专题02 实数（11大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期中真题分类汇编（黑龙江专用）

专题02 实数 题型概览 题型01求一个数的平方根 题型02利用平方根的定义求参数的值 题型03利用算术平方根的非负性求代数式的值 题型04平方根和立方根解方程 题型05根据平方根和立方根判断式子是否正确 题型06无理数的识别 题型07实数比较大小 题型08无理数大小的估算 题型09无理数估算中整数部分和小数部分 题型10实数的混合运算（计算题） 题型11实数中定义新运算 求一个数的平方根题型01 1．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）一个数的平方是9，这个数是（   ） A．3 B． C． D． 2．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）“的平方根是”，用式子表示就是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知，，那么下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级·黑龙江绥化·期中）的算术平方根是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）的平方根是 ，的绝对值是 6．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）若，则 . 7．（22-23七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知某数的算术平方根是，则这个数是 ． 8．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则 ． 利用平方根的定义求参数的值题型02 1．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）若一个数的算术平方根等于它的本身，则这个数是（    ） A．1或 B．0或1 C．0或 D．0或1或 2．（22-23七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知一个正数的两个平方根为和，则a的值为（    ） A．0 B．0或 C． D．1 3．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）若一个正数a的平方根分别是与，则 ． 4．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是 . 5．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）已知一个正数的两个平方根分别为a和，则这个正数 ． 6．（22-23七年级·黑龙江佳木斯·期中）一个正数的平方根是和，则这个正数是 ． 7．（22-23七年级·黑龙江佳木斯·期中）一个正数的平方根分别是和，则a的值为 ． 8．（22-23七年级·黑龙江鹤岗·期中）已知和是一个数的平方根，则这个数是 ． 9．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期中）若和是正数m的平方根，求这个正数m的值 10．（22-23七年级·黑龙江佳木斯·期中）已知和是一个数的平方根，求和这个正数． 11．（22-23七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如果正数的两个平方根分别是与，求的值． 利用算术平方根的非负性求代数式的值题型03 1．（22-23七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，，且，则（    ） A． B．或 C．4 D．4或10 2．（23-24七年级·黑龙江七台河·期中）若，则的值为（    ） A．5 B．15 C．25 D．－5 3．（22-23七年级·黑龙江佳木斯·期中）当 时，代数式有最小值，为 ． 4．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简 ．    5．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）已知x，y，z是实数，且满足，则 ． 6．（23-24七年级·黑龙江大庆·期中）若，则x= ， ． 7．（23-24七年级·黑龙江鸡西·期中）已知，则= ． 8．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期中）已知，则的立方根是 9．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期中）若，则的立方根是 ． 10．（22-23七年级·黑龙江绥化·期中）已知：实数、满足关系式求：的值． 11．（22-23七年级·黑龙江绥化·期中）已知：字母、满足．求的值． 12．（22-23七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知，，且，求的值． 平方根和立方根解方程题型04 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程 (1) (2) 2．（23-24七年级·黑龙江大庆·期中）求下列各式中的 x值． (1) (2) 3．（22-23七年级下·黑龙江佳木斯·期中）求值： (1)； (2)． 4．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期中）解方程： (1) (2) 5．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）解下列方程（组） (1) (2) 6．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）求下列各式中未知数的值． (1)； (2)． 7．（23-24七年级·黑龙江牡丹江·期中）求下列各式中x的值 (1)； (2)． 8．（23-24七年级·重庆长寿·期中）解方程 (1)； (2) 9．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）（1）解方程． （2）解方程 10．（22-23七年级·黑龙江佳木斯·期中）求下列名式中的值． (1)； (2)． 根据平方根和立方根判断式子是否正确题型05 1．（22-23七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列计算正确的（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级·黑龙江牡丹江·期中）下列各式计算正确的是(   ) A． B． C． D． 3．（22-23七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期中）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 无理数的识别题型06 1．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）在，，，，，中，无理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）下列实数中无理数的个数为（   ） ，，，，，，，，． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）实数，，，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加1）．其中无理数的个数是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期中）在实数，，，，（每两个相邻的2中间依次多一个0）中，无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24七年级·黑龙江牡丹江·期中）下列一组数，，，，，，（相邻两个1之间依次增加一个0），其中无理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）在，， 0， ，，中，无理数共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列各数：，，3.14159，，，其中无理数有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．（22-23七年级·黑龙江哈尔滨·期中）下列各数：，，，，，其中为无理数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）在实数，，，，，0，，中，无理数有 个． 10．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期中）将，-3，，按照从大到小的顺序排列为 ．（用“>”连接）． 实数比较大小题型07 1．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）用“＞”、“＜”或“＝”填空： ①﹣ ； ② 1； ③ ． 3．（23-24七年级·黑龙江大庆·期中）比较大小 ． 4．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）比较大小： ．（填“>”，“=”或“<”） 5．（22-23七年级·黑龙江佳木斯·期中）在实数，最大的一个数是 ． 6．（22-23七年级·黑龙江绥化·期中）比较大小： ，4 （用“”或“”填空）． 7．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）用“”、“”或“”填空： 1． 无理数大小的估算题型08 1．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）下列各数中，在1与2之间的是（    ） A． B． C． D．3 2．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（22-23七年级·黑龙江哈尔滨·期中）若，则估计a的值所在的范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）已知、为两个连续的整数，且，则 5．（22-23七年级·黑龙江佳木斯·期中）绝对值小于的所有整数的和是 ． 无理数估算中整数部分和小数部分题型09 1．（22-23七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）将正实数的整数部分记为，例如：，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（22-23七年级·黑龙江佳木斯·期中）若的小数部分是，的小数部分是，则 ． 3．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期中）如果的小数部分为的小数部分为b，则 4．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知的平方根是的立方根是1，c是的整数部分，则的值为 ． 5．（23-24七年级·黑龙江牡丹江·期中）的整数部分为a，小数部分为b，则等于 ． 6．（23-24七年级·黑龙江七台河·期中）设的整数部分为m，的整数部分为n，则m＋n＝ ． 7．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期中）若4+的小数部分是a，7-的小数部分是b，则a+b的值是 ． 8．（23-24七年级·黑龙江大庆·期中）（1）已知，一个正数的两个平方根分别为和，求m和这个正数； （2）已知a是的小数部分，b是的整数部分，求的值． 9．（24-25七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）观察与探究：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)已知：，其中x是整数，且，求的相反数．（写出解答过程） 10．（22-23七年级·黑龙江佳木斯·期中）已知：a是的整数部分，b是的小数部分，求： (1)a，b的值； (2)的平方根． 11．（22-23七年级·黑龙江鸡西·期中）数学活动课上，张老师说：“是无理数，无理数就是无限不循环小数，同学们，你能把的小数部分全部写出来吗？”大家议论纷纷，晶晶同学说：“要把它的小数部分全部写出来是非常难的，但我们可以用表示它的小数部分．”张老师说：“晶晶同学的说法是正确的，因为，所以，所以的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．”亮亮说：“既然如此，因为，所以的小数部分就是了．”张老师说：“亮亮真的很聪明．”接着，张老师出示了一道练习题： “已知，其中x是一个整数，且，请你求出的值”． 请同样聪明的你给出正确答案． 实数的混合运算（计算题）题型10 1．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）计算题 (1) (2) 2．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）计算 (1) (2) 3．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期中）计算： (1) (2) 4．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）计算 (1) (2) 5．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）计算． (1)； (2)． 6．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）计算： (1)． (2)． 7．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）计算： 8．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）计算 (1) (2) (3) 实数中定义新运算题型11 1．（23-24七年级·黑龙江大庆·期中）对于任意的两个实数对和，规定：当时，有；运算“”为：；运算“”为：．设都是实数，若，则 ． 2．（23-24七年级·黑龙江双鸭山·期中）在实数的原有运算法则中我们补充定义新运算“”如下：当时，；当时，，则的值为 . 3．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）定义新运算：，其中，，，为实数．例如：．如果，那么 ． 4．（22-23七年级·黑龙江佳木斯·期中）定义一种运算：对于任意实数，都有，则的值为 ． 5．（23-24七年级·黑龙江七台河·期中）定义新运算：对于a，b有，如，根据定义新运算，计算： ． 6．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）对于非零的两个实数、，规定，若，则的值为 ． 7．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）【数学中的阅读理解】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________，________； (2)若，写出满足题意的的整数值________； (3)如果我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，________之后结果是1； (4)只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中，最大的是________． 1．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）设m为大于1且小于100的整数，则m的平方根中，属于无理数的个数有（　　） A．92个 B．180个 C．182个 D．184个 2．（23-24七年级·黑龙江大庆·期中）若，则（  ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期中）下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．的平方根是 D．的立方根是 5．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）如果，，那么约等于（   ） A． B． C． D． 6．（22-23七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知关于一元一次方程的解为，则的立方根是（  ） A． B． C． D． 7．（22-23七年级·黑龙江佳木斯·期中）若，则的立方根是 ． 8．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，数轴上，两点表示的数分别为和，若，则点所表示的数为 ． 9．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）已知，m、n为两个连续的整数，且，则 ． 10．（22-23七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在数轴上方有4个方格（每一方格的边长为1个单位），连接，，，得到一个正方形，点A落在数轴上，用圆规在点A左侧的数轴上取一点E，使，若点A与原点重合，则点E表示的数是 ．    11．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中），，则 ． 12．