专题02 二次根式（考题猜想，11大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（鲁教版）

专题02 二次根式（11大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 二次根式有意义的条件（易错） · 题型二 根据二次根式非负性求解（高频） · 题型三 利用二次根式的性质化简（高频） · 题型四 复合二次根式化简（难点） · 题型五 二次根式的混合运算（易错） · 题型六 二次根式的应用（高频） · 题型七 根据最简二次根式求参数（高频） · 题型八 分母有理化（难点） · 题型九 比较二次根式的大小（高频） · 题型十 已知字母的值，化简求值（高频） · 题型十一 已知代数式的值，化简求值（高频） 题型一 二次根式有意义的条件（易错） 1．（24-25八年级上·山东滨州·期末）若代数式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，明确二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零是解题关键． 根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可． 【详解】解：代数式有意义， ，． 解得∶且． 故选：D． 2．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】且且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数；分式有意义的条件：分母不等于0，零指数幂的底数不等于0是解决问题的关键．根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数；再根据分式有意义的条件：分母不等于0，以及零指数幂的底数不等于0即可得出答案． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， 解得， ∴实数x的取值范围是且且． 故答案为：且且． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知实数x、y满足值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及乘方的运算，关键是掌握二次根式中被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件可得，进而可得出，然后可得，再进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴，则， ∴． 故答案为：． 题型二 根据二次根式非负性求解（高频） 4．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若x，y为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的意义和性质．二次根式的加减运算，概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式的被开方数是非负数求得x的值，进而得到y的值，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴原式＝． 5．（24-25八年级上·重庆·期中）已知实数满足，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，此时原式可变形为，可得到，进而可得． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 6．（2025八年级下·安徽·专题练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式组、负整数指数幂，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负数求出的值，从而可得的值，再代入计算负整数指数幂即可得． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得出一元一次不等式组，解不等式组求出，进而求出，再代入求值即可． 【详解】解：由题意可得：且， ， 则， ． 8．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查二次根式的化简求值，解题关键在于理解并应用二次根式有意义的条件，即根号内的表达式具有非负性．通过分析给出的条件，可以确定a和b的具体数值，进而完成整个代数式的求解． 【详解】解：， 根据二次根式的性质，可以将原式化简为： ， ，由于根号下要求非负，所以有： ，解得：， 再将代入得到： ， 将和代入原式得：． 9．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若为实数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值，理解二次根式有意义的条件求出的值是解答关键． 根据二次根式的有意义的条件求出的值，再利用二次根式化简求值进行计算求解． 【详解】解：根据题意得， ， 解得， ∴ ． 题型三 利用二次根式的性质化简（高频） 10．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示，则= ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简二次根式，先根据数轴推出，据此化简二次根式和绝对值即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故答案为：． 11．（23-24八年级上·四川达州·期末）观察下列二次根式的化简： ， ， …， 则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是规律探究，根据规律确定，然后计算求解即可． 【详解】解：由题意知， ； ∴， 故答案为：． 12．（23-24八年级下·山东聊城·期末）代数推理： …… 试探究一般规律，并写出第n个代数式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化规律，直接利用已知二次根式得出数字变化规律，进而得出答案． 【详解】解：因为 …， 所以第n个式子为：， 故答案为：． 13．（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知、、是的三边长，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，二次根式的性质，绝对值的应用，关键是去掉绝对值符号．根据三角形的三边关系定理得出，，，根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号后合并即可． 【详解】解：、、是的三边长， ，，， 原式 ． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知． (1)计算：当时，___________，___________； 当时，___________，___________； 当时，___________，___________； (2)猜想：无论为任何非负数时，___________始终成立（填“”，“”，“”，“”或“”）； (3)请说明（）中猜想的合理性． 【答案】(1)，；，；， (2) (3)证明见解析 【分析】（）把的值分别代入计算即可求解； （）根据（）所得结果即可判断求解； （）分别求出，再利用作差法比较出的大小，进而即可求证； 本题考查了二次根式运算和性质，掌握二次根式的运算是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，，， 故答案为：，； 当时，，， 故答案为：，； 当时，，； 故答案为：，； （2）解：猜想：无论为任何非负数时，， 故答案为：； （3）证明：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 题型四 复合二次根式化简（难点） 15．（23-24八年级下·山东滨州·期中）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　  =    (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，解题关键是掌握二次根式的运算法则，读懂题意，根据材料中的方法化简双重二次根式． （1）根据材料中的方法，得到且；且，即可将配方成，配方成，进而得出答案； （2）将化成，再根据，，可将配方成，即可得出答案； （3）将化成，再根据材料中的方法，化简得，，然后再代入计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：因为且， ， ， 故答案为：； 因为且， ， ， 故答案为：． （2）解： 因为且， ， ， ． （3）解：， 因为且， ， ， 因为且， ， ， ． 16．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 标题：双层二次根式的化简 内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有， ，_______． 这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法． 任务： (1)文中的________． (2)化简：________． (3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． (4)化简：________．