表述不规范）。 应对方法：用撕角拼接法验证内角和，强化“所有三角形内角和均为180°”的普适性。 2. 多角度推算错误 示例：已知等腰三角形顶角50°，求底角时误算为(180°-50°)÷2=65°，但若题目未明确顶角或底角，可能引发错误。 应对方法：标注已知角位置（顶角或底角），用方程解题（如设底角为x，则x+x+50°=180°）。 易错知识点05：易错题示例与解析 例题1（参考）： 判断：等腰三角形一定是锐角三角形。（ ） 错误解答：√（认为等腰三角形顶角必为锐角）。 正确解析： 等腰三角形顶角可为锐角、直角或钝角，如顶角120°时是钝角三角形，顶角90°时是直角三角形58。 答案：× 例题2（参考）： 一个三角形的两条边分别为4cm和9cm，第三边可能是多少？（选整数） 错误解答：5cm（仅验证4+5>9，未检查4+9>5）。 正确解析： 第三边需满足：9-4 <第三边<9+4 → 5cm<第三边<13cm，故可能为6cm、7cm、…、12cm。 考点一：三角形的概念及表示方法 【精讲题】（22-23四年级下·四川绵阳·期末）找规律：……第5个图共有( )个三角形。 【答案】15 【思路点拨】根据已知图形的规律可知，第5个图是由从一个端点出发6条射线组成的图形。对于由多条射线从一个公共端点出发组成的图形，每两条射线都可以组成一个角，所以要找出所有不同的两条射线的组合情况，就能确定角的个数，由此可以判断三角形的数量。通过依次累加的方式来计算三角形的个数。先选第一条射线，它可和另外5条射线组成5个角；选第二条射线，它可和除第一条射线外的4条射线组成4个角，以此类推，共有6条线，但由于第六条线是最后一条线，无法再与其它线组成角，故角的总数为：5＋4＋3＋2＋1＝15（个）。综上，下面的图形中一共有15个三角形。 【规范解答】根据分析可知： 5＋4＋3＋2＋1＝15（个） 找规律：……第5个图共有15个三角形。 【精练题01】（23-24四年级上·浙江宁波·期末）乐乐不小心把家里的一块玻璃摔成3块（如图），他只拿其中一块玻璃去玻璃店切割出一块与原来一样大的玻璃，你知道他拿的是哪一块玻璃吗？（    ） A．3 B．2 C．1 D．都可以 【答案】A 【思路点拨】观察这块玻璃，如果只拿1号块去，延长断的两条边，不确定断的两条边和第3条边的长度。如果只拿2号块去，向两边延长断的两条边，可以确定出一个角，但不确定断的两条边和第3条边的的长度。如果只拿去3号块去，延长断的两条边相交，可以确定断的两条边的长度，即确定这个三角形。 【规范解答】根据分析可知：只拿去3号块去，可切割出一块与原来一样大的玻璃。 故答案为：A 【精练题02】（23-24四年级下·甘肃平凉·期末）按要求画一画。 （1）在上图中画两条互相平行的直线和两条互相垂直的直线。 （2）在上图中先画一个梯形，再在里面画一条线段，把它分成一个平行四边形和一个三角形。 【答案】（1）（2）见详解 【思路点拨】（1）画平行线可以借助直尺或三角尺来完成：1、固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线。2、用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺。3、平移后，沿直角边画出另一条直线；用三角尺画两条互相垂直的直线的步骤：1、固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线。2、把三角尺的一条直角边与已知直线重合，沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。3、沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。据此作图。 （2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。只有一组对边平行的四边形是梯形。据此作图。 【规范解答】 考点二：三角形的高及画法 【精讲题】（24-25四年级下·全国·单元测试）画一个底是5厘米，高是3厘米的三角形。 【答案】见详解 【思路点拨】三条线段首尾相接围成的图形叫做三角形；从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底；根据题意可知，作出底边是5厘米的线段，以这条边上的一点作出垂线，截取3厘米的线段，以底边线段的两个端点和垂线的另一个端点为三角形的三个顶点，依次连接即可求解。 【规范解答】据分析作图如下： （答案不唯一） 【精练题01】（22-23四年级下·四川乐山·期末）先画一条长4厘米的线段，标为线段AB，再以这条线段为底，任意画一个三角形，并作出AB边上的高。 【答案】见详解 【思路点拨】首先使用直尺和铅笔画一条长度为4厘米的线段，标为线段AB，找出与线段AB不在同一条直线上的一点C，与线段AB的两端点连接，即可得到一个三角形。根据三角形高的意义，在三角形中，在与AB边相对的顶点向它的底边AB画垂线，顶点到垂足之间的线段就是三角形的高，由此作图即可。 【规范解答】根据分析，作图如下： （画法不唯一） 【精练题02】（23-24四年级下·四川德阳·期末）画出下面三角形指定底边上的高。 【答案】见详解 【思路点拨】把三角板的一条直角边靠紧三角形的底边，沿三角形的底边滑动三角板，当另一直角边经过三角形底边相对的顶点时，沿这条直角边画的顶点到底边的垂直线段就是该三角形的高，高用虚线表示，依此画图并标上垂直符号即可。 【规范解答】 考点三：三角形的稳定性及应用 【精讲题】（22-23四年级下·四川乐山·期末）长方形比三角形多一条边和一个角，所以长方形比三角形稳定。( ) 【答案】× 【思路点拨】长方形不具有稳定性，三角形具有稳定性。据此解答。 【规范解答】长方形比三角形多一条边和一个角，但三角形具有稳定性，而长方形不具有稳定性。原题说法错误。 故答案为：× 【精练题01】（22-23四年级下·重庆丰都·期末）通过学习，我们知道了三角形具有稳定性。( ) 【答案】√ 【思路点拨】三角形具有稳定性：当三角形的三条边长度确定后，其形状和大小就唯一确定了，不会因为外力的作用而轻易改变形状，例如：屋顶的钢梁结构常常设计成三角形的形状，这样可以使屋顶能够承受更大的重量而不易变形，据此解答即可。 【规范解答】由分析可知，三角形具有稳定性，原说法正确。 故答案为：√ 【精练题02】（23-24四年级下·广西柳州·期末）露营是小朋友喜欢的户外活动，三角形帐篷是露营时最常见的设备（如图），它是利用了三角形( )的特性。 