精品解析：吉林省四平市2024～2025学年 下学期九年级第一次月考试卷 数学

第一次月考九年数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 1月某天，湖州、嘉兴、杭州、温州四地最低气温分别为，，，，其中最低的气温是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，一颗珠子放在一块木板的正中间，此时几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 稀土是钪、钇、镧系种元素的总称，素有“工业味精”之美誉，是我国重要的战略矿产资源．年，我国稀土勘探在四川取得新突破，预期新增稀土资源量吨．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 将不等式的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图， 是矩形 的边上一点，于点 ，，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 5 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 分解因式：m2n﹣2mn+n= ． 8. 如图，从A地到C地有四条道路，某同学认为第③条路线最近，其中的数学道理是_______． 9. 若关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 的取值范围是_____． 10. 如图，已知，，则______． 11. 如图，为矩形 的对角线，，，以点 为圆心，以 长为半径画弧，交延长线于点 ，则图中阴影部分的面积为________（结果保留根号和π）． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 13. 为引导学生好读书，读好书，书读好，近期，某中学临江校区开展“好书推荐”系列活动，某班班主任准备从本班的甲、乙、丙、丁名同学中随机抽取 名同学担任第一期的“好书推荐官”． （1）事件“抽取的 名同学，一定有戊同学”是 事件； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙 名同学被抽到的概率． 14. 今年的“三八节”商战火爆，各大商家积极促销．某社区准备采购文化墙贴和小书柜来更新社区设施，发现购买5张文化墙贴和4个小书柜共需1450元；若购买6张文化墙贴和3个小书柜共需1200元．求采购1张文化墙贴和1个小书柜各需要多少钱． 15. （7分）图①、图②、图③是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段、的端点均在格点上，请按要求画图（要求：作图只用无刻度的直尺）． （1）在图①中，过点B作直线的垂线，垂足为点； （2）在图②中，作，使； （3）在图③中，在 上找一点F，使． 16. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点、两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）已知直线 与y轴交于点C，点是x轴上一动点，作轴交反比例函数图象于点Q，当以C、P、Q、 为顶点的四边形的面积为2时，求的值． 17. 踢正步是解放军战士的一门必修课，图①是一名解放军战士踢正步的场景，图②是它的示意图，已知这名解放军战士的身高为，他的军帽（ ）的长为 长的， 为他的右臂（不含手掌）， 、分别为他的右腿和左腿，，若，手臂 的长度为，点F到点C的竖直距离（即）为，，求军帽 的长度． 18. 为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为 ， ， ， 四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图，已知乙学校测试班级有 人的成绩是 级． 请根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）直接将甲校测试班级的成绩统计图补充完整． （2）补全下面的表格中的数据： ________， ________，________． 学校 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲校测试班级 乙校测试班级 （3）若甲校八年级有学生人，根据以上信息，估计甲校八年级学生中测试成绩为 级及以上的学生有多少人？ 19. 甲、乙两车同时从A地出发，匀速开往B地，甲车行驶到B地后立即沿原路线以原速度返回A地，到达A地后停止．当甲车回到A地时，乙车恰好到达B地，并停止．已知甲车的速度为，设甲车出发后，甲、乙两车之间的距离为，图中的折线表示了整个运动过程中y与x之间的函数关系． （1）A、B两地的距离是______，乙车的速度是______； （2）求线段所表示的y与x之间的函数关系式； （3）当两车相距时，直接写出x的值． 20. 【综合与实践】定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】（1）如图1，在“双垂四边形 ”中，若，则________，的值为________． 【问题解决】（2）如图2，在“双垂四边形 ”中，，，E为线段 上一点，且，求的值． 