第25讲 数学广角-【探究乐园】2025年小升初数学总复习高效课堂(精讲篇)

第四部分 数学思考 第25讲数学广角 NO.1 知识要点整理 一、知识结构 搭配问题、推理问题 数字编码问题、集合问题 数学广角 优化问题、鸡兔同笼问题、植树问题 找次品问题、数与形问题、鸽巢问题 二、要点归纳 知识要点 核心内容 注意要领 解决排列、组合问题的方法： 1.排列：先按顺序选定一个元素放在首位，再把剩下的元素排 画图法、列表法、一一列举法 搭配问题 好顺序。 等。排列与顺序有关，组合与 2.组合：按顺序依次搭配，不重复、不遗漏。 顺序无关。 解决推理问题的方法：代换 推理 根据已有的事实，经过分析、推理，就能找到答案，这种解决问 法、列表法、排除法、假设法、 问题 题的方法就是推理。 图解法。 1.邮政编码：由六位数字组成，前两位表示省（自治区、直辖 市)；第三位表示邮区；第四位表示县（市）；最后两位表示投 递局（所）。 数字编 2.身份证编码：由18位数字组成，第1、2位表示省（自治区、数字编码表达的信息是唯一 码问题 直辖市)：第3、4位为地、市级政府的代码：第5、6位为县、的。 区级政府的代码；第7一14位为出生年月日：第15一17位 为顺序号及性别区分，其中第17位单数表示男性，双数表 示女性；第18位为校验码。 如果被计数的部分有A、B两类，那么A类和B类的元素个数 求总数时，重复的部分只能计 集合问题 总和=A类元素的个数十B类元素的个数一既是A类又是B 算一次。 类的元素个数。 弄清楚所做事情的颜序，即先做什么，后做什么，判断哪些事 把能同时做的事情同时做，用 优化问题 情可以同时做，哪些事情只能单独做。 时更省。 1.总只数=鸡的只数十兔的只数 鸡兔同 解决鸡兔同笼问题也可以采 2.假设全是兔，鸡的只数=（总只数×4一总腿敏）÷(4一2) 笼问题 用列表法。 3.假设全是鸡，兔的只数=（总腿数一2×总只数）÷(4一2) 74 丨探究乐园团团团隐复同数学·精讲 1.在不封闭的路线上植树： (1)两端都植：株数=段数十1=全长÷株距十1 生活中常见的上楼梯、锯木 植树问题 (2)一端植树：株数=段数=全长÷株距 头、剪绳子、装路灯、时钟敲响 (3)两端都不植：株数=段数一1=全长÷株距一1 等问题都属于植树问题。 2.在封闭的路线上植树：株数=全长÷株距 在一些外观相同的物品中，有一个质量不同（轻一些或重一 将所有的物品平均分成三份来 找次品 些)的物品，需要想办法把它找出来，像这类问题就是找次品 找次品，如果不能平均分，尽量 问题 问题。 使多的与少的只相差1份。 数与形 数与形问题包含类型：数字规律、图形规律、算式中的规律、周 找准变化的规律是解决问题 问题 期问题。 的关键。 1.鸽巢原理（一）：将m个物体放进n个鸽巢里(m和n是非0 自然数，且m>n),则必有一个鸽巢里至少放进2个物体。 解决“鸽巢问题”的要点是确 鸽巢问题 2.鸽巢原理（二）：将m个物体放进n个鸽巢里(m和n是非0自 定把什么当作“鸽巢”，把什么 然数，且m>n),如果m÷n=k…h,那么总有一个鸽巢里至 当作“物体”。 少放进(k十1)个物体。 N0.2 名师精讲精练 类型1 搭配问题 3.一列列车往返于A、B站，沿途经过3个车 例① 小明在书店选中4本书，但是他 站，则A、B站之间应准备( )种车票。 带的钱只够买其中的任意2本，小明有( ) 类型2 推理问题 种选法。 例2 小王、小张、小李三人，其中一位 思路点拨：分别用A、B、C、D表示四本书， 是工人，一位是老师，一位是医生。现在知 当确定选择A时，另外一本有3种选择。 道：小李比老师年龄大，小王和医生不同岁， 同理，当确定选择其余3本中的一本时，另 医生比小张年龄小。他们三人中，()是 外一本也有3种选择。但是选择A、B与选 工人，( )是老师，( )是医生。 择B、A是同一种情况，所以一共有4×3÷2 思路点拨：根据“小王和医生不同岁，医生比 =6(种)选法。 小张年龄小”可知，小王和小张都不是医生， 答案：6 那么小李肯定是医生：再根据“小李比老师 针对练1 年龄大”和“医生（小李）比小张年龄小”可 1.春风小学从3名女生和2名男生中选出 知，小张不是老师，所以小张是工人。 男、女生各1名来主持“六一”联欢会，有 答案：小张小王小李 ()种不同的选法。 智针对练2 2.从1,3,6,8中选出三个数字组成一个三位 4.如图所示的方格中，每行、每列都有1~4这 数，共能组成( )个没有重复数字的三 四个数，且每个数在每行、每列都只出现一 位数 次，则A是()，B是( ),C是( ). 丨探究乐园小团韧局复同第四部分数学思考丨75 C 4 (1)G一3一1一020/5中，G表示故事书，在 B 3 1 3号书架第1层，本书书号为020，共有 4 5本。猜一猜：T-6-4一120/3表示 2 什么？ 5.一次游泳比赛，有甲、乙、丙、丁四人参加决 赛，赛前他们各说了一句话来预测比赛成 绩。甲说：“我获得第一，乙获得第二。”乙 说：“我获得第一，甲获得第四。”丙说：“我 获得第一，乙获得第四。”丁说：“我获得第 四，丙获得第一。”比赛结束后，大家发现每 (2)一本编号为G一10一5一002/2的书应 人都只说对了一半，那么丁获得第几名？ 到什么位置去找？ 类型4 集合问题 类型3 数字编码问题 例4有100个外国旅客，其中有10人 例3李老师的身份证号码是×××× 既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，有 ××197602134546,李老师是( )年( 83人懂俄语。既懂英语又懂俄语的有 月( )日出生的，性别是( )。 ( )人。 思路点拨：身份证号码上第7~14位代表出 思路点拨：有100个外国旅客，其中10人既 生年月日，倒数第2位表示性别，单数是男 不懂英语又不懂俄语，则剩下100一10= 性，双数是女性，据此可以解决问题。 90(人)只懂英语或只懂俄语，或英语和俄语 答案：1976213女 都懂。题目中已知75人懂英语，83人懂俄 7针对练3 语，两者相加显然超过了90人，超过的部分 6.学校为每个学生编号，设定末尾用1表示 就是既懂英语又懂俄语的人数。 答案：68 男生，0表示女生，如学号“201753321”表示 2017年入学的五年级三班的32号男同学。 T针对练4 李芳是2021年入学的一年级二班的28号 8.同学们到动物园游玩，参观了熊猫馆的有 女同学，她的学号是( 23人，参观了大象馆的有28人，两个馆都 7.下面是校图书馆的图书编号。 参观的有18人，只参观熊猫馆的有() 人，参观这两个馆的一共有()人 类别 书号 书名 作者 9.(2021钦州市真题)一次数学测验只有两道 T T-6-4-120/3 《海的女儿》 安徒生 题，全班40人参加，答对第一题的学生有 G G-3-1-020/5 《狼》 蒲松龄 30人，答对第二题的学生有21人，两题都 76探究乐园孙团韧隐同数学·精讲 答对的有15人，两道题都没有答对的有 雪针对练6 ( )人 12.笼子里有一些鸡和兔。从上面数，有36 类型5 优化问题 个头；从下面数，有100条腿。那么鸡有 例5 放学回家后，小英帮妈妈做家 ( )只，兔有( )只。 务，要做以下几件事： 13.青山小学进行数学探究性作业展，共有93 接水 烧开水 整理房间洗水壶 件作品贴在9块展板上展出。每块大展 倒开水 倒垃圾 板贴12件，每块小展板贴9件，两种展板 1分钟8分钟 4分钟 1分钟 1分钟3分钟 各有多少块？ 小英做完所有的事情最少要( )分钟 思路点拨：能同时做的事情尽量同时做，这 样可以节省时间。因此，烧开水的同时可以 整理房间、倒垃圾。其他的事情都不能同时 做，因此要计算各自所用的时间。 答案：11 类型7 植树问题 7针对练5 例7 在一条马路的一边每隔4米安装 10.一个平底锅一次只能煎两个鸡蛋，用它煎 一个广告牌，因为一头是桥墩所以没有安装， 一个鸡蛋需要4分钟（正、反两面各需要2 小明从头到尾数了一下，一共有42块广告 分钟)，煎5个鸡蛋至少需要( )分钟。 牌。这条马路长( )米。 11.一堆棋子共有44颗，两人轮流从中拿走1 思路点拨：这是植树问题中一端植另一端不 颗或者2颗，谁拿到最后一颗谁就获胜。 植的情况，此时广告牌数=间隔数=总长· 如果你想获胜，应( )拿（填“先”或 株距，所以总长=广告牌数X间距。 “后”)，拿( )颗。 答案：168 类型6 鸡兔同笼问题 雪针对练7 例6 实验小学举办数学竞赛，共有20 14.小华每上一层楼用20秒，他从一楼上到 道题，每做对一道题得5分，不做或做错一道 七楼要用( )秒。 题扣2分。王亮共得79分，他做对了( 15.在一个周长为400米的池塘周围种树。 道题。 每隔10米种一棵杨树，在相邻两棵杨树 思路点拨：解决鸡兔同笼问题一般采用假设 法，假设全部做对，应得20×5=100（分）， 之间每隔2米种一棵柳树，需要杨树 实际少得了100一79=21（分）。不做或做 ( )棵，柳树( )棵。 错一道题比做对一道题少得5十2=7（分）， 类型8 找次品问题 也就是不做或做错了21÷7=3（道）题，据 例8 小华买了7袋水果糖，其中6袋 此解答即可。 质量相同，另有一袋质量不足，至少要用天平 答案：17 称( )次才能保证找出质量不足的那袋。 丨探究乐园小团韧局复同第四部分数学思考丨77 思路点拔： 19.已知一列数按294736294736294…排列， 平衡 那么前40个数字之和是( )。 剩下的 1袋是 20.若按这样排列下去，第10个数是( 平衡，剩 天平两 质量不 下的3袋 端再各 是的 把7袋 中有质量 放1袋 水果糖 天平两 不足的 不平衡 按(2,2 各放 轻的那 天平两 3)分成 2袋 不平衡， 袋是质 端再各 3份 把轻的 量不足 10 放1袋 边的2袋 类型10 鸽巢问题 分成2份 每份1袋 轻的那 例10 布袋里有4种不同颜色的球，每 袋是质 量不足 种球都有10个。最少取出()个球，才能 的 答案：2 保证其中一定有3个球的颜色一样。 思路点拔：把4种不同的颜色看作4个鸽 7针对练8 巢，把布袋中的球看作元素。根据鸽巢原 16.一箱蜂蜜有15瓶，其中有14瓶质量相同， 理，要使其中一个鸽巢里至少有3个颜色 另有一瓶质量不足，用天平至少称()次 样的球，那么取出球的个数应比鸽巢个数的 才能保证找出这瓶质量不足的蜂蜜。 2倍多1。 17.(2022内江市威远县五年级期末)一批零 答案：9 件中有一个不合格（不合格的零件要轻一 针对练10 些)，用天平称了4次就把它找出来了，这 21.篮子里有苹果、梨、桃子和橘子4种水果， 批零件最多有( )个。 如果每个小朋友都从中任意拿2个水果， 类型9 数与形问题 那么至少有( )个小朋友，才能保证有 例⑨ 先找规律，再填空： 2个小朋友拿的水果的种类完全相同。 22.学校图书馆里有A、B、C、D四类书，规定 每个同学可以借1本或2本书，如果借 2本，可以是同一类的，也可以是不同类 1 ）= 的。已知上周有52个同学借了书，至少 2021×2022 几人所借书的类型完全一样？ 思路点拔：观察算式可得出规律：1十1 nn十1 n+i)2nm十D（其中n为正奇数)，据 1 1 此解答即可。 答案： 了针对练9 18.数列1、5、2、15、3、25…的第10项是 ( )。 78丨探究乐园小团韧隐复同数学·精讲1张文:10-15-是 (2)涂红色3份:绿色5份。(等案不唯一,涂红 2430-50+00-38-112-3230(元 赵题,6-16-} 3.小明猛错了,国为40是妈数,小用一盒小 色的份数少于绿色可) 3.千位与万位上的数原来分别是2.0; 去} 5.(1)乐乐 5(答案不唯一:是是质数即可) 根塔了一些正方形和正六边形,用的根数分别 十位与十万位上的数原来分别是8.4 是4释6的倍数,用去的小数数一定是 (2不军 其她数位上的数不变; 所以条文是第一名,王效是第二名,李青是 不可能是根小排,小明一定姥了。 数,刻下的小也应该是偶数根,所以刻下的 6.(1)这个激戏不公.因为暗到单数孩的可能性 这个数题来是1402783,读作一百跨十万二子 七百A十三. 比绩到双数球的可能性大。 第三名,赵则是第四名。 (2)如果这四名同学重新进行一次回标的 4.这个数最大是4400090,最小是350000000. 4.根据题意可知,士关的总人数是3的情数,且 (2)小限不一定会提. 圈比赛,提名不一定会是这样,因为笔一名 5.(1)2004580(2)8054200(答案不一) 了的信数。 士兵物总人数减去3之后既是5的情数又是 (3)为故游戏公,握定通到大手5的数算小 (335040820(答案不一)(4)805040 第二名的差距提小,只要王这在第二次的 高,模照小干5的数算小刚高,虚时小面和小路 时候发挥好一点,排名就会发生变化,所以 90-110之间.同时是3.5初7的倍数的 赢的可性大小相等,游戏规斑是公苹的。 (5)5802400(答案-) 重新进行一次同样的套圈比赛,排名不一定 数为,5×7×3-10,15+-10* 第四部分 数学思考 第?讲 小话识 会是这 (数的认识)填合续习 -.1.0.6 1.75 第25讲 数学广角 2.--1因为 为 一、1.六亿 60000 2.172 1.7 2.零点一六二 1000 162 针对 3.960042000 10亿 3.80.904 人十点九零四 80.90 1.6 2.24 3.20 4.3 4 2 笔数:题+4可以为7、8.910、11.1、13 4.1-(东8 4.50.05 50.050 5.丁获得第三名.6.202112280 14.所以。可以表是34、6.78910. 5.0.6 =-) 3.分子,分母都减去5不约分时,其和应是50- 7.(1)T表示童活书,在《号书架第4层,书的答号 6.羊毛 整件衣限面料 百分之二十五 60.56 0.56,0.56.0.0166- 0.56 为120,共有3本。 ×-40. 01 0.o... (2)在10号书架第5限,书的书号为002. 40-(2+3)-8 - 7.0.175 8.5 33 9.4 10.10 11.先 2 12.2 14 7.小明 小亮 8.77 75 8.3.15 31.5 315 13.根设深是大展析 二.1.× 2.x 3.4×5. 1645-21,24+5-2 9.5.255 5.244 小展板(12×-92)-(12--(块) 三.1.A 2.C 3.B 4.C 5.B 原来的分数是。 大展板:-5-4(块) 晚.D.155 五、1.5.10.12的最小公倍数是40,所以至少再是 14.120 15.40 160 16.3 17.81 二.12.x3x 45. 过40分钟这三路公共改车又同时发车. 第讲 因数与悟数 18.45 19.208 20.55 21.11 三.1.A 2.D 3.A 4.D 5.C 6.D 2.这个班有40名同学,幅个词学篇材3棵 -.1.2.3 .9.1 2.315 27.借书的卷型共有4计4十6-140 .3.(111.631.6031.61.361.063 3.这个小数原来是305.2,次写成以千分之一为 3.120.12315.12305.12360 110.120 组有:52十14-3(人)....10(人) 单位约小数是365.200。 ().3→8.38.8.23 4.75 30 5.82410 6.36 7.48 8.例 少有:3十1-40人) 4.62-1-7-4 -4+(2+7- 二.12.× 3× 45.× 6× 4.0.51i0.10. si 金练 三.1.C 2.D 3.C 4.D 5.B 6.C 五.1.(1)55.7 (207.65 (335. 67,5.7 (4076.5 12+1-13 42-7-4 因.1.12-2X2X3 30-2X3X5 第一部分 数与代数 23213-(10-1-35.70元) 分数是13 一、数的认识 3.38-10×10000-3000(千克 12和30的最大分国数是:2×3-8 12和30的小公偏数是,2×3×2×5-好 第3讲 分数,百分数的认识 第!讲 整数的认识 二、数的运算 25-3×5 45-3×2X5 一.1.3+分之七 第5讲 西测运算的意义和法则 -1.-46,2.08-10 -4-1.-10 6.2 一、1.182等 25和45的最大公因数是.5 265 1 52.5 3.30 两 08 25和45的最小倍数是.5×5×3×-22 #)#x{ 12357000000 2一千零五十九万一于七百 3.百分之九十八 实际到校学生人数 全校学 36-2×2×3X3 124 1235700 72-2X2X2X3X3 生总人数 5.3.876 387.6 0.17 0.17 6.152 3.八)3458000 36和72的最大分图数是-2×2×3×3-36 4.24 20 62.5 8.625 二.1.× 2.3.4×$.× 4+60-0 3和72的最小公倍数是:2×2X2×3×3-72 s1 2.84-2×2×3X7 四1.11品817.5.356 .625 三.1.B 2.C 3.D 4.C 5.C 5324) 6.19000000000 10%5000000 ,) 108-2x2xax3x 1-7x17 18982410000 108534521250000 #2.号 700 6000 40 20 60-2×2xaX{ 18982408000 10874521245300 2.12.4 5655 20..20 6.03 五.133-2-35,45-3-42. 7. 2000420468 二.1.2×34×5×6. 五、1.1.-1.49-0.40 0.44×10-4.6 35和42的最大公因数是7.所以有7名三好 二.1.×23.x4× 5 三.1.B 2.B 3.B 4.B 5.C 1.49+4.6-6.05 学生。 五.3.(1)每个人套翻水平如下 三.1.B 2.A 3.D 4.D 5.D 2.30.8×3~31×-93(元)48.5元~49元 2.1722-2×3X7×41-42×41 李育:8-18-{ 王:12-20-是 Hn 93+49-142(元)200-142-58(元 这两个页码是41和42。 52<58<45,买52元的遥控赛车。 一探究乐园·数学小升初总复习一 1