重难点19 特殊平行四边形的性质与判定解答题-2024-2025学年八年级数学下册【重难点考点】专练（人教版）

重难点19 特殊平行四边形的性质与判定解 答 题 【题型一 矩形的性质和判定】 1．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求DC的长度． 【分析】（1）由题意可证四边形DFBE是平行四边形，且DE⊥AB，可得结论 （2）根据直角三角形的边角关系可求DE的长度，则可得BF的长度，即可求CD的长度． 【解答】证明（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴DC∥AB，DC＝AB ∵CF＝AE ∴DF＝BE且DC∥AB ∴四边形DFBE是平行四边形 又∵DE⊥AB ∴四边形DFBE是矩形； （2）∵∠DAB＝60°，AD＝3，DE⊥AB ∴AE，DEAE ∵四边形DFBE是矩形 ∴BF＝DE ∵AF平分∠DAB ∴∠FAB∠DAB＝30°，且BF⊥AB ∴ABBF ∴CD 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 2．（2024秋•榆阳区期中）如图，点E是▱ABCD对角线AC上的点（不与A，C重合），连接BE，过点E作EF⊥BE交CD于点F．连接BF交AC于点G，BE＝AD，∠FEC＝∠FCE． （1）求证：▱ABCD是矩形； （2）若点E为AC的中点，求∠ABE的度数． 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到AD＝BC，则BE＝BC，由等边对等角得到∠ECB＝∠CEB，则可证明∠FEB＝∠BCD＝90°，进而可证明平行四边形ABCD是矩形； （2）由矩形的性质得到，则可证明△BCE是等边三角形，得到∠CBE＝60°，则∠ABE＝30°． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC， ∵BE＝AD， ∴BE＝BC， ∴∠ECB＝∠CEB， ∵∠FEC＝∠FCE， ∴∠FEC+∠CEB＝∠FCE+∠BCE， ∴∠BEF＝∠BCF， ∵EF⊥BE， ∴∠FEB＝∠BCD＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵点E为AC的中点， ∴BE＝CE＝BC， ∴△BCE是等边三角形， ∴∠CBE＝60°， ∴∠ABE＝30°． 【点评】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． 3．（2024春•惠山区校级期末）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF，AF与DE交于点O． （1）求证：四边形AEFD为矩形； （2）若AB＝3，OE＝2，BF＝5，求AE的长． 【分析】（1）由平行四边形的性质推出AD∥BC，AD＝BC，得到EF＝BC，判定四边形AEFD是平行四边形，而∠AEF＝90°，即可证明四边形AEFD是矩形． （2）由勾股定理的逆定理判定△ABF是直角三角形，由三角形面积公式得到5×AE＝3×4，即可求出AE＝2.4． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵CF＝BE， ∴CF+CE＝BE+CE， ∴EF＝BC， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥EF， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形． （2）解：由（1）知：四边形AEFD是矩形， ∴AF＝DE＝2OE＝2×2＝4， ∵AB＝3，BF＝5， ∴AB2+AF2＝BF2， ∴△ABF是直角三角形， ∴△ABF的面积BF•AEAB•AF， ∴5×AE＝3×4， ∴AE＝2.4． 【点评】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，关键是由平行四边形的性质推出AD＝EF，由勾股定理的逆定理判定ABF是直角三角形， 4．（2024春•康县期末）如图，在▱ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H． （1）求证：四边形EFGH是矩形； （2）若AB＝6，BC＝4，∠DAB＝60°，求四边形EFGH的面积． 【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得出∠AGB＝90°，∠DEC＝90°，∠AHD＝90°＝∠EHG，进而判定四边形EFGH是矩形； （2）根据含30°角的直角三角形的性质，得到BGAB＝3，AG＝3CE，BFBC＝2，CF＝2，进而得出EF和GF的长，可得四边形EFGH的面积． 【解答】解：（1）∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC， ∴∠GAB∠BAD，∠GBA∠ABC， ∵▱ABCD中，∠DAB+∠ABC＝180°， ∴∠GAB+∠GBA（∠DAB+∠ABC）＝90°， 即∠AGB＝90°， 同理可得，∠DEC＝90°，∠AHD＝90°＝∠EHG， ∴四边形EFGH是矩形； （2）依题意得，∠BAG∠BAD＝30°， ∵AB＝6， ∴BGAB＝3，AG＝3CE， ∵BC＝4，∠BCF∠BCD＝30°， ∴BFBC＝2，CF＝2， ∴EF＝32，GF＝3﹣2＝1， ∴矩形EFGH的面积＝EF×GF． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 5．（2024•渝北区开学）如图，在▱ABCD中，过点A、C作AF⊥CD，CE⊥AB，分别交AB、CD的延长线于点F和E． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）连接AC，BD交于点O，点G是线段AE的中点，若，OG＝2，求矩形AECF的周长． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，得到AF⊥AB，推出AF∥CE，求得四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到AO＝CO，根据三角形中位线定理得到CE＝2OG＝4，根据勾股定理得到AE12，于是得到矩形AECF的周长为12+12+4+4＝32． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵AF⊥CD， ∴AF⊥AB， ∵CE⊥AB， ∴AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AF⊥CD， ∴∠F＝90°， ∴四边形AECF是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO， ∵点G是线段AE的中点， ∴AG＝EG， ∴OG是△ACE的中位线， ∴CE＝2OG＝4， ∵AC＝4， ∴AE12， ∴矩形AECF的周长为12+12+4+4＝32． 【点评】本题考查了解得判定和性质，平行线的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． 6．（2024秋•紫金县期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）若AB＝AD，且，EC＝4，求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）由平行四边形的性质得CB∥AD，CB＝AD，而BE＝DF，可推导出CE＝AF，则四边形AECF是平行四边形，即可由AC＝EF，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”证明四边形AECF是矩形； （2）由矩形的性质得∠AEC＝90°，而AC＝4，EC＝4，则AE8，再由AB＝AD，BC＝AD，证明AB＝BC，由∠AEB＝90°，得AB2＝BE2+AE2，则BC2＝（BC﹣4）2+82，求得BC＝10，即可求得S四边形ABCD＝BC•AE＝10×8＝80． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CB∥AD，CB＝AD， ∵BE＝DF， ∴CB﹣BE＝AD﹣DF， ∴CE＝AF， ∵CE∥AF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC＝EF， ∴四边形AECF是矩形． （2）解：∵四边形AECF是矩形， ∴∠AEC＝90°， ∵AC＝4，EC＝4， ∴AE8， ∵AB＝AD，BC＝AD， ∴AB＝BC， ∵∠AEB＝90°， ∴AB2＝BE2+AE2， ∴BC2＝（BC﹣4）2+82， 解得BC＝10， ∴S四边形ABCD＝BC•AE＝10×8＝80， ∴四边形ABCD的面积为80． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出CE＝AF是解题的关键． 7．