【答案】稳定 【思路点拨】三角形稳定性是指三角形不容易变形，有着稳固、坚定、耐压的特点。因此埃及金字塔、钢轨、三角形框架、起重机、三角形吊臂、屋顶、三角形钢架、钢架桥和埃菲尔铁塔都以三角形形状建造。据此解答。 【规范解答】露营是小朋友喜欢的户外活动，三角形帐篷是露营时最常见的设备（如图），它是利用了三角形稳定的特性。 考点四：两点间线段最短与两点间的距离 【精讲题】（23-24四年级下·云南昆明·期末）下列说法错误的是（    ）。 A．0.6和0.60大小相同，计数单位不相同。 B．明明从家去书店买书，走②号路线最近。 C．按照“四舍五入”法，近似数为6.0的最大两位小数是5.99。 D．三角形的三边长度确定后，它的形状和周长就确定了。 【答案】C 【思路点拨】小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变；一个小数最后一位是十分位，计数单位就是0.1；最后一位是百分位，计数单位就是0.01；最后一位是千分位，计数单位就是0.001，以此类推；小数去掉小数点后得到的整数是几，就有几个该小数的计数单位； 两点之间，线段最短； 求小数的近似数方法是：保留一位小数时，就把百分位上的数省略（当百分位上的数等于或大于5时，应向十分位上进1后再省略），在表示近似数时，小数末尾的0不能去掉； 三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形；三角形的周长为三边之和；据此解答。 【规范解答】根据分析： A．0.6＝0.60，0.6的计数单位是0.1，表示有6个0.1，0.60的计数单位是0.01，表示有60个0.01，所以0.6和0.60大小相同，计数单位不相同，原题说法正确； B．根据图示，走②号路线最近，原题说法正确； C．求近似数为6.0的最大两位小数，用“四舍”，那么最高位个位上是6，十分位上是0，百分位上是4，6.04≈6.0，所以近似数为6.0的最大两位小数是6.04，而不是5.99，原题说法错误； D．根据三角形的特征，确定了三角形的三边长度，它的形状和周长就确定了，原题说法正确。 故答案为：C 【精练题01】（21-22四年级下·四川乐山·期末）三角形屋顶的高在哪，请你在图中画出来。菲菲站在A点的位置，请你分别画出她回家最近的路和她到公路边候车最近的路。 【答案】见详解 【思路点拨】（1）从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。据此画出屋顶的高。 （2）两点之间线段最短，则过A点与家的一点，画一条线段即可。从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。据此可知，要使菲菲到公路边的路线最近，则从A点向公路边作垂线，这条垂线即为所求。 【规范解答】 【精练题02】（22-23四年级下·云南德宏·期末）从小华家到学校有三条路线如下图，请你选择一条最近的路线并说明理由。如果小华家到学校的距离是1200米，小华步行需要15分钟，平均每分钟走多少米？ 【答案】选第②条路线最近，因为两点间所有连线中线段最短；80米 【思路点拨】先根据两点之间线段最短进行判断，速度＝路程÷时间，然后用总距离除以步行的时间就是步行的速度。 【规范解答】根据图形可知，第②条路线是线段，因此第②条路线最近； 1200÷15＝80（米） 答：选第②条路线最近，因为两点间所有连线中线段最短；他平均每分钟走80米。 考点五：三角形三边关系 【精讲题】（24-25四年级下·全国·单元测试）如图，湖边有A，B，P，Q四个村庄。邮递员从A村送信到B村，总是走经过Q村的道路，不走经过P村的道路，这是为什么呢？ 【答案】见详解 【思路点拨】如下图，延长AQ交线段 PB于点E，根据三角形两边之和大于第三边，在三角形APE中，AP＋PE＞AE，在三角形BEQ中，QE＋EB＞BQ ，所以AP＋PE＋QE＋EB＞AQ＋QE＋BQ， 即AP＋PB＞AQ＋BQ，据此解答。 【规范解答】AP＋PE＞AE QE＋EB＞BQ 所以AP＋PE＋QE＋EB＞AE＋BQ AP＋PB＋QE＞AQ＋QE＋BQ AP＋PB＞AQ＋BQ 走经过Q村的道路比走经过P村的道路距离更短，所以邮递员从A 村送信到B村，总是走经过Q村的道路，不走经过P村的道路。 【精练题01】（23-24四年级下·陕西渭南·阶段练习）一个三角形三条边的长度都是整厘米数，其中两条边分别是20厘米和30厘米，第三条边最短是( )厘米，最长是( )厘米。 【答案】 11 49 【思路点拨】根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。据此解答即可。 【规范解答】30厘米－20厘米＜第三边＜30厘米＋20厘米 所以10厘米＜第三边＜50厘米 即第三边在10厘米至50厘米之间，不包括10厘米和50厘米， 即第三条边最短是10＋1＝11厘米，最长是50－1＝49厘米。 一个三角形三条边的长度都是整厘米数，其中两条边分别是20厘米和30厘米，第三条边最短是11厘米，最长是49厘米。 【精练题02】（23-24四年级下·重庆渝北·期末）用三根长度为整厘米数的小棒围成一个三角形，如果其中两根小棒分别长8cm、10cm，那么第三根小棒最短是（    ）cm。 A．3 B．9 C．2 【答案】A 【思路点拨】根据三角形的三边关系可知，两边之和＞第三边，8＋10＝18（cm），18＞17，第三边最长是17cm；两边之差＜第三边，10－8＝2（cm），2＜3，第三边最短是3cm。 【规范解答】用三根长度为整厘米数的小棒围成一个三角形，如果其中两根小棒分别长8cm、10cm，那么第三根小棒最短是（3）cm。 故答案为：A 考点六：三角形的分类 【精讲题】（24-25六年级下·河北廊坊·开学考试）在一个等腰三角形中，有两条边分别长5厘米和10厘米，那么，这个等腰三角形是（    ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【思路点拨】等腰三角形的两条腰相等，题干给出一条边是5厘米，一条边是10厘米，如果两条边都是5厘米，另一条边是10厘米，即5＋5＝10（厘米），不能组成三角形，所以两条腰的长度是10厘米，底边是5厘米，如果这个三角形是等腰直角三角形，那么直角三角形斜边最长，但是5厘米＜10厘米，不是直角三角形；钝角三角形的底边也要长于两条腰，也不符合题意，所以这个等腰三角形是锐角三角形，据此即可选择。 【规范解答】由分析可知： 这个等腰三角形是锐角三角形。 