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）若的算术平方根为，的立方根为，是平方根等于本身的数，则的值为 ． 13．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）已知实数，，，，，若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，求的值． 14．（22-23七年级·黑龙江绥化·期中）已知是的算术平方根，是27的立方根，求：的平方根． 15．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）【数学中的活动设计】如图①，方格纸中每个小正方形的边长均为1．正方形的顶点都在格点上， (1)正方形的面积是________，正方形的边长是________； (2)正方形的边长是________数（填选“有理”或者“无理”）； (3)如果正方形的边长在有理数和之间，那么的平方根是________； (4)在图②中设计一个与图①面积不相等的正方形，要求边长为无理数，并直接写出你设计的正方形的边长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 实数 题型概览 题型01求一个数的平方根 题型02利用平方根的定义求参数的值 题型03利用算术平方根的非负性求代数式的值 题型04平方根和立方根解方程 题型05根据平方根和立方根判断式子是否正确 题型06无理数的识别 题型07实数比较大小 题型08无理数大小的估算 题型09无理数估算中整数部分和小数部分 题型10实数的混合运算（计算题） 题型11实数中定义新运算 求一个数的平方根题型01 1．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）一个数的平方是9，这个数是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据即可得到答案． 【详解】解：∵一个数的平方是9， ∴这个数是， 故选：B． 2．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）“的平方根是”，用式子表示就是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 故选：B． 3．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知，，那么下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义、正确变形是解题的关键． 【详解】A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D 4．（22-23七年级·黑龙江绥化·期中）的算术平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是， 故选：B． 5．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）的平方根是 ，的绝对值是 【答案】 【详解】解：， 的平方根是， ， ， 的绝对值是， 故答案为：，． 6．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）若，则 . 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，将转化为进行计算，即可得到答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 7．（22-23七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知某数的算术平方根是，则这个数是 ． 【答案】 【分析】直接根据算术平方根的定义可得结果． 【详解】∵， ∴算术平方根是 的数是， 故答案为：． 8．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键．本题考查了算术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键． 【详解】解：， ； 故答案为：． 利用平方根的定义求参数的值题型02 1．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）若一个数的算术平方根等于它的本身，则这个数是（    ） A．1或 B．0或1 C．0或 D．0或1或 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，注意不能做被开方数． 【详解】解：， 则算术平方根等于它的本身的数是0，1； 故选：B． 2．（22-23七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知一个正数的两个平方根为和，则a的值为（    ） A．0 B．0或 C． D．1 【答案】C 【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，即可解答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根为和， ∴， 解得：， 故选：C． 3．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）若一个正数a的平方根分别是与，则 ． 【答案】49 【分析】本题考查了对平方根和相反数的应用，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数得出方程，求解即可． 【详解】解：∵一个正数的平方根分别是与， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：49． 4．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是 . 【答案】3 【分析】本题考查了平方根，一元一次方程的应用，根据正数有两个两个平方根，且互为相反数列方程 ，即可得到答案． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 解得：， 故答案为：3． 5．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）已知一个正数的两个平方根分别为a和，则这个正数 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平方根的性质．根据平方根的性质一个正数有两个平方根，它们互为相反数，列出方程，求出a的值，即可求解． 【详解】解：根据题意，得：， 解得：， 所以这个正数为． 故答案为：4． 6．（22-23七年级·黑龙江佳木斯·期中）一个正数的平方根是和，则这个正数是 ． 【答案】9 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，可求得a的值，即可解题． 【详解】解：∵是和是一个正数的两个平方根， ∴， 解得：， ∴， ∴这个正数是， 故答案为：9． 7．（22-23七年级·黑龙江佳木斯·期中）一个正数的平方根分别是和，则a的值为 ． 【答案】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数得出关于a的方程求解即可． 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ， 解得：， 故答案为：． 8．（22-23七年级·黑龙江鹤岗·期中）已知和是一个数的平方根，则这个数是 ． 【答案】16或1 【分析】由于一个正数的平方根有两个，且互为相反数，据此列出方程即可求解． 【详解】解：由题意可得：或， 解得：或， 把或， ∴这个数是16或1， 故答案为：16或1． 9．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期中）若和是正数m的平方根，求这个正数m的值 【答案】1或9 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数，分当和是正数m的同一个平方根时，当和是正数m的两个平方根时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当和是正数m的同一个平方根时，则，解得， ∴； 当和是正数m的两个平方根时，则，解得， ∴； 综上所述，这个正数m的值为1或9． 10．（22-23七年级·黑龙江佳木斯·期中）已知和是一个数的平方根，求和这个正数． 【答案】时，这个正数为；时，这个正数为， 【分析】根据一个正数的平方根有两个，可得，求出的值，从而得出答案． 【详解】解：∵已知和是一个数的平方根， ∴或 解得或． 当时，，则这个正数为， 当时，，则这个正数为． 11．（22-23七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如果正数的两个平方根分别是与，求的值． 