（2024秋•秦都区校级期中）在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD，点E是CD的中点，连接OE，过点C作CF⊥OE，交OE的延长线于点F． （1）求证：四边形OFCB是矩形； （2）若AD＝8，DC＝12，求四边形OFCB的面积． 【分析】（1）证OE是△BCD的中位线，得OE∥BC，再证明OB∥CF，则四边形OFCB是平行四边形，由CF⊥OE，即可得出结论； （2）根据勾股定理得出DB，进而利用矩形的面积公式解答即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DO， ∵点E是CD的中点， ∴OE是△BCD的中位线， ∴OE∥BC，即OE∥AD， ∵AD⊥BD， ∴OF⊥BD， ∵CF⊥OE， ∴OD∥CF，即OB∥CF， ∴四边形OFCB是平行四边形， ∵CF⊥OE，四边形OFCB是矩形； （2）解：∵AD＝8，DC＝12， ∴BC＝8， ∵∠CBD＝∠ADB＝90°， ∵BD2＝CD2﹣BC2， ∴， ∴， ∴矩形OFCB的面积． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【题型二 菱形的性质和判定】 1．（2024春•嘉鱼县期末）如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠1＝∠2． （1）求证：▱ABCD是菱形． （2）F为AD上一点，连接BF交AC于E，且AE＝AF，若AF＝3，AB＝5，求BD的长． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠2＝∠ACB，证出∠1＝∠ACB，得AB＝CB，即可得出▱ABCD是菱形． （2）由菱形的性质得BC＝AB＝5，AO＝CO，BO＝DO，再证∠CBE＝∠CEB，得CE＝BC＝5，则AC＝AE+CE＝8，然后由勾股定理求出BO＝3，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠2＝∠ACB， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠ACB， ∴AB＝CB， ∴▱ABCD是菱形． （2）解：由（1）可知，▱ABCD是菱形， ∴BC＝AB＝5，AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD， ∵AD∥BC， ∴∠AFE＝∠CBE， ∵AE＝AF＝3， ∴∠AFE＝∠AEF， 又∵∠AEF＝∠CEB， ∴∠CBE＝∠CEB， ∴CE＝BC＝5， ∴AC＝AE+CE＝3+5＝8， ∴AOAC＝4， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：BO3， ∴BD＝2BO＝6， 即BD的长为6． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 2．（2024•连云区一模）如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF． （1）求证：四边形ABEF为菱形； （2）AE，BF相交于点O，若BF＝6，AB＝5，求AE的长． 【分析】（1）由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得，AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，根据平行四边形的性质可得∠FAE＝∠AEB，然后证明AF＝BE，进而可得四边形ABEF为平行四边形，再由AB＝AF可得四边形ABEF为菱形； （2）根据菱形的性质可得AE⊥BF，BOFB＝3，AE＝2AO，利用勾股定理计算出AO的长，进而可得AE的长． 【解答】（1）证明：由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB＝AF，∠BAE＝∠FAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠FAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE， ∴BE＝FA， ∴四边形ABEF为平行四边形， ∵AB＝AF， ∴四边形ABEF为菱形； （2）解：∵四边形ABEF为菱形， ∴AE⊥BF，BOFB＝3，AE＝2AO， 在Rt△AOB中，AO4， ∴AE＝2AO＝8． 【点评】此题主要考查了菱形的性质和判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线互相垂直且平分． 3．如图，菱形AECF的对角线AC和EF交于点O，分别延长OE、OF至点B、点D，且BE＝DF，连接AB，AD，CB，CD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若BD＝8，AC＝4，BE＝3，求． 【分析】（1）根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形即可解决问题； （2）根据菱形的性质和勾股定理可得AB2，AE，进而可以解决问题． 【解答】（1）证明：∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O， ∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF， ∵BE＝DF， ∴BO＝DO， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OBBD8＝4，OAAC4＝2， ∵AC⊥BD， ∴AB2， ∵BE＝3， ∴OE＝OB﹣BE＝4﹣3＝1， ∴AE， ∴． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 4．（2024秋•章丘区期末）如图，在▱ABCD中，FA⊥AB交CD于点E，交BC的延长线于点F，且CF＝BC，连接AC，DF． （1）求证：四边形ACFD是菱形； （2）若AB＝5，，求四边形ACFD的面积． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，而CF＝BC，则AD∥CF，AD＝CF，所以四边形ACFD是平行四边形，因为∠CEF＝∠ABF＝90°，所以FA⊥CD，则四边形ACFD是菱形； （2）由CD＝AB＝5，得DE＝CE，求得FE6，则FA＝2FE＝12，则S四边形ACFDFA•CD＝30． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵点F在BC的延长线上，且CF＝BC， ∴AD∥CF，AD＝CF， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∵CD∥AB，FA⊥AB交CD于点E， ∴∠CEF＝∠ABF＝90°， ∴FA⊥CD， ∴四边形ACFD是菱形． （2）解：∵四边形ACFD是菱形，CD＝AB＝5， ∴DE＝CECD，AE＝FE， ∵∠DEF＝90°，DF， ∴FE6， ∴FA＝2FE＝12， ∴S四边形ACFDFA•CD12×5＝30， ∴四边形ACFD的面积为30． 【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识，推导出AD∥CF，AD＝CF，进而证明四边形ACFD是平行四边形是解题的关键． 5．如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE＝DF，连接AE，CE，AF，CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若BA⊥AF，AD＝4，BC＝4，求BD和AE的长． 【分析】（1）根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形AECF是菱形； （2）根据等腰三角形的性质和勾股定理可得BD＝8，设DE＝x，则DF＝x，所以AF2＝AD2+DF2＝16+x2，BF＝BD+DF＝8+x，然后利用勾股定理即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵BA＝BC，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC，AD＝CD， ∵DE＝DF， ∴四边形AECF是菱形； （2）解：AD⊥BD，AD＝4，BA＝BC＝4， ∴BD8， 设DE＝x，则DF＝x， ∴AF2＝AD2+DF2＝16+x2， ∵BF＝BD+DF＝8+x， ∴AB2+AF2＝BF2， ∴（4）2+16+x2＝（8+x）2， ∴x＝2， ∴DE＝DF＝2， ∴AE2． ∴BD和AE的长分别为8和2． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 6．（2024春•荷塘区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求线段DP的长． 