故答案为：A 【精练题01】（23-24四年级下·四川成都·期末）在下面的点子图上画出一个直角三角形和一个等腰三角形。 【答案】见详解 【思路点拨】有一个角是直角的三角形叫作直角三角形；有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。据此作图。 【规范解答】 （答案不唯一） 【精练题02】（23-24四年级下·全国·课后作业）猜一猜，填一填。 (1)有一个三角形，最大的角是钝角，它是( )三角形。 (2)有一个三角形，三条边都相等，它是( )三角形。 【答案】(1)钝角 (2)等边/正 【思路点拨】（1）有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。由题意得，一个三角形最大的角是钝角，那么这个三角形是钝角三角形。 （2）三条边都相等的三角形叫作等边三角形。由题意得，三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形。 【规范解答】（1）有一个三角形，最大的角是钝角，它是钝角三角形。 （2）有一个三角形，三条边都相等，它是等边三角形。 考点七：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【精讲题】（23-24四年级下·四川成都·期末）如果一个等腰三角形中，有两条边的长度分别是4cm和8cm，那么它的第三条边长是( )；一个等边三角形的一条边长是15cm，它的周长是( )。 【答案】 8cm/8厘米 45cm/45厘米 【思路点拨】根据等腰三角形的特征，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。同时根据三角形的三边关系，任意两条边的和必须大于第三条边，可以判断出它的第三条边长是多少。 三条边相等的三角形叫做等边三角形。用边长乘3就可以算出等边三角形的周长。 【规范解答】一个等腰三角形中，有两条边的长度分别是4cm和8cm。第三条边可能是4cm或8cm，当是4cm时，4＋4＝8（cm），不能围成三角形。所以它的第三条边长是8cm。 等边三角形三条边的长度相等，15×3＝45（cm）。所以这个等边三角形的周长是45cm。 【精练题01】（22-23四年级下·四川南充·期末）取一根15厘米长的铁丝折成一个等边三角形铁框，铁框的一条边长为( )厘米，如果折成一个腰长6厘米的等腰三角形铁框，那么铁框的底边长为( )厘米。 【答案】 5 3 【思路点拨】等边三角形的三条边相等，用15除以3就是这个等边三角形的边长；等腰三角形的两腰相等，用周长减去2个腰长即可求出底边的长度。以此答题即可。 【规范解答】根据分析计算如下： 15÷3＝5（cm） 15－6×2 ＝15－12 ＝3（cm） 取一根15厘米长的铁丝折成一个等边三角形铁框，铁框的一条边长为5厘米，如果折成一个腰长6厘米的等腰三角形铁框，那么铁框的底边长为3厘米。 【精练题02】（23-24四年级下·重庆渝北·期末）小芳家有一个等腰三角形的相框，她打算用丝带沿边围一周装饰这个相框。量得这个相框的腰长18厘米，底边长2分米，小芳至少需要买多少厘米长的丝带？ 【答案】56厘米 【思路点拨】根据题意，求丝带的长就是求三角形的周长。根据等腰三角形两腰相等的特点，可知这个相框三边的长度为18厘米，18厘米，2分米；先根据1分米＝10厘米，把2分米换算成厘米单位，即20厘米，再把三条边的长度相加即可。据此解答。 【规范解答】2分米＝20厘米 18＋18＋20 ＝36＋20 ＝56（厘米） 答：小芳至少需要买56厘米长的丝带。 考点八：画三角形 【精讲题】（22-23五年级下·福建龙岩·期末）请你从长度分别为3厘米、5厘米、10厘米、4厘米的四根小棒中选出三根，围成一个三角形。 （1）你准备怎么选？为什么？ （2）请把它画出来。 （3）这是一个（      ）三角形。 【答案】（1）3厘米、5厘米、4厘米；见详解 （2）见详解 （3）直角 【思路点拨】（1）三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 从四根小棒中选出三根小棒围成一个三角形，那么这三根小棒要符合三角形的三边关系，有3种情况： ①选3厘米、5厘米、10厘米的三根小棒，因为3＋5＜10，不符合三角形的三边关系，所以这三根小棒不能围成三角形； ②选3厘米、5厘米、4厘米的三根小棒，因为3＋4＞5，5－3＜4，符合三角形的三边关系，所以这三根小棒可以围成三角形； ③选3厘米、10厘米、4厘米的三根小棒，因为3＋4＜10，不符合三角形的三边关系，所以这三根小棒不能围成三角形； ④选5厘米、10厘米、4厘米的三根小棒，因为5＋4＜10，不符合三角形的三边关系，所以这三根小棒不能围成三角形。 （2）根据所选的三根小棒的长度，画出这个三角形即可。 （3）根据三角形按角分类判断这个三角形的类型。 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形； 角三角形：有一个角是直角的三角形； 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。 【规范解答】（1）我准备选3厘米、5厘米、4厘米三根小棒围成一个三角形。 因为3＋4＞5，5－3＜4，符合三角形的三边关系，所以这三根小棒可以围成一个三角形。 （2）如图： （3）这是一个直角三角形。 【精练题01】（23-24四年级下·河北承德·期末）请你在格子图中按要求各画出一个三角形。 【答案】见详解 【思路点拨】画锐角三角形：在横向上画任意线段，以此线段为基础，画出三个都是锐角的锐角三角形；画直角三角形：在横向上画一定格数的线段，再过这条线段的一端在竖向上画出一条线段，再连接两条线段的另外两个端点；画钝角三角形：在横向上画任意线段，再取这个线段左端的左上方或左下方任意一点，连接这个点与线段的两端即可；据此可解此题。 【规范解答】 （画法不唯一） 【精练题02】（2024四年级下·全国·专题练习）画一个直角三角形，其中一个角是60°。 【答案】见详解 【思路点拨】有一个角是直角的三角形是直角三角形；因此可先画出一个直角，再以直角其中一条边上的任意一点为另一个角的顶点，并根据角的画法画出一个60°的角，最后将这个角的另一条边延长并与直角的另一条直角边相交于一点，即可得到有一个锐角是60°的直角三角形，依此画图。 【规范解答】作图如下： 考点九：三角形的内角和 【精讲题】（24-25四年级下·全国·单元测试）如图，在三角形ABC中，∠B＝∠C，∠B等于( )°。 