【拓展应用】（3）如图3，在“双垂四边形 ”中，，，E为线段 上一动点，且，连接，将沿翻折，得到．连接 ，若，请直接写出的面积． 21. 如图，在 中， ，，，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿边 向终点B运动，在点P的运动过程中，过点P作交射线 于点Q，当点Q不与点C重合时，作点Q关于 的对称点D，连接．设的面积为y，运动时间为x（秒）． （1）_________； （2）用含x的代数式表示的长； （3）求y关于x的函数解析式； （4）设与边 的交点为E，连接，当是锐角三角形时，直接写出x的取值范围． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，． （1）抛物线的解析式为________； （2）点E是直线 下方的抛物线上的动点，直接写出 的面积的最大值：______； （3）若此抛物线上有且只有3个点到直线的距离等于，求此3个点的坐标； （4）以，，，四个点为顶点作矩形，将此抛物线在矩形内部（含边界）的部分最高点与最低点纵坐标之差记为d，当时，直接写出a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考九年数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 1月某天，湖州、嘉兴、杭州、温州四地最低气温分别为，，，，其中最低的气温是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较的应用，根据正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数，两个负数进行比较，绝对值大的反而小即可得解． 【详解】解：，，，且， ∴， 故最低的气温是， 故选：C． 2. 如图，一颗珠子放在一块木板的正中间，此时几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了左视图，熟记定义是解答本题的关键． 根据左视图的定义即可求解． 【详解】解：由题意知，几何体的左视图是， 故选：C． 3. 稀土是钪、钇、镧系种元素的总称，素有“工业味精”之美誉，是我国重要的战略矿产资源．年，我国稀土勘探在四川取得新突破，预期新增稀土资源量吨．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 科学记数法的形式为，， 为整数， 的值与小数点移动的数位相同，据此即可求解． 【详解】解：用科学记数法表示为； 故选：D 4. 将不等式的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是， 故选：A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意； B、，正确，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意． 故选：B． 6. 如图， 是矩形 的边上一点，于点 ，， ，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 由四边形 是矩形，得到，根据勾股定理得到的长，通过，得到对应边成比例，列方程即可得到结果． 【详解】解：如图： ∵四边形 是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 分解因式：m2n﹣2mn+n= ． 【答案】n（m﹣1）2． 【解析】 【分析】先提取公因式n后，再利用完全平方公式分解即可 【详解】m2n﹣2mn+n=n（m2﹣2m+1）=n（m﹣1）2． 故答案为n（m﹣1）2． 8. 如图，从A地到C地有四条道路，某同学认为第③条路线最近，其中的数学道理是_______． 【答案】两点之间，线段最短 【解析】 【分析】本题考查线段的性质，由两点之间，线段最短，即可得到答案，关键掌握是掌握两点之间，线段最短． 【详解】解：从 地到 地有四条道路，某同学认为第③条路线最近，其中的道理是两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 9. 若关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 的取值范围是_____． 【答案】 且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据根的判别式即可解答． 【详解】解：∵关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 且， ∴ 且． 故答案为： 且 10. 如图，已知，，则______． 【答案】 ##120度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义，由平行线的性质得到，再由平角的定义和已知条件可得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为： ． 11. 如图， 为矩形 的对角线，，，以点 为圆心，以 长为半径画弧 ，交 延长线于点 ，则图中阴影部分的面积为________（结果保留根号和π）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，解直角三角形，连接，过点 作，垂足为 ，结合解直角三角形求得，然后根据等腰三角形的性质和扇形面积公式分析计算．