【分析】（1）根据平行四边形和角平分线的性质可得AB＝BE，AB＝AF，AF＝BE，从而证明四边形ABEF是菱形； （2）由菱形的性质得出AE⊥BF，得到∠ABF＝30°，∠BAP＝∠FAP＝60°从而得出AB＝AE＝8，AP＝4，过点P作PM⊥AD于M，得到PM＝2，AM＝2，从而得到DM＝10，由勾股定理求出PD、PB的长，即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE＝∠AEB． ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE． ∴∠BAE＝∠AEB． ∴AB＝BE． 同理：AB＝AF． ∴AF＝BE． ∴四边形ABEF是平行四边形． ∵AB＝BE， ∴四边形ABEF是菱形； （2）解：∵四边形ABEF是菱形， ∴AE⊥BF， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ABF＝30°，∠BAP＝∠FAP＝60°，△ABE为等边三角形， ∴AB＝AE＝8， ∵AB＝8， ∴AP＝4， 过点P作PM⊥AD于M，如图所示： ∴PM＝2，AM＝2， ∵AD＝12， ∴DM＝10， ∴PD4． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质、菱形的判定与性质、含30°角的直角三角形性质、勾股定理，等边三角形的判定与性质、菱形面积的计算等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键． 7．（2025•登封市一模）在学习“特殊平行四边形”时，小郑进行了这样的操作：在平行四边形ABCD，作线段AC的垂直平分线，分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，得到四边形ANCM． （1）请你判断四边形ANCM的形状，并说明理由． （2）若∠ACB＝60°，AC＝4cm，求四边形AMCN的面积． 【分析】（1）先证明△AOM≌△CON（ASA），得出AM＝CN，再证明四边形ANCM为平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）先证明△ACN是等边三角形，得出CN＝AC＝4cm，再由勾股定理求出ON＝2cm，然后由菱形的面积公式即可得出结果． 【解答】解：（1）四边形ANCM是菱形，理由如下： ∵MN垂直平分AC， ∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠MAO＝∠NCO， 在△AOM和△CON中， ， ∴△AOM≌△CON（ASA）， ∴AM＝CN， 又∵AM∥CN， ∴四边形ANCM为平行四边形， ∵MN⊥AC， ∴平行四边形ANCM为菱形； （2）由（1）得：AO＝COAC＝2cm，四边形ANCM为菱形， ∴AN＝CN，ON＝OMNM， ∵∠ACB＝60°， ∴△ACN是等边三角形， ∴CN＝AC＝4cm， 在Rt△CON中，由勾股定理得：ON2（cm）， ∴NM＝2ON＝2×24（cm）， ∴菱形ANCM的面积AC•NM4×48（cm2）， 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【题型三 正方形的性质和判定】 1．（2024秋•府谷县期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，AB⊥BC，点E是边CD的延长线上的动点．连接AE．过点C作CF⊥AE于点F． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）当点F是AE的中点，且时，求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC得平行四边形ABCD为菱形，再根据AB⊥BC即可得出结论； （2）连接AC，根据CF⊥AE于点F，点F为AE的中点得CF为线段AE的垂直平分线，则AC＝CE＝8√2，在Rt△ACD中由勾股定理得AD2＝64，据此可得四边形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴平行四边形ABCD为菱形， 又∵AB⊥BC， ∴菱形ABCD为正方形， （2）连接AC，如图所示： ∵CF⊥AE于点F，点F为AE的中点， ∴CF为线段AE的垂直平分线， ∴AC＝CE＝8√2， ∵四边形ABCD为正方形， ∵AD＝BC，∠ADC＝90°， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2， ∴AD2AC264， ∴四边形ABCD的面积＝AD2＝64． 【点评】此题主要考查了正方形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质是解决问题的关键． 2．（2024春•姜堰区校级月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC、∠BAC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足为E、F． （1）求证：四边形DECF为正方形； （2）若BC＝8，AC＝6，求正方形DECF的面积． 【分析】（1）根据有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形DFEC是矩形，再根据角平分线的性质可得ED＝DF，进而根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得结论； （2）由面积法可求DF的长，即可求解． 【解答】（1）证明：过D作DN⊥AB，连接CD， ∵∠C＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴四边形DECF是矩形， ∵∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，DN⊥AB， ∴DF＝DN，DE＝DN， ∴FD＝ED， ∴四边形DECF是正方形； （2）解：∵BC＝8，AC＝6， ∴AB10， ∵S△ABCBC•DEAC•DFAB•DN， ∴6×8（6+8+10）×DF， ∴DF＝2， ∴正方形DECF的面积＝DF2＝4． 【点评】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 3．（2024春•青云谱区校级期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是BC边上的中线，以AD，CD为边作平行四边形ADCF，连接BF，BF分别与AD，AC相交于点E，G． （1）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形，并说明理由． （2）在（1）条件下，若AB＝6，求EF的长． 【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质可得AD＝CD＝BD，AD⊥BC，然后由正方形的判定可得结论； （2）由（1）得，∠ADB＝90°，然后由正方形的性质可得∠FAD＝90°，AF∥CD，再通过全等三角形的判定与性质可得AE的长，最后根据勾股定理可得答案． 【解答】解：（1）当△ABC满足AC＝AB时，四边形ADCF为正方形，理由如下： ∵∠CAB＝90°，AC＝AB，AD是BC边上的中线， ∴AD＝CD＝BD，AD⊥BC， ∵四边形ADCF是平行四边形，且AD＝CD， ∴平行四边形ADCF是菱形， ∵AD⊥BC， ∴四边形ADCF为正方形； （2）由（1）得，∠ADB＝90°， ∵AD＝BD，AB＝6， ∴AD＝BD＝AF＝6， ∵四边形ADCF为正方形， ∴∠FAD＝90°，AF∥CD， 在△FAE和△BDE中， ， ∴△FAE≌△BDE（AAS）， ∴AE＝DEAD，EF＝BE， ∴EF＝BE3． 【点评】此题考查的是正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． 4．（2024春•覃塘区期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且AE＝AF，∠CEF＝45°． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若，BE＝1，求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）根据矩形的性质先得出∠B＝∠D＝∠C＝90°，再根据AE＝AF得出∠AFE＝∠AEF，再根据已知证得∠AFD＝∠AEB，得出△ABE≌△ADF，根据全等三角形的性质得出AB＝AD，问题得证； （2）先求得AE，再根据勾股定理求出AD，即可求出正方形的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠D＝∠C＝90°， ∵AE＝AF， ∴∠AFE＝∠AEF， ∵∠CEF＝45°，∠C＝90°， ∴∠CFE＝45°， ∴∠AFD＝∠AEB， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AB＝AD， ∴矩形ABCD是正方形． （2）解：∵由（1）可知：， 又BE＝1，∠B＝90°， ∴由勾股定理得，， ∵四边形ABCD是正方形， ∴． 