【答案】 【分析】根据平方根的概念可知两个平方根互为相反数，可求出的值，然后带入即可求出的两个平方根为和，然后即可求出的值． 【详解】解：∵的两个平方根分别是与， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时， （求出一个即可）， ∴的值为． 利用算术平方根的非负性求代数式的值题型03 1．（22-23七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，，且，则（    ） A． B．或 C．4 D．4或10 【答案】B 【分析】首先根据平方根和绝对值的定义可知，，再结合可得，进而求出的值即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴或， 当时，， 当时，． 故选：B． 2．（23-24七年级·黑龙江七台河·期中）若，则的值为（    ） A．5 B．15 C．25 D．－5 【答案】D 【分析】直接利用算术平方根以及绝对值的性质得出x，y的值，进而代入得出答案． 【详解】解：∵， ∴x-5=0，y+25=0， ∴x=5，y=-25， ∴===-5， 故选D． 3．（22-23七年级·黑龙江佳木斯·期中）当 时，代数式有最小值，为 ． 【答案】 2 5 【分析】本题考查非负数的性质和算术平方根，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 根据非负数的性质进行解题即可． 【详解】解：要使代数式有最小值， 则取为最小值即可， ∵， ∴当时，存在最小值， 即， 把代入代数式， 则最小值为． 故答案为：；． 4．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简 ．    【答案】0 【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子的符号，化简绝对值，合并同类项．根据数轴可得，，再判断各项的符号，将绝对值化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：根据数轴可知：，， ∴， ∴ ， 故答案为：0． 5．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）已知x，y，z是实数，且满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查已知式子的值，求代数式的值．根据非负性的和为零，每一个非负数均为零，求出x、y、z的值，再代入到代数式进行求解即可． 【详解】解：， ∵，，， ∴，，， 解得：，，， ∴； 故答案为：． 6．（23-24七年级·黑龙江大庆·期中）若，则x= ， ． 【答案】 2 【分析】根据绝对值和平方的非负性可得，，进而可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得：，， 故答案为：2；． 7．（23-24七年级·黑龙江鸡西·期中）已知，则= ． 【答案】16 【分析】先根据算术平方根的非负性求出a和b的值，然后代入所给代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴a+1=0，b-5=0， ∴a=-1，b=5， ∴． 故答案为：16． 8．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期中）已知，则的立方根是 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，算术平方根，算术平方根的定义，根据被开方数要大于等于0求出，进而求出，则可求出，再由立方根的定义即可得到答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵8的立方根是2， ∴的立方根是2， 故答案为：2． 9．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期中）若，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】根据一个数的平方和算术平方根的非负性算出a，b的值解答即可． 【详解】解：∵， ∴a＝1，b＝﹣3， ∴a+b＝1﹣3＝﹣2， ﹣2的立方根是， 故答案为：． 10．（22-23七年级·黑龙江绥化·期中）已知：实数、满足关系式求：的值． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b、c的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 11．（22-23七年级·黑龙江绥化·期中）已知：字母、满足．求的值． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性求出、的值，再利用裂项相消的方法对代数式进行化简，最后代值求解即可得到答案． 【详解】解：， ，解得， ． 12．（22-23七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知，，且，求的值． 【答案】4或8 【分析】根据题意求出符合条件的未知数的值，然后代入代数式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， 当，时，； 当，时，； ∴代数式的值为4或8． 平方根和立方根解方程题型04 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，立方根，熟练掌握解方程的方法及立方根的定义是解题的关键． （1）将原方程整理后利用立方根的定义解方程即可； （2）利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：原方程整理得：， 则， 解得：； （2）解：原方程去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 2．（23-24七年级·黑龙江大庆·期中）求下列各式中的 x值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了立方根和平方根的应用，熟练掌握立方根和平方根的定义是解题的关键． （1）先移项，合并同类项得出：，然后开平方得出答案即可； （2）直接开立方得出，然后求出x的值即可． 【详解】（1）解：， 移项，合并同类项得：， 开平方得：； （2）解：， 开立方得：， 解得：． 3．（22-23七年级下·黑龙江佳木斯·期中）求值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根与立方根解方程，熟练掌握求一个数的平方根与立方根是解题的关键． （1）利用平方根解方程； （2）利用立方根解方程． 【详解】（1）解：由原方程得：， 解得：或； （2）解：原方程整理得：， 则， 解得：． 4．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)或(2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的应用， （1）先两边同时除以，再直接开平方求解得到两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出方程的解； （2）移项后开立方，即可得出一个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解： ∴ ∴ 解得：或 （2）解： ∴ ∴ 解得： 5．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）解下列方程（组） (1) (2) 【答案】(1)和 (2) 【分析】本题考查了考查实数的综合运算能力以及立方根和平方根的应用，熟练掌握立方根和平方根的运算是本题的关键． （1）开平方得出两个一元一次方程，继而可得出x的值． （2）化简后，两边开立方，即可得出一个一元一次方程，求出即可． 【详解】（1）， 化简为：， 开平方得：， 即和， 解得：和． （2）， 移项得：， 开立方得：， 解得：． 6．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）求下列各式中未知数的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用立方根、平方根解方程，熟练掌握立方根和平方根的定义是解此题的关键． （1）移项得出，再利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 解得：； （2）解：， ， 解得：． 7．（23-24七年级·黑龙江牡丹江·期中）求下列各式中x的值 (1)； (2)． 【答案】(1)或(2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根求解方程，注意计算的准确性． （1）根据即可求解； （2）根据即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， 解得：． 8．（23-24七年级·重庆长寿·期中）解方程 (1)； (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根的定义，熟练掌握平方根、立方根的定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程，即可求解； （2）根据立方根的定义解方程，即可求解． 【详解】（1） 两边开平方得： 即，； （2） 两边开立方得： 解得：． 9．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）（1）解方程． （2）解方程 【答案】（1），；（2）． 【分析】本题考查了立方根和平方根的应用． （1）开平方，即可得出两个一元一次方程，求出即可； （2）移项整理后开立方，即可得出一个一元一次方程，求出即可． 【详解】解：（1）， ∴， 解得：，； （2）， 整理得， 解得：． 10．（22-23七年级·黑龙江佳木斯·期中）求下列名式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或(2) 【分析】（1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求立方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 根据平方根和立方根判断式子是否正确题型05 1．（22-23七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列计算正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可得． 【详解】解：A、，故此选项计算错误，不符合题意； B、，故此选项计算错误，不符合题意； C、，故此选项计算正确，符合题意； D、，故此选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 2．（22-23七年级·黑龙江牡丹江·期中）下列各式计算正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根、立方根、平方根的概念解答即可． 【详解】解：A. ，则A选项不符合题意；     B. ，则B选项不符合题意；     C. ，则C选项符合题意；     D. ，则D选项不符合题意． 故答案为C． 3．（22-23七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】A、根据平方根的定义即可判定； B、根据立方根的性质化简即可判定； C、根据绝对值的性质化简即可判定； D、根据算术平方根的定义计算即可判定． 【详解】解：A、，故选项正确； B、，故选项错误； C、，故选项错误； D、，故选项错误． 故选：A． 4．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是算术平方根、平方根、立方根的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 依据算术平方根、平方根、立方根的性质求解即可． 【详解】A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误；     D、，故D正确．     故选：D． 5．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期中）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，根据立方根、平方根、算术平方根的定义逐项进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，符合题意；     C. ，故该选项正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 6．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据平方根、立方根的定义求解即可． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选C． 无理数的识别题型06 1．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）在，，，，，中，无理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，理解无理数是无限不循环小数是解答关键． 根据无理数是无限不循环小数，有理数可以是无限循环小数来求解． 【详解】解：根据题意可知 是无限循环小数，它是有理数， 无理数有：，共2个． 故选：B． 2．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）下列实数中无理数的个数为（   ） ，，，，，，，，． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根．根据无理数就是无限不循环小数即可判定． 【详解】解：，由无理数的定义可知无理数有：，，，共3个． 故选：B． 3．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）实数，，，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加1）．其中无理数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是掌握无理数的定义：无限不循环的小数，即可． 【详解】无理数的定义：无限不循环的小数， ∵，， ∴有理数为：，，，，，； ∴无理数为：，，，（相邻两个之间的个数逐次加），共个， 故选：A． 4．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期中）在实数，，，，（每两个相邻的2中间依次多一个0）中，无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数，根据无理数是无限不循环小数，可得答案，熟知无理数有：①开不尽方的数；②类似的数；③这样的数，是解题的关键 【详解】解：，，（每两个相邻的2中间依次多一个0）是无理数， 故无理数有3个， 故选：C． 5．（23-24七年级·黑龙江牡丹江·期中）下列一组数，，，，，，（相邻两个1之间依次增加一个0），其中无理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：，，（相邻两个1之间依次增加一个0）是无理数； ，，，是有理数， 综上分析可知，无理数的个数有3个． 故选：C． 6．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）在，， 0， ，，中，无理数共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了对无理数定义的应用，根据无理数（无理数是指无限不循环小数）的定义判断即可，熟练掌握无理数的定义是解决此题的关键． 【详解】解：无理数有，，，共3个，是个方程不是无理数， 故选：B． 7．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列各数：，，3.14159，，，其中无理数有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 根据无理数的定义(无理数是指无限不循环小数)判断即可． 【详解】解：在所列的5个数中，无理数有，这2个数， 故选：A． 8．（22-23七年级·黑龙江哈尔滨·期中）下列各数：，，，，，其中为无理数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据无理数的概念解答即可． 【详解】解∶在，，，，中，无理数有，，共3个． 故选：C． 9．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）在实数，，，，，0，，中，无理数有 个． 【答案】3 【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】解：， 无理数有：， 故答案为：3． 10．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期中）将，-3，，按照从大到小的顺序排列为 ．（用“>”连接）． 【答案】 【分析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，比较即可． 【详解】根据实数比较大小的方法，可得， 故答案为：． 实数比较大小题型07 1．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实数的大小比较的方法逐一分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∵，，， ∴，故B不符合题意； ∵，， ∴，故C符合题意； ∵，故D不符合题意； 故选C 2．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）用“＞”、“＜”或“＝”填空： ①﹣ ； ② 1； ③ ． 【答案】 ＝ ＝ ＞ 【分析】①②按照二次根式及立方根的计算法则计算即可；③分别求出和的立方，再比较大小即可． 【详解】解：①∵﹣，， ∴， 故答案为：＝； ②， 故答案为：＝； ③∵，，＞3， ∴＞， ∴＞， 故答案为：＞． 3．（23-24七年级·黑龙江大庆·期中）比较大小 ． 【答案】< 【分析】首先分别求出、的平方各是多少；然后根据实数大小比较的方法，判断出、的平方的大小关系，即可判断出、的大小关系． 【详解】解： ， ， ． 故答案为：． 4．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）比较大小： ．（填“>”，“=”或“<”） 【答案】> 【分析】根据二次根式比较大小的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：>． 5．（22-23七年级·黑龙江佳木斯·期中）在实数，最大的一个数是 ． 【答案】 【分析】根据比较实数大小的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴最大的数是， 故答案为：． 6．（22-23七年级·黑龙江绥化·期中）比较大小： ，4 （用“”或“”填空）． 【答案】 【分析】根据实数的大小比较方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， 故答案为：，． 7．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）用“”、“”或“”填空： 1． 【答案】 【分析】本题主要考查实数大小的比较，先将1变形为，再根据即可得出答案． 【详解】解：∵， ， 即， 故答案为：． 无理数大小的估算题型08 1．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）下列各数中，在1与2之间的是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较．熟练掌握无理数的估算，实数的大小比较是解题的关键． 根据无理数的估算，实数的大小判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，故A符合要求； ，故B不符合要求； ，故C不符合要求； ，故D不符合要求； 故选：A． 2．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长为： ， ∵， ∴， ∴大正方形的边长最接近的整数是4， 故选：A． 3．（22-23七年级·黑龙江哈尔滨·期中）若，则估计a的值所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据无理数的估算方法求出，由此可得，即． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选C． 4．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）已知、为两个连续的整数，且，则 【答案】9 【分析】此题主要考查了无理数的大小，掌握比较无理数的方法是解决问题的关键．根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出的值，即可得出答案． 【详解】解：，、为两个连续的整数， ，即， ， ． 故答案为：9． 5．（22-23七年级·黑龙江佳木斯·期中）绝对值小于的所有整数的和是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的定义，先求出绝对值小于的所有整数，再将它们相加即可． 【详解】∵ ∴绝对值小于的所有整数为，，， 根据有理数的加法法则，互为相反数的两个数和为，可知这5个数的和为． 故答案为． 无理数估算中整数部分和小数部分题型09 1．（22-23七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）将正实数的整数部分记为，例如：，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】先估算的取值范围，再根据运算规定得结论． 【详解】解：∵， ∴ ∴． 故选C． 2．（22-23七年级·黑龙江佳木斯·期中）若的小数部分是，的小数部分是，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根的知识进行估算、求解． 先运用算术平方根知识估算出，的值，再代入进行求解． 【详解】解：， ， ，， 的整数部分是，的整数部分是， 的小数部分是，的小数部分是， 即，， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期中）如果的小数部分为的小数部分为b，则 【答案】1 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，实数的混合运算，根据题意得出的值，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，则 ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 4．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知的平方根是的立方根是1，c是的整数部分，则的值为 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，灵活应用“夹逼法”． 首先根据平方根与立方根的概念可得与的值，进而可得、的值；接着估计的大小，可得的值；进而可得，根据平方根的求法可得答案． 【详解】根据题意，可得， 故 又 故答案为：1． 5．（23-24七年级·黑龙江牡丹江·期中）的整数部分为a，小数部分为b，则等于 ． 【答案】/ 【分析】根据平方运算先估算出的值，从而求出a,b的值，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：∵9＜15＜16， ∴3＜＜4， ∴的整数部分为3，小数部分为-3， ∴a=3，b=-3， ∴， 故答案为：． 6．（23-24七年级·黑龙江七台河·期中）设的整数部分为m，的整数部分为n，则m＋n＝ ． 【答案】6 【分析】估算无理数，的大小，确定m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴的整数部分为2，的整数部分为4， ∴m=2，n=4， ∴m+n=6， 故答案为：6． 7．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期中）若4+的小数部分是a，7-的小数部分是b，则a+b的值是 ． 【答案】1 【分析】估算无理数4+，7-的大小，确定a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵3＜＜4， ∴-4＜-＜-3， ∴7＜4+＜8，3＜7-＜4， ∴4+的小数部分是a=4+-7=-3， 7-的小数部分是b=7--3=4-， ∴a+b=-3+4- =1． 故答案为：1 8．（23-24七年级·黑龙江大庆·期中）（1）已知，一个正数的两个平方根分别为和，求m和这个正数； （2）已知a是的小数部分，b是的整数部分，求的值． 【答案】（1），36；（2） 【分析】本题考查了平方根，无理数的估算，熟练掌握含义列出方程是解题的关键． （1）根据一个正数的平方根互为相反数列方程求解即可； （2）根据无理数的估算列出关于a、b的方程求值，再计算即可． 【详解】解：（1）由题意得：， 解得， ，， 这个正数为； （2）， ， 的整数部分为2， 的小数部分为， a是的小数部分， ， ， ， 的整数部分为4， 是的整数部分， ， ． 9．（24-25七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）观察与探究：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)已知：，其中x是整数，且，求的相反数．（写出解答过程） 【答案】(1)4，(2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，相反数，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小． （1）先估算的大小，然后求出其整数部分和小数部分即可； （2）先估算的大小，再根据不等式的性质估算的大小，求出整数部分和小数部分，从而求出的值，再求出它的相反数即可． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是4，小数部分， 故答案为：，； （2）解：，即， ， ∴， 的整数部分是11，小数部分是， ，其中x是整数，且， ，， ， 的相反数为． 10．（22-23七年级·黑龙江佳木斯·期中）已知：a是的整数部分，b是的小数部分，求： (1)a，b的值； (2)的平方根． 【答案】(1)a=1，(2) 【分析】(1)根据无理数的估算，数的构成解答即可． (2)根据有理数乘方，平方根的定义计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故的整数部分是1，小数部分为， ∵a是的整数部分，b是的小数部分， 故a=1，． （2）∵a=1，， ∴， 故16的平方根为． 11．（22-23七年级·黑龙江鸡西·期中）数学活动课上，张老师说：“是无理数，无理数就是无限不循环小数，同学们，你能把的小数部分全部写出来吗？”大家议论纷纷，晶晶同学说：“要把它的小数部分全部写出来是非常难的，但我们可以用表示它的小数部分．”张老师说：“晶晶同学的说法是正确的，因为，所以，所以的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．”亮亮说：“既然如此，因为，所以的小数部分就是了．”张老师说：“亮亮真的很聪明．”接着，张老师出示了一道练习题： “已知，其中x是一个整数，且，请你求出的值”． 请同样聪明的你给出正确答案． 【答案】19 【分析】根据，得出，求出，，代入求出结果即可． 【详解】解：∵，其中x是一个整数，且， ∴为的整数部分，为小数部分， ∵， ∴， ∴，， ∴ ． 实数的混合运算（计算题）题型10 1．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）计算题 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据算术平方根的定义计算，再合并即可； （2）先根据有理数的乘方、绝对值、立方根的运算法则计算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 2．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行，另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． （1）分别计算平方，立方根，平方根再合并即可； （2）化简绝对值后再计算加减即可； 【详解】（1） ； （2） ． 3．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，涉及到了平方根、立方根定义，化简绝对值． （1）原式利用算术平方根及立方根的定义，计算即可得到结果； （2）原式先化简绝对值，再计算加减即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： 4．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，算术平方根和立方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）首先计算算术平方根，立方根，绝对值，然后计算加减； （2）先计算算术平方根，立方根，绝对值，去括号，再计算乘法，最后计算加减． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）计算． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是： （1）利用算术平方根、立方根的定义化简，然后计算加减即可； （2）先利用算术平方根、立方根的定义化简，然后计算除法，最后计算减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 6．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算： （1）先进行开方运算，再进行加减运算即可； （2）先进行开方，去绝对值，去括号运算，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 7．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合计算，熟练掌提相应的运算法则是解题的关键； 利用算术平方根，立方根定义，绝对值，乘方的性质进行计算，再合并即可得到结果； 【详解】 ． 8．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查了实数的运算． （1）直接利用算术平方根以及立方根的性质分别化简，去绝对值，再计算得出答案； （2）直接利用算术平方根以及立方根的性质分别化简，去绝对值，再计算得出答案； （3）直接利用算术平方根以及立方根的性质分别化简，再计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 实数中定义新运算题型11 1．（23-24七年级·黑龙江大庆·期中）对于任意的两个实数对和，规定：当时，有；运算“”为：；运算“”为：．设都是实数，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义实数运算，根据题中新定义的“”和“”运算法则，代值求解即可得到答案，读懂题意，准确理解新定义实数运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：， ，即； ， ， 故答案为：． 2．（23-24七年级·黑龙江双鸭山·期中）在实数的原有运算法则中我们补充定义新运算“”如下：当时，；当时，，则的值为 . 【答案】 【分析】本题主要考查新定义下的运算，理解新定义运算法则，根据新定义运算法则进行计算，即可求解． 【详解】根据定义新运算可得：，， ∴． 故答案为： 3．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）定义新运算：，其中，，，为实数．例如：．如果，那么 ． 【答案】2 【分析】直接利用运算公式将原式变形，进而计算得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：2． 4．（22-23七年级·黑龙江佳木斯·期中）定义一种运算：对于任意实数，都有，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题目所给的定义得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 5．（23-24七年级·黑龙江七台河·期中）定义新运算：对于a，b有，如，根据定义新运算，计算： ． 【答案】8 【分析】直接利用已知运算公式计算得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：8． 6．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）对于非零的两个实数、，规定，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据定义新运算的运算方法，即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）【数学中的阅读理解】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________，________； (2)若，写出满足题意的的整数值________； (3)如果我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，________之后结果是1； (4)只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中，最大的是________． 【答案】(1)4，6(2)1或2或3(3)3次(4)255 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是理解题意，掌握无理数的估算． （1）根据题意得，，，则，即可得出答案； （2）根据，，即可得； （3）根据题意得，第一次：；第二次：；第三次：，即可得； （4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，则进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255，即可得． 【详解】（1）解：∵，，， ， ，， 故答案为：4，6； （2）解：，，， ∴， 或或， 故答案为：1或2或3； （3）解：第一次：， 第二次：， 第三次：， 第3次之后结果为1， 故答案为：3次； （4）解： 由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ，， 进行2次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15， ，， 进行3次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255， 只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255， 故答案为：255． 