精品解析：四川省遂宁中学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷

高2024级第二期3月月考数学试卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 C. 起点相同的单位向量，终点必相同 D. 向量的模是一个正实数 【答案】B 【解析】 【分析】根据零向量和单位向量以及相反向量的定义即可判断. 【详解】大小为零的向量为零向量，方向任意，故A错误， 大小相等，方向相反的向量为相反向量，故B正确； 大小为1的向量为单位向量，方向任意，故C错误， 零向量的模为0，故D错误. 故选：B. 2. 要得到函数的图像，只需要将函数的图像（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式和三角函数平移原则即可得到答案. 【详解】, 则将其往左平移个单位长度即可得. 故选：A. 3. 已知平面向量且，则一定共线的三点是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】先考虑向量共线时，的位置关系，再考虑向量不共线时，利用向量共线定理和平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项， ，所以三点共线，A正确； 对于B选项，设 ，则 ，即 无解，B错误； 对于C选项，设 ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 故选：A 4. 不等式在上的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合余弦函数图象分析运算，即可得结果. 【详解】∵，则， 注意到，结合余弦函数图象解得. 故选：D. 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式变形后，利用正弦函数的递减区间可得结果. 【详解】因为， 由，得， 所以函数的单调递增区间是. 故选：C. 6. 在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（ ） A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心 【答案】A 【解析】 【分析】用向量的线性运算，结合中线向量和共线向量性质即可作答. 【详解】因为，， 则 若设中的的中点为，有， 则. 所以在三角形的中线上，因此动点的轨迹必通过的重心． 故选：A． 7. 已知设，求：的值（用a表示）.针对这一问题，有两位同学给出了不同的解答.小张同学的答案：；小姚同学的答案：；对此你的判断是（ ） A. 小张对，小姚错 B. 小张错，小姚对 C. 两人都错 D. 两人都对 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角差的正切公式及二倍角公式求解判断即可. 【详解】由， 则小张同学正确； 由，即， 则， 则小姚同学正确. 故选：D. 8. 定义，设函数，若 在区间 上单调递减，则ω的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先找出与的交点，确定的表达式，求得单调区间，再结合给定区间的单调性列出关于的不等式组求解. 【详解】令，即，则，解得. 与的周期均为. 当时，在一个周期内，根据与的大小关系来确定： 当时，，,单调递增； 当时，，，单调递减区间为； 当时，，，单调递减区间为. 所以函数的单调递减区间为和. 因为在区间上单调递减，对其进行分类讨论： 情形1.，解得. 由得,. 由，解得, 所以或, 所以或; 情形2.，解得, 由得，解得, 由,解得, 所以, 所以. 综上，的取值范围是， 故选：A. 二、多选题（每小题6分，选对部分选项得部分分，选错得0分，共18分） 9. 《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正八边形的结构性质及向量的共线、线性运算逐项判断即可得解. 【详解】对于A，易得在正八边形中，， 但方向不同，所以不正确，故A错误； 对于B，由，所以正确，故B正确； 对于C，由正八边形的性质知，，且， 根据向量加法法则可知： 为以为邻边的正方形中以为始点的一条对角线所对应的向量， 所以， 又与以为邻边的正方形中以为始点的一条对角线所对应的向量共线， 所以，故C正确； 对于D，在正八边形中，，， 不妨设，又， 所以， 所以，故D错误. 故选：BC. 10. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的图象关于对称 C. 在上单调递增 D. 在上的值域为 【答案】BD 【解析】 【分析】由三角函数的平移变换即可判断A，结合正弦型函数的性质，分别代入检验计算，即可判断BC，由正弦型函数的值域即可判断D. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到 ，显然不是奇函数，故A错误． 因为， 所以的图象关于对称，故B正确． 当时，，因为在上不单调，故C错误． 由，得，则，故D正确． 故选：BD 11. 已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则下列结论正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 若的图象关于点对称，则在上单调递增 C. 在上的最小值可能为 D. 若的图象关于直线对称，且函数，有奇数个零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得，求得，即可判断A；利用三角函数的对称中心，结合求出，即可判断B；由和，结合三角函数的单调性即可判断C；由题意计算可得，画出函数与的图象计算即可判断D. 【详解】对于A：因为的图象在上有且仅有两条对称轴， 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是，故A正确； 对于B：因为的图象关于点对称，则有， 即，因为，所以， 当时，，则在上单调递增，故B正确； 对于C：当时，，因为， 所以，所以在上的最小值小于，故C错误． 对于D：因为的图象关于直线对称，则， 即，又，所以，所以， 令函数的根即为函数与的交点的横坐标， 作出图象如图所示，因为，， 要使有奇数个零点，则， 即有，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：求解正弦函数的对称轴、对称中心和值域的问题时，常利用整体代换法和验证法将问题转化到我们熟悉的正弦函数上，利用正弦函数的图象与性质解答，数形结合一种常用方法. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据整式运算规则展开合并同类项即可求解. 【详解】， ， 整理得：. 13. 已知函数是R上的奇函数，在区间上单调递增，则ω的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数性质求得，再由单调性求得的范围，从而得出结论． 【详解】因为是奇函数，所以,又，所以, 因为在上单调递增．所以⊆， 于是解得，所以ω的最大值为. 故答案为： 14. 已知为内切圆的圆心，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，则，代入等式可证三点共线.设 ，由直角三角形的性质以及三角形相似可求出各边长，从而求出比例关系. 【详解】如图，设的中点，圆与分别相切于点，由为的中点，知. 又，所以，即.则三点共线. 因为为的内切圆的圆心，所以. 不妨设，则. 在中，. 由，知，即，解得，且， 又，所以. 故答案为： 四、解答题 15. 设是两个不共线的向量，已知． （1）求证：三点共线； （2）若且，求实数的值． 【答案】（1） 由已知，得， 因为， 所以，又与有公共点， 所以三点共线． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据，即可得证； （2）利用共线向量定理即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），知，若，且， 可设， 所以， 即． 