【点评】本题考查了正方形的性质与判定，解题的关键是掌握正方形的判定方法和性质，正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． 5．（2024春•覃塘区期中）如图，已知点E，F，G，H分别在正方形ABCD的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH，连接EF，FG，GH，HE． （1）求证：四边形EFGH是正方形； （2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFGH的周长． 【分析】（1）根据正方形的性质及全等三角形的判定与性质可得EH＝EF＝FG＝GH，∠AEH＝∠BFE，∠AHE＝∠BEF，再根据菱形的判定与性质可得，∠AEH+∠BEF＝∠AHE+∠BFE，最后由正方形的可得结论；（2）由正方形的性质及周长公式可得答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵AE＝BF＝CG＝DH， ∴AB﹣AE＝BC﹣BF＝CD﹣CG＝AD﹣DH， ∴BE＝CF＝DG＝AH， 在△AEH，△BFE，△CGF，△DHG中， ， ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS）， ∴EH＝EF＝FG＝GH，∠AEH＝∠BFE，∠AHE＝∠BEF， ∴四边形EFGH是菱形，∠AEH+∠BEF＝∠AHE+∠BFE， ∵∠AEH+∠AHE＝90°， ∴∠AEH+∠BEF＝90°， ∴∠FEH＝180°﹣90°＝90°， ∴四边形EFGH是正方形； （2）解：∵AB＝7，AE＝3， ∴BE＝AH＝AB﹣AE＝7﹣3＝4， ∴EH5， ∵四边形EFGH是正方形， ∴四边形EFGH的周长＝5×4＝20． 【点评】此题考查的是正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 6．（2024秋•府谷县校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝BC，∠D＝45°，CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，交BC的延长线于G，若AD＝a． （1）求证：四边形ABCF是正方形； （2）求BG的长． 【分析】（1）先根据∠B＝∠A＝∠AFC＝90°，判定四边形ABCF是矩形，再根据AB＝BC，即可得到四边形ABCF是正方形； （2）先判定△CEG≌△DEF（AAS），得出CG＝FD，再根据正方形ABCF中，BC＝AF，即可得到AF+FD＝BC+CG，即AD＝BG＝a． 【解答】解：（1）∵CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F， ∴FC＝FD， ∴∠D＝∠FCD＝45°， ∴∠CFD＝90°，即∠AFC＝90°， 又∵AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠B＝90°， ∴四边形ABCF是矩形， 又∵AB＝BC， ∴四边形ABCF是正方形； （2）∵FG垂直平分CD， ∴CE＝DE，∠CEG＝∠DEF＝90°， ∵BG∥AD， ∴∠G＝∠EFD， 在△CEG和△DEF中， ， ∴△CEG≌△DEF（AAS）， ∴CG＝FD， 又∵正方形ABCF中，BC＝AF， ∴AF+FD＝BC+CG， ∴AD＝BG＝a． 【点评】本题主要考查了正方形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握：有一组邻边相等的矩形是正方形；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 7．（2024春•交口县期末）如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH． （1）求证：AK＝AH； （2）求证：四边形AKFH是正方形； （3）若四边形AKFH的面积为10，CE＝1，求点A，E之间的距离． 【分析】（1）利用正方形的性质结合全等三角形的判定方法证明△ADH≌△ABK可证明结论； （2）由全的性质可得∠HAK＝90°，同理可证得△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH，再利用正方形的判定方法得出答案； （3）结合正方形的性质利用勾股定理可求解AB＝KE＝3，BE＝4，再利用勾股定理可求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和CEFG都是正方形， ∴AB＝AD＝DC＝BC，GC＝EC＝FG＝EF， ∵DH＝CE＝BK， ∴HG＝EK＝BC＝AD＝AB， 在△ADH和△ABK中， ， ∴△ADH≌△ABK（SAS）， ∴AK＝AH； （2）证明：∵△ADH≌△ABK， ∴∠HAD＝∠BAK． ∴∠HAK＝90°， 同理可得：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH， ∴AH＝AK＝HF＝FK， ∴四边形AKFH是正方形； （3）解：∵四边形AKFH的面积为10， ∴KF， ∵EF＝CE＝1， ∴KE， ∴AB＝KE＝3， ∵BK＝EF＝1， ∴BE＝BK+KE＝4， ∴AE， 故点A，E之间的距离为5． 【点评】此题主要考查了正方形的判定与性质，勾股定理以及全等三角形的判定等知识，得出：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH是解题关键． 【题型四 特殊平行四边形的综合运用】 1．（2024秋•江北区期末）在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD、DF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若BD＝2，BE＝4，求BC的长． 【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，推出四边形DFBE是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）在Rt△BDE中，由勾股定理求得DE＝2，由菱形的性质得到CE＝BC﹣2，在Rt△BDE中，根据勾股定理构造方程，解方程即可求得BC＝5． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵AF＝CE， ∴FB＝ED， ∴四边形DFBE是平行四边形， ∵BE⊥CD， ∴∠BED＝90°， ∴四边形DFBE是矩形； （2）解：在Rt△BDE中，DE2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD， ∴CE＝CD﹣DE＝BC﹣2， 在Rt△BDE中，BC2＝CE2+BE2， ∴BC2＝（BC﹣2）2+42， 解得BC＝5． 【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，根据勾股定理构造方程． 2．（2024秋•东港市期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．过点A作AE∥BD，过点D作DE∥AC交AE于点E． （1）求证：四边形AODE是矩形； （2）连接OE，交AD于点M，过点D作DN⊥OE，垂足为点N，若AE＝6，∠ABC＝60°，求DN的长． 【分析】（1）先根据AE∥BD，DE∥AC证得四边形AODE是平行四边形，然后根据AC⊥BD，证得平行四边形AODE为矩形； （2）根据∠ABC＝60°以及菱形和矩形的性质证明∠MOD＝30°，AE＝OD＝6，再利用直角三角形的性质求出DN． 【解答】（1）证明：∵AE∥BD，DE∥AC， ∴四边形AODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD＝90°， ∴平行四边形AODE为矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AB＝BC＝AD，AO＝CO， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴， ∴∠ADB＝∠ABD＝30°， ∵四边形AODE是矩形， ∴AD＝OE，DM，OMOE，AE＝OD＝6， ∴DM＝OM， ∴∠MOD＝∠ADB＝30°， 在Rt△ODN 中，∠MOD＝30°， ∴DNOD6＝3． 【点评】本题考查了矩形的判定，菱形的性质以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法以及菱形的性质． 3．（2024春•上城区校级期中）如图，在菱形ABCD中，E为边BC中点，AE⊥BC，AF⊥CD，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD于点G． （1）求证：四边形AECG是矩形． （2）求∠CHA的度数． 【分析】（1）由菱形的性质得出AD∥BC，AB＝BC，由已知条件证出四边形AECG是平行四边形，再证出∠AEC＝90°，即可得出结论； （2）连接AC，证明△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质求出∠CAE，再求出∠CAF，得到∠EAF，然后求出AE∥CG，再根据两直线平行，同旁内角互补解答． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AB＝BC， ∵CG∥AE， ∴四边形AECG是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝∠AEB＝90°， ∴四边形AECG是矩形． （2）解：连接AC，如图所示： ∵E为BC中点，AE⊥BC， ∴AB＝AC， ∵AB＝BC， ∴AB＝BC＝AC， ∴∠B＝∠BAC＝60°， 在等边三角形ABC中，∵AE⊥BC， ∴∠CAE∠BAC＝30°， 同理∠CAF＝30°， ∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝30°+30°＝60°， ∵AE⊥BC，CG⊥AD，AD∥BC， ∴AE∥CG， ∴∠AHC＝180°﹣∠EAF＝180°﹣60°＝120°． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟记各性质并准确识图，作出辅助线构造成等边三角形是解题的关键． 4．（2024•开福区校级二模）如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点． （1）求证：四边形PMEN是平行四边形； （2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形； （3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由． 【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明． （2）当DP＝CP时，四边形PMEN是菱形，P是AB的中点，所以可求出AP的值． （3）四边形PMEN是矩形的话，∠DPC必需为90°，判断一下△DPC是不是直角三角形就行． 【解答】解：（1）∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点， ∴ME，NE是△PDC的中位线， ∴ME∥PC，EN∥PD， ∴四边形PMEN是平行四边形； （2）当AP＝5时， 在Rt△PAD和Rt△PBC中， ， ∴△PAD≌△PBC， ∴PD＝PC， ∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点， ∴NE＝PMPD，ME＝PNPC， ∴PM＝ME＝EN＝PN， ∴四边形PMEN是菱形； （3）四边形PMEN可能是矩形． 若四边形PMEN是矩形，则∠DPC＝90° 设PA＝x，PB＝10﹣x， DP，CP． DP2+CP2＝DC2 16+x2+16+（10﹣x）2＝102 x2﹣10x+16＝0 x＝2或x＝8． 故当AP＝2或AP＝8时，四边形PMEN是矩形． 【点评】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，知道矩形的四个角都是直角，对边相等等性质． 5．（2024春•玉州区期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，EF⊥AB于F点，OG∥EF交AB于点G． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BD的长． 【分析】（1）证OE是△ABD的中位线，得OE∥FG，再证四边形OEFG是平行四边形，然后证∠EFG＝90°，即可得出结论； （2）由菱形的性质得AB＝AD＝10，AC⊥BD，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由矩形的性质得FG＝OE＝5，进而由勾股定理求出AF＝3，求出BG，再由勾股定理求OB，最后根据BD＝2BO求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD， ∵E是AD的中点， ∴OE是△ABD的中位线， ∴OE∥FG， ∵OG∥EF， ∴四边形OEFG是平行四边形， ∵EF⊥AB， ∴∠EFG＝90°， ∴平行四边形OEFG是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝10，AC⊥BD， ∴∠AOD＝90°， ∵E是AD的中点， ∴， 由（1）可知，四边形EFCO是矩形， ∴FG＝OE＝5， ∵EF⊥AB， ∴∠EFA＝90°， ∴， ∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2， ∵在直角三角形OGB中OB2＝BG2+OG2＝22+42＝20， ∴， ∴． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 6．（2024•天祝县三模）如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若正方形ABCD的面积为72，BF＝4，求菱形AECF的面积． 【分析】（1）根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形，根据对角线相等的菱形是正方形即可解决问题； （2）由正方形的面积公式求得BO＝DO＝CO＝AO＝6，进而得到OF＝2，由四边形ABCD是菱形得到EF＝4，AC⊥EF，菱形AFCE的面积＝24． 【解答】（1）证明：∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O， ∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF， ∵DE＝BF， ∴BO＝DO， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， ∵∠ADO＝45°， ∴∠DAO＝∠ADO＝45°， ∴AO＝DO， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是正方形； （2）解：∵正方形ABCD的面积为72， ∴AC•BD＝72， ∴4BO2＝72， ∴BO＝DO＝CO＝AO＝6， ∴AC＝12， ∵BF＝4， ∴OF＝2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴EF＝2EO＝2OF＝4，AC⊥EF， ∴菱形AFCE的面积AC•EF＝24． 【点评】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质定理是解题的关键． 7．如图1，△ABC中，∠A＝90°，若点C在射线AC上移动，将线段BC绕点C逆时针旋转90°，点B的对应点为D，过点D作DE⊥AC于点E． （1）求证：△ABC≌△ECD； （2）如图2，若AB＝AC，在CD延长线上取点M，连接BM，过点D作DF⊥BM于点F，过点C作CH⊥BM于点H，已知CH＝6，求四边形CBFD的面积； （3）如图3，若AB＝AC，在CD延长线上取点M，连接ME，在CB延长线上取一点P，连接MP，已知3MD＝CP，2ME＝MP，且，求MD的长． 【分析】（1）根据旋转的性质及角的等量代换即可证明△ABC≌△ECD（ASA）； （2）延长FD，过点C作CG⊥FD交FD延长线于G，证明四边形FGCH是矩形，△HBC≌△GDC（AAS），进而得到矩形FGCH是正方形，则四边形CBFD的面积等于正方形FGCH面积，即可解答； （3）过点E作EN⊥CD交CD于点N，根据题意，在Rt△ECD中，由勾股定理求得CD，设MD＝x，则MN＝3+x，在Rt△ECD中，由勾股定理求得ME，进而求得CP＝3x，，MC＝x+6，在Rt△MCB中，MC2+CP2＝MP2，代入求解即可． 【解答】（1）证明：∵将线段BC绕点C逆时针旋转90°，点B的对应点为D， ∴CD＝CB，∠DCB＝90°， ∴∠DCE+∠BCA＝90°， ∵∠A＝90°， ∴∠CBA+∠BCA＝90°， ∴∠DCE＝∠CBA， 又∵DE⊥CA， ∴∠DEC＝∠A＝90°， ∴△ABC≌△ECD（ASA）； （2）解：如图，延长FD，过点C作CG⊥FD交FD延长线于G， ∴∠G＝90°， ∵CH⊥BM，DF⊥BM， ∴∠DFH＝∠CHB＝90°， ∴四边形FGCH是矩形， ∴∠GCH＝90°， ∴∠DCG＝∠HCB， 又∵CD＝CB， ∴△HBC≌△GDC（AAS）， ∴CG＝CH， ∴矩形FGCH是正方形， ∴四边形CBFD的面积等于正方形FGCH面积， ∴四边形CBFD的面积S＝62＝36． （3）解：如图，过点E作EN⊥CD交CD于点N， 由（1）知△ABC≌△ECD，且AB＝AC，， ∴， 在Rt△ECD中，由勾股定理得， ∴DN＝CN＝EN＝3， 设MD＝x，则MN＝3+x， 在Rt△ECD中，由勾股定理得， ∵3MD＝CP，2ME＝MP， ∴CP＝3x，，MC＝x+6， 在Rt△MCB中，MC2+CP2＝MP2， ∴， 解得（负数不合题意）， ∴． 