能够将不规则图形的面积进行转换成规则图形的面积差是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点 作，垂足为 ， 在中，， ， 在中，，， ， 根据题意可知，， ， 图中阴影部分的面积， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式； 当时，原式． 13. 为引导学生好读书，读好书，书读好，近期，某中学临江校区开展“好书推荐”系列活动，某班班主任准备从本班的甲、乙、丙、丁 名同学中随机抽取 名同学担任第一期的“好书推荐官”． （1）事件“抽取的 名同学，一定有戊同学”是 事件； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙 名同学被抽到的概率． 【答案】（1）不可能 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是事件的含义，利用画树状图或列表法求解随机事件的概率，熟记事件的概念与分类以及画树状图或列表的方法是解本题的关键． （1）根据事件的分类解答即可； （2）先画树状图得到所有可能的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：事件“抽取的 名同学，一定有戊同学”是不可能事件， 故答案为：不可能； 【小问2详解】 画树状图为：     共有种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲、乙的结果数为 ， 选中的两名同学恰好是甲，乙的概率为． 14. 今年的“三八节”商战火爆，各大商家积极促销．某社区准备采购文化墙贴和小书柜来更新社区设施，发现购买5张文化墙贴和4个小书柜共需1450元；若购买6张文化墙贴和3个小书柜共需1200元．求采购1张文化墙贴和1个小书柜各需要多少钱． 【答案】采购1张文化墙贴需要50元，1个小书柜需要300元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系列出方程组是解题的关键． 根据“购买5张文化墙贴和4个小书柜共需1450元，购买6张文化墙贴和3个小书柜共需1200元”列出方程组即可． 【详解】解：设采购1张文化墙贴需要x元，1个小书柜需要y元， 由题意，得， 解得， 答：采购1张文化墙贴需要50元，1个小书柜需要300元． 15. （7分）图①、图②、图③是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段、的端点均在格点上，请按要求画图（要求：作图只用无刻度的直尺）． （1）在图①中，过点B作直线的垂线 ，垂足为点； （2）在图②中，作，使； （3）在图③中，在 上找一点F，使． 【答案】（1） 如图所示， 即为所求， （2） 如图，即为所求， （3） 如图， 即为所求， 【解析】 【分析】本题考查作图—网格作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用全等三角形的判定和性质画图即可； （2）在点 的右侧画射线 ，使即可； （3）利用相似三角形的性质，即可画图解答． 【小问1详解】 解：如图所示， 即为所求， ， ， ， ， ， ，即， ； 【小问2详解】 解：如图，即为所求， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图， 即为所求， ， ， ， ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点、两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）已知直线 与y轴交于点C，点是x轴上一动点，作轴交反比例函数图象于点Q，当以C、P、Q、 为顶点的四边形的面积为2时，求的值． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，坐标与图形面积，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）先求出，再求出，然后利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出，，然后利用面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数与一次函数的图象相交于点、两点， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：∵直线 与y轴交于点C， ∴， ∵，轴， ∴， ∵以C、P、Q、 为顶点的四边形的面积为2， ∴， ∴． 17. 踢正步是解放军战士的一门必修课，图①是一名解放军战士踢正步的场景，图②是它的示意图，已知这名解放军战士的身高 为，他的军帽（ ）的长为 长的， 为他的右臂（不含手掌）， 、分别为他的右腿和左腿，，若，手臂 的长度为，点F到点C的竖直距离（即）为，，求军帽 的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数是解题的关键． 根据特殊角的锐角三角函数值计算出，然后进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 18. 为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为 ， ， ， 四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图，已知乙学校测试班级有人的成绩是 级． 请根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）直接将甲校测试班级的成绩统计图补充完整． （2）补全下面的表格中的数据： ________， ________，________． 学校 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲校测试班级 乙校测试班级 （3）若甲校八年级有学生人，根据以上信息，估计甲校八年级学生中测试成绩为 级及以上的学生有多少人？ 【答案】（1）补全甲校测试班级成绩统计图如下： ： （2），，； （3）人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，平均数、中位数与众数、用样本估计总体，从统计图中获取数据求出中位数和众数是解题的关键． 根据乙学校测试班级有人的成绩是 级，占总人数的，可以求出乙校参加测试的总人数人，从而可知甲校参加测试的总人数为人，用减去获得 、 、 等于级的人数，可得获得 级的人数，根据获得 级的人数补全统计图； 根据平均数、中位数、众数的定义分别求出 、 、的值即可； 利用样本估计总体，用甲校参加测试的同学中 级及以上同学占测试总人数的百分比代表全年级同学中 级及以上人数占全年级人数的百分比计算即可． 【小问1详解】 解： 乙学校测试班级有人的成绩是 级， 从乙校测试班级成绩统计图中可以看出乙学校成绩是 级的占总人数的， 乙校参加测试的学生的总人数为(人)， 甲校参加测试的学生总数也是人， 甲校成绩为 级的人数为(人)， 补全甲校测试班级成绩统计图如下： ： 【小问2详解】 解：甲校参加测试的共有人，按照成绩从高到低排列第名学生应在 级， 甲校测试班级的中位数是分， 即， 乙校测试成绩获得 组的人数为(人)，获得 级的有(人)， 获得 级的有(人)，获得 级的有(人)， 乙校测试成绩的平均数为：， 乙校测试成绩中获得 级的人数最多， 乙校测试成绩的众数是， 故答案为：，，； 【小问3详解】 解：甲校测试成绩为 级的人数占测试总人数的， 甲校测试成绩为 级的人数占测试总人数的， 甲校测试成绩为 级及以上的人数占测试总人数的， 利用样本估计总体，可得：甲校测试成绩达到 级及以上的人数为(人)， 答：估计甲校八年级学生中测试成绩为 级及以上的学生有人． 19. 甲、乙两车同时从A地出发，匀速开往B地，甲车行驶到B地后立即沿原路线以原速度返回A地，到达A地后停止．当甲车回到A地时，乙车恰好到达B地，并停止．已知甲车的速度为，设甲车出发后，甲、乙两车之间的距离为，图中的折线表示了整个运动过程中y与x之间的函数关系． （1）A、B两地的距离是______，乙车的速度是______； （2）求线段所表示的y与x之间的函数关系式； （3）当两车相距时，直接写出x的值． 【答案】（1）600；75 （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． （1）根据题意和函数图象中的数据，可知 、 两地的距离是，然后根据的坐标，可以得到乙车的速度； （2）根据题意，可以求得点 的坐标，然后即可写出点 表示的实际意义，再根据函数图象中的数据，可以求得线段所表示的 与 之间的函数表达式； （3）根据题意和函数图象中的数据，可以求得当两车相距时，对应的 的值． 【小问1详解】 解：由图象可得， 、 两地的距离是， 乙车的速度为：， 故答案为：600，75； 【小问2详解】 解：， 点 的实际意义：在两车行驶4小时时，甲车到达 地，此时甲乙两车的距离是； 甲车行驶4小时时，乙车行驶了， 当甲车与乙车相遇时，又行驶了， ，，， 设线段所表示的 与 之间的函数表达式为， ， 解得， 即线段所表示的 与 之间的函数表达式为； 【小问3详解】 解：当时， ， 解得； 当时， ， 解得，； 当时， ， 解得，； 由上可得，当两车相距时， 的值是或或． 20. 【综合与实践】定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】（1）如图1，在“双垂四边形 ”中，若，则________，的值为________． 【问题解决】（2）如图2，在“双垂四边形 ”中，，，E为线段 上一点，且 ，求的值． 【拓展应用】（3）如图3，在“双垂四边形 ”中，，，E为线段 上一动点，且 ，连接，将沿翻折，得到．连接 ，若，请直接写出的面积． 【答案】（1），；（2）1；（3）6或12 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，正确画出图形，添加辅助线解答是解题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余可得，，进而可得，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质可证，得到，即可求解； （3）如图，过点 作于点 ，由（2）知，，，即得，，进而由折叠可得四边形为正方形，连接 ，则，，分两种情况：①当点D的对应点F在 的上方时；②当点D的对应点F在 的下方时，分别画出图形解答即可求解． 