【答案】70 【思路点拨】根据已知条件，明确平角是180°，∠BAC＝180°－140°＝40°，因为∠B＝∠C，三角形内角和是180°，用180°－∠BAC＝∠B＋∠C，先求出∠B与∠C的和，最后除以2，就是∠B的度数，列式计算即可。 【规范解答】根据分析可知： ∠BAC＝180°－140°＝40° ∠B＝∠C，三角形内角和是180°。 ∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝180°－40°＝140° ∠B＝140°÷2＝70° 【精练题01】（23-24四年级下·河南周口·期中）在一个直角三角形中，两个锐角度数之和正好等于( )度。 【答案】90 【思路点拨】直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角为直角，三角形的内角和为180度，用180度减去90度，即可求出两个锐角度数之和正好等于多少度。 【规范解答】180°－90°＝90° 所以在一个直角三角形中，两个锐角度数之和正好等于90度。 【精练题02】（23-24四年级下·陕西渭南·阶段练习）一个等腰三角形的一个底角是，那么它的顶角是( )，按角分，这个等腰三角形是( )三角形。 【答案】 130 钝角 【思路点拨】已知等腰三角形一个底角是25°，结合等腰三角形的两底角相等，根据三角形内角和是180°，用180°－25°×2即可得到顶角度数；有一个角大于90°且小于180°的三角形是钝角三角形。 【规范解答】180°－25°×2 ＝180°－50° ＝130° 180°＞130°＞90° 所以一个等腰三角形的一个底角是，那么它的顶角是130，按角分，这个等腰三角形是钝角三角形。 考点十：多边形的内角和 【精讲题】（24-25四年级上·湖南株洲·期末）有一个直角梯形，如果它的一个角是115°，那么除了两个直角外的另一个角是( )°，属于( )角。 【答案】 65 锐 【思路点拨】梯形的内角和为360°。由题意得，有一个直角梯形（直角梯形有两个直角），如果它的一个角是115°，求除了两个直角外的另一个角的度数，直接用360°减去两个直角的度数再减去115°即可解答。然后根据这个角的度数来判断这个角的类型即可。 【规范解答】360°－90°－90°－115° ＝270°－90°－115° ＝180°－115° ＝65° 65°＜90°，所以这个角是锐角。 除了两个直角外的另一个角是65°，属于锐角。 【精练题01】（23-24四年级下·四川遂宁·期末）分一分，算一算，下边图形的内角和是( )°。 【答案】见详解 540 【思路点拨】从一个顶点作与它不相邻的顶点的连接线，即可将五边形分成3个三角形，3个三角形的内角和就是五边形的内角和；据此即可解答。 【规范解答】180°×3＝540° 分一分，算一算，下边图形的内角和是（540）°。 【精练题02】（23-24四年级下·陕西渭南·期末）下面这个多边形的内角和是多少？在图中画一画，并算一算。 【答案】画法见详解；720° 【思路点拨】可以将多边形分成几个三角形，三角形内角和为180°，用三角形的个数乘180°，即可求出这个多边形的内角和是多少。 【规范解答】 如图：（画法不唯一） 180°×4＝720° 答：这个多边形的内角和是720°。 1．（2024•兰山区）一个三角形最小的锐角是50度，这个三角形一定是（　　）三角形． A．钝角 B．直角 C．锐角 【思路点拨】由三角形的内角和求出另外两个角的和，再根据最小的内角是50°来判断其它两个角的情况． 【规范解答】解：180°﹣50°＝130°； 另外两个角的和是130°，最小的内角是50°， 假设另外两个角中还有一个是50°，另一个就是：130°﹣50°＝80°； 最大的内角最大只能是80°，所以这个三角形的三个角都是锐角，这个三角形一定是锐角三角形． 故选：C． 【考点评析】解决本题首先要能根据三角形的内角和是180°，求出另外角的度数可能的情况，并由此求解． 2．（2024春•息县期末）自行车的支架常常做成三角形，是利用了三角形（　　）的特性． A．内角和是180° B．容易变形 C．稳定性 【思路点拨】根据三角形的稳定性进行解答即可． 【规范解答】解：自行车的支架常常做成三角形，是利用了三角形稳定性的特性； 故选：C． 【考点评析】此题考查了三角形的特征即三角形的稳定性． 3．（2021春•汕尾期末）等边三角形一定是（　　）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 【思路点拨】等边三角形的三个角都相等，都是60°，由此根据三角形按角分类的方法即可进行选择． 【规范解答】解：等边三角形的三个角都是60°，都是锐角，所以等边三角形是锐角三角形． 故选：A。 【考点评析】抓住等边三角形的三个角都相等的性质和锐角三角形的定义即可解决问题． 4．（2024•梅县区）一个直角三角形的两个锐角的度数比是3：2．这两个锐角分别是 　54　 度和 　36　 度． 【思路点拨】根据直角三角形的性质和三角形内角和是180°可以知道直角三角形的两个锐角度数的和是90°，它们的度数之比是3：2，由此可以求出它们的度数． 【规范解答】解：因为三角形内角和是180°，直角三角形中有一个角是90° 所以直角三角形的两个锐角度数的和是90°， 又3+2＝5， 所以这两个锐角分别为：90°54°； 90°36°， 答：这个三角形两个锐角的度数分别是 54°，36°． 故答案为：54，36． 【考点评析】此题考查了利用比的意义求三角形各个角的度数． 5．（2023春•鱼台县期末）在一个三角形的三个角中，一个是50度，一个是80度，这个三角形既是 　锐角　 三角形，又是 　等腰　 三角形． 【思路点拨】根据三角形的内角和是180度，可以求出三角形的第三个角为：180﹣50﹣80＝50度，所以进而根据等腰三角形的特点：等角对等腰，可以得出这个三角形是等腰三角形，又是锐角三角形；进而解答即可． 【规范解答】解：第三个角：180﹣80﹣50＝50（度）， 因为三角形的三个角都是锐角，所以这个三角形是锐角三角形； 又因为三角形中有两个角相等，所以该三角形又是等腰三角形； 故答案为：锐角，等腰． 【考点评析】解答此题用到的知识点：（1）三角形的内角和是180度；（2）等腰三角形的特征；（3）三角形的分类． 6．（2023春•商都县期末）一个三角形的三条边都是整厘米数．其中两条边长分别是6厘米和8厘米，第三条边最长是　13　 厘米，最短是　3　 厘米． 【思路点拨】根据三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；由此解答即可． 【规范解答】解：8﹣6＜第三边＜8+6， 所以：2＜第三边＜14， 即第三边的取值在2～14厘米（不包括2厘米和14厘米）， 因为三条边都是整厘米数，所以第三条边最长为：14﹣1＝13（厘米），最短为：2+1＝3（厘米）； 故答案为：13，3． 【考点评析】此题解答关键是根据在三角形中，任意两边之和大于第三边的特征解决问题． 7．（2024春•防城港期末）等边三角形也叫正三角形．　√　 （判断对错） 【思路点拨】因为等边三角形的三个内角都相等，三条边都相等，所以又叫正三角形；据此判断． 【规范解答】解：等边三角形的三个内角都是60度，三条边都相等，也叫正三角形； 故答案为：√． 【考点评析】此题考查了等边三角形的性质． 8．在格子里画一个锐角三角形、等腰三角形和钝角三角形，并分别画出它们的一条高． 【思路点拨】根据它们的定义：三个角都是锐角的三角形，叫做锐角三角形；等腰三角形可以画等腰直角三角形，两条直角边相等的直角三角形，叫做等腰直角三角形；有一个角是钝角的三角形，是钝角三角形；进而画出符合题意的三角形，再画出它们的一条高即可． 【规范解答】解：根据题干分析画图如下： 【考点评析】此题考查了三角形按角分类的方法，应灵活理解并掌握角的概念． 9．（2018春•滨湖区期中）求出下面各三角形中未知角的度数． 【思路点拨】利用三角形的内角和是180度即可作答． 【规范解答】解：如图所示， ∠1＝180°﹣35°﹣49°＝96°； ∠2＝180°﹣101°﹣45°＝34°； ∠3＝180°﹣90°﹣24°＝66°； ∠4＝180°﹣90°﹣65°＝25°； 故答案为：96°、34°、66°、25°． 【考点评析】此题主要考查三角形的内角和的定义． 10．（2020春•武陵区期末）等腰三角形的一个底角是75°，它的顶角是多少度？ 【思路点拨】等腰三角形的两个底角相等，根据三角形的内角和即可解决问题． 【规范解答】解：180°﹣75°×2 ＝180°﹣150° ＝30° 答：它的顶角是30°． 【考点评析】此题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和的应用． 11．（2024春•管城区期末）如图，点B在∠CAB的一条边上固定不动，点C在∠CAB的另一条边上任意移动，连接CB，则组成的三角形ABC可能是（　　） ①等边三角形。 ②等腰直角三角形。 ③锐角三角形。 A．①③ B．②③ C．①② 【思路点拨】三角形的内角和是180°，然后按要求进行移动，并连接BC，然后根据三角形的分类标准进行选择即可。 【规范解答】解：此时有一个角是直角，即此时三角形ABC是一个直角三角形，但不能形成等腰直角三角形； 180°﹣60°﹣60°＝120°﹣60°＝60°；60°＝60°＝60°，此时是一个等边三角形，等边三角形也可以说是锐角三角形。 所以组成的三角形可以是等边三角形或者锐角三角形。 故选：A。 【考点评析】此题考查的是三角形的分类，以及三角形的内角和，应熟练掌握。 12．（2021春•玉门市期末）一个等腰三角形中，顶角是100°，一个底角是（　　） A．100° B．40° C．55° 【思路点拨】等腰三角形有两个相等的底角和一个顶角，它的内角和是180度，用180度减去顶角的度数，是两个底角的度数和，再除以2即可求出一个底角的度数． 【规范解答】解：（180°﹣100°）÷2 ＝80°÷2 ＝40° 答：它的一个底角是40°． 故选：B． 【考点评析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 13．一个三角形中的两个角分别是30°、60°，这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【思路点拨】先根据三角形的内角和是180度，用180度﹣30度﹣60度＝90度，然后再依据直角角三角形的意义可知：有一个角是直角的三角形是直角三角形，据此解答即可． 【规范解答】解：180°﹣30°﹣60° ＝150°﹣60° ＝90° 所以这个三角形是直角三角形． 故选：A． 【考点评析】此题主要依据直角三角形的意义解决问题． 14．（2023春•建邺区期末）如图，把正方形剪成一个特殊的三角形。 （1）图中∠1＝　60　 °，∠2＝　30　 °。 （2）如果正方形的边长是5厘米，那么三角形的周长是 　15　 厘米。 【思路点拨】（1）正方形的4个角都是直角，通过观察图形可知，将正方形对折再斜折后，画线并剪开，得到的这个三角形是等边三角形，三角形的内角和是180°，所以等边三角形的每个角都是60°，即∠1＝60°，由折叠可知：∠2＝60°÷2＝30°。 （2）三角形有两条边都是由正方形的边折叠得到的，长度与正方形的边相等，第三条边就是正方形的边长，即这个三角形是等边三角形，根据三角形的周长公式解答。 【规范解答】解：（1）根据图示可知，折成的三角形是一个等边三角形，三个角相等，因此∠1＝180°÷3＝60°，∠2＝60°÷2＝30°。 （2）5×3＝15（厘米） 答：三角形的周长是15厘米。 故答案为：60，30；15。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握三角形内角和及应用，简单图形的折叠方法及应用，关键明白折成的三角形的特点。 15．（2022春•陕州区期末）某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带第 　③　 块去．这是因为 　三角形的内角和是180°，知道两个角即可求出第三个角　 ． 【思路点拨】利用三角形内角和定理即可求解． 【规范解答】解：他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带第 ③块去．这是因为三角形的内角和是180°，知道两个角即可求出第三个角．这个三角形即可确定。 故答案为：③；因为三角形的内角和是180°，知道两个角即可求出第三个角．这个三角形即可确定。 【考点评析】此题主要考查了三角形的内角和定理的应用，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法． 16．（2015春•慈溪市校级期中）直角三角形中，一个角是42度，另一个非直角是　48　 度． 