【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，旋转的性质，掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 1．（2024秋•茂南区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BE∥AD，AE⊥AD． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）作EF⊥AB于F，若BC＝4，AD＝3，求EF的长． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得∠ADB＝90°，再根据平行线的性质得∠DBE＝90°，然后根据AE⊥AD，可得∠DAE＝90°，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得AB，然后根据矩形的性质得BE＝AD＝3，AE＝BD＝2，最后根据三角形的面积相等得出答案． 【解答】（1）证明：∵△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，∠ADB＝90°， ∵BE∥AD，AE⊥AD， ∴∠DBE＝90°，∠DAE＝90°， ∴四边形ADBE是矩形； （2）解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝4，AD＝3， ∴． 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：． ∵四边形ADBE是矩形， ∴BE＝AD＝3，AE＝BD＝2． ∵， ∴． 【点评】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． 2．（2024秋•福鼎市期中）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝3，BC＝4，AC＝5；过点B作射线BF，过点D作DE⊥BF于E，连接OE． （1）求证：平行四边形ABCD是矩形； （2）求OE的长． 【分析】（1）由勾股定理逆定理判断出∠ABC＝90°，即可得证； （2）由矩形的性质可得BO＝DO，BD＝AC＝5，再由直角三角形的性质即可得解． 【解答】（1）证明：∵AB＝3，BC＝4，AC＝5， ∴AB2+BC2＝32+42＝52＝AC2， ∴∠ABC＝90°． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）解：∵平行四边形ABCD是矩形，AC＝5， ∴BO＝DO，BD＝AC＝5． ∵DE⊥BF， ∴． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握矩形的判定方法． 3．如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠1＝∠2． （1）求证：▱ABCD是菱形． （2）F为AD上一点，连接BF交AC于E，且AE＝AF，若AF＝3，AB＝5，求BD的长． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠2＝∠ACB，证出∠1＝∠ACB，得AB＝CB，即可得出▱ABCD是菱形． （2）由菱形的性质得BC＝AB＝5，AO＝CO，BO＝DO，再证∠CBE＝∠CEB，得CE＝BC＝5，则AC＝AE+CE＝8，然后由勾股定理求出BO＝3，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠2＝∠ACB， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠ACB， ∴AB＝CB， ∴▱ABCD是菱形． （2）解：由（1）可知，▱ABCD是菱形， ∴BC＝AB＝5，AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD， ∵AD∥BC， ∴∠AFE＝∠CBE， ∵AE＝AF＝3， ∴∠AFE＝∠AEF， 又∵∠AEF＝∠CEB， ∴∠CBE＝∠CEB， ∴CE＝BC＝5， ∴AC＝AE+CE＝3+5＝8， ∴AOAC＝4， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：BO3， ∴BD＝2BO＝6， 即BD的长为6． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，点O在AB边上，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D，过点B作BE⊥BD交直线OD于点E． （1）求证：OE＝OD； （2）当点O在AB的什么位置时，四边形BDAE是矩形？说明理由． 【分析】（1）根据角平分线和等腰三角形腰长相等性质证明OB＝OD，再根据直角三角形中线的性质即可判定O点为DE的中点，即OE＝OD； （2）设定四边形BDAE为矩形，可求出Rt△AEB中，O点为斜边AB的中点． 【解答】解：（1）∵BD是∠ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠DBC； ∵ED∥BC， ∴∠ODB＝∠DBC＝∠ABD， ∴△OBD为等腰三角形， ∴OB＝OD， ∵∠ABE+∠ABD＝∠BED+∠BDE＝90°， ∴∠ABE＝∠BED， ∴OE＝OB， ∴OE＝OD． （2）∵四边形BDAE为矩形， ∴∠AEB为直角， △AEB为直角三角形； ∵四边形BDAE为矩形， ∴OA＝OB＝OE＝OD， ∵Rt△AEB中，OE＝OA＝OB， ∴O为斜边AB的中点， 答：O为AB的中点时，四边形BDAE为矩形． 【点评】考查了矩形的判定和等腰三角形的判定与性质，用等腰三角形腰长相等和直角三角形斜边中线是斜边的一半可解本题，熟练掌握直角三角形和等腰三角形的性质就可解题． 5．（2024秋•开福区校级月考）如图，在Rt△ABC中，CA⊥AB，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AB＝2，∠FAC＝30°，求AC的长． 【分析】（1）证△AFD≌△CED（AAS），得AF＝EC，则四边形AECF是平行四边形，再由EF⊥AC，即可得出结论； （2）由菱形的性质得AF∥BC，可得∠ACB＝∠FAC＝30°，根据含30度角的直角三角形即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵点D是AC的中点， ∴AD＝DC， ∵AF∥BC， ∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED， 在△AFD和△CED中， ， ∴△AFD≌△CED（AAS）， ∴AF＝EC， ∵AF∥BC， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵EF⊥AC， ∴平行四边形AECF是菱形； （2）解：由（1）得：四边形AECF是菱形， ∴AF∥BC， ∴∠ACB＝∠FAC＝30°， ∵CA⊥AB， ∴∠BAC＝90°， ∵AB＝2， ∴ACAB＝2． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 6．（2024•新市区校级一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度． 【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由菱形的性质得AD＝AB＝BC＝10，由勾股定理求出AE＝8，AC＝4，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC且AD＝BC， ∵BE＝CF， ∴BC＝EF， ∴AD＝EF， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10， ∴AD＝AB＝BC＝10， ∵EC＝4， ∴BE＝10﹣4＝6， 在Rt△ABE中，AE， 在Rt△AEC中，AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC， ∴OEAC． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． 7．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E，连接DE． （1）求证：四边形BCDE为菱形； （2）若AB＝5，E为AC的中点，当BC的长为 　 　时，四边形BCDE为正方形． 【分析】（1）先判断AC为BD的垂直平分线得到AC⊥BD，OB＝OD，再证明△EOB≌△COD得到EO＝CO，于是可判断四边形BCDE为平行四边形，然后利用CB＝CD可判断四边形BCDE是菱形； （2）设OB＝x，根据正方形的判定当OE＝OB＝x时，四边形BCDE是正方形，此时BCx，由于AE＝CE＝2x，则在Rt△AOB中利用勾股定理得到x2+（3x）2＝52，解方程x，从而得到此时BC的长． 【解答】（1）证明：∵AB＝AD，CB＝CD， ∴AC为BD的垂直平分线， 即AC⊥BD，OB＝OD， ∵BE∥CD， ∴∠EBO＝∠CDO， 在△EOB和△COD中， ∴△EOB≌△COD（ASA）， ∴EO＝CO， ∴四边形BCDE为平行四边形． ∵CB＝CD， ∴四边形BCDE是菱形； （2）解：设OB＝x， ∵四边形BCDE是菱形， ∴当OE＝OB＝x时，四边形BCDE是正方形， 此时BCx， ∵E为AC的中点， ∴AE＝CE＝2x， 在Rt△AOB中，∵OB2+OA2＝AB2， ∴x2+（3x）2＝52， 解得x1，x2（舍去）， ∴BC， 即当BC的长为时，四边形BCDE为正方形． 【点评】本题考查了正方形：熟练掌握正方形的判定方法是解决问题的关键．也考查了菱形的判定与性质． 8．（2024春•富县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC （1）求证：四边形AFDE为正方形； （2）若AD＝32，求四边形AFDE的面积． 【分析】（1）根据题目条件可得四边形AFDE为平行四边形，进而可通过角平分线证明其邻边相等，再加上一个90°角，即可说明是正方形， （2）根据正方形的性质先求出边长，即可得面积． 【解答】（1）证明：∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AFDE是平行四边形． ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD＝∠EAD． ∵DE∥AB， ∴∠EDA＝∠FAD． ∴∠EDA＝∠EAD． ∴AE＝DE． ∴四边形AFDE是菱形． ∵∠BAC＝90°， ∴四边形AFDE是正方形． （2）解：∵四边形AFDE是正方形，AD＝32， ∴AF＝DF＝DE＝AE16． ∴四边形AFDE的面积为1616512． 【点评】本题考查正方形的判定及性质，熟练掌握正方形的几种判定方法及性质是解题的关键． 9．（2024•长沙模拟）如图，在四边形ABCD中，AD＝AB＝BC，AC⊥BD交于点O． （1）求证：四边形ABCD为菱形； （2）如图2，过四边形ABCD的顶点A作AE⊥BC于点E，交OB于点H，若AB＝AC＝6，求四边形OHEC的面积． 【分析】（1）根据题意得出AC垂直平分BD，再由菱形的判定即可证明； （2）连接CH，根据菱形的性质及等边三角形的判定得出△ABC是等边三角形，再由其性质及勾股定理得出AE＝3，结合图形得出求解即可． 【解答】（1）证明：∵AD＝AB，AC⊥BD， ∴AC垂直平分BD， ∴BC＝CD， ∴BC＝CD＝AD＝AB， ∴四边形ABCD为菱形； （2）解：如图，连接CH， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝OC， ∵AB＝AC＝6， ∴AB＝AC＝BC＝6， ∴△ABC是等边三角形， ∵AE⊥CB，6 ∴BE＝CE＝3， ∴AE， ∵AO＝OC，BE＝EC， ∴S△AOH＝S△OCH＝S△ECH＝S△BEH， ∴． 【点评】本题主要考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 10．（2024春•东港区校级期中）如图，P是矩形ABCD内一点，AP⊥BP于点P，CE⊥BP于点E，BP＝EC． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）连接AC，延长EC到点F，使CF＝BE，连接PF交BC的延长线于点G，求∠BGP的度数． 【分析】（1）由矩形可得∠ABC＝90°，易得∠ABP+∠PBC＝90°，由AP⊥BP，可得∠ABP+∠PAB＝90°，易得∠PBC＝∠PAB，由AAS定理可得△ABP≌△BCE，由全等三角形的性质可得AB＝BC，易得结论； （2）由△ABP≌△BCE易得AP＝BE，又CF＝BE，可得AP＝CF，易得四边形ACFP是平行四边形，可得∠ACB＝∠BGP，由四边形ABCD是正方形，AC是对角线，可得∠ACB＝∠BGP＝45°． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°． 即∠ABP+∠PBC＝90°， ∵AP⊥BP， ∴∠ABP+∠PAB＝90°， ∴∠PBC＝∠PAB． ∵CE⊥BP， ∴∠APB＝∠BEC＝90°． ∵BP＝CE， ∴△ABP≌△BCE（AAS）． ∴AB＝BC． ∴四边形ABCD是正方形． （2）解：∵△ABP≌△BCE， ∴AP＝BE． ∵BE＝CF， ∴AP＝CF． ∵AP⊥BP，FE⊥BP， ∴AP∥CF， ∴四边形ACFP是平行四边形． ∴AC∥PF， ∴∠ACB＝∠BGC． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BGC＝∠ACB＝45°． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，矩形的性质和正方形的性质及判定，综合利用相关定理是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点19 特殊平行四边形的性质与判定解 答 题 【题型一 矩形的性质和判定】 1．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求DC的长度． 2．（2024秋•榆阳区期中）如图，点E是▱ABCD对角线AC上的点（不与A，C重合），连接BE，过点E作EF⊥BE交CD于点F．连接BF交AC于点G，BE＝AD，∠FEC＝∠FCE． （1）求证：▱ABCD是矩形； （2）若点E为AC的中点，求∠ABE的度数． 3．（2024春•惠山区校级期末）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF，AF与DE交于点O． （1）求证：四边形AEFD为矩形； （2）若AB＝3，OE＝2，BF＝5，求AE的长． 4．（2024春•康县期末）如图，在▱ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H． （1）求证：四边形EFGH是矩形； （2）若AB＝6，BC＝4，∠DAB＝60°，求四边形EFGH的面积． 5．（2024•渝北区开学）如图，在▱ABCD中，过点A、C作AF⊥CD，CE⊥AB，分别交AB、CD的延长线于点F和E． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）连接AC，BD交于点O，点G是线段AE的中点，若，OG＝2，求矩形AECF的周长． 6．（2024秋•紫金县期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）若AB＝AD，且，EC＝4，求四边形ABCD的面积． 7．（2024秋•秦都区校级期中）在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD，点E是CD的中点，连接OE，过点C作CF⊥OE，交OE的延长线于点F． （1）求证：四边形OFCB是矩形； （2）若AD＝8，DC＝12，求四边形OFCB的面积． 【题型二 菱形的性质和判定】 1．（2024春•嘉鱼县期末）如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠1＝∠2． （1）求证：▱ABCD是菱形． （2）F为AD上一点，连接BF交AC于E，且AE＝AF，若AF＝3，AB＝5，求BD的长． 2．（2024•连云区一模）如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF． （1）求证：四边形ABEF为菱形； （2）AE，BF相交于点O，若BF＝6，AB＝5，求AE的长． 3．如图，菱形AECF的对角线AC和EF交于点O，分别延长OE、OF至点B、点D，且BE＝DF，连接AB，AD，CB，CD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若BD＝8，AC＝4，BE＝3，求． 4．（2024秋•章丘区期末）如图，在▱ABCD中，FA⊥AB交CD于点E，交BC的延长线于点F，且CF＝BC，连接AC，DF． （1）求证：四边形ACFD是菱形； （2）若AB＝5，，求四边形ACFD的面积． 5．如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE＝DF，连接AE，CE，AF，CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若BA⊥AF，AD＝4，BC＝4，求BD和AE的长． 