又是两个不共线的向量，所以， 解得． 16. （1）已知函数． 补全下列表格，用“五点法”画出在区间的大致图象； 0 （2）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递增区间和对称中心的坐标． 【答案】（1） 0 0 0 2 0 （2）的单调递增区间为，对称中心的坐标为 【解析】 【分析】（1）完成表格，利用五点法作图即可； （2）根据图像的变换得，令即可求单调增区间，令，即可求对称中心的横坐标，纵坐标为0. 【详解】（1） 0 0 0 2 0 （2）易知， 令，解得， 所以的单调递增区间为． 令，解得， 所以对称中心的坐标为 17. （1）已知，，，求的值． （2）已知，，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由，，利用同角三角函数的平方关系求，又，利用两角差的余弦公式即可求解； （2）由得，，利用两角差的余弦公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以．又， 所以． 因为， 所以． 所以 （2）由，得， 由，得， 由，得， 由，得， ， 所以． 18. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值及函数图象的对称中心； （2）若将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位长度，再将图象向下平移个单位长度得到函数的图象，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；， （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，根据正弦型函数的周期性和对称性求解； （2）根据题意进行图象变换得到，通过分离参数得到不等式，利用半角公式将右侧函数变形求出值域，即可得到结果. 【小问1详解】 由题 . ∵最小正周期，∴，. 令，，解得，， ∴函数图象的对称中心，． 【小问2详解】 将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象； 再向右平移个单位长度，得到函数的图象；再将图象向下平移个单位长度得到函数的图象. 所以 由题意对任意恒成立， 所以对任意恒成立. 令， 当时，； 当时，.令，则. 当时，，即； 当时，，由对勾函数性质可知， 所以 综上所述，的值域为，所以. 故实数的取值范围是. 19. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时. （1）经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； （2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？ （3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，多长时间游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同？ 【答案】（1），； （2）5分钟 （3）17.5分钟 【解析】 【分析】（1）理解题意依次求得,由公式计算出，代点求出即得； （2）依题意，解三角方程即可求得； （3）依题意可得，由此解得，，由（2）知，即得时，. 【小问1详解】 由题意知，，，解得， 又，所以， 时，，解得， 因为，所以， 所以，； 【小问2详解】 令，得，解得， 即，因，则，解得， 所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米； 【小问3详解】 由题意知，， 因中间间隔5个座舱，则有， 依题意，，即， 即，所以，解得，； 所以，；时，，不合题意；当时，， 即从游客甲坐上摩天轮后开始计时，17.5分钟游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同. 【点睛】思路点睛：正确理解题意，求出正弦型函数解析式中的参数，再根据题设要求，利用三角恒等变换等相关知识点，求解对应的三角方程或三角不等式即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2024级第二期3月月考数学试卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 C. 起点相同的单位向量，终点必相同 D. 向量的模是一个正实数 2. 要得到函数的图像，只需要将函数的图像（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 3. 已知平面向量且，则一定共线的三点是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 不等式在上的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（ ） A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心 7. 已知设，求：的值（用a表示）.针对这一问题，有两位同学给出了不同的解答.小张同学的答案：；小姚同学的答案：；对此你的判断是（ ） A. 小张对，小姚错 B. 小张错，小姚对 C. 两人都错 D. 两人都对 8. 定义，设函数，若 在区间 上单调递减，则ω的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，选对部分选项得部分分，选错得0分，共18分） 9. 《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的图象关于对称 C. 在上单调递增 D. 在上的值域为 11. 已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则下列结论正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 若的图象关于点对称，则在上单调递增 C. 在上的最小值可能为 D. 若的图象关于直线对称，且函数，有奇数个零点，则 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若，则_____． 13. 已知函数是R上的奇函数，在区间上单调递增，则ω的最大值是______. 14. 已知为内切圆的圆心，且，则__________. 四、解答题 15. 设是两个不共线的向量，已知． （1）求证：三点共线； （2）若且，求实数的值． 16. （1）已知函数． 补全下列表格，用“五点法”画出在区间的大致图象； 0 （2）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递增区间和对称中心的坐标． 17. （1）已知，，，求的值． （2）已知，，且，求的值． 18. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值及函数图象的对称中心； （2）若将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位长度，再将图象向下平移个单位长度得到函数的图象，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 19. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时. （1）经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； （2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？ （3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，多长时间游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $