17.4　一元二次方程的根与系数的关系 2024-2025学年沪科版数学八年级下册

*17.4　一元二次方程的根与系数的关系 知识点1　运用根与系数的关系求含两根的代数式的值1.若方程x2－4x－2＝0的两根为x1，x2，则＋ 的值为(　　) A．2 B．－2 C． D．－ 2．(广西柳州期中)若m，n是一元二次方程x2－6x－1＝0的两个根，则m2n＋mn2的值是(　　) A．－1 B．－5 C．－6 D．6 3．若x1，x2是一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根，则x1·x2＝__ __． 知识点2　运用根与系数的关系求字母系数的值或另一根4.已知关于x的一元二次方程x2－2x－b＝0的一个解是x＝－1，则方程的另一个解为(　　) A．－2 B．2 C．－3 D．3 5．(广西南宁期中)关于x的一元二次方程x2＋kx＋3＝0(k＞0)有实数根，此方程的根可能是(　　) A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3 C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝－3 6．一元二次方程x2－2x＝0其中一个根是0，则另一个根的值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．－2 7．已知关于x的方程3x2－(k－1)x＋2＝0的一个根是1，则另一个根是__ __． 易错易混点　忽视方程二次项系数a≠0 8．若x＝0是关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2＋2m－8＝0的一个解，求实数m的值和另一个根． 9．若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程a(y－2)2＋b(y－2)＋c＝0的两根之积是(　　) A．2p＋q＋4 B．2p－q＋4 C．q－2p＋4 D．q－2p－4 10．关于x的一元二次方程2x2＋4mx＋m＝0有两个不同的实数根x1，x2，且x＋x＝，则m＝__ __． 11．(广西河池期中)若m，n是关于x的一元二次方程x2－2 024x＋2 025＝0的两根，求代数式(m2－2 023m＋2 024)(n2－2 023n＋2 024)的值． 【母题P39练习T4】设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． (1)(x1＋1)(x2＋1)； (2)＋. 【变式1】设α，β是一元二次方程x2＋3x－17＝0的两个根，求α2＋5α＋2β的值． 【变式2】设实数s，t分别满足19s2＋99s＋1＝0，t2＋99t＋19＝0，并且st≠1，求的值. 12．(运算能力)(广西桂林期中)关于x的方程：x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，用含k的代数式表示|x1－x2|； (3)是否存在实数k，使得|x1|－|x2|＝？若存在，试求出k的值；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ *17.4　一元二次方程的根与系数的关系 知识点1　运用根与系数的关系求含两根的代数式的值1.若方程x2－4x－2＝0的两根为x1，x2，则＋ 的值为(　B　) A．2 B．－2 C． D．－ 2．(广西柳州期中)若m，n是一元二次方程x2－6x－1＝0的两个根，则m2n＋mn2的值是(　C　) A．－1 B．－5 C．－6 D．6 3．若x1，x2是一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根，则x1·x2＝__3__． 知识点2　运用根与系数的关系求字母系数的值或另一根4.已知关于x的一元二次方程x2－2x－b＝0的一个解是x＝－1，则方程的另一个解为(　D　) A．－2 B．2 C．－3 D．3 5．(广西南宁期中)关于x的一元二次方程x2＋kx＋3＝0(k＞0)有实数根，此方程的根可能是(　D　) A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3 C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝－3 6．一元二次方程x2－2x＝0其中一个根是0，则另一个根的值是(　C　) A．0 B．1 C．2 D．－2 7．已知关于x的方程3x2－(k－1)x＋2＝0的一个根是1，则另一个根是____． 易错易混点　忽视方程二次项系数a≠0 8．