1．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）设m为大于1且小于100的整数，则m的平方根中，属于无理数的个数有（　　） A．92个 B．180个 C．182个 D．184个 【答案】B 【分析】1至100之间，除去完全平方数，余下的数字的平方根均为无理数． 【详解】1至100之间（不含1和100）共计有98个数，完全平方数有4、9、16、25、36、49、64、81，共计8个数， 则余下的数有98-8=90个数， 则m可以取的数有90个， 这90个数的平方根有180个，且都是无理数， 故选：B． 2．（23-24七年级·黑龙江大庆·期中）若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的非负性，平方的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键； 根据二次根式的定义，平方的性质即可求解； 【详解】解： ， ，， ，， ， 故选：C 3．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根和立方根的性质以及实数混合运算，解答的关键是掌握以上知识点． 根据平方根的性质对A、D进行判断；根据实数的加法法则对B进行判断；根据立方根的性质对C进行判断． 【详解】解：A、原式，所以A选项错误； B、不能合并，所以B选项错误； C、原式，所以C选项正确； D、原式，所以D选项错误． 故选：C． 4．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期中）下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．的平方根是 D．的立方根是 【答案】B 【分析】本题考查的是求一个数的立方根或平方根，如果 那么是的立方根，根据立方根的含义逐一分析可得答案． 【详解】解：A、的立方根是，故此选项错误，不符合题意； B、的立方根是，故此选项正确，符合题意； C、没有平方根，故此选项不正确，不符合题意； D、的立方是， 的立方根不是，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 5．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）如果，，那么约等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根．利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 6．（22-23七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知关于一元一次方程的解为，则的立方根是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，把代入，求出的值，再根据立方根的知识，即可． 【详解】∵一元一次方程的解为， ∴， 解得：， ∴， ∴的立方根是． 故选：C． 7．（22-23七年级·黑龙江佳木斯·期中）若，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根有意义的条件、立方根的概念，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据算术平方根有意义的条件列出不等式组，解不等式组求出x，进而求出y，再根据立方根的概念计算，得到答案． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， 则， ， 的立方根是， 的立方根是， 故答案为：． 8．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，数轴上，两点表示的数分别为和，若，则点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴的知识，解题的关键是根据题意，则，设点表示的数为，则，根据，则，解出，即可． 【详解】∵数轴、表示的数分别为和， ∴， 设点表示的数为， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点表示的数为． 故答案为：． 9．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）已知，m、n为两个连续的整数，且，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查的是估算无理数的大小等知识点，先估算的取值范围，得出m、n的值，进而可得出结论，先根据题意估算出的取值范围是解答此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：7． 10．（22-23七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在数轴上方有4个方格（每一方格的边长为1个单位），连接，，，得到一个正方形，点A落在数轴上，用圆规在点A左侧的数轴上取一点E，使，若点A与原点重合，则点E表示的数是 ．    【答案】 【分析】先求出正方形的面积，再由算术平方根的定义求出，由点A与原点重合，可得E点表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积， ∴， ∴点A与原点重合， ∵， ∴E点表示的数是， 故答案为：． 11．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中），，则 ． 【答案】 【分析】依据被开放数小数点向左或向右移动2n位，对应的算术平方根的小数点向左或向右移动n位求解即可． 【详解】解： 故答案为： 12．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）若的算术平方根为，的立方根为，是平方根等于本身的数，则的值为 ． 【答案】20 【分析】根据算术平方根、立方根、以及平方根的定义求出，，，把，，的值代入即可求解． 【详解】解：因为的算术平方根为， 所以； 因为的立方根为， 所以， 所以， 因为是平方根等于本身的数， 所以； 所以，，． 所以． 故答案为：． 13．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）已知实数，，，，，若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，求的值． 【答案】1 【分析】此题主要考查了实数运算，求代数式的值．直接利用互为相反数以及倒数和绝对值的性质得出代数式的值，进而得出答案． 【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2， ∴，，， ∴ ． 14．（22-23七年级·黑龙江绥化·期中）已知是的算术平方根，是27的立方根，求：的平方根． 【答案】 【分析】根据是的算术平方根得到，再由是27的立方根得到，求出值即可得到，求出平方根即可得到答案． 【详解】解：是的算术平方根， ， 是27的立方根， ，解得，， 将代入得到， ， ， 的平方根是． 15．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）【数学中的活动设计】如图①，方格纸中每个小正方形的边长均为1．正方形的顶点都在格点上， (1)正方形的面积是________，正方形的边长是________； (2)正方形的边长是________数（填选“有理”或者“无理”）； (3)如果正方形的边长在有理数和之间，那么的平方根是________； (4)在图②中设计一个与图①面积不相等的正方形，要求边长为无理数，并直接写出你设计的正方形的边长． 【答案】(1)， (2)无理(3)(4)见解析，（答案不唯一） 【分析】本题考查无理数的定义、无理数的估算及算术平方根，熟练掌握定义是解题关键． （1）用大正方形面积减去四个三角形面积可得正方形的面积，根据正方形面积公式，结合算术平方根的定义可得正方形的边长； （2）根据无理数的定义，结合（1）中结论可得边长为无理数， （3）利用“夹逼法”估算的取值范围，进而得出，再求的平方根即可求解； （4）利用网格画出正方形，同（1）的方法求出边长即可． 【详解】（1）解：如图，设大正方形为， ∴． ∵， ∴正方形的面积是17，边长是． 故答案为：， ． （2）∵是无理数， ∴正方形的边长是无理数， 故答案为：无理． （3）∵， ∴，则 ∴，的平方根是 的平方根是 故答案为：． （4）如图所示正方形即为所求， ∵小正方形的面积=， ∴小正方形的边长为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$