【思路点拨】根据三角形的内角和公式，用“180﹣90＝90”求出直角三角形的另外两个内角的度数和，然后根据给出的一个锐角的度数，求出另外一个内角的度数． 【规范解答】解：180﹣90﹣42 ＝90﹣42 ＝48（度）， 答：另一个非直角是48度． 故答案为：48． 【考点评析】此题考查了三角形的内角和等于180度． 17．（2021春•富县期末）任何四边形的内角和等于三角形内角和的2倍．　√　 （判断对错） 【思路点拨】三角形的内角和等于180°，因为四边形的任意一条对角线都能将一个四边形分成2个三角形，因为三角形内角和是180°，所以四边形的内角和等于2个三角形的内角和的和，是360°，据此即可解答． 【规范解答】解：（4﹣2）×180÷180 ＝2×180÷180 ＝2 答：任何四边形的内角和等于三角形内角和的2倍． 故答案为：√． 【考点评析】利用多边形的内角和为（n﹣2）•180°即可求出四边形的内角和，进而解决问题． 18．（2023春•义安区期末）画出如图三角形的底边上的高。 【思路点拨】根据三角形高的意义，在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，再根据过直线外一点画已知条直线的垂线的方法，由此作图即可。 【规范解答】解：作图如下： 【考点评析】此题主要考查三角形高的意义和高的画法。根据过直线外一点画已知条直线的垂线的方法，画出已知底边上的高即可。 19．（2024春•惠东县期末）妈妈给淘气买了一个等腰三角形的风筝．它的顶角是40°，它的一个底角是多少？ 【思路点拨】因为三角形的内角和是180度，该三角形是等腰三角形，它的顶角是40度，先用“180﹣40＝140”求出两个底角度数的和，因为等腰三角形两个底角相等，然后用“140÷2”解答即可． 【规范解答】解：（180°﹣40°）÷2 ＝140°÷2 ＝70°； 答：它的一个底角是70度． 【考点评析】此题考查了三角形的内角和，用到的知识点：等腰三角形两底角相等． 20．（2023春•济南期末）埃及金字塔的四个侧面的形状都是等腰三角形，每个等腰三角形的顶角约是52°．金字塔每个侧面的底角大约是多少度？ 【思路点拨】等腰三角形的特征：两腰相等，两底角也相等；再根据三角形内角和是180°和一个顶角是52°，先求得两个底角的度数，进而求得它的一个底角的度数． 【规范解答】解：它的两个底角的度数和是： 180°﹣52°＝128°， 它的一个底角的度数是： 128°÷2＝64°； 答：金字塔每个侧面的底角大约是64度． 【考点评析】此题根据等腰三角形的特征和三角形的内角和解决． 基础夯实优选题专练 1．（24-25四年级下·全国·单元测试）下面是三名同学为了验证“三角形的内角和是180°”采用的三种方法，不能验证这个结论的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【思路点拨】A．图中给出了三角形三个角的度数分别为50°、65°、65°，将这三个角的度数相加50°＋65°＋65°＝180°，通过测量并计算三角形三个内角的度数和，能够验证 “三角形的内角和是180°”。 B．把一个三角形分割成两个小三角形，但是这种方法只是将一个大三角形分成了两个小三角形，并没有直接体现出三角形内角和是180°。因为分割后得到的是两个三角形，无法通过这种方式直接得出原三角形内角和为180°，所以该方法不能验证 “三角形的内角和是180°”。 C．将三角形的三个内角∠1、∠2、∠3剪下来，拼在一起形成一个平角，因为平角的度数是180°，所以可以验证 “三角形的内角和是180°”。 【规范解答】由分析知：这三种方法，不能验证“三角形的内角和是180°”这个结论的是B。 故答案为：B 2．（24-25四年级下·海南海口·单元测试）自行车的三角架做成一个三角形，这是运用了三角形的（    ）。 A．有三条边的特征 B．容易变形的特征 C．稳定性的特征 【答案】C 【思路点拨】根据题意，只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这个性质叫做三角形的稳定性，自行车的三角架是为了使自行车更加稳固，依此选择。 【规范解答】根据分析可知： 自行车的三角架做成一个三角形，这是运用了三角形的稳定性的特征。 故答案为：C 3．（24-25四年级下·海南海口·单元测试）下面每组中的三个角，不可能在同一个三角形的是（    ）。 A．80°、50°、58° B．120°、55°、5° C．35°、87°、58° 【答案】A 【思路点拨】三角形的三个内角和等于180°，计算出每组中的三个角的和是否等于180°即可解答。 【规范解答】A．80°＋50°＋58°＝130°＋58°＝188°，不可能在同一个三角形。      B．120°＋55°＋5°＝175°＋5°＝180°，可能在同一个三角形。      C．35°＋87°＋58°＝122°＋58°＝180°，可能在同一个三角形。 故答案为：A 4．（24-25四年级下·全国·单元测试）如图，把一张正方形纸沿对角线对折，折出的两个三角形按角分是( )三角形，按边分是( )三角形。如果继续对折、再对折，折出的三角形最小角是( )°。 【答案】 直角 等腰 45 【思路点拨】正方形的四个角都是直角，为90°。把正方形纸沿对角线对折后，折出的两个三角形中，有一个角是原来正方形的直角，即90°。 根据三角形按角分类的标准，有一个角是直角的三角形是直角三角形，所以折出的两个三角形按角分是直角三角形。 正方形的四条边都相等，沿对角线对折后，折出的两个三角形的两条边分别是正方形的两条边，所以这两条边相等。 根据三角形按边分类的标准，有两条边相等的三角形是等腰三角形，所以折出的两个三角形按边分是等腰三角形。 如果继续对折，再对折，把正方形平均分成8份，如图：，折叠后形成周角，周角＝360°，则最小的角是（360°÷8）°。 【规范解答】360°÷8＝45° 把一张正方形纸沿对角线对折，折出的两个三角形按角分是直角三角形，按边分是等腰三角形。如果继续对折、再对折，折出的三角形最小角是45°。 5．（23-24四年级下·陕西西安·阶段练习）一个三角形的三条边长均为整数，其中两条边长分别是7cm、13cm，第三条边长最长是( )cm，最短是( )cm。 【答案】 19 7 【思路点拨】根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此解答即可。 【规范解答】13－7＝6（cm） 13＋7＝20（cm） 6cm＜第三边＜20cm 所以第三条边长最长是19cm，最短是7cm。 6．（22-23四年级下·四川乐山·期末）一个等腰三角形的周长是30厘米，底边长是14厘米，它的一条腰长是( )厘米，在这个三角形中，其中的一个底角是40°，则顶角是( )°。 【答案】 8 100 【思路点拨】等腰三角形的两条腰相等，用周长减去底边长，求出两条腰的长度和，再除以2，求出一条腰的长度；等腰三角形的两个底角相等，根据三角形的内角和为180°可知，顶角是180°－40°－40°。 【规范解答】（30－14）÷2 ＝16÷2 ＝8（厘米） 180°－40°－40° ＝140°－40° ＝100° 则一个等腰三角形的周长是30厘米，底边长是14厘米，它的一条腰长是8厘米，在这个三角形中，其中的一个底角是40°，则顶角是100°。 7．（23-24四年级下·四川德阳·期末）算一算。 【答案】60° 【思路点拨】根据1平角＝180°，三角形的内角和是180°； 如图，结合题意，∠1和105°的角组成1个平角，则∠1＝180°－105°；又因为∠1＋∠2＋45°＝180°，则∠2＝180°－45°－∠1，据此解答。 【规范解答】180°－105°＝75° 180°－45°－75° ＝135°－75° ＝60° 则这个角为60°。 8．（22-23四年级下·四川广元·期末）计算下面图形中未知角的度数。 【答案】115° 【思路点拨】 如图，这个图形的内角和相当于两个三角形的内角和，即这个四边形的内角和是360°，还有一个角是直角90°；则用360°分别减去∠1、∠2和∠3的度数，即可求出∠4的度数； 据此解答。 【规范解答】180°×2＝360° 360°－40°－90°－115° ＝320°－90°－115° ＝230°－115° ＝115° 则图中未知角的度数是115°。 9．（23-24四年级下·广东珠海·期末）2024“珠海•‘筝’有你的”香洲区第六届风筝会于5月1日～5月2日在香炉湾沙滩举行。各式风筝表演惊艳亮相。淘淘也参与了此次活动，他做了一个等腰三角形的风筝。 （1）如果风筝的周长是32分米，底边是8分米，那么这个风筝的一条腰长多少分米？ （2）如果这个风筝的一个内角是50°，那么它的另外两个内角分别是多少度？ 【答案】（1）12分米 （2）50°和80°或两个65° 【思路点拨】（1）三角形周长等于3条边之和，根据等腰三角形的特征，风筝的周长是32分米，底边是8分米，那么这个风筝的一条腰长是（32－8）÷2＝12（分米），据此解答即可。 （2）根据等腰三角形的特征，可以假设这个内角分别为底角和顶角，再依据三角形的内角和是180度和等腰三角形的底角相等的特点，即可分别计算出两种情况下其他内角的度数。 【规范解答】（1）（32－8）÷2 ＝24÷2 ＝12（分米） 答：这个风筝的一条腰长是12分米。 （2）假设这个内角是底角，则另一个底角也是50°。 顶角为： 180°－50°×2 ＝180°－100° ＝80° 假设这个内角是顶角，每个底角的度数为： （180°－50°）÷2 ＝130°÷2 ＝65° 答：它的另外两个内角分别是50°和80°或两个65°。 10．（23-24四年级下·山西晋中·期末）同学们在进行“剪小棒摆三角形”的探索活动中，“奋进组”同学尝试把长度为12厘米的小棒剪成三段（每段的长度均为整厘米数），再把这三段首尾相接摆一个三角形。 如图，已从小棒左边剪下5厘米长的一段作为三角形的一条边，（“”表示剪的位置）要想摆成一个三角形，下一处应该从哪里剪？请你在图中画“”表示出要剪的位置，并写出你的思考过程。 【答案】见详解 【思路点拨】从小棒左边剪下5厘米长的一段作为三角形的一条边，用12－5计算出还剩下多少厘米，即7厘米，7厘米可以分成：7＝1＋6＝2＋5＝3＋4；三角形两边之和要大于第三边，1＋5＝6，不能组成三角形；2＋5＞5，能组成三角形；3＋4＞5，能组成三角形；所以另外两段的长度可以是5厘米、2厘米或3厘米、4厘米。 【规范解答】12－5＝7（厘米） 1＋6＝7（厘米），1＋5＝6，不能组成三角形； 2＋5＝7（厘米），2＋5＞5，能组成三角形； 3＋4＝7（厘米），3＋4＞5，能组成三角形； （答案不唯一） 培优优选题专练 11．（24-25四年级下·全国·单元测试）如图，在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝5米，OB＝13米，A、B两点的距离可能是（    ）。 A．8米 B．10米 C．18米 【答案】B 【思路点拨】由题意得，连接O、A、B三点可以形成一个三角形。其中，OA＝5米，OB＝13米，那么AB应该和其余两边可以围成三角形。三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边（较短两边之和大于第三边），利用该关系判断选项中AB的长度能否和其余两边围成三角形即可。 【规范解答】A．5＋8＝13（米），13米＝13米，所以这三边无法围成三角形。不满足题意。 B．5＋10＝15（米），15米＞13米，所以这三边可以围成三角形。满足题意。 C．5＋13＝18（米），18米＝18米，所以这三边无法围成三角形。不满足题意。 A、B两点的距离可能是10米。 故答案为：B 12．（24-25四年级下·全国·单元测试）现有3cm、4cm、5cm、7cm和12cm长的小棒各一根，从中选三根围成一个三角形。要使它的周长最大，应选择的三根小棒长度分别是（    ）。 A．5cm、7cm和12cm B．4cm、5cm和12cm C．4cm、5cm和7cm 【答案】C 【思路点拨】根据题意，要使围成的三角形周长最大，那么三角形的三条边也要最长。先看最长的3根小棒，5cm、7cm和12cm，5＋7＝12，不满足任意两条边的和大于第三边，因此不能选的小棒。剩下的4根小棒中4cm、5cm和7cm，4＋5＞7，满足三角形的三边关系，3cm、4cm、5cm，3＋4＞5，也满足三角形的三边关系。但4cm、5cm和7cm长的小棒围成的三角形的周长最长。 【规范解答】根据分析可知： A．5＋7＝12，不满足任意两条边的和大于第三边，不符合题意。 B．4＋5＜12，不满足任意两条边的和大于第三边，不符合题意。 C．4＋5＞7，满足三角形的三边关系，符合题意。 现有3cm、4cm、5cm、7cm和12cm长的小棒各一根，从中选三根围成一个三角形。要使它的周长最大，应选择的三根小棒长度分别是4cm、5cm和7cm。 故答案为：C 13．（23-24四年级下·陕西西安·阶段练习）一个等腰三角形的两条边分别长6厘米、11厘米，它的周长是（    ）厘米。 A．23 B．28 C．23或28 【答案】C 【思路点拨】等腰三角形的周长＝底边＋腰长×2，等腰三角形指至少有两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。那么等腰三角形的两条腰长有2种情况，一种是腰长为6厘米，一种是腰长为11厘米，据此分别计算出它们周长，即可解答。 【规范解答】腰长为6厘米： 11＋6×2 ＝11＋12 ＝23（厘米） 腰长为11厘米： 6＋11×2 ＝6＋22 ＝28（厘米） 一个等腰三角形的两条边分别长6厘米、11厘米，它的周长是23或28厘米。 故答案为：C 14．（2025四年级下·全国·专题练习）小明用一个放大2倍的放大镜观察一个三角形，放大镜里的三角形的内角和是( )°。 【答案】180 【思路点拨】三角形的内角和是180°；角的大小与两边的长短无关，只有边叉开的大小有关，叉开得越大，角越大，叉开得越小，角越小；据此解答。 【规范解答】根据分析可知，用一个放大2倍的放大镜观察一个三角形，三角形中三个角的大小不会发生变化，所以内角和也不会发生变化，也就是放大镜里的三角形的内角和是180°。 15．（24-25四年级下·全国·单元测试）如图是由三个大小不同的等边三角形组成的。AE＝60厘米，BE＝30厘米，∠1＝( )°；从A点经C点到B点的长度是( )厘米；从A点经D点、E点和F点，最后到达B点的长度是( )厘米。 【答案】 60 180 180 【思路点拨】等腰三角形的三条边都相等，三个角都相等。三角形的内角和为180°，180°÷3＝60°，所以等边三角形的每个角都是60°。由题意得，AE＝60厘米，BE＝30厘米，那么三角形ADE的每条边的长度都等于60厘米，三角形BEF的每条边的长度都等于30厘米。AB＝AE＋BE＝60＋30＝90（厘米），所以三角形ABC的每条边的长度都等于90厘米。由图可知，∠1和两个等边三角形的内角组成了一个平角，那么直接用180°减去两个内角的度数即可算出∠1的度数；从A点经C点到B点，那么走过的长度等于三角形ABC两条边的长度；从A点经D点、E点和F点，最后到达B点，那么走过的长度等于三角形ADE两条边的长度加上三角形BEF两条边的长度。据此解答。 【规范解答】∠1＝180°－60°－60°＝120°－60°＝60° AB＝AE＋BE＝60＋30＝90（厘米） 90×2＝180（厘米） 60×2＋30×2 ＝120＋60 ＝180（厘米） 故∠1＝180°；从A点经C点到B点的长度是180厘米；从A点经D点、E点和F点，最后到达B点的长度是180厘米。 16．（24-25四年级下·全国·单元测试）如图，两个三角形都是等腰三角形，∠1是( )°。 【答案】130 【思路点拨】等腰三角形两个底角相等，三角形的内角和是180°，∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB＝（180°－90°）÷2，据此计算出∠ACB的度数；三角形DBC也是等腰三角形，所以∠DBC＝∠DCB，∠DCB＝∠ACB－∠ACD，据此计算出∠DCB的度数，然后再乘2计算出两个底角之和，再用180°减去两个底角之和即为所求。 【规范解答】（180°－90°）÷2 ＝90°÷2 ＝45° 45°－20°＝25° 180°－25°×2 ＝180°－50° ＝130° 如图，两个三角形都是等腰三角形，∠1是130°。 17．（22-23四年级下·四川乐山·期末）已知△ABC是等腰三角形，顶角为110°，请计算下图中未知角的度数。 【答案】145° 【思路点拨】根据题意，已知△ABC是等腰三角形，顶角为110°，即先求出等腰三角形的底角，用180°减去顶角度数再除以2，即（180°－110°）÷2＝70°÷2＝35°，观察上图，可以发现这个未知角和底角相加刚好是一个平角，根据平角等于180°，即用180°减去一个底角度数，即可求出未知角的度数。 【规范解答】底角度数：（180°－110°）÷2＝70°÷2＝35° 180°－35°＝145° 这个未知角度数为145°。 18．（22-23四年级下·四川宜宾·期末）计算下面各未知角的度数。 【答案】（1）64° （2）120° 【思路点拨】（1）三角形的内角和为180°。由题意得，三角形的两个内角分别是86°和30°，那么直接用180°减去两个内角的度数即可算出第三个内角的度数。 （2）由图可知，三角形的两条边长度相等，那这个三角形为等腰三角形，等腰三角形的两个底角的度数相等。一个底角的度数为30°，那么另一个底角的度数也为30°，那么直接用180°减去两个底角的度数即可算出顶角的度数。 【规范解答】（1）180°－30°－86°＝150°－86°＝64° （2）180°－30°－30°＝150°－30°＝120° 19．（23-24四年级下·陕西渭南·阶段练习）佑佑家有一个三角形的小菜园，菜园的最大角是，是最小角的4倍。这个三角形菜园其他角的度数是多少？按角分这个菜园是什么三角形？ 【答案】30°、30°；钝角 【思路点拨】根据题意，用120°÷4＝30°，求出三角形菜园最小角的度数，再根据三角形内角和等于180°，用180°－30°－120°＝30°，即可求出三角形菜园其他角的度数是多少；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，据此解答即可。 【规范解答】120°÷4＝30° 180°－30°－120° ＝150°－120° ＝30° 答：这个三角形菜园其他角的度数都是30°，按角分这个菜园是钝角三角形。 20．（23-24四年级下·陕西商洛·期末）小华是个爱动手、爱动脑的孩子。他把一根15厘米长的吸管剪成3段。 （1）若小华用这三段吸管围成一个最大的等边三角形，则这个等边三角形的边长是（    ）厘米。 （2）若小华用这三段吸管围成一个底边长是7厘米的等腰三角形，这个等腰三角形的腰长是多少厘米？ 【答案】（1）5  （2）4厘米 【思路点拨】（1）根据等边三角形的三条边相等，所以用吸管的长度除以3即可求出等边三角形的边长； （2）根据等腰三角形的两条腰相等，用吸管的长度减去底边的长度，再除以2即可求出等腰三角形的腰长。据此解答。 【规范解答】（1）15÷3＝5（厘米） 则这个等边三角形的边长是5厘米。 （2）（15－7）÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 答：这个等腰三角形的腰长是4厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$