6．（2024春•荷塘区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求线段DP的长． 7．（2025•登封市一模）在学习“特殊平行四边形”时，小郑进行了这样的操作：在平行四边形ABCD，作线段AC的垂直平分线，分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，得到四边形ANCM． （1）请你判断四边形ANCM的形状，并说明理由． （2）若∠ACB＝60°，AC＝4cm，求四边形AMCN的面积． 【题型三 正方形的性质和判定】 1．（2024秋•府谷县期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，AB⊥BC，点E是边CD的延长线上的动点．连接AE．过点C作CF⊥AE于点F． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）当点F是AE的中点，且时，求四边形ABCD的面积． 2．（2024春•姜堰区校级月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC、∠BAC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足为E、F． （1）求证：四边形DECF为正方形； （2）若BC＝8，AC＝6，求正方形DECF的面积． 3．（2024春•青云谱区校级期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是BC边上的中线，以AD，CD为边作平行四边形ADCF，连接BF，BF分别与AD，AC相交于点E，G． （1）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形，并说明理由． （2）在（1）条件下，若AB＝6，求EF的长． 4．（2024春•覃塘区期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且AE＝AF，∠CEF＝45°． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若，BE＝1，求四边形ABCD的面积． 5．（2024春•覃塘区期中）如图，已知点E，F，G，H分别在正方形ABCD的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH，连接EF，FG，GH，HE． （1）求证：四边形EFGH是正方形； （2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFGH的周长． 6．（2024秋•府谷县校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝BC，∠D＝45°，CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，交BC的延长线于G，若AD＝a． （1）求证：四边形ABCF是正方形； （2）求BG的长． 7．（2024春•交口县期末）如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH． （1）求证：AK＝AH； （2）求证：四边形AKFH是正方形； （3）若四边形AKFH的面积为10，CE＝1，求点A，E之间的距离． 【题型四 特殊平行四边形的综合运用】 1．（2024秋•江北区期末）在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD、DF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若BD＝2，BE＝4，求BC的长． 2．（2024秋•东港市期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．过点A作AE∥BD，过点D作DE∥AC交AE于点E． （1）求证：四边形AODE是矩形； （2）连接OE，交AD于点M，过点D作DN⊥OE，垂足为点N，若AE＝6，∠ABC＝60°，求DN的长． 3．（2024春•上城区校级期中）如图，在菱形ABCD中，E为边BC中点，AE⊥BC，AF⊥CD，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD于点G． （1）求证：四边形AECG是矩形． （2）求∠CHA的度数． 4．（2024•开福区校级二模）如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点． （1）求证：四边形PMEN是平行四边形； （2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形； （3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由． 5．（2024春•玉州区期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，EF⊥AB于F点，OG∥EF交AB于点G． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BD的长． 6．（2024•天祝县三模）如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若正方形ABCD的面积为72，BF＝4，求菱形AECF的面积． 7．如图1，△ABC中，∠A＝90°，若点C在射线AC上移动，将线段BC绕点C逆时针旋转90°，点B的对应点为D，过点D作DE⊥AC于点E． （1）求证：△ABC≌△ECD； （2）如图2，若AB＝AC，在CD延长线上取点M，连接BM，过点D作DF⊥BM于点F，过点C作CH⊥BM于点H，已知CH＝6，求四边形CBFD的面积； （3）如图3，若AB＝AC，在CD延长线上取点M，连接ME，在CB延长线上取一点P，连接MP，已知3MD＝CP，2ME＝MP，且，求MD的长． 1．（2024秋•茂南区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BE∥AD，AE⊥AD． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）作EF⊥AB于F，若BC＝4，AD＝3，求EF的长． 2．（2024秋•福鼎市期中）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝3，BC＝4，AC＝5；过点B作射线BF，过点D作DE⊥BF于E，连接OE． （1）求证：平行四边形ABCD是矩形； （2）求OE的长． 3．如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠1＝∠2． （1）求证：▱ABCD是菱形． （2）F为AD上一点，连接BF交AC于E，且AE＝AF，若AF＝3，AB＝5，求BD的长． 4．如图，在△ABC中，点O在AB边上，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D，过点B作BE⊥BD交直线OD于点E． （1）求证：OE＝OD； （2）当点O在AB的什么位置时，四边形BDAE是矩形？说明理由． 5．（2024秋•开福区校级月考）如图，在Rt△ABC中，CA⊥AB，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AB＝2，∠FAC＝30°，求AC的长． 6．（2024•新市区校级一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度． 7．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E，连接DE． （1）求证：四边形BCDE为菱形； （2）若AB＝5，E为AC的中点，当BC的长为 　 　时，四边形BCDE为正方形． 8．（2024春•富县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC （1）求证：四边形AFDE为正方形； （2）若AD＝32，求四边形AFDE的面积． 9．（2024•长沙模拟）如图，在四边形ABCD中，AD＝AB＝BC，AC⊥BD交于点O． （1）求证：四边形ABCD为菱形； （2）如图2，过四边形ABCD的顶点A作AE⊥BC于点E，交OB于点H，若AB＝AC＝6，求四边形OHEC的面积． 10．（2024春•东港区校级期中）如图，P是矩形ABCD内一点，AP⊥BP于点P，CE⊥BP于点E，BP＝EC． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）连接AC，延长EC到点F，使CF＝BE，连接PF交BC的延长线于点G，求∠BGP的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$