【详解】解：（1），， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2），， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，过点 作于点 ， 由（2）知，， ， ， ， 同理（2）可得，， ， 由折叠的性质可知， 四边形为正方形， 如图，连接 ，当点D的对应点F在 的上方时，则，， ，即， ， ， ， ， ， ∴， ∴； 如图，当点D的对应点F在 的下方时， 同理得：， ， ， ， ． 综上可得，的面积为6或12． 21. 如图，在 中，，，，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿边 向终点B运动，在点P的运动过程中，过点P作交射线 于点Q，当点Q不与点C重合时，作点Q关于 的对称点D，连接 ．设的面积为y，运动时间为x（秒）． （1）_________； （2）用含x的代数式表示的长； （3）求y关于x的函数解析式； （4）设 与边 的交点为E，连接，当是锐角三角形时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）6 （2）当时，；当时，； （3）当时，；当时，； （4） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，二次函数的应用，轴对称的性质，锐角三角函数等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）根据正切的定义即可解答； （2）先根据勾股定理计算，分两种情况：①如图1，当点 在边 上时，②如图2，当点 在 的延长线上时，根据线段的差和对称性即可解答； （3）根据三角形面积公式即可解答； （4）要求是锐角三角形时 的取值，则先确定当是直角三角形时 的值，分三种情况：当或或时，过点 作于 ，列方程可解答； 【小问1详解】 解：，， ， ， ； 故答案为：6； 【小问2详解】 解：由勾股定理得：， 点 关于 的对称点为点 ， ， ， ， ， ， ， 分两种情况： ①如图1，当点 在边 上时，， 此时， ； ②如图2，当点 在 的延长线上时，， 此时， ， 综上，当时，；当时，； 【小问3详解】 解；如图，过点 作，交直线 于点 ， ， ， ， 当时，； 当时，； 【小问4详解】 解：当时，如图3，过点 作于 ， ， ， ， ， ，， ， ， 点 ， 关于 对称， ， ， ， ， ， ，即， ； 当时，是锐角三角形； 当时， 与重合，不符合题意； 当时，如图4，过点 作于 ， ，，， ， ， ， 由对称得：， ， △是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 当时，是锐角三角形； 综上，当是锐角三角形； 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，． （1）抛物线的解析式为________； （2）点E是直线 下方的抛物线上的动点，直接写出 的面积的最大值：______； （3）若此抛物线上有且只有3个点到直线的距离等于，求此3个点的坐标； （4）以，，，四个点为顶点作矩形，将此抛物线在矩形内部（含边界）的部分最高点与最低点纵坐标之差记为d，当时，直接写出a的值． 【答案】（1） （2）8 （3）或或． （4）a的值为或或或 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象及性质，矩形的性质，数形结合解题是关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）根据A，B两点坐标，可求出直线 的解析式，过点E作作轴，交 于F，交x轴与H，，设点的横坐标为m，则点F的横坐标也为m，根据点E，F的横坐标，可分别表示出E，F的纵坐标，即可表示出的长度，然后根据三角形的面积公式，即可求出 的面积，从而求出其最大值． （3）根据题意，可得出此抛物线上有且只有3个点到直线的距离等于时，抛物线的顶点到直线的距离等于，即可求出n的值，从而求出抛物线上到直线的距离等于的点的坐标； （4）结合函数图象，分情况讨论，把两个临界点的距离差表示出来，分别求出即可． 【小问1详解】 解： 抛物线经过点，． ， 解得， 故抛物线的表达式为． 故答案为：． 【小问2详解】 解： 设直线 为，过点，． ， 解得， 故直线 的表达式为． 作轴，交 于F，交x轴于H， 设E点坐标为，则F点坐标为． ． ， 当时， 的面积的最大值：8， 故答案为：8． 【小问3详解】 解： 抛物线， 抛物线的顶点坐标为． 当时，抛物线上有且只有3个点到直线的距离等于． 当时，，解得，． 综上所述点的坐标为或或． 【小问4详解】 解：由（3）知抛物线的顶点坐标为，以，，，四个点为顶点作矩形，， 当时，，如图， 此抛物线在矩形内部（含边界）的部分最高点的纵坐标为0， 当时，函数有最低点，最低点纵坐标为， 解得（舍去）或． 当时； 当时，如图 第一种情况当离对称轴近时，结合函数图像可知抛物线顶点为内部最低点，纵坐标为， 为横坐标时，为内部最高点，纵坐标为， ，解得(舍去)或． 当时； 第二种情况当离对称轴近时，结合函数图像可知抛物线顶点为内部最低点，纵坐标为， 为横坐标时，为内部最高点，纵坐标为， ，解得或（舍去） 当时； 当时，如图 结合函数图像可知，此抛物线在矩形内部（含边界）的部分最高点的纵坐标为0， 当a为横坐标时，为内部最低点，纵坐标为， ，解得（舍去）或 ． 当时； 综上所述：当时，a的值为或或或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $