课时8.1 功和功率-【帮课堂】2024-2025学年高一物理同步学与练（人教版2019必修第二册）

第八章机械能守恒定律 课时8.1功和功率 2020年课程标准 物理素养 2.1.1理解功和功率。了解生产生活中常见机械的功率大小及其意义。 物理观念：通过功和功率的学习，建立能量转化与做功的基本观念，理解功是能量转化的量度，功率是描述做功快慢的物理量，能用公式和分析恒力做功及功率问题，形成从能量角度认识物体运动的思维习惯。 科学思维：运用比值定义法建立功率概念，通过理想化模型（如恒力做功）简化复杂问题，培养逻辑推理能力；能结合实际情境，分析不同力做功的正负及功率大小，提升将物理规律应用于具体问题的科学思维方法。 科学探究：通过实验探究恒力做功与物体运动的关系，例如测量人上楼的功率，经历设计方案、收集数据、分析论证的过程，提高实验操作与误差分析能力，增强探究物理规律的科学素养。 科学态度与责任：关注功和功率在生活中的应用（如机械效率、能源利用），体会物理与社会的联系，激发探索自然规律的兴趣；养成严谨求实的科学态度，树立合理利用能源、节约资源的社会责任感。 知识点一、功 1.衔接初中知识 初中阶段已建立功的基本概念，即“如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上移动一段位移，我们就说这个力对物体做了功”；“做功的两个必要因素是力和物体在力的方向上通过的距离”；并通过公式W＝Fs计算恒力做功、单位1J＝1N▪m。高中阶段在此基础上深化，明确功是能量转化的量度，将功的概念从力学拓展到电磁学、热学等领域。例如，电流做功、分子力做功等，均体现了不同形式能量之间的转化。 2.功的计算式 功的数学表达式为 其中 F是作用在物体上的恒力大小； l是物体相对于地面的位移大小； θ是力F与位移l方向的夹角。 该公式表明，只有力在位移方向上的分量对做功有贡献。例如，当人推箱子水平前进时，推力与位移方向一致（θ＝0°），功的公式为W=Fl；若推力斜向上，则需计算水平分力做功。 3.理解与应用 （1）功是标量，但有正负之分，正负仅表示能量转化的方向，不表示大小。 （2）研究做功时的关注点是力,而不是物体,物体可能受多个力作用,每个力做的功需单独计算。 （3）公式W=Flcosθ仅适用于恒力做功。公式中各量都要取国际单位制单位。若力的大小或方向变化，则需采用微元法或图像法（如F-l)图线与横轴围成的面积计算变力做功。 （4）力F对物体所做的功W,只与F、θ三者有关,与物体的质量、运动状态、运动形式及是否受其他力等因素均无关。 （5）计算功时需明确研究对象。例如，分析物体受多个力做功时，需分别计算每个力对物体所做的功。 （6）功是过程量,对应一段位移或一段过程。求力做的功时,一定要明确是哪个力在哪一段位移上(或在哪一个过程中)所做的功。 知识点二、正功和负功 1.正功和负功的判断 （1）当0≤θ＜90°时，cosθ＞0，力对物体做正功，表明该力为动力，向物体提供能量。例如，弹簧恢复形变时对物体的弹力做正功。 （2）当90°＜θ≤180°时，cosθ＜0，力对物体做负功（或物体克服该力做功），表明该力为阻力，消耗物体能量。例如，弹簧发生形变（弹簧被拉伸或被压缩）时，物体对弹簧做功，弹力做负功。 （3）当θ＝90°时，力与位移垂直，力不做功。例如，物体做匀速圆周运动时，向心力始终与速度方向垂直，故不做功。 2.总功的计算 方法一：分别计算每个力对物体所做的功，再求代数和。例如，物体受拉力F1、摩擦力F2和重力G作用，总功W总＝WF1＋WF2＋WG。 方法二：先求物体所受的合力F合，再计算合力做功W总＝F合lcosθ，其中θ为合力与位移的夹角。两种方法结果一致，可根据具体问题选择简便方法。 知识点三、功率 1.功率 （1）物理意义：功率是描述做功快慢的物理量。 （2）定义式： （3）单位：瓦特，简称瓦，符号W。 （4）功率大表示单位时间内做功多，例如，100W的灯泡每秒消耗100J的电能。 2.对公式的理解与应用 （1）该公式计算的是平均功率，反映一段时间内做功的平均快慢。例如，一台机器在5秒内做功1000J，则其平均功率为。 （2）若时间趋近于零，可近似表示瞬时功率，但实际中更常用P＝Fv计算瞬时功率。 3.额定功率和实际功率 （1）额定功率：机器正常工作时的最大输出功率，由设备本身性能决定。例如，某汽车发动机的额定功率为150kW，表示其长时间工作时的最大功率。 （2）实际功率：机器实际工作时的功率，可小于或等于额定功率，但不能长期超过额定功率，否则会损坏设备。例如，汽车在平坦路面行驶时实际功率可能低于额定功率，爬坡时则可能接近额定功率。 四、功率与速度之间的关系 1.功率与速度关系的推导 由功的公式和功率定义，结合速度公式，可得：，当力与速度方向一致时，，公式简化为。 2.P、F与v的制约关系 （1）当功率P恒定时，力F与速度v成反比。例如，汽车发动机功率一定时，减小速度可增大牵引力（如爬坡时挂低速挡）。 （2）当力F恒定时，功率P与速度v成正比。例如，起重机以恒定拉力提升重物时，速度越大，功率越高。 3.对公式P＝Fv的理解 （1）若v为瞬时速度，则P为瞬时功率，反映某一时刻的功率大小。例如，汽车加速到某一速度时的功率。 （2）若v为平均速度，则P为平均功率，适用于分析一段时间内的功率。 （3）该公式揭示了力、速度与功率的动态关系，广泛应用于分析机车启动、机械做功等实际问题。 4.公式和P＝Fv的比较： （1）定义式：普适性强，适用于任何情况下功率的计算，但需已知功W和时间t。 （2）推导式P＝Fv：直观体现力与速度对功率的影响，尤其适用于分析力、速度和功率的瞬时关系或动态变化，如汽车牵引力与速度的关系。 问题一：恒力做功 【角度1】功的理解 【典例1】（23-24高一下·河南商丘·期末）对做功的理解，下列说法正确的是（　　） A．功有大小有正负，则功是矢量 B．恒力与位移的夹角为锐角，则该恒力做正功 C．物体的位移为零，该过程中外力对物体做功一定为零 D．力对物体所做的功等于力和路程的乘积 解法通则 （1）功的本质属性判断 ①标量性：功是标量，正负表示做功效果（动力功为正、阻力功为负），与矢量方向无关。 ②定义式核心：W = Fs cosa，a为力与位移夹角。 ③正负功：锐角a < 90°→ 正功；钝角→负功；直角→不做功。 ④公式要素：位移（非路程）、夹角余弦，排除 “力 × 路程” 类错误。 （2）特殊力做功的通用规则 ①摩擦力：可做正功、负功或不做功，取决于相对运动方向与位移方向。 ②平衡力：一对平衡力做功的代数和必为零。 ③作用力与反作用力：做功无必然关联（可同正、同负、一正一负或均为零）。 （3）判断口诀 标量功，看夹角：锐角正、钝角负，直角不做功。 摩擦力，分情况：可正可负可不做，相对位移定方向。 平衡力，总功零：等大反向位移同，代数相加必为零。 作用力，反作用：做功独立无关联，正负零值皆可能。 避绝对，抓定义：位移（非路程）、标量和，公式要素记准确。 【变式1-1】（23-24高一下·天津河北·期末）关于功，下列说法正确的是（　　） A．因为力是矢量，位移是矢量，所以功也是矢量 B．如果物体受到两个力作用而运动，已知力做功5J，力做功，则这些力对物体做的总功是一 C．因为摩擦力总是与相对运动或相对运动趋势方向相反，所以摩擦力如果做功只能做负功 D．因为作用力和反作用力总是等大反向，所以一对作用力和反作用力做功时总是一正一负 【变式1-2】下列说法中正确的是（　　） A．力对物体做功多，说明物体的位移一定大 B．静摩擦力总是做正功，滑动摩擦力总是做负功 C．作用力做功，反作用力也一定做功 D．一对平衡力所做的功的代数和总为零 【角度2】正、负功的判断 【典例2】（2024·海南·高考真题）神舟十七号载人飞船返回舱于2024年4月30日在东风着陆场成功着陆，在飞船返回至离地面十几公里时打开主伞飞船快速减速，返回舱速度大大减小，在减速过程中（　　） A．返回舱处于超重状态 B．返回舱处于失重状态 C．主伞的拉力不做功 D．重力对返回舱做负功 做功正负的通用判断方法 （1）力与位移方向关系： 正功：力与位移夹角为锐角（或同向），如举哑铃上升时拉力与位移同向→正功。 负功：力与位移夹角为钝角（或反向），如举哑铃下降时拉力向上、位移向下→负功。 不做功：力为零、位移为零，或力与位移垂直。 （2）施力存在性： 力不存在时（如松开弓弦后，人不再施力），做功为零。 （3）口诀 超重失重看加速：向上超重，向下失重。 做功正负看夹角：同向正、反向负，垂直或无力不做功。 作用点移才做功：静摩擦 / 支持力，作用点不动则无功（如跑步、跳高场景）。 施力存在是前提：力消失则功为零（如松开弓弦后不做功）。 【变式2-1】（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）2024年7月20日，内蒙古赤峰市巴林左旗首届旅游那达慕胜利召开，其中射箭项目是那达慕大会的活动内容之一。“神射手”在草原上享有很高的荣誉，在“神射手”射箭的过程中，下列说法正确的是（　　） A．“神射手”拉弓时，人对弓和箭组成的系统做正功 B．“神射手”拉弓时，人对弓和箭组成的系统做负功 C．“神射手”松开拉紧的弓弦后，人对弓和箭组成的系统做正功 D．“神射手”松开拉紧的弓弦后，人对弓和箭组成的系统做负功 【变式2-2】（2024高二上·江苏盐城·学业考试）健身锻炼时，小明将哑铃向上举起后再缓慢放下，此过程中小明对哑铃做功的情况是（　　） A．先做正功，再做负功 B．先做负功，再做正功 C．一直做正功 D．一直做负功 【变式2-3】（2024高三·全国·专题练习）关于做功情况，以下说法正确的是（　　） A．跳高运动员起跳时地面对人的支持力做正功 B．短跑运动员加速运动阶段地面对人的摩擦力做正功 C．短跑运动员匀速运动阶段地面对人的摩擦力不做功 D．短跑运动员减速运动阶段地面对人的摩擦力做负功 【角度3】功的计算 【典例3】（24-25高一下·河北·阶段练习）如图所示，木板静止在水平面上，滑块静止在长木板最右端，在时刻对木板施加一个水平向右的恒力，同时对滑块施加一个水平向左的恒力，时滑块运动到木板最左端。已知滑块和木板质量分别为和， 木板与水平面之间、滑块与木板之间的动摩擦因数分别为0.2和0.5，重力加速度取，求： (1)时间内，恒力和所做的功； (2)当滑块相对于木板滑动时，立即撤去拉力，求从撤去拉力到二者共速这段时间内拉力做的功。 恒力做功计算的解题过程 （1）受力分析优先： 确定研究对象（单个物体或系统），画出受力图，标注摩擦力、外力方向。 （2）牛顿定律求加速度： 对每个物体列F合＝ma，注意摩擦力公式f＝μ N（N为正压力，可能含其他力的分力）。 （3）运动学求位移/速度： 用、v＝at等公式求位移或速度，为功的计算铺垫。 （4）功的公式代入： 恒力功：W＝Flcosa（a为力与位移夹角）； （5）多力功：总功为各力做功的代数和（标量相加）。 （6）口诀 多物体，先隔离：受力分析列牛顿，加速度求位移。 恒力功，看夹角：同向直接乘，夹角带余弦，钝角功为负。 共速时，算时间：速度相等列方程，位移再把功来算。 简单题，公式套：同向同距直接乘，夹角勿忘余弦值。 【变式3-1】（2025·贵州·三模）2024年5月1日，我国第三艘航空母舰——福建舰出海展开首次航行试验。它采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，弹射轨道长110m，舰载机搭载在磁悬浮电磁弹射车上，弹射过程中舰载机受到弹射车的平均推力约为1.1×106 N，不计阻力，则弹射车弹射一次做的功约为（　　） A．4.0×107 J B．4.0×106 J C．1.2×107 J D．1.2×108 J 【变式3-2】（2024高二上·江苏扬州·学业考试）如图所示，物体在力F的作用下发生了一段水平位移l，夹角θ为150°。则力F对物体做的功为（　　） A．W＝Fl B．W＝Fl C．W＝Fl D．W＝－Fl 【角度4】摩擦力做功 【典例4】（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，在光滑的水平面上，物体A放在长为l的木板B的右端，现用水平力F向右拉木板。 (1)若物体A相对木板B滑动，当B前进x时，物体A从木板B左端滑下。已知A、B间的滑动摩擦力为Ff，求摩擦力分别对A、B做了多少功？这一对滑动摩擦力做功的总和为多少？ (2)若物体A相对木板B没有滑动，已知当B前进x时，物体A受到的静摩擦力为Ff′，求静摩擦力分别对A、B做了多少功？这一对静摩擦力做功的总和为多少？ 解法通则 滑动摩擦力做功：滑动摩擦力做功的计算公式为W＝Ffs，其中s是物体相对地面的位移。当摩擦力方向与位移方向相同时，摩擦力做正功；反之做负功。 静摩擦力做功：静摩擦力做功同样根据W＝Ffs计算，但要注意s是物体相对地面的位移。静摩擦力可以做正功、负功或不做功。 利用图像求摩擦力做功：如给出摩擦力随位移变化图像的情况，摩擦力做功等于图像与位移轴围成的面积。图像在位移轴上方时，摩擦力做正功；在位移轴下方时，摩擦力做负功。 【变式4-1】（24-25高三上·河南南阳·期末）如图，在倾角足够长的斜面上有一个质量为的物体，物体刚开始距斜面底部，物体与斜面之间的动摩擦因数为。物体在拉力的作用下由静止开始运动，方向沿斜面向上。加速一段时间后撤去，让物体在斜面上运动。（）（，）求： (1)物体返回底部时的速度； (2)全过程摩擦力做的功。 【变式4-2】（2024·四川成都·一模）（多选）如图甲所示，一足够长的水平传送带以某一恒定速度顺时针转动，一根轻弹簧一端与竖直墙面连接，另一端与工件不拴接。工件将弹簧压缩一段距离后置于传送带最左端无初速度释放，工件向右运动受到的摩擦力Ff随位移x变化的关系如图乙所示，x0、Ff0为已知量，则下列说法正确的是（工件与传送带间的动摩擦因数处处相等）（　　） A．工件在传送带上先做加速运动，后做减速运动 B．工件向右运动2x0后与弹簧分离 C．弹簧的劲度系数为 D．整个运动过程中摩擦力对工件做功为 问题二：变力做功 【角度1】平均值法 【典例5】（23-24高一下·广西南宁·期末）一质量为m的物块，在水平拉力F的作用下从静止开始沿水平面运动，其阻力f为物块重力的倍，水平拉力的大小，其中k为比例系数，x为物块运动的距离。在物块运动的距离为s的过程中拉力做的功为（　　） A． B． C． D． （1）速度与距离关系的理解 ①近日点和远日点速度变化：根据开普勒第二定律，行星在近日点时与太阳的连线短，在相等时间内扫过相等面积，所以速度快；在远日点时与太阳的连线长，速度慢。 ②速度变化的连续性：行星从近日点向远日点运动过程中，速度是逐渐减小的；从远日点向近日点运动过程中，速度是逐渐增大的，其速度变化是连续的，不是突变的。在进行相关计算和分析时，要考虑到速度的这种渐变特性。 （2）实际应用中的近似处理 ①近圆轨道的近似：对于一些轨道偏心率较小的行星或卫星，在精度要求不高的情况下，可以近似将其轨道看作圆形。此时，行星或卫星的速度大小近似不变，可根据圆周运动的规律进行计算和分析。但在需要高精度的情况下，仍需考虑轨道的椭圆特性和开普勒第二定律。 ②瞬时速度的近似：在某些问题中，需要计算行星在某一特定位置的瞬时速度。可以根据开普勒第二定律，选取该位置附近的一小段时间间隔，近似认为在这一小段时间内行星做匀速圆周运动，从而计算出瞬时速度。但这种近似方法的精度有限，需要根据具体情况进行评估和修正。 【变式5-1】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）质量为的物体在水平力F的作用下在水平面上沿x轴由静止开始运动，F随位置x变化的图像如图所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度g取，则物体从运动到的过程中，合外力做功为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一下·湖北·期中）如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，一轻质弹簧下端固定在斜面底端挡板上，上端与质量为1kg的小滑块A相连，A上叠放另一个质量为2kg的小滑块B，弹簧的劲度系数为k=50N/m，初始时系统处于静止状态。现用沿斜面向上的拉力F作用在滑块B上，使B开始沿斜面向上做加速度大小为2m/s2的匀加速直线运动。重力加速度大小为10m/s2，不计空气阻力。从开始运动到A、B分离瞬间，拉力F做功为（　　） A．1.76J B．1.6J C．1.4J D．1.12J 【角度2】化变力为恒力求变力做功 【典例6】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮O，现以大小不变的拉力F拉绳，使滑块从A点由静止开始上升，滑块运动到C点时速度最大，已知滑块质量为m，滑轮O到竖直杆的距离为d，，重力加速度为g（已知：），则滑块由A到C过程轻绳对滑块做功为（　　） A． B． C． D． 解题步骤： （1）明确恒力性质： 拉力 F 大小不变（题目直接给出或隐含，如 “恒力”“匀速”“不计绳质量及摩擦”），绳对物体的拉力做功等于拉力 F 对绳端做的功（因绳无质量、无能量损耗）。 （2）几何分析求绳端位移： 设滑轮到物体运动轨迹的垂直距离为 d（或已知高度 h），根据初末状态的角度（如α1, α2）或位置，用勾股定理或三角函数计算初末状态的绳长L1, L2。 绳端位移△L＝L2 －L1（绳缩短或伸长的长度，恒力方向与位移同向时取正值）。 （3）计算功： 直接应用W＝F△L，无需分解力（因拉力始终沿绳方向，位移与力方向一致）。 （4）关键注意点： ①状态分析： 若物体速度最大，需先通过受力平衡（合力为零）求角度，再代入几何关系。 若物体匀速运动，拉力等于重力F = mg，功等于重力势能增量，本质仍需通过绳长变化求高度变化。 ②位移方向：绳端位移是 “绳自由端移动的距离”，与物体运动轨迹无关，仅由滑轮位置和角度变化决定。 ③公式简记： 或（根据几何模型选择对应公式，核心是初末绳长差△L）。 【变式6-1】某人利用如图所示的装置,用100 N的恒力F作用于不计质量的细绳的一端,将物体从水平面上的A点移到B点。已知α1=30°,α2=37°,h=1.5 m,不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦。求绳的拉力对物体所做的功（sin 37°=0.6,cos 37°=0.8）。 【变式6-2】人在A点拉着绳通过一个定滑轮匀速吊起质量的物体，如图所示，开始时绳与水平方向成角，当人拉着绳由A点沿水平方向运动而到达B点时，绳与水平方向成角，求人对绳的拉力做了多少功？（不计摩擦，g取） 【角度3】利用微元法求变力做功 【典例7】（2025·河北廊坊·一模）石磨是把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种工具。如图所示，石磨由下盘（不动盘）和上盘（转动盘）两部分组成。某人在手柄上施加方向总与垂直、大小为的水平力作用使石磨上盘匀速转动，已知点到转轴的距离为，则石磨上盘匀速转动一周的过程中摩擦力所做的功约为（    ） A．0 B． C． D． 解法通则 （1）力的性质分析： 若力大小不变、方向始终与速度方向共线（同向或反向，如摩擦力、空气阻力），或力与速度夹角恒定（如拉力在曲线运动中的切向分量），可将曲线分割为无数微元，每段微元上力视为恒力。 （2）变力做功计算： 阻力 / 摩擦力做功（方向始终与速度反向）：功等于力大小乘以路径长度，符号为负（因夹角 180°），即W＝－Fs，其中 s 为运动轨迹的实际长度（如圆弧长、圆周周长）。 动力做功（方向始终与速度同向）：类似地，功为W＝Fs。 （3）微元法应用： 对曲线运动，将轨迹分割为无数小段 ds，每段上力的方向与 ds 夹角为θ（恒为 0° 或 180°），总功为 。 （4）关键注意点： ①路径长度计算： 圆周运动：周长s＝2πR；圆弧运动：弧长s＝Rθ（θ为圆心角，弧度制）。 ②力的方向与做功符号： 阻力（与速度反向）：cosθ ＝－1，功为负；动力（与速度同向）：cosθ ＝1，功为正。 ③约束力不做功： 如绳拉力、杆弹力等，若始终与速度垂直(cosθ＝0），则全程做功为0。 ③公式简记： 变力（大小不变、方向共线）做功：W ＝±Fs路径(＋同向，－反向) 【变式7-1】（23-24高一下·四川成都·期末）狗拉雪橇是中国北方冰雪旅游的重要项目之一。如图所示，雪地犬水平拉着质量为80kg的雪橇（包括人和内部物品）在水平雪面做半径为24m的匀速圆周运动，速度大小为3m/s，雪橇与雪面间的动摩擦因数为0.05，重力加速度取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．雪橇受到狗的拉力为40N B．雪橇做匀速圆周运动的向心力为40N C．狗拉雪橇的拉力功率为120W D．狗拉着雪橇转过一周，雪橇克服地面摩擦力做功为 【变式7-2】（多选）如图所示，摆球质量为，悬线长度为，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小不变，则下列说法正确的是（　　） A．重力的瞬时功率在不断增大 B．悬线的拉力做功为0 C．空气阻力做功为 D．空气阻力做功为 【角度4】利用F-x图像求变力做功 【典例8】（24-25高三上·福建厦门·期中）如图甲所示，质量为4kg的物体在水平推力作用下开始运动，推力大小F随位移大小x变化的情况如图乙所示，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10m/s2，则（　　） A．0-4m内物体做匀加速运动 B．运动过程中推力做的功为400J C．运动到4m处，物体加速度大小为0 D．运动到4m处，力F的功率为0 F-x 图像面积法：图线与 x 轴围成的面积即为力 F 做的功，横轴上方面积为正功，下方为负功（若力与位移同向 / 反向）。 规则图形（如三角形、梯形）直接用几何公式计算面积； 多段图线需分段计算后求和。 【变式8-1】（24-25高一下·全国·课后作业）图甲为建造桥梁时使用的穿巷式架桥机，支腿架在桥墩上架桥施工，在走行系统的水平方向作用力下，将桥梁水平推进到预设位置后放下与主体相接。已知桥梁的质量为m，在桥梁水平移动过程中，架桥机对桥梁的水平力F与桥梁的位移x之间的关系如图乙所示，桥梁所受阻力方向与运动方向相反，大小恒为f，重力加速度为g。则桥梁受架桥机水平力F作用过程中，下列说法正确的是（　　） A．桥梁向右做匀加速直线运动 B．力F做的功为 C．阻力做的功为 D．桥梁在处速度最大 【变式8-2】质量为m、初速度为零的物体，在按不同规律变化的合外力作用下都通过位移x0。下列各种情况中合外力做功最多的是（　　） A． B． C． D． 问题三：功率的理解与计算 【角度1】对功率的理解 【典例9】（23-24高一下·天津河北·期末）关于功率，下列说法正确的是（　　） A．由可知，物体运动越快，功率越大 B．由可知，某一时刻，力大、速率也大，而功率不一定大 C．由可知，力做功越多，功率就越大 D．由可知，功率越大，力做功越多 对于功率，要理解其定义式以及P = Fvcosa的含义。功率是描述做功快慢的物理量，与做功多少和时间都有关系，不能仅根据其中一个因素判断功率大小。 【变式9-1】（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）下列关于功和功率说法中正确的是（　　） A．摩擦力可能对物体做正功或做负功，也可能不做功 B．若一个力对物体做功为零，则该物体一定处于静止状态 C．速度大的汽车其发动机功率一定大 D．有力作用在物体上，并且物体也发生了位移时，力对物体一定做功 【变式9-2】（23-24高一下·山东威海·期末）关于功和功率，下列说法正确的是（　　） A．力越大，力做功就越多 B．位移越大，力做功就越多 C．功率越大，力做功就越多 D．功率越大，力做功就越快 【角度2】瞬时功率的分析与计算 【典例10】（2023·山东·高考真题）质量为M的玩具动力小车在水平面上运动时，牵引力F和受到的阻力f均为恒力，如图所示，小车用一根不可伸长的轻绳拉着质量为m的物体由静止开始运动。当小车拖动物体行驶的位移为时，小车达到额定功率，轻绳从物体上脱落。物体继续滑行一段时间后停下，其总位移为。物体与地面间的动摩擦因数不变，不计空气阻力。小车的额定功率P0为（   ） A． B． C． D． （1）分析物理过程，明确运动状态变化 详细分析整个物理过程中物体或系统的运动状态变化情况。 （2）准确受力分析，依据牛顿第二定律求解加速度（若有需要） 正确分析物体或系统在各个阶段所受的力是解题的关键步骤之一。 （3）灵活运用功率公式P＝ Fv 【变式10-1】（2023·湖北·高考真题）两节动车的额定功率分别为和，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为和。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高二上·云南曲靖·期末）如图所示，探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞。在接近某行星表面时以速度竖直匀速下落，此时启动“背罩分离”，探测器与背罩断开连接，背罩与降落伞保持连接。已知探测器质量为，该行星的质量和半径分别为地球的和。地球表面重力加速度大小取。忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有（　　） A．该行星表面的重力加速度大小为 B．该行星的第一宇宙速度小于 C．“背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为 D．“背罩分离”后瞬间，降落伞和被罩一起处于失重状态 【变式10-3】（24-25高三上·山东泰安·期末）有一质量的混合动力轿车，在平直公路上以的速度匀速行驶，蓄电池不工作，汽油发动机的输出功率为。当司机看到前方较长一段距离内无其他车辆时，使轿车汽油发动机和电动机开始同时工作（以该时刻作为计时起点），汽油发动机的输出功率保持不变仍为48kW，电动机输出功率恒定，轿车汽油发动机和电动机同时工作之后的v-t图像如图所示。若轿车运动过程中所受阻力始终不变，则电动机输出功率为（　　） A．68kW B．30kW C．20kW D．10kW 【角度3】平均功率的分析与计算 【典例11】（2023·山东·高考真题）《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为（    ） A． B． C． D．nmgωRH （1）分析能量转化与转移过程 明确题目中涉及的能量形式及转化路径。 （2）确定关键物理量 找到与做功、功率相关的关键量。 （3）运用相关公式计算 根据功的公式W＝ Fs、功率公式，以及与能量转化相关的推导公式通过求总质量算总功进而得功率，进行求解。 【变式11-1】（24-25高三上·湖北武汉·期末）我国风力资源丰富，随着国家对新能源行业发展的支持，风力发电得到了迅猛发展。某地风力发电机叶片转动时可形成半径为50m的圆面，且会随着风向调整姿态使转动的圆面始终与风向垂直，风力发电机能将此圆内10%的空气动能转化为电能。已知某段时间内的风速为3m/s，扇叶转动，发电机正常发电，空气的密度为1.2kg/m3，则风力发电机发电的功率为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2024·福建·高考真题）我国古代劳动人民创造了璀璨的农耕文明。图（a）为《天工开物》中描绘的利用耕牛整理田地的场景，简化的物理模型如图（b）所示，人站立的农具视为与水平地面平行的木板，两条绳子相互平行且垂直于木板边缘。已知绳子与水平地面夹角为，，。当每条绳子拉力的大小为时，人与木板沿直线匀速前进，在内前进了，求此过程中 (1)地面对木板的阻力大小； (2)两条绳子拉力所做的总功； (3)两条绳子拉力的总功率。 问题四：机车的启动问题 【角度1】恒定功率启动 【典例12】（24-25高三上·湖南长沙·期末）一质量可视为不变的汽车在平直公路上行驶，该车在一段行驶过程中速度的倒数随加速度a的变化图像如图所示，已知图线的斜率为k，纵截距为b。下列说法正确的是（　　） A．汽车运动过程中发动机的输出功率不变 B．汽车在行驶过程中受到的阻力逐渐变大 C．汽车行驶的最大速度为 D．当汽车速度为最大速度的一半时，汽车的加速度为 （1）掌握机车启动基本模型：机车启动主要有两种模型，一是以恒定功率启动，二是以恒定加速度启动。以恒定功率启动模型，汽车功率P ＝ Fv（F为牵引力，v为速度）保持不变，随着速度v增大，牵引力F减小。 （2）利用牛顿第二定律：根据牛顿第二定律F－f＝ma（f为阻力，m为汽车质量，a为加速度），结合P＝Fv，将代入牛顿第二定律表达式，得到。这是解决此类问题的核心方程。 （3）分析图像信息（若有图像）：对于给出图像的题目，要明确图像横、纵坐标物理量的含义，并将物理公式与图像相结合。通过对变形，得到，此式与一次函数y = kx + b形式相似，从而利用图像的斜率k和截距b求出功率P和阻力f等物理量。 （4）确定特殊状态物理量：当机车达到最大速度vm时，牵引力F等于阻力f，此时功率P＝Fvm＝fvm。利用这一特殊状态，结合已知条件可求出其他物理量。 【变式12-1】（24-25高一下·福建福州·阶段练习）京张高铁将北京到张家口的通行时间缩短在1小时内。假设京张高铁启动后沿平直轨道行驶，发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的阻力大小恒定，高铁的质量为m，最大行驶速度为vm，下列说法正确的是（　　） A．在加速阶段，高铁做加速度逐渐增大的加速直线运动 B．高铁受到的阻力大小为 C．高铁的速度为时，其加速度大小为 D．高铁的加速度为时，其速度大小为 【变式12-2】（24-25高三上·广西河池·期末）某款国产汽车在出厂之前相关技术人员对汽车进行了测试，汽车以恒定功率启动做直线运动，汽车的最大速度为，当汽车的速度为时，汽车的加速度为；当汽车的速度为时，汽车的加速度为，若阻力不变，则与的比值为（　　） A． B．3 C． D．2 【变式12-3】（24-25高三上·甘肃白银·期末）（多选）2024年，中国品牌的新能源汽车在全世界市场的份额继续上升，成为推动市场发展的重要力量。某国产新能源汽车的质量为1.2×103kg，在水平路面上测试时，其速度大小的倒数与加速度大小a的关系图像如图所示，在行驶过程中，该车的功率与所受的阻力均恒定，则该车在行驶过程中（　　） A．所受阻力大小为4000N B．所受阻力大小为1200N C．功率为4000W D．功率为1200W 【角度2】恒定加速度启动 【典例13】（2025·河北·一模）一辆起重机某次从时刻由静止开始竖直提升质量为500kg的物体，物体的图像如图所示，2s后起重机的功率为额定功率，不计空气阻力，取重力加速度大小，下列说法正确的是（    ） A．物体在匀加速阶段的位移大小为2m B．该起重机的额定功率为5.25kW C．物体的最大速度大小为 D．和时间内牵引力对物体做的功之比为 （1）运动分析：依据v - t图像或运动描述，明确物体运动过程，如匀加速、变加速、匀速阶段等。 （2）受力分析与公式运用：运用牛顿第二定律F－f ＝ ma，结合P ＝ Fv。 （3）特殊状态利用：当物体达到最大速度时，牵引力F＝f，此时P＝fvm。借此求阻力或最大速度等物理量。 【变式13-1】（24-25高三下·河南·阶段练习）2024年10月1日，由我国自主研发目前最先进的CR400AF-S型“复兴号”智能动车组列车从太原顺利开往北京，最高时速350公里/小时。已知列车的质量为，若此列车在平直铁路上行驶的图像如图所示，在行驶过程中受到的阻力大小恒定，则在0~20s内，下列说法正确的是（　　） A．列车牵引力功率保持恒定 B．列车的初速度大小为10m/s C．列车的加速度大小为 D．0~20s内列车牵引力做的功大于 【变式13-2】（23-24高一下·重庆·期中）额定功率为40kW的汽车，在平直公路上行驶最大速度是20m/s，汽车质量，如果汽车从静止开始先做加速度为的匀加速直线运动，达到额定功率后以额定功率行驶，在运动过程中阻力不变，则关于启动过程，下列说法正确的是（　　） A．汽车受到的阻力为4000N B．汽车匀加速运动时受到的牵引力为8000N C．汽车做匀加速直线运动的最大速度为10m/s D．从静止到速度达到最大，合外力做功为 【基础强化】 1．（2024高二上·黑龙江·学业考试）如图所示，人用细绳拉动物体在水平面上前进了一段距离。则人对物体做功情况为（    ） A．做正功 B．不做功 C．做负功 D．无法判断 2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）如图所示，拉力F大小为10N，方向与水平方向夹角，物体在拉力F作用下沿水平面向右前进了10m。此过程中拉力F做功为（　　） A． B． C． D．50J 3．（2024高二上·新疆·学业考试）如图所示，一物体在力F作用下沿水平方向做匀速直线运动，若物体通过的位移为s，则（    ） A．力F做的功为Fs B．物体克服摩擦力做的功为Fs C．重力做的功为Fs D．支持力做的功为零 4．（23-24高一下·江苏常州·期中）如图所示，将小物块放在向右运动传送带的A点，一段时间内小物块向右运动了S1，此时传送带的A点与小物块间距离为S2，且小物块的速度仍小于传送带速度，小物块与传送带间的滑动摩擦力为f，则（　　） A．摩擦力对小物块做功为 B．摩擦力对小物块做功为 C．摩擦力对传送带做功为 D．摩擦力对传送带做功为 5．（24-25高一下·河北·阶段练习）有一个软木块静止放在光滑水平面上，一粒高速飞行的子弹（可看作质点）以水平速度打到木块上，子弹穿透木块后飞出，经测量，在子弹刚进入木块到刚穿透本块的过程中，木块相对于地面滑动的距离是子弹相对于木块运动距离的一半，在这个过程中，子弹克服摩擦力所做的功为，子弹对木块所做的功为， 子弹在木块中运动时所受摩擦力恒定，以下各式正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2023·北京·高考真题）如图所示，一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体质量为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度为g，在物体移动距离为x的过程中（　　） A．摩擦力做功大小与F方向无关 B．合力做功大小与F方向有关 C．F为水平方向时，F做功为 D．F做功的最小值为 7．（24-25高三上·安徽六安·期末）水稻是皖西地区重要的农作物之一。如图甲，抛秧种水稻与插秧种水稻不同，它是直接将秧苗抛种在田里，比插秧更轻便省时，抛秧过程简化为如图乙。在同一竖直面内，两位村民将两颗质量相同的秧苗、（均可视为质点），分别从高度和（）处以初速度和沿水平方向同时抛出，均落到与两拋出点水平距离相等的点。若不计空气阻力，则（　　） A．、两秧苗的落地时间之比为 B．、两秧苗抛出的初速度 C．、两秧苗抛出时的竖直高度之比为 D．落地时的重力瞬时功率大于的重力瞬时功率 8．（24-25高三上·海南·阶段练习）如图所示为建筑用的塔式起重机，在某次工作中将质量为m的建筑材料由静止开始向上做直线运动，通过传感器测量了时间内钢绳的拉力与重力的比值随时间的变化规律。若时间内建筑材料的位移为、合力的功为， 时间内建筑材料的位移为，合力的功为。则下列关系正确的是（　　） A．、 B．、 C．、 D．、 9．（湖南省娄底市名校学术联盟2024-2025学年高三上学期1月月考物理试题）2024年5月8日，“嫦娥六号”探测器在“鹊桥二号”中继卫星的支持下，成功实现第一次近月制动，顺利进入环月轨道，运动简图如图，它先在椭圆轨道1上运行，变轨后进入圆轨道2。已知轨道1近月点P到月球表面的距离为r1，远月点Q到月球表面的距离为r2，1、2轨道相切于P点，月球半径为R，月球表面重力加速度大小为g0，除在P点处变轨外只考虑月球的引力，则“嫦娥六号”（　　） A．从轨道1变轨到轨道2，发动机在P点需要对它做正功 B．在Q点的速度大于 C．在轨道2上运动的加速度大于g0 D．在轨道1上与轨道2上运动的周期之比为 10．（2025·湖南邵阳·二模）“弹簧公仔”以其呆萌的表情和摇摇晃晃的可爱姿态赢得人们的喜爱，如图所示，已知“弹簧公仔”头部A的质量为，脚部B的质量为，连接A、B的弹簧质量忽略不计。现对其头部A施加竖直向下的压力使其静止，突然撤去力后，A向上运动，一段时间后B也离开了地面。已知从撤去力到A上升到最高点的过程中，弹簧的形变量始终未超出弹性限度。下列说法正确的是（　　） A．撤去力后的瞬间，A的加速度大小为 B．在B离开地面前的过程中地面对“弹簧公仔”做正功 C．从B离开地面到A、B相距最远的过程中，A、B的加速度均不断增大 D．从撤去力到B刚要离开地面的过程中，A一直处于超重状态 11．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）如图甲所示，质量为的玩具飞箭以初速度竖直向上射出，运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比，速度随时间的变化关系如图乙所示。时刻落回发射点，且此前已做匀速运动，则下列关于飞箭运动的描述中正确的是（　　） A．飞箭的加速度先减小后增大 B．飞箭的加速度先增大后减小 C．相比于下降过程，上升过程中飞箭克服阻力做功多 D．上升和下落过程中平均速度大小相等 12．（2025高三·北京·专题练习）放在粗糙水平地面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s内其速度与时间的图像和该拉力的功率与时间的图像分别如图甲、乙所示。下列说法正确的是（　　） A．0～6 s内物体的位移大小为20 m B．0～6 s内拉力做的功为70 J C．合力在0～6 s内做的功与0～2 s内做的功不相等 D．滑动摩擦力的大小为5 N 13．（24-25高一下·福建福州·阶段练习）在平直公路上，汽车由静止开始做匀加速直线运动，当速度达到后，立即关闭发动机直至静止，图像如图所示，设汽车的牵引力为F，受到的摩擦力为f，全程中牵引力做功为，克服摩擦力做功为，则（　　） A． B． C． D． 14．（2023·重庆·一模）（多选）如题图甲，辘轳是古代民间提水设施，由辘轳头、支架、井绳、水斗等部分构成。如题图乙为提水设施工作原理简化图，某次需从井中汲取m=2kg的水，辘轳绕绳轮轴半径为r=0.1m，水斗的质量为0.5kg，井足够深且井绳的质量忽略不计。t=0时刻，轮轴由静止开始绕中心轴转动，其角速度随时间变化规律如题图丙所示，g取，则（　　） A．水斗速度随时间变化规律为v=0.4t B．井绳拉力瞬时功率随时间变化规律为P=10t C．0~10s内水斗上升的高度为4m D．0~10s内井绳拉力所做的功为520J 15．（2025·福建莆田·二模）据《吕氏春秋》记载，我国在尧舜时代就有春节扫尘的风俗，寓意平安顺遂。如图，质量m=50kg的沙发静止在水平地面上，与地面的动摩擦因数μ=0.3。小海从侧面用平行于地面的力F=200N推开沙发打扫卫生，沙发由静止开始匀加速前进s=2m，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2。这个过程中，求 (1)合力对沙发所做的功W； (2)合力的平均功率P。 16．（2023高三·全国·专题练习）如图所示，足够长的倾角θ＝37°的粗糙斜面固定在水平面上，一质量m＝10 kg的物体在平行于斜面向上的推力F＝180 N作用下，由底端从静止开始向上运动，已知物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s2。 （1）求物体在推力F作用下向上运动的加速度大小； （2）求物体从底端向上运动4 m时推力F的瞬时功率； （3）若物体向上运动4 m后撤去推力F，则物体从底端沿斜面运动到最高点过程中克服摩擦力做多少功？ 17．（24-25高三上·河南·阶段练习）质量、长的木板A静止在水平面上，木板的左端静置一质量可视为质点的木块B，木板与地面之间的动摩擦因数，木块与木板之间的动摩擦因数，现用水平恒力F始终推木块B，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度，求： (1)若B相对A滑动，推力F至少多大； (2)若外力，B离开A的时间； (3)仅改变外力F的大小，使B离开A，力F做功的最小值。 【素养提升】 18.（2025·江苏·模拟预测）由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨迹不是抛物线，而是“弹道曲线”，如图中实线所示，O点为发射点，d点为落地点，b点为轨迹的最高点，a、c为运动过程中经过的距地面高度相等的两点，下列说法正确的是（　　） A．炮弹到达b点时的速度为零 B．炮弹到达b点时的加速度为重力加速度g C．炮弹经过a点时重力的功率比c点大 D．炮弹在Ob段重力的平均功率与bd段相等 19．（23-24高一下·贵州毕节·期中）一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5s内做匀加速直线运动，5s末达到额定功率，之后保持以额定功率运动。其v-t图像如图所示。已知汽车的质量为m=1×103kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，g=10m/s2，则： （1）汽车在前5s内的牵引力为多少? （2）汽车速度为25m/s时的加速度为多少? （3）假设汽车达到最大速度所用时间为10s，则10s内汽车牵引力所做功总和为多少? 20．（24-25高三上·福建莆田·期中）如图所示，一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动，已知物体质量为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度为g，在物体移动距离为的过程中，回答下列问题： (1)判断合力做功大小与力F方向是否有关，并说明理由； (2)力F为水平方向时，F做功为多少； (3)力F做功的最小值。 【能力培优】 21．（2024·四川自贡·模拟预测）（多选）传送带被广泛运用于生活中各种输送类场景。在某一工厂车间里，有一足够长的传送带与水平面的夹角为，一质量的小物块静止在传送带上，如图甲所示时接通电源，传送带开始逆时针转动，其加速度随时间的变化规律如图乙所示，后的加速度为0。已知物块与传送带之间的动摩擦因数，取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。以下说法中正确的是（　　） A．至，物块的加速度为 B．传送带转动的最大速度的大小为 C．整个过程物块和传送带由于摩擦产生的内能为 D．时，物块和传送带共速 22．（2025届青海省海东市第二中学等学校高三下学期第二次模拟考试物理试卷）如图所示，倾角为、足够长的光滑斜面固定在水平地面上，斜面底端有一质量的物块，时刻物块在沿斜面向上的恒力的作用下，从斜面底端由静止开始运动，时物块到达点并撤去，时物块恰好返回斜面底端，，取重力加速度大小。 (1)求撤去后物块的加速度大小； (2)求恒力对物块做的功； (3)若时刻物块在沿斜面向上的变力的作用下，从斜面底端由静止开始运动，时物块到达点并撤去，此过程中物块的加速度与速度成反比，时物块返回斜面底端，求变力的最小值。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章机械能守恒定律 课时8.1功和功率 2020年课程标准 物理素养 2.1.1理解功和功率。了解生产生活中常见机械的功率大小及其意义。 物理观念：通过功和功率的学习，建立能量转化与做功的基本观念，理解功是能量转化的量度，功率是描述做功快慢的物理量，能用公式和分析恒力做功及功率问题，形成从能量角度认识物体运动的思维习惯。 科学思维：运用比值定义法建立功率概念，通过理想化模型（如恒力做功）简化复杂问题，培养逻辑推理能力；能结合实际情境，分析不同力做功的正负及功率大小，提升将物理规律应用于具体问题的科学思维方法。 科学探究：通过实验探究恒力做功与物体运动的关系，例如测量人上楼的功率，经历设计方案、收集数据、分析论证的过程，提高实验操作与误差分析能力，增强探究物理规律的科学素养。 科学态度与责任：关注功和功率在生活中的应用（如机械效率、能源利用），体会物理与社会的联系，激发探索自然规律的兴趣；养成严谨求实的科学态度，树立合理利用能源、节约资源的社会责任感。 知识点一、功 1.衔接初中知识 初中阶段已建立功的基本概念，即“如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上移动一段位移，我们就说这个力对物体做了功”；“做功的两个必要因素是力和物体在力的方向上通过的距离”；并通过公式W＝Fs计算恒力做功、单位1J＝1N▪m。高中阶段在此基础上深化，明确功是能量转化的量度，将功的概念从力学拓展到电磁学、热学等领域。例如，电流做功、分子力做功等，均体现了不同形式能量之间的转化。 2.功的计算式 功的数学表达式为 其中 F是作用在物体上的恒力大小； l是物体相对于地面的位移大小； θ是力F与位移l方向的夹角。 该公式表明，只有力在位移方向上的分量对做功有贡献。例如，当人推箱子水平前进时，推力与位移方向一致（θ＝0°），功的公式为W=Fl；若推力斜向上，则需计算水平分力做功。 3.理解与应用 （1）功是标量，但有正负之分，正负仅表示能量转化的方向，不表示大小。 （2）研究做功时的关注点是力,而不是物体,物体可能受多个力作用,每个力做的功需单独计算。 （3）公式W=Flcosθ仅适用于恒力做功。公式中各量都要取国际单位制单位。若力的大小或方向变化，则需采用微元法或图像法（如F-l)图线与横轴围成的面积计算变力做功。 （4）力F对物体所做的功W,只与F、θ三者有关,与物体的质量、运动状态、运动形式及是否受其他力等因素均无关。 （5）计算功时需明确研究对象。例如，分析物体受多个力做功时，需分别计算每个力对物体所做的功。 （6）功是过程量,对应一段位移或一段过程。求力做的功时,一定要明确是哪个力在哪一段位移上(或在哪一个过程中)所做的功。 知识点二、正功和负功 1.正功和负功的判断 （1）当0≤θ＜90°时，cosθ＞0，力对物体做正功，表明该力为动力，向物体提供能量。例如，弹簧恢复形变时对物体的弹力做正功。 （2）当90°＜θ≤180°时，cosθ＜0，力对物体做负功（或物体克服该力做功），表明该力为阻力，消耗物体能量。例如，弹簧发生形变（弹簧被拉伸或被压缩）时，物体对弹簧做功，弹力做负功。 （3）当θ＝90°时，力与位移垂直，力不做功。例如，物体做匀速圆周运动时，向心力始终与速度方向垂直，故不做功。 2.总功的计算 方法一：分别计算每个力对物体所做的功，再求代数和。例如，物体受拉力F1、摩擦力F2和重力G作用，总功W总＝WF1＋WF2＋WG。 方法二：先求物体所受的合力F合，再计算合力做功W总＝F合lcosθ，其中θ为合力与位移的夹角。两种方法结果一致，可根据具体问题选择简便方法。 知识点三、功率 1.功率 （1）物理意义：功率是描述做功快慢的物理量。 （2）定义式： （3）单位：瓦特，简称瓦，符号W。 （4）功率大表示单位时间内做功多，例如，100W的灯泡每秒消耗100J的电能。 2.对公式的理解与应用 （1）该公式计算的是平均功率，反映一段时间内做功的平均快慢。例如，一台机器在5秒内做功1000J，则其平均功率为。 （2）若时间趋近于零，可近似表示瞬时功率，但实际中更常用P＝Fv计算瞬时功率。 3.额定功率和实际功率 （1）额定功率：机器正常工作时的最大输出功率，由设备本身性能决定。例如，某汽车发动机的额定功率为150kW，表示其长时间工作时的最大功率。 （2）实际功率：机器实际工作时的功率，可小于或等于额定功率，但不能长期超过额定功率，否则会损坏设备。例如，汽车在平坦路面行驶时实际功率可能低于额定功率，爬坡时则可能接近额定功率。 四、功率与速度之间的关系 1.功率与速度关系的推导 由功的公式和功率定义，结合速度公式，可得：，当力与速度方向一致时，，公式简化为。 2.P、F与v的制约关系 （1）当功率P恒定时，力F与速度v成反比。例如，汽车发动机功率一定时，减小速度可增大牵引力（如爬坡时挂低速挡）。 （2）当力F恒定时，功率P与速度v成正比。例如，起重机以恒定拉力提升重物时，速度越大，功率越高。 3.对公式P＝Fv的理解 （1）若v为瞬时速度，则P为瞬时功率，反映某一时刻的功率大小。例如，汽车加速到某一速度时的功率。 （2）若v为平均速度，则P为平均功率，适用于分析一段时间内的功率。 （3）该公式揭示了力、速度与功率的动态关系，广泛应用于分析机车启动、机械做功等实际问题。 4.公式和P＝Fv的比较： （1）定义式：普适性强，适用于任何情况下功率的计算，但需已知功W和时间t。 （2）推导式P＝Fv：直观体现力与速度对功率的影响，尤其适用于分析力、速度和功率的瞬时关系或动态变化，如汽车牵引力与速度的关系。 问题一：恒力做功 【角度1】功的理解 【典例1】（23-24高一下·河南商丘·期末）对做功的理解，下列说法正确的是（　　） A．功有大小有正负，则功是矢量 B．恒力与位移的夹角为锐角，则该恒力做正功 C．物体的位移为零，该过程中外力对物体做功一定为零 D．力对物体所做的功等于力和路程的乘积 【答案】B 【解析】A．功是标量，只有大小没有方向，但有正功、负功之分，选项A错误； B．功的定义式 恒力与位移的夹角为锐角，则该力做正功，选项B正确； C．物体在粗糙的水平面上绕行一周的过程中，物体的位移为零，摩擦力对物体做的功不等于零，选项C错误； D．由功的定义式 可知，一个力对物体做的功等于这个力的大小、物体位移大小及力和位移夹角的余弦三者的乘积，选项D错误。 故选B。 解法通则 （1）功的本质属性判断 ①标量性：功是标量，正负表示做功效果（动力功为正、阻力功为负），与矢量方向无关。 ②定义式核心：W = Fs cosa，a为力与位移夹角。 ③正负功：锐角a < 90°→ 正功；钝角→负功；直角→不做功。 ④公式要素：位移（非路程）、夹角余弦，排除 “力 × 路程” 类错误。 （2）特殊力做功的通用规则 ①摩擦力：可做正功、负功或不做功，取决于相对运动方向与位移方向。 ②平衡力：一对平衡力做功的代数和必为零。 ③作用力与反作用力：做功无必然关联（可同正、同负、一正一负或均为零）。 （3）判断口诀 标量功，看夹角：锐角正、钝角负，直角不做功。 摩擦力，分情况：可正可负可不做，相对位移定方向。 平衡力，总功零：等大反向位移同，代数相加必为零。 作用力，反作用：做功独立无关联，正负零值皆可能。 避绝对，抓定义：位移（非路程）、标量和，公式要素记准确。 【变式1-1】（23-24高一下·天津河北·期末）关于功，下列说法正确的是（　　） A．因为力是矢量，位移是矢量，所以功也是矢量 B．如果物体受到两个力作用而运动，已知力做功5J，力做功，则这些力对物体做的总功是一 C．因为摩擦力总是与相对运动或相对运动趋势方向相反，所以摩擦力如果做功只能做负功 D．因为作用力和反作用力总是等大反向，所以一对作用力和反作用力做功时总是一正一负 【答案】B 【解析】A．力是矢量，位移是矢量，而功有大小，没有方向，功是标量，故A错误； B．功是标量，力对物体做的总功等于各个力做功的代数和，即已知力做功5J，力做功，则这些力对物体做的总功是 故B正确； C．摩擦力做功可能为正值、可能为负值、可能不做功，例如物块在水平地面做减速运动过程中，摩擦力对物块做负功，摩擦力对地面没有做功，将物块轻放在水平向右运动的传送带上时，摩擦力开始阶段对物块做正功，故C错误； D．一对作用力和反作用力做功时，有可能均为正值，例如将两条形磁体同名磁极相对后释放，两磁体在磁力作用下，同时向相反方向运动，相互作用的一对磁力均做正功，故D错误。 故选B。 【变式1-2】下列说法中正确的是（　　） A．力对物体做功多，说明物体的位移一定大 B．静摩擦力总是做正功，滑动摩擦力总是做负功 C．作用力做功，反作用力也一定做功 D．一对平衡力所做的功的代数和总为零 【答案】D 【解析】A．根据功的公式 则力对物体做功多，物体的位移不一定大，所以A错误； B．静摩擦力可能做正功也可能做负功，甚至不做功，滑动摩擦力也可能做负功，或者做正功，甚至不做功，所以B错误； C．作用力做功，反作用力不一定做功，如物体在水平面上滑行物体受到的摩擦力做了功，但其摩擦力的反作用力不做功，所以C错误； D．一对平衡力所做的功的代数和总为零，所以D正确； 故选D。 【角度2】正、负功的判断 【典例2】（2024·海南·高考真题）神舟十七号载人飞船返回舱于2024年4月30日在东风着陆场成功着陆，在飞船返回至离地面十几公里时打开主伞飞船快速减速，返回舱速度大大减小，在减速过程中（　　） A．返回舱处于超重状态 B．返回舱处于失重状态 C．主伞的拉力不做功 D．重力对返回舱做负功 【答案】A 【解析】AB．返回舱在减速过程中，加速度竖直向上，处于超重状态，故A正确，B错误； C．主伞的拉力与返回舱运动方向相反，对返回舱做负功，故C错误； D．返回舱的重力与返回舱运动方向相同，重力对返回舱做正功，故D错误。 故选A。 做功正负的通用判断方法 （1）力与位移方向关系： 正功：力与位移夹角为锐角（或同向），如举哑铃上升时拉力与位移同向→正功。 负功：力与位移夹角为钝角（或反向），如举哑铃下降时拉力向上、位移向下→负功。 不做功：力为零、位移为零，或力与位移垂直。 （2）施力存在性： 力不存在时（如松开弓弦后，人不再施力），做功为零。 （3）口诀 超重失重看加速：向上超重，向下失重。 做功正负看夹角：同向正、反向负，垂直或无力不做功。 作用点移才做功：静摩擦 / 支持力，作用点不动则无功（如跑步、跳高场景）。 施力存在是前提：力消失则功为零（如松开弓弦后不做功）。 【变式2-1】（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）2024年7月20日，内蒙古赤峰市巴林左旗首届旅游那达慕胜利召开，其中射箭项目是那达慕大会的活动内容之一。“神射手”在草原上享有很高的荣誉，在“神射手”射箭的过程中，下列说法正确的是（　　） A．“神射手”拉弓时，人对弓和箭组成的系统做正功 B．“神射手”拉弓时，人对弓和箭组成的系统做负功 C．“神射手”松开拉紧的弓弦后，人对弓和箭组成的系统做正功 D．“神射手”松开拉紧的弓弦后，人对弓和箭组成的系统做负功 【答案】A 【解析】AB．“神射手”拉弓时，人对弓的力没位移，不做功，但人对箭的作用力方向与箭的位移方向相同，所以人对弓和箭组成的系统做正功，故A正确，B错误； CD．“神射手”松开拉紧的弓弦后，人对弓和箭组成的系统不做功，故C、D错误。 故选A。 【变式2-2】（2024高二上·江苏盐城·学业考试）健身锻炼时，小明将哑铃向上举起后再缓慢放下，此过程中小明对哑铃做功的情况是（　　） A．先做正功，再做负功 B．先做负功，再做正功 C．一直做正功 D．一直做负功 【答案】A 【解析】将哑铃向上举起过程中，小明对哑铃的有向上的作用力，哑铃向上运动，故小明对哑铃做正功；放下过程，小明对哑铃的力仍然向上，但运动方向向下，故小明对哑铃做负功。 故选A。 【变式2-3】（2024高三·全国·专题练习）关于做功情况，以下说法正确的是（　　） A．跳高运动员起跳时地面对人的支持力做正功 B．短跑运动员加速运动阶段地面对人的摩擦力做正功 C．短跑运动员匀速运动阶段地面对人的摩擦力不做功 D．短跑运动员减速运动阶段地面对人的摩擦力做负功 【答案】C 【解析】A．跳高运动员起跳时，地面对人的支持力的作用点没有发生位移，即地面对人的支持力不做功，故A错误； BCD．短跑运动员加速、匀速、减速运动阶段，地面对人的弹力和摩擦力的作用点并没有发生位移，所以地面对人的摩擦力始终不做功，故BD错误，C正确。 故选C。 【角度3】功的计算 【典例3】（24-25高一下·河北·阶段练习）如图所示，木板静止在水平面上，滑块静止在长木板最右端，在时刻对木板施加一个水平向右的恒力，同时对滑块施加一个水平向左的恒力，时滑块运动到木板最左端。已知滑块和木板质量分别为和， 木板与水平面之间、滑块与木板之间的动摩擦因数分别为0.2和0.5，重力加速度取，求： (1)时间内，恒力和所做的功； (2)当滑块相对于木板滑动时，立即撤去拉力，求从撤去拉力到二者共速这段时间内拉力做的功。 【答案】(1)15J，18J (2) 【解析】（1）设木板的加速度大小为，根据牛顿第二定律有 代入数据解得 时间内木板的位移 恒力所做的功 设滑块的加速度大小为，根据牛顿第二定律有 解得 时间内滑块的位移 恒力所做的功 （2）设滑块在木板上运动用时为，则 解得 撤去拉力时，木板的速度 滑块的速度 滑块的加速度 方向向右，设经过时间达到共同速度，则 代入数据解得 长木板在时间内运动的距离 撤去拉力后至达到共同速度这段时间内，拉力所做的功 恒力做功计算的解题过程 （1）受力分析优先： 确定研究对象（单个物体或系统），画出受力图，标注摩擦力、外力方向。 （2）牛顿定律求加速度： 对每个物体列F合＝ma，注意摩擦力公式f＝μ N（N为正压力，可能含其他力的分力）。 （3）运动学求位移/速度： 用、v＝at等公式求位移或速度，为功的计算铺垫。 （4）功的公式代入： 恒力功：W＝Flcosa（a为力与位移夹角）； （5）多力功：总功为各力做功的代数和（标量相加）。 （6）口诀 多物体，先隔离：受力分析列牛顿，加速度求位移。 恒力功，看夹角：同向直接乘，夹角带余弦，钝角功为负。 共速时，算时间：速度相等列方程，位移再把功来算。 简单题，公式套：同向同距直接乘，夹角勿忘余弦值。 【变式3-1】（2025·贵州·三模）2024年5月1日，我国第三艘航空母舰——福建舰出海展开首次航行试验。它采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，弹射轨道长110m，舰载机搭载在磁悬浮电磁弹射车上，弹射过程中舰载机受到弹射车的平均推力约为1.1×106 N，不计阻力，则弹射车弹射一次做的功约为（　　） A．4.0×107 J B．4.0×106 J C．1.2×107 J D．1.2×108 J 【答案】D 【解析】磁悬浮电磁弹射车弹射一次对飞机做功为 故选D。 【变式3-2】（2024高二上·江苏扬州·学业考试）如图所示，物体在力F的作用下发生了一段水平位移l，夹角θ为150°。则力F对物体做的功为（　　） A．W＝Fl B．W＝Fl C．W＝Fl D．W＝－Fl 【答案】C 【解析】根据做功表达式 故选C。 【角度4】摩擦力做功 【典例4】（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，在光滑的水平面上，物体A放在长为l的木板B的右端，现用水平力F向右拉木板。 (1)若物体A相对木板B滑动，当B前进x时，物体A从木板B左端滑下。已知A、B间的滑动摩擦力为Ff，求摩擦力分别对A、B做了多少功？这一对滑动摩擦力做功的总和为多少？ (2)若物体A相对木板B没有滑动，已知当B前进x时，物体A受到的静摩擦力为Ff′，求静摩擦力分别对A、B做了多少功？这一对静摩擦力做功的总和为多少？ 【答案】(1)，； (2)，； 【解析】（1）滑动摩擦力对A做的功为 对B做的功为 这两个摩擦力做功的总和为 （2）静摩擦力对A做的功为 对B做的功为 这两个摩擦力做功的总和为 解法通则 滑动摩擦力做功：滑动摩擦力做功的计算公式为W＝Ffs，其中s是物体相对地面的位移。当摩擦力方向与位移方向相同时，摩擦力做正功；反之做负功。 静摩擦力做功：静摩擦力做功同样根据W＝Ffs计算，但要注意s是物体相对地面的位移。静摩擦力可以做正功、负功或不做功。 利用图像求摩擦力做功：如给出摩擦力随位移变化图像的情况，摩擦力做功等于图像与位移轴围成的面积。图像在位移轴上方时，摩擦力做正功；在位移轴下方时，摩擦力做负功。 【变式4-1】（24-25高三上·河南南阳·期末）如图，在倾角足够长的斜面上有一个质量为的物体，物体刚开始距斜面底部，物体与斜面之间的动摩擦因数为。物体在拉力的作用下由静止开始运动，方向沿斜面向上。加速一段时间后撤去，让物体在斜面上运动。（）（，）求： (1)物体返回底部时的速度； (2)全过程摩擦力做的功。 【答案】(1)，方向沿斜面向下 (2) 【解析】（1）物体先沿斜面向上做匀加速直线运动，撤去力F后做匀减速直线运动，速度减为零后反向做匀加速直线运动 沿斜面向上做匀加速直线运动阶段，由牛顿第二定律 故该过程加速度 方向沿斜面向上 撤去力F后做匀减速直线运动阶段，由牛顿第二定律得 故该过程加速度 方向沿斜面向下 反向做匀加速直线运动阶段，由牛顿第二定律得 故该过程加速度 方向沿斜面向下 沿斜面向上做匀加速直线运动阶段，位移 解得 撤去力F时的速度 解得 匀减速直线运动阶段，位移 解得 反向做匀加速直线运动阶段 故物体返回斜面底部的速度 （2）全过程摩擦力做负功     得 【变式4-2】（2024·四川成都·一模）（多选）如图甲所示，一足够长的水平传送带以某一恒定速度顺时针转动，一根轻弹簧一端与竖直墙面连接，另一端与工件不拴接。工件将弹簧压缩一段距离后置于传送带最左端无初速度释放，工件向右运动受到的摩擦力Ff随位移x变化的关系如图乙所示，x0、Ff0为已知量，则下列说法正确的是（工件与传送带间的动摩擦因数处处相等）（　　） A．工件在传送带上先做加速运动，后做减速运动 B．工件向右运动2x0后与弹簧分离 C．弹簧的劲度系数为 D．整个运动过程中摩擦力对工件做功为 【答案】BD 【解析】A．从图乙可知，摩擦力在处方向发生变化，在区间工件的摩擦力大小发生变化，说明工件与传送带相对静止，故工件先做加速运动后做匀速运动，故A错误； B．在区间摩擦力大小等于弹簧弹力大小，位置摩擦力为零，所以弹力为零，所以工件运动后与弹簧分离，故B正确； C．由胡克定律得 解得弹簧的劲度系数 故C错误； D．摩擦力对工件先做正功后做负功，图乙图像与x轴围成的面积在数值上等于摩擦力对工件做的功，即 故D正确。 故选BD。 问题二：变力做功 【角度1】平均值法 【典例5】（23-24高一下·广西南宁·期末）一质量为m的物块，在水平拉力F的作用下从静止开始沿水平面运动，其阻力f为物块重力的倍，水平拉力的大小，其中k为比例系数，x为物块运动的距离。在物块运动的距离为s的过程中拉力做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】物块受到的阻力为 当x=0时，牵引力大小为 当时，牵引力大小为 由于牵引力随位移线性变化，所以整个过程的平均牵引力大小为 在物块运动的距离为s的过程中拉力做的功为 故选D。 （1）速度与距离关系的理解 ①近日点和远日点速度变化：根据开普勒第二定律，行星在近日点时与太阳的连线短，在相等时间内扫过相等面积，所以速度快；在远日点时与太阳的连线长，速度慢。 ②速度变化的连续性：行星从近日点向远日点运动过程中，速度是逐渐减小的；从远日点向近日点运动过程中，速度是逐渐增大的，其速度变化是连续的，不是突变的。在进行相关计算和分析时，要考虑到速度的这种渐变特性。 （2）实际应用中的近似处理 ①近圆轨道的近似：对于一些轨道偏心率较小的行星或卫星，在精度要求不高的情况下，可以近似将其轨道看作圆形。此时，行星或卫星的速度大小近似不变，可根据圆周运动的规律进行计算和分析。但在需要高精度的情况下，仍需考虑轨道的椭圆特性和开普勒第二定律。 ②瞬时速度的近似：在某些问题中，需要计算行星在某一特定位置的瞬时速度。可以根据开普勒第二定律，选取该位置附近的一小段时间间隔，近似认为在这一小段时间内行星做匀速圆周运动，从而计算出瞬时速度。但这种近似方法的精度有限，需要根据具体情况进行评估和修正。 【变式5-1】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）质量为的物体在水平力F的作用下在水平面上沿x轴由静止开始运动，F随位置x变化的图像如图所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度g取，则物体从运动到的过程中，合外力做功为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】力F是线性变化，可以用平均力求功。则所有力对物体做的功为 故选D。 【变式5-2】（23-24高一下·湖北·期中）如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，一轻质弹簧下端固定在斜面底端挡板上，上端与质量为1kg的小滑块A相连，A上叠放另一个质量为2kg的小滑块B，弹簧的劲度系数为k=50N/m，初始时系统处于静止状态。现用沿斜面向上的拉力F作用在滑块B上，使B开始沿斜面向上做加速度大小为2m/s2的匀加速直线运动。重力加速度大小为10m/s2，不计空气阻力。从开始运动到A、B分离瞬间，拉力F做功为（　　） A．1.76J B．1.6J C．1.4J D．1.12J 【答案】B 【解析】初始时系统处于静止状态，设此时弹簧压缩量为x0，对小滑块A和B组成的系统，根据胡克定律和平衡条件得 解得弹簧压缩量 小滑块A、B分离瞬间，两者之间的弹力恰好为零，且有相同的加速度a，设此时弹簧的压缩量为x1，则对小滑块A由牛顿第二定律得 解得 在小滑块A、B分离之前，设A、B的位移为x，对A、B整体，根据胡克定律和牛顿第二定律有 解得 则拉力做功 将各量代入上式可解得 故B正确。 故选B。 【角度2】化变力为恒力求变力做功 【典例6】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮O，现以大小不变的拉力F拉绳，使滑块从A点由静止开始上升，滑块运动到C点时速度最大，已知滑块质量为m，滑轮O到竖直杆的距离为d，，重力加速度为g（已知：），则滑块由A到C过程轻绳对滑块做功为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】滑块到点时速度最大，其所受合力为零，则有 解得 拉力做的功等于轻绳拉力对滑块做的功，滑轮与间绳长 滑轮与间绳长 滑轮右侧绳子增大的长度 拉力做功 故选C。 解题步骤： （1）明确恒力性质： 拉力 F 大小不变（题目直接给出或隐含，如 “恒力”“匀速”“不计绳质量及摩擦”），绳对物体的拉力做功等于拉力 F 对绳端做的功（因绳无质量、无能量损耗）。 （2）几何分析求绳端位移： 设滑轮到物体运动轨迹的垂直距离为 d（或已知高度 h），根据初末状态的角度（如α1, α2）或位置，用勾股定理或三角函数计算初末状态的绳长L1, L2。 绳端位移△L＝L2 －L1（绳缩短或伸长的长度，恒力方向与位移同向时取正值）。 （3）计算功： 直接应用W＝F△L，无需分解力（因拉力始终沿绳方向，位移与力方向一致）。 （4）关键注意点： ①状态分析： 若物体速度最大，需先通过受力平衡（合力为零）求角度，再代入几何关系。 若物体匀速运动，拉力等于重力F = mg，功等于重力势能增量，本质仍需通过绳长变化求高度变化。 ②位移方向：绳端位移是 “绳自由端移动的距离”，与物体运动轨迹无关，仅由滑轮位置和角度变化决定。 ③公式简记： 或（根据几何模型选择对应公式，核心是初末绳长差△L）。 【变式6-1】某人利用如图所示的装置,用100 N的恒力F作用于不计质量的细绳的一端,将物体从水平面上的A点移到B点。已知α1=30°,α2=37°,h=1.5 m,不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦。求绳的拉力对物体所做的功（sin 37°=0.6,cos 37°=0.8）。 【答案】50 J 【解析】由于不计绳的质量及绳与滑轮间的摩擦,故恒力F做的功和绳对物体的拉力做的功相等。由于恒力F作用在绳的端点,故需先求出绳的端点的位移l,再求恒力F做的功。 由几何关系知,绳的端点的位移为 l=-=h=0.5 m 在物体从A移到B的过程中,恒力F做的功为 W=Fl=100×0.5 J=50 J 故绳的拉力对物体所做的功为50 J。 【变式6-2】人在A点拉着绳通过一个定滑轮匀速吊起质量的物体，如图所示，开始时绳与水平方向成角，当人拉着绳由A点沿水平方向运动而到达B点时，绳与水平方向成角，求人对绳的拉力做了多少功？（不计摩擦，g取） 【答案】732J 【解析】人对绳的拉力所做的功与绳对物体的拉力所做的功相等，设人手到定滑轮的竖直距离为h，物体上升的高度等于滑轮右侧绳子增加的长度，即 又 所以人对绳的拉力做的功 【角度3】利用微元法求变力做功 【典例7】（2025·河北廊坊·一模）石磨是把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种工具。如图所示，石磨由下盘（不动盘）和上盘（转动盘）两部分组成。某人在手柄上施加方向总与垂直、大小为的水平力作用使石磨上盘匀速转动，已知点到转轴的距离为，则石磨上盘匀速转动一周的过程中摩擦力所做的功约为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】F与摩擦力一直是平衡力，F克服摩擦力做功，因F大小不变，方向不断变化，则在微小的位移内可认为是恒力则微元功为 根据 可知摩擦力所做的功约为-18J。故选D。 解法通则 （1）力的性质分析： 若力大小不变、方向始终与速度方向共线（同向或反向，如摩擦力、空气阻力），或力与速度夹角恒定（如拉力在曲线运动中的切向分量），可将曲线分割为无数微元，每段微元上力视为恒力。 （2）变力做功计算： 阻力 / 摩擦力做功（方向始终与速度反向）：功等于力大小乘以路径长度，符号为负（因夹角 180°），即W＝－Fs，其中 s 为运动轨迹的实际长度（如圆弧长、圆周周长）。 动力做功（方向始终与速度同向）：类似地，功为W＝Fs。 （3）微元法应用： 对曲线运动，将轨迹分割为无数小段 ds，每段上力的方向与 ds 夹角为θ（恒为 0° 或 180°），总功为 。 （4）关键注意点： ①路径长度计算： 圆周运动：周长s＝2πR；圆弧运动：弧长s＝Rθ（θ为圆心角，弧度制）。 ②力的方向与做功符号： 阻力（与速度反向）：cosθ ＝－1，功为负；动力（与速度同向）：cosθ ＝1，功为正。 ③约束力不做功： 如绳拉力、杆弹力等，若始终与速度垂直(cosθ＝0），则全程做功为0。 ③公式简记： 变力（大小不变、方向共线）做功：W ＝±Fs路径(＋同向，－反向) 【变式7-1】（23-24高一下·四川成都·期末）狗拉雪橇是中国北方冰雪旅游的重要项目之一。如图所示，雪地犬水平拉着质量为80kg的雪橇（包括人和内部物品）在水平雪面做半径为24m的匀速圆周运动，速度大小为3m/s，雪橇与雪面间的动摩擦因数为0.05，重力加速度取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．雪橇受到狗的拉力为40N B．雪橇做匀速圆周运动的向心力为40N C．狗拉雪橇的拉力功率为120W D．狗拉着雪橇转过一周，雪橇克服地面摩擦力做功为 【答案】C 【解析】AB．由于雪橇做匀速圆周运动，合力提供向心力，则 解得 ，， 故AB错误； C．狗给雪橇的水平拉力方向与雪橇前进方向之间夹角的正切值为 可得 所以狗拉雪橇的拉力功率为 故C正确； D．狗拉着雪橇转过一周，雪橇克服地面摩擦力做功为 故D错误。 故选C。 【变式7-2】（多选）如图所示，摆球质量为，悬线长度为，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小不变，则下列说法正确的是（　　） A．重力的瞬时功率在不断增大 B．悬线的拉力做功为0 C．空气阻力做功为 D．空气阻力做功为 【答案】BD 【解析】A．在最初的位置，因为小球的速度为零，则重力做功的功率为零；在摆动过程中，重力与小球的速度成锐角，功率不为零；在最低点时，小球的速度与重力垂直，则重力做功的功率为零，由此可知，重力做功的功率先增大后减小，故A错误； B．悬线的拉力始终与速度方向垂直，故做功为0，故B正确； CD．空气阻力的大小不变，方向始终与速度方向相反，故空气阻力做功为 故C错误，D正确。 故选BD。 【角度4】利用F-x图像求变力做功 【典例8】（24-25高三上·福建厦门·期中）如图甲所示，质量为4kg的物体在水平推力作用下开始运动，推力大小F随位移大小x变化的情况如图乙所示，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10m/s2，则（　　） A．0-4m内物体做匀加速运动 B．运动过程中推力做的功为400J C．运动到4m处，物体加速度大小为0 D．运动到4m处，力F的功率为0 【答案】D 【解析】AC．物体受到的滑动摩擦力大小为 根据牛顿第二定律 可知物体先做加速度减小的加速运动，当推力减小到20N时，加速度减小为零，之后推力随着减小，物体做加速度增大的减速运动，运动到4m处，力F的大小为零，物体加速度大小为 故AC错误； B．F-x图像中图线与横轴所围的面积表示推力做的功，则运动过程中推力做的功为 故B错误； D．力F的功率为 运动到4m处，力F的大小为零，故力F的功率为0，故D正确。 故选D。 F-x 图像面积法：图线与 x 轴围成的面积即为力 F 做的功，横轴上方面积为正功，下方为负功（若力与位移同向 / 反向）。 规则图形（如三角形、梯形）直接用几何公式计算面积； 多段图线需分段计算后求和。 【变式8-1】（24-25高一下·全国·课后作业）图甲为建造桥梁时使用的穿巷式架桥机，支腿架在桥墩上架桥施工，在走行系统的水平方向作用力下，将桥梁水平推进到预设位置后放下与主体相接。已知桥梁的质量为m，在桥梁水平移动过程中，架桥机对桥梁的水平力F与桥梁的位移x之间的关系如图乙所示，桥梁所受阻力方向与运动方向相反，大小恒为f，重力加速度为g。则桥梁受架桥机水平力F作用过程中，下列说法正确的是（　　） A．桥梁向右做匀加速直线运动 B．力F做的功为 C．阻力做的功为 D．桥梁在处速度最大 【答案】C 【解析】B．由功的公式可知，图像与坐标轴所围的面积表示力F做的功，则力F做的功为 故B错误； C．由题可知，桥梁在受架桥机水平力F作用过程中，阻力恒定，桥梁在阻力方向上的位移为，则阻力做功为 故C正确； AD．对桥梁沿水平方向进行受力分析，由牛顿第二定律得 桥梁向前运动时，F越来越小，则桥梁加速度越来越小，当桥梁时，桥梁的加速度等于0，速度达到最大值，故AD错误。 故选C。 【变式8-2】质量为m、初速度为零的物体，在按不同规律变化的合外力作用下都通过位移x0。下列各种情况中合外力做功最多的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由力做功公式可知W=Fx，则F-x图象中，图象与坐标轴围成的面积表示力F所做的功，由图象可知，C图象中围成的面积最大，所以C中合外力做功最多，故C正确，ABD错误。 故选C。 问题三：功率的理解与计算 【角度1】对功率的理解 【典例9】（23-24高一下·天津河北·期末）关于功率，下列说法正确的是（　　） A．由可知，物体运动越快，功率越大 B．由可知，某一时刻，力大、速率也大，而功率不一定大 C．由可知，力做功越多，功率就越大 D．由可知，功率越大，力做功越多 【答案】B 【解析】A．功率由物体运动的速度、力，以及力与速度方向夹角的余弦共同决定，可知，物体运动越快，即速度越大，功率不一定越大，故A错误； B．由可知，某一时刻，力大、速率也大，若夹角的余弦很小，功率也可能很小，即功率不一定大，故B正确； C．由可知，力做功越多，功率不一定就越大，还与时间有关，故C错误； D．由可知，功率越大，力做功不一定越多，还与时间有关，故D错误。 故选B。 对于功率，要理解其定义式以及P = Fvcosa的含义。功率是描述做功快慢的物理量，与做功多少和时间都有关系，不能仅根据其中一个因素判断功率大小。 【变式9-1】（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）下列关于功和功率说法中正确的是（　　） A．摩擦力可能对物体做正功或做负功，也可能不做功 B．若一个力对物体做功为零，则该物体一定处于静止状态 C．速度大的汽车其发动机功率一定大 D．有力作用在物体上，并且物体也发生了位移时，力对物体一定做功 【答案】A 【解析】A．当摩擦力的方向与位移方向同向时，摩擦力做正功，反向时，摩擦力做负功，二者垂直时不做功，故摩擦力可能对物体做正功或做负功，也可能不做功，故A正确； B．若一个力对物体做功为零，则可能该物体位移方向与力的方向垂直，物体不一定处于静止状态，故B错误； C．根据可知，若汽车的速度大，但是牵引力较小，其发动机功率不一定大，故C错误； D．有力作用在物体上，并且物体也发生了位移时，但如果力与位移垂直，则力不做功，故D错误。 故选A。 【变式9-2】（23-24高一下·山东威海·期末）关于功和功率，下列说法正确的是（　　） A．力越大，力做功就越多 B．位移越大，力做功就越多 C．功率越大，力做功就越多 D．功率越大，力做功就越快 【答案】D 【解析】AB．根据功的计算公式 可知，功与力、位移以及力与位移的夹角都有关系，力越大，力做功不一定越多；同理，位移越大，力做功也不一定越多，故AB错误； D．功率是描述物体做功快慢的物理量，功率越大，做功越快；故D正确； C．根据功率与功的关系 W＝Pt 可知，功率越大，做功多少还与时间有关，所以功率越大，力做功不一定就越多，故C错误。 故选D。 【角度2】瞬时功率的分析与计算 【典例10】（2023·山东·高考真题）质量为M的玩具动力小车在水平面上运动时，牵引力F和受到的阻力f均为恒力，如图所示，小车用一根不可伸长的轻绳拉着质量为m的物体由静止开始运动。当小车拖动物体行驶的位移为时，小车达到额定功率，轻绳从物体上脱落。物体继续滑行一段时间后停下，其总位移为。物体与地面间的动摩擦因数不变，不计空气阻力。小车的额定功率P0为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设物体与地面间的动摩擦因数为μ，当小车拖动物体行驶的位移为S1的过程中有 F－f－μmg = (m＋M)a v2= 2aS1 P0= Fv 轻绳从物体上脱落后 a2= μg v2= 2a2(S2－S1) 联立有 故选A。 （1）分析物理过程，明确运动状态变化 详细分析整个物理过程中物体或系统的运动状态变化情况。 （2）准确受力分析，依据牛顿第二定律求解加速度（若有需要） 正确分析物体或系统在各个阶段所受的力是解题的关键步骤之一。 （3）灵活运用功率公式P＝ Fv 【变式10-1】（2023·湖北·高考真题）两节动车的额定功率分别为和，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为和。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知两节动车分别有 当将它们编组后有 联立可得 故选D。 【变式10-2】（24-25高二上·云南曲靖·期末）如图所示，探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞。在接近某行星表面时以速度竖直匀速下落，此时启动“背罩分离”，探测器与背罩断开连接，背罩与降落伞保持连接。已知探测器质量为，该行星的质量和半径分别为地球的和。地球表面重力加速度大小取。忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有（　　） A．该行星表面的重力加速度大小为 B．该行星的第一宇宙速度小于 C．“背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为 D．“背罩分离”后瞬间，降落伞和被罩一起处于失重状态 【答案】B 【解析】A．在星球表面，根据 可得 行星的质量和半径分别为地球的和。地球表面重力加速度大小为，可得该行星表面的重力加速度大小 故A错误； B．在星球表面上空，根据万有引力提供向心力 可得星球的第一宇宙速度 行星的质量和半径分别为地球的和，可得该行星的第一宇宙速度 地球的第一宇宙速度为，所以该行星的第一宇宙速度 故B正确； C．“背罩分离”后瞬间探测器所受重力对其做功的功率 故C错误； D．在接近某行星表面时以速度竖直匀速下落，整体合力为零，“背罩分离”后，向下的总重力减小，合力向上，则加速度向上，降落伞和被罩处于超重状态，故D错误。 故选B。 【变式10-3】（24-25高三上·山东泰安·期末）有一质量的混合动力轿车，在平直公路上以的速度匀速行驶，蓄电池不工作，汽油发动机的输出功率为。当司机看到前方较长一段距离内无其他车辆时，使轿车汽油发动机和电动机开始同时工作（以该时刻作为计时起点），汽油发动机的输出功率保持不变仍为48kW，电动机输出功率恒定，轿车汽油发动机和电动机同时工作之后的v-t图像如图所示。若轿车运动过程中所受阻力始终不变，则电动机输出功率为（　　） A．68kW B．30kW C．20kW D．10kW 【答案】C 【解析】设阻力为，汽油发动机单独工作以v=24m/s的速度匀速行驶时，牵引力大小等于阻力，可知，由功率公式则有 轿车汽油发动机和电动机同时工作之后，由图像可知，最大速度为，可知牵引力大小等于阻力，则有 解得 故选C。 【角度3】平均功率的分析与计算 【典例11】（2023·山东·高考真题）《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为（    ） A． B． C． D．nmgωRH 【答案】B 【解析】由题知，水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，且每个水筒离开水面时装有质量为m的水、其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田，则水轮转一圈灌入农田的水的总质量为 m总 = 2πRnm × 60% = 1.2πRnm 则水轮转一圈灌入稻田的水克服重力做的功 W = 1.2πRnmgH 则筒车对灌入稻田的水做功的功率为 联立有 故选B。 （1）分析能量转化与转移过程 明确题目中涉及的能量形式及转化路径。 （2）确定关键物理量 找到与做功、功率相关的关键量。 （3）运用相关公式计算 根据功的公式W＝ Fs、功率公式，以及与能量转化相关的推导公式通过求总质量算总功进而得功率，进行求解。 【变式11-1】（24-25高三上·湖北武汉·期末）我国风力资源丰富，随着国家对新能源行业发展的支持，风力发电得到了迅猛发展。某地风力发电机叶片转动时可形成半径为50m的圆面，且会随着风向调整姿态使转动的圆面始终与风向垂直，风力发电机能将此圆内10%的空气动能转化为电能。已知某段时间内的风速为3m/s，扇叶转动，发电机正常发电，空气的密度为1.2kg/m3，则风力发电机发电的功率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】t时间内通过叶片的空气质量 转化为电能 则发电的功率 故选A。 【变式11-2】（2024·福建·高考真题）我国古代劳动人民创造了璀璨的农耕文明。图（a）为《天工开物》中描绘的利用耕牛整理田地的场景，简化的物理模型如图（b）所示，人站立的农具视为与水平地面平行的木板，两条绳子相互平行且垂直于木板边缘。已知绳子与水平地面夹角为，，。当每条绳子拉力的大小为时，人与木板沿直线匀速前进，在内前进了，求此过程中 (1)地面对木板的阻力大小； (2)两条绳子拉力所做的总功； (3)两条绳子拉力的总功率。 【答案】(1)450N (2)9.0×103J (3)600W 【解析】（1）由于木板匀速运动则有 解得 （2）根据功的定义式有 解得 （3）根据功率的定义，有 问题四：机车的启动问题 【角度1】恒定功率启动 【典例12】（24-25高三上·湖南长沙·期末）一质量可视为不变的汽车在平直公路上行驶，该车在一段行驶过程中速度的倒数随加速度a的变化图像如图所示，已知图线的斜率为k，纵截距为b。下列说法正确的是（　　） A．汽车运动过程中发动机的输出功率不变 B．汽车在行驶过程中受到的阻力逐渐变大 C．汽车行驶的最大速度为 D．当汽车速度为最大速度的一半时，汽车的加速度为 【答案】A 【解析】AB．设汽车行驶时发动机的输出功率为，阻力为，牵引力为，则有 ， 整理可得 由题图可知 ， 解得 ， 可知汽车行驶过程中发动机的输出功率不变，汽车在行驶过程中受到的阻力恒定不变，故A正确，B错误； C．当汽车速度达到最大时，有 即 解得 故C错误； D．当汽车速度为 汽车的牵引力为 由 可得此时汽车的加速度为 故D错误。 故选A。 （1）掌握机车启动基本模型：机车启动主要有两种模型，一是以恒定功率启动，二是以恒定加速度启动。以恒定功率启动模型，汽车功率P ＝ Fv（F为牵引力，v为速度）保持不变，随着速度v增大，牵引力F减小。 （2）利用牛顿第二定律：根据牛顿第二定律F－f＝ma（f为阻力，m为汽车质量，a为加速度），结合P＝Fv，将代入牛顿第二定律表达式，得到。这是解决此类问题的核心方程。 （3）分析图像信息（若有图像）：对于给出图像的题目，要明确图像横、纵坐标物理量的含义，并将物理公式与图像相结合。通过对变形，得到，此式与一次函数y = kx + b形式相似，从而利用图像的斜率k和截距b求出功率P和阻力f等物理量。 （4）确定特殊状态物理量：当机车达到最大速度vm时，牵引力F等于阻力f，此时功率P＝Fvm＝fvm。利用这一特殊状态，结合已知条件可求出其他物理量。 【变式12-1】（24-25高一下·福建福州·阶段练习）京张高铁将北京到张家口的通行时间缩短在1小时内。假设京张高铁启动后沿平直轨道行驶，发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的阻力大小恒定，高铁的质量为m，最大行驶速度为vm，下列说法正确的是（　　） A．在加速阶段，高铁做加速度逐渐增大的加速直线运动 B．高铁受到的阻力大小为 C．高铁的速度为时，其加速度大小为 D．高铁的加速度为时，其速度大小为 【答案】C 【解析】A．加速阶段，根据牛顿第二定律可得 又 联立可得 可知加速阶段，高铁做加速度逐渐减小的加速直线运动，故A错误； B．当牵引力等于阻力时，高铁速度达到最大，则有 可得高铁受到的阻力大小为 故B错误； C．当高铁的速度为时，此时牵引力大小为 根据牛顿第二定律可得 解得加速度大小为 故C正确； D．高铁的加速度为时，根据牛顿第二定律可得 解得此时的牵引力大小为 则此时高铁的速度大小为 故D错误。 故选C。 【变式12-2】（24-25高三上·广西河池·期末）某款国产汽车在出厂之前相关技术人员对汽车进行了测试，汽车以恒定功率启动做直线运动，汽车的最大速度为，当汽车的速度为时，汽车的加速度为；当汽车的速度为时，汽车的加速度为，若阻力不变，则与的比值为（　　） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【解析】由和可得 结合题意可得，， 求得 故选C。 【变式12-3】（24-25高三上·甘肃白银·期末）（多选）2024年，中国品牌的新能源汽车在全世界市场的份额继续上升，成为推动市场发展的重要力量。某国产新能源汽车的质量为1.2×103kg，在水平路面上测试时，其速度大小的倒数与加速度大小a的关系图像如图所示，在行驶过程中，该车的功率与所受的阻力均恒定，则该车在行驶过程中（　　） A．所受阻力大小为4000N B．所受阻力大小为1200N C．功率为4000W D．功率为1200W 【答案】AC 【解析】在行驶过程中，该车的功率与所受的阻力均恒定，根据牛顿第二定律可得 又 可得 由题图可知 ， 解得 ， 故选AC。 【角度2】恒定加速度启动 【典例13】（2025·河北·一模）一辆起重机某次从时刻由静止开始竖直提升质量为500kg的物体，物体的图像如图所示，2s后起重机的功率为额定功率，不计空气阻力，取重力加速度大小，下列说法正确的是（    ） A．物体在匀加速阶段的位移大小为2m B．该起重机的额定功率为5.25kW C．物体的最大速度大小为 D．和时间内牵引力对物体做的功之比为 【答案】B 【解析】A．物体在匀加速阶段的位移大小 故A错误； B．设物体做匀加速运动阶段牵引力为，加速度为，根据牛顿第二定律 物体做匀加速运动阶段的最大速度 该起重机的额定功率 联立解得 故B正确； C．物体的最大速度 故C错误； D．内牵引力对物体做的功为 时间内牵引力对物体做的功为 和时间内牵引力对物体做的功之比为 故D错误。 故选B。 （1）运动分析：依据v - t图像或运动描述，明确物体运动过程，如匀加速、变加速、匀速阶段等。 （2）受力分析与公式运用：运用牛顿第二定律F－f ＝ ma，结合P ＝ Fv。 （3）特殊状态利用：当物体达到最大速度时，牵引力F＝f，此时P＝fvm。借此求阻力或最大速度等物理量。 【变式13-1】（24-25高三下·河南·阶段练习）2024年10月1日，由我国自主研发目前最先进的CR400AF-S型“复兴号”智能动车组列车从太原顺利开往北京，最高时速350公里/小时。已知列车的质量为，若此列车在平直铁路上行驶的图像如图所示，在行驶过程中受到的阻力大小恒定，则在0~20s内，下列说法正确的是（　　） A．列车牵引力功率保持恒定 B．列车的初速度大小为10m/s C．列车的加速度大小为 D．0~20s内列车牵引力做的功大于 【答案】D 【解析】ABC．根据运动学公式 变形可得 结合图像得 纵轴截距 可得 可见列车做初速度为，加速度为的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律得 牵引力功率 可知牵引力功率逐渐增大，故ABC错误； D．20s末列车的速度大小为 根据动能定理得 牵引力做的功 故D正确。 故选D。 【变式13-2】（23-24高一下·重庆·期中）额定功率为40kW的汽车，在平直公路上行驶最大速度是20m/s，汽车质量，如果汽车从静止开始先做加速度为的匀加速直线运动，达到额定功率后以额定功率行驶，在运动过程中阻力不变，则关于启动过程，下列说法正确的是（　　） A．汽车受到的阻力为4000N B．汽车匀加速运动时受到的牵引力为8000N C．汽车做匀加速直线运动的最大速度为10m/s D．从静止到速度达到最大，合外力做功为 【答案】D 【解析】A．汽车达到最大速度后做匀速直线运动，牵引力与阻力平衡，功率为额定功率，则有 解得 故A错误； B．汽车匀加速直线运动过程，根据牛顿第二定律有 解得 故B错误； C．令匀加速直线运动的最大速度为，则有 解得 故C错误； D．从静止到速度达到最大，根据动能定理有 解得 故D正确。 故选D。 【基础强化】 1．（2024高二上·黑龙江·学业考试）如图所示，人用细绳拉动物体在水平面上前进了一段距离。则人对物体做功情况为（    ） A．做正功 B．不做功 C．做负功 D．无法判断 【答案】A 【解析】人对物体的拉力的方向斜向右上，箱子的位移方向水平向右，力和位移夹角为，则可知人对物体的拉力对箱子做正功。 故选A。 2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）如图所示，拉力F大小为10N，方向与水平方向夹角，物体在拉力F作用下沿水平面向右前进了10m。此过程中拉力F做功为（　　） A． B． C． D．50J 【答案】D 【解析】根据功的计算公式可得，拉力做的功为 故选D。 3．（2024高二上·新疆·学业考试）如图所示，一物体在力F作用下沿水平方向做匀速直线运动，若物体通过的位移为s，则（    ） A．力F做的功为Fs B．物体克服摩擦力做的功为Fs C．重力做的功为Fs D．支持力做的功为零 【答案】D 【解析】A．力F做的功为WF=Fscosα 选项A错误； B．物体克服摩擦力做的功为Wf=Fscosα 选项B错误； C．重力方向与位移方向垂直，则重力做的功为零，选项C错误； D．支持力方向与位移方向垂直，则支持力做的功为零，选项D正确； 故选D。 4．（23-24高一下·江苏常州·期中）如图所示，将小物块放在向右运动传送带的A点，一段时间内小物块向右运动了S1，此时传送带的A点与小物块间距离为S2，且小物块的速度仍小于传送带速度，小物块与传送带间的滑动摩擦力为f，则（　　） A．摩擦力对小物块做功为 B．摩擦力对小物块做功为 C．摩擦力对传送带做功为 D．摩擦力对传送带做功为 【答案】C 【解析】AB．小物块在传送带上滑动过程S1，摩擦力做正功为 AB错误； CD．在题目叙述过程中，传送带的位移为 摩擦力对传送带做负功为 C正确，D错误。 故选C。 5．（24-25高一下·河北·阶段练习）有一个软木块静止放在光滑水平面上，一粒高速飞行的子弹（可看作质点）以水平速度打到木块上，子弹穿透木块后飞出，经测量，在子弹刚进入木块到刚穿透本块的过程中，木块相对于地面滑动的距离是子弹相对于木块运动距离的一半，在这个过程中，子弹克服摩擦力所做的功为，子弹对木块所做的功为， 子弹在木块中运动时所受摩擦力恒定，以下各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设木块相对于地面的位移为， 子弹相对于木块的位移为， 子弹相对于地面的位移为， 设子弹和木块之间的相互作用力大小为， 子弹克服摩擦力做的功 子弹对木块做的功 所以 故选A。 6．（2023·北京·高考真题）如图所示，一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体质量为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度为g，在物体移动距离为x的过程中（　　） A．摩擦力做功大小与F方向无关 B．合力做功大小与F方向有关 C．F为水平方向时，F做功为 D．F做功的最小值为 【答案】D 【解析】A．设力F与水平方向的夹角为θ，则摩擦力为 摩擦力的功 即摩擦力的功与F的方向有关，选项A错误； B．合力功 可知合力功与力F方向无关，选项B错误； C．当力F水平时，则 力F做功为 选项C错误； D．因合外力功为max大小一定，而合外力的功等于力F与摩擦力f做功的代数和，而当时，摩擦力f=0，则此时摩擦力做功为零，此时力F做功最小，最小值为max，选项D正确。 故选D。 7．（24-25高三上·安徽六安·期末）水稻是皖西地区重要的农作物之一。如图甲，抛秧种水稻与插秧种水稻不同，它是直接将秧苗抛种在田里，比插秧更轻便省时，抛秧过程简化为如图乙。在同一竖直面内，两位村民将两颗质量相同的秧苗、（均可视为质点），分别从高度和（）处以初速度和沿水平方向同时抛出，均落到与两拋出点水平距离相等的点。若不计空气阻力，则（　　） A．、两秧苗的落地时间之比为 B．、两秧苗抛出的初速度 C．、两秧苗抛出时的竖直高度之比为 D．落地时的重力瞬时功率大于的重力瞬时功率 【答案】D 【解析】AB．两颗秧苗都做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，由 解得 因为 所以 秧苗水平方向都做匀速直线运动，由 由题意相等，联立以上可得， 故AB错误； C．根据 可知 故C错误； D．与的重力相等，因，根据 解得 根据 可知，落地时的重力瞬时功率大于的重力瞬时功率，故D正确。 故选D。 8．（24-25高三上·海南·阶段练习）如图所示为建筑用的塔式起重机，在某次工作中将质量为m的建筑材料由静止开始向上做直线运动，通过传感器测量了时间内钢绳的拉力与重力的比值随时间的变化规律。若时间内建筑材料的位移为、合力的功为， 时间内建筑材料的位移为，合力的功为。则下列关系正确的是（　　） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】A 【解析】设、时间内建筑材料的加速度分别为、，则由牛顿第二定律得 ， 解得 由匀变速直线运动的位移公式得 ， 解得 又由功的公式得 ， 即 故选A。 9．（湖南省娄底市名校学术联盟2024-2025学年高三上学期1月月考物理试题）2024年5月8日，“嫦娥六号”探测器在“鹊桥二号”中继卫星的支持下，成功实现第一次近月制动，顺利进入环月轨道，运动简图如图，它先在椭圆轨道1上运行，变轨后进入圆轨道2。已知轨道1近月点P到月球表面的距离为r1，远月点Q到月球表面的距离为r2，1、2轨道相切于P点，月球半径为R，月球表面重力加速度大小为g0，除在P点处变轨外只考虑月球的引力，则“嫦娥六号”（　　） A．从轨道1变轨到轨道2，发动机在P点需要对它做正功 B．在Q点的速度大于 C．在轨道2上运动的加速度大于g0 D．在轨道1上与轨道2上运动的周期之比为 【答案】D 【解析】A．“嫦娥六号”从轨道1变轨到轨道2，需要减速，发动机在P点需要对它做负功，故A错误； B．假设有一过Q点的外切圆轨道3，“嫦娥六号”在轨道3上做圆周运动，根据 在月球表面有 联立解得 “嫦娥六号”从轨道1变轨到轨道3，需要加速，故在Q点的速度大小 故B错误； C．在轨道2上运动，根据 可得 故C错误； D．轨道1的半长轴为 轨道2的半径为 由开普勒第三定律有 “嫦娥六号”在轨道1上与轨道2上运动的周期之比为 故D正确。 故选D。 10．（2025·湖南邵阳·二模）“弹簧公仔”以其呆萌的表情和摇摇晃晃的可爱姿态赢得人们的喜爱，如图所示，已知“弹簧公仔”头部A的质量为，脚部B的质量为，连接A、B的弹簧质量忽略不计。现对其头部A施加竖直向下的压力使其静止，突然撤去力后，A向上运动，一段时间后B也离开了地面。已知从撤去力到A上升到最高点的过程中，弹簧的形变量始终未超出弹性限度。下列说法正确的是（　　） A．撤去力后的瞬间，A的加速度大小为 B．在B离开地面前的过程中地面对“弹簧公仔”做正功 C．从B离开地面到A、B相距最远的过程中，A、B的加速度均不断增大 D．从撤去力到B刚要离开地面的过程中，A一直处于超重状态 【答案】C 【解析】A．撤去力F后的瞬间，A所受重力和弹簧弹力未发生突变，合力大小为F，方向竖直向上，由牛顿第二定律可知A的加速度大小 故A错误； B．在B离开地面前的过程中地面对“弹簧公仔”的作用力没有位移，所以不做功，故B错误； C．从B离开地面到A、B相距最远的过程中，由牛顿第二定律可知 方向竖直向下， 方向竖直向上，A减速上升，B加速上升，当A和B的速度相等时相距最远，在此过程中，弹簧的伸长量不断增大，拉力不断增大，A和B的加速度均不断增大，故C正确； D．从撤去力F到B刚要离开地面的过程中，弹簧对A的弹力先是越来越小的支持力，后是越来越大的拉力，由牛顿第二定律可知A的加速度方向先竖直向上，后竖直向下，因此A先处于超重状态，后处于失重状态，故D错误。 故选C。 11．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）如图甲所示，质量为的玩具飞箭以初速度竖直向上射出，运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比，速度随时间的变化关系如图乙所示。时刻落回发射点，且此前已做匀速运动，则下列关于飞箭运动的描述中正确的是（　　） A．飞箭的加速度先减小后增大 B．飞箭的加速度先增大后减小 C．相比于下降过程，上升过程中飞箭克服阻力做功多 D．上升和下落过程中平均速度大小相等 【答案】C 【解析】AB．图像的斜率等于加速度，可知飞箭的加速度一直减小，选项AB错误； D．上升阶段 下降阶段 则上升阶段平均加速度较大，根据 则上升阶段时间较短，根据 飞箭上升平均速度大于下落过程中的平均速度，选项D错误； C．上升阶段平均阻力较大，则飞箭上升过程中飞箭克服阻力做功多，选项C正确； 故选C。 12．（2025高三·北京·专题练习）放在粗糙水平地面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s内其速度与时间的图像和该拉力的功率与时间的图像分别如图甲、乙所示。下列说法正确的是（　　） A．0～6 s内物体的位移大小为20 m B．0～6 s内拉力做的功为70 J C．合力在0～6 s内做的功与0～2 s内做的功不相等 D．滑动摩擦力的大小为5 N 【答案】B 【解析】A．由v­t图像与t轴围成的面积表示位移，可得0～6 s内物体的位移大小x=×6 m=30 m 故A错误； B．由P­t图像与t轴围成的面积表示做功多少，可得在0～2 s内拉力对物体做功W1=J=30 J 2～6 s内拉力对物体做功W2=10×4 J=40 J 所以0～6 s内拉力做的功为W=W1＋W2=70J B正确； C．由图甲可知，在2～6 s内，物体做匀速运动，合力为零，则合力在0～6 s内做的功与0～2 s内做的功相等，故C错误； D．在2～6 s内，v=6 m/s，P=10 W，物体做匀速运动，滑动摩擦力 故D错误。 故选B。 13．（24-25高一下·福建福州·阶段练习）在平直公路上，汽车由静止开始做匀加速直线运动，当速度达到后，立即关闭发动机直至静止，图像如图所示，设汽车的牵引力为F，受到的摩擦力为f，全程中牵引力做功为，克服摩擦力做功为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】加速阶段加速度大小为 根据牛顿第二定律 解得 加速阶段的位移为 减速阶段加速度大小为 根据牛顿第二定律 所以解得牵引力为 减速阶段的位移为 所以牵引力做功为 克服摩擦力做功为 所以， 故选A。 14．（2023·重庆·一模）（多选）如题图甲，辘轳是古代民间提水设施，由辘轳头、支架、井绳、水斗等部分构成。如题图乙为提水设施工作原理简化图，某次需从井中汲取m=2kg的水，辘轳绕绳轮轴半径为r=0.1m，水斗的质量为0.5kg，井足够深且井绳的质量忽略不计。t=0时刻，轮轴由静止开始绕中心轴转动，其角速度随时间变化规律如题图丙所示，g取，则（　　） A．水斗速度随时间变化规律为v=0.4t B．井绳拉力瞬时功率随时间变化规律为P=10t C．0~10s内水斗上升的高度为4m D．0~10s内井绳拉力所做的功为520J 【答案】AD 【解析】A．根据图像可知，水斗速度 A正确； B．井绳拉力瞬时功率为 又由于 根据上述有 则有 P=10.4t B错误； C．根据图像可知，0~10s内水斗上升的高度为 C错误； D．根据上述 P=10.4t 0~10s内井绳拉力所做的功为 D正确。 故选AD。 15．（2025·福建莆田·二模）据《吕氏春秋》记载，我国在尧舜时代就有春节扫尘的风俗，寓意平安顺遂。如图，质量m=50kg的沙发静止在水平地面上，与地面的动摩擦因数μ=0.3。小海从侧面用平行于地面的力F=200N推开沙发打扫卫生，沙发由静止开始匀加速前进s=2m，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2。这个过程中，求 (1)合力对沙发所做的功W； (2)合力的平均功率P。 【答案】(1) (2) 【解析】（1）沙发受到的合力 合力对沙发所做的功 代入题中数据，联立解得 （2）沙发由静止开始做匀加速运动，根据牛顿第二定律，有 由运动学公式 合力的平均功率 代入题中数据，联立解得 16．（2023高三·全国·专题练习）如图所示，足够长的倾角θ＝37°的粗糙斜面固定在水平面上，一质量m＝10 kg的物体在平行于斜面向上的推力F＝180 N作用下，由底端从静止开始向上运动，已知物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s2。 （1）求物体在推力F作用下向上运动的加速度大小； （2）求物体从底端向上运动4 m时推力F的瞬时功率； （3）若物体向上运动4 m后撤去推力F，则物体从底端沿斜面运动到最高点过程中克服摩擦力做多少功？ 【答案】（1）8 m/s2；（2）1440 W；（3）288 J 【解析】（1）对物体进行受力分析，根据牛顿第二定律，有 代入数据得 （2）从底端向上运动4 m时，根据运动学公式， 有 又推力F的瞬时功率为 联立并代入数据，得 （3）撤去推力F后，对物体进行受力分析，根据牛顿第二定律，有 根据运动学公式，有 根据功的公式，有 联立并代入数据，得 17．（24-25高三上·河南·阶段练习）质量、长的木板A静止在水平面上，木板的左端静置一质量可视为质点的木块B，木板与地面之间的动摩擦因数，木块与木板之间的动摩擦因数，现用水平恒力F始终推木块B，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度，求： (1)若B相对A滑动，推力F至少多大； (2)若外力，B离开A的时间； (3)仅改变外力F的大小，使B离开A，力F做功的最小值。 【答案】(1) (2)4s (3) 【解析】（1）B与A刚好滑动，B与A之间的摩擦力 A与地面之间摩擦力 临界加速度为 对整体 解得 （2）由于28N>24N，则B相对A产生滑动，设B的加速度为，有 解得 B离开A，则有 解得 （3）力F作用在B上产生的加速度 设离开时间为，有 力F做功 整理得 则当 时W最小，即 当 力F做功最小 此时 【素养提升】 18.（2025·江苏·模拟预测）由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨迹不是抛物线，而是“弹道曲线”，如图中实线所示，O点为发射点，d点为落地点，b点为轨迹的最高点，a、c为运动过程中经过的距地面高度相等的两点，下列说法正确的是（　　） A．炮弹到达b点时的速度为零 B．炮弹到达b点时的加速度为重力加速度g C．炮弹经过a点时重力的功率比c点大 D．炮弹在Ob段重力的平均功率与bd段相等 【答案】C 【解析】A．到达点时，炮弹的竖直分速度为零，但具有水平分速度（不为零），故A错误； B．炮弹到达b点时，除受到竖直向下的重力外、还受到与运动方向相反的空气阻力作用，所以到达点时，炮弹的加速度不为重力加速度g，故B错误； C．炮弹从点到点的过程，竖直方向，由于空气阻力的影响，竖直向上减速的加速度大于竖直向下加速的加速度，位移相同，根据 可知，点的竖直分速度小于点的竖直分速度，根据重力的功率 可知炮弹经过a点时重力的功率比c点大，故C正确； D．从O到b的过程中，在竖直方向上，受到重力和阻力在竖直向下的分力，由牛顿第二定律可得 解得 在从b到d的过程中，在竖直方向上，受到向下的重力和阻力在竖直向上的分力，由牛顿第二定律可得 解得 对比可得 即上升阶段的加速度总体比下降阶段的加速度大，由 可定性确定，竖直位移相同，加速度越大，时间就越短，所以炮弹由O点运动到b点的时间小于由b点运动到d点的时间，但两个过程重力做功的值相同，根据 可知炮弹在Ob段重力的平均功率大于bd段重力的平均功率，故D错误。 故选C。 19．（23-24高一下·贵州毕节·期中）一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5s内做匀加速直线运动，5s末达到额定功率，之后保持以额定功率运动。其v-t图像如图所示。已知汽车的质量为m=1×103kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，g=10m/s2，则： （1）汽车在前5s内的牵引力为多少? （2）汽车速度为25m/s时的加速度为多少? （3）假设汽车达到最大速度所用时间为10s，则10s内汽车牵引力所做功总和为多少? 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）在前5s内做匀加速直线运动，则 其中 代入数据，解得 由牛顿第二定律可知 代入数据解得 （2）汽车的额定功率为 汽车速度为25m/s时，根据牛顿第二定律有 所以加速度的大小为 （3）根据题意可得0~10s内牵引力做功为 其中 解得 20．（24-25高三上·福建莆田·期中）如图所示，一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动，已知物体质量为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度为g，在物体移动距离为的过程中，回答下列问题： (1)判断合力做功大小与力F方向是否有关，并说明理由； (2)力F为水平方向时，F做功为多少； (3)力F做功的最小值。 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【解析】（1）合力做功 其中m、a、x为已知量，与F方向无关。 （2）力F为水平方向时，由牛顿第二定律得 解得 F做功 （3）设力F与水平方向夹角为θ，由牛顿第二定律得 ， 力F做功 整理得 要使最小，则要令 则 【能力培优】 21．（2024·四川自贡·模拟预测）（多选）传送带被广泛运用于生活中各种输送类场景。在某一工厂车间里，有一足够长的传送带与水平面的夹角为，一质量的小物块静止在传送带上，如图甲所示时接通电源，传送带开始逆时针转动，其加速度随时间的变化规律如图乙所示，后的加速度为0。已知物块与传送带之间的动摩擦因数，取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。以下说法中正确的是（　　） A．至，物块的加速度为 B．传送带转动的最大速度的大小为 C．整个过程物块和传送带由于摩擦产生的内能为 D．时，物块和传送带共速 【答案】BCD 【解析】A．对物块根据牛顿第二定律有 代入数据解得 恰好等于传送带至的加速度，可知至，物块的加速度为，故A错误； B．自至，对传送带有 代入数据解得 即传送带转动的最大速度的大小为，故B正确； C．时物块和传送带的共同速度 物块继续以加速度匀加速运动，后传送带以的速度匀速运动，设时刻两者速度相同，则 代入数据解得 物块和传送带速度相同以后不再有相对运动，对两者相对运动过程，传送带位移 物块位移 摩擦产生的内能 代入数据解得 故C正确； D．根据以上分析可知时物块和传送带共速，故D正确。 故选BCD。 22．（2025届青海省海东市第二中学等学校高三下学期第二次模拟考试物理试卷）如图所示，倾角为、足够长的光滑斜面固定在水平地面上，斜面底端有一质量的物块，时刻物块在沿斜面向上的恒力的作用下，从斜面底端由静止开始运动，时物块到达点并撤去，时物块恰好返回斜面底端，，取重力加速度大小。 (1)求撤去后物块的加速度大小； (2)求恒力对物块做的功； (3)若时刻物块在沿斜面向上的变力的作用下，从斜面底端由静止开始运动，时物块到达点并撤去，此过程中物块的加速度与速度成反比，时物块返回斜面底端，求变力的最小值。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）撤去外力后，物块只受到重力和斜面的支持力，根据牛顿第二定律则有 解得 即撤去后物块的加速度大小 （2）设恒力作用时物块的加速度为，根据牛顿第二定律可得 在外力作用下，物块到达A点的速度为 物块的位移 撤去外力后，物块做匀减速运动，则有 联立解得，， 故恒力做的功 （3）由题可知，加速度的微分方程为 整理可得 两边积分可得 结合题意可知，时，则有 解得 结合上述分析可知，物块从斜面底端到A点的位移，撤去外力后，从A点返回到斜面底端的时间，因此在内，物块的位移仍为4m，撤去外力后，物体的加速度大小仍为，物块依然用的时间回到底端，故物块到A点的速度依然为 将代入 解得 则在0 ～ 1.5 s 内的任意时刻，合力为 解得 由此可知，当时，最小，其最小值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$