若x＝0是关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2＋2m－8＝0的一个解，求实数m的值和另一个根． 把x＝0代入方程(m－2)x2＋3x＋m2＋2m－8＝0，得m2＋2m－8＝0， ∴m1＝－4，m2＝2. ∵m－2≠0，∴m≠2， ∴m＝－4. 把m＝－4代入原方程，得－6x2＋3x＝0， 解得另一个根为0.5. 9．若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程a(y－2)2＋b(y－2)＋c＝0的两根之积是(　A　) A．2p＋q＋4 B．2p－q＋4 C．q－2p＋4 D．q－2p－4 设关于y的方程a(y－2)2＋b(y－2)＋c＝0的两根分别为y1，y2. ∵关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根之和为p，两根之积为q， ∴x1＋x2＝p，x1x2＝q， ∴(y1－2)＋(y2－2)＝p，(y1－2)(y2－2)＝q，化简，得y1＋y2＝p＋4，y1y2－2(y1＋y2)＋4＝q，整理，可得y1y2＝2p＋q＋4. 10．关于x的一元二次方程2x2＋4mx＋m＝0有两个不同的实数根x1，x2，且x＋x＝，则m＝__－__． ∵关于x的一元二次方程2x2＋4mx＋m＝0有两个不同的实数根x1，x2，∴x1＋x2＝－2m，x1·x2＝.Δ＝b2－4ac＝(4m)2－4×2m＝16m2－8m. ∵x＋x＝，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝， ∴4m2－2×＝，(8m－3)(8m＋1)＝0，解得m1＝，m2＝－.当m1＝时，Δ＝16×－8×＝－3＜0，不符合题意，舍去；当m2＝－时，Δ＝16×－8×(－)＝＞0，符合题意；综上，m＝－. 11．(广西河池期中)若m，n是关于x的一元二次方程x2－2 024x＋2 025＝0的两根，求代数式(m2－2 023m＋2 024)(n2－2 023n＋2 024)的值． ∵m，n是关于x的一元二次方程x2－2 024x＋2 025＝0的两根， ∴m2－2 024m＋2 025＝0，n2－2 024n＋2 025＝0，m＋n＝2 024，mn＝2 025， ∴m2－2 023m＋2 024＝m－1，n2－2 023n＋2 024＝n－1， ∴(m2－2 023m＋2 024)(n2－2 023n＋2 024)＝(m－1)(n－1)＝mn－(m＋n)＋1＝2 025－2 024＋1＝2. 【母题P39练习T4】设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． (1)(x1＋1)(x2＋1)； (2)＋. 由题意，得x1＋x2＝－＝－2， x1x2＝＝－； (1)(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝－＋(－2)＋1＝－； (2)＋＝＝＝. 【变式1】设α，β是一元二次方程x2＋3x－17＝0的两个根，求α2＋5α＋2β的值． ∵α，β是一元二次方程x2＋3x－17＝0的两个根， ∴α2＋3α－17＝0，α＋β＝－3， ∴α2＋3α＝17， ∴α2＋5α＋2β＝(α2＋3α)＋2(α＋β)＝17－6＝11. 【变式2】设实数s，t分别满足19s2＋99s＋1＝0，t2＋99t＋19＝0，并且st≠1，求的值. 把方程t2＋99t＋19＝0转化为19＋99＋1＝0， ∴s和是方程19x2＋99x＋1＝0的两个根， ∴s＋＝－，s·＝， ＝s＋＋＝－＋＝－＝－5. 故的值为－5. 12．(运算能力)(广西桂林期中)关于x的方程：x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，用含k的代数式表示|x1－x2|； (3)是否存在实数k，使得|x1|－|x2|＝？若存在，试求出k的值；若不存在，说明理由． (1)∵原一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(2k－1)2－4(k2－2k＋3)＞0，得4k－11＞0， ∴k＞； (2)由一元二次方程的求根公式，得x1＝，x2＝. ∵k＞， ∴2k－1＞0，＞0， ∴x1＞0. 又∵x1·x2＝k2－2k＋3＝(k－1)2＋2＞0， ∴x2＞0， x1－x2＝－＝； ∵k＞， ∴4k－11＞0， ∴|x1－x2|＝； (3)当|x1|－|x2|＝时，有x1－x2＝， 即－＝＝， ∴4k－11＝3， ∴k＝， ∴存在实数k＝，使得|x1|－|x2|＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$