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3)7或13 (4)当时，，当时， 【分析】本题主要考查了复合二次根式的化简： （1）根据题目所给信息即可得到答案； （2）根据结合完全平方公式求解即可； （3）根据，得出，，根据x，y为正整数，求出，或，，最后求出a的值即可． （4）根据进行化简求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：由题意得， ∴，， ∵x，y为正整数， ∴，或，， ∴或． （4）解： ， 当，即时，则原式； 当，即时，则原式； 综上所述，当时，，当时，． 17．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）阅读下面这道例题的解法，并回答问题． 例如：化简． 解：． 依据上述计算，填空： (1) ， ； (2)根据上述方法求值：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式： （1）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解； （2）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：；； （2）解： ． 题型五 二次根式的混合运算（易错） 18．（23-24八年级下·山东东营·开学考试）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据乘法公式计算，再算加减； （2）先根据二次根式的性质化简，并把除法转化为乘法，再根据乘法法则计算； （3）根据二次根式的乘除法法则计算即可； （4）先根据二次根式的性质、绝对值、零指数幂、乘方的意义化简，再算加减． 【详解】解：（1） （2） ． （3） （4） 19．（23-24八年级上·山东青岛·期中）观察下列等式，然后解答问题： ， ， ， ， (1)计算： __________； ； (2)计算： ； ． 【答案】(1)；2022 (2)； 【分析】本题主要考查了二次根式运算、运用平方差公式和完全平方公式进行运算、积的乘方的逆运算等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． （1）观察题目中的等式，即可求得答案；将原式整理为，进而可得，然后利用平方差公式进行求解即可； （2）利用积的乘方的逆运算，将原式整理为，然后利用平方差公式进行求解即可；将原式整理为，然后利用平方差公式和完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； 原式 ； （2）原式 ； 原式 ． 20．（23-24八年级下·山东威海·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可得出答案； （2）先根据二次根式的性质进行化简，再计算加减即可； （3）将式子变形为，再利用平方差公式和完全平方公式计算即可得出答案； （4）先将分母有理化，再计算加减即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型六 二次根式的应用（高频） 21．（23-24八年级下·山东青岛·期末）有一块矩形木板，木工采用如图所示的方式在木板上截出，两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的，两个正方形的边长分别为__________ ，__________ （用最简二次根式表示） (2)求剩余木板（阴影部分）的面积． 【答案】(1)， (2)剩余木板的面积为 【分析】（1）根据正方形的面积根式以及最简二次根式的定义进行解题即可； （2）根据图形进行列式计算即可． 本题考查二次根式的应用、最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题可知， 设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，， 解得，（负数舍去）． 故答案为：，； （2）解：由题可知，阴影部分的面积为： ． 答：剩余木板（阴影部分）的面积为． 22．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）秦九韶（年年），南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是，记，那么三角形的面积． (1)在三角形中，，用上面的公式计算三角形的面积； (2)一个三角形的三边长分别为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据“海伦一秦九韶公式” 即可解答； （）将，代入得到，再利用即可解答． 【详解】（1）解：∵三角形中，， ∴“海伦一秦九韶公式”中的，， ∴， ； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，勾股定理解直角三角形，等腰直角三角形的性质，明确题意熟练掌握海伦一秦九韶公式是解题的关键． 23．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习） 某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛(即图中阴影部分)，长方形花坛的长为米，宽为米. (1)长方形的周长是多少? (2)除去修建花坛的地方. 其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元? 【答案】(1)米 (2)元 【分析】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式． （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【详解】（1）解：米 答：长方形的周长为米． （2）解：通道的面积平方米 购买地砖需要花费元 答：购买地砖需要花费元． 24．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题． ，； ，；… ，；… (1)请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：______，______． (2)若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？ (3)求出的值． 【答案】(1)n， (2)它是第32个三角形，见解析 (3)11.25 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的应用，规律探究，解题的关键是看清楚相邻两个三角形的各个边之间的关系． （1）由勾股定理及直角三角形的面积求解； （2）利用（1）的规律代入求出n即可； （3）算出第一到第九个三角形的面积后求和即可． 【详解】（1）因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得： ， ， ， …， ， ∴＝n． Sn＝•1•＝ 故答案为：n， （2）当时，即＝， 解得：n＝32 ∴它是第32个三角形． （3） ＝+…+ ＝11.25 ∴的值为11.25． 题型七 根据最简二次根式求参数（高频） 25．（23-24八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念解答即可． 【详解】解：当时，，是最简二次根式， 故答案为：2（答案不唯一）． 26．（24-25八年级上·全国·单元测试）若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．让被开方数为非负数列式求得的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 当时，二次根式的值为，是最简二次根式，符合题意， 若二次根式是最简二次根式，则整数的最小值是． 故答案为：． 27．（23-24八年级下·山东泰安·期中）若最简二次根式和能合并，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了同类二次根式及最简二次根式，解一元一次方程，熟记定义并能灵活运用是解决本题的关键． 由题意得，解方程即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：5． 28．（22-23八年级下·山东临沂·期中）若两个最简二次根式与能合并，则 ． 【答案】1 【分析】由最简二次根式与能合并可得，计算即可. 【详解】解：最简二次根式与能合并， ∴， 解得 , 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式及最简二次根式，熟记定义并能灵活运用是解决本题的关键. 题型八 分母有理化（难点） 29．（2023·四川成都·模拟预测）设的整数部分，小数部分为，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分，以及估算无理数大小，先把式子分母有理化，再估算出所在范围，再根据化简后的式子进行变形，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， ， 的整数部分，小数部分为， ，． 故答案为：2，． 30．（23-24八年级下·河北承德·期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、 、一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： （Ⅳ） (1)请用不同的方法化简 ①参照（Ⅲ）式得 ； ②参照（Ⅳ）式得 ； (2)化简： 【答案】(1)①； ② (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化以及分式的加减法运算，根据分母有理化的方法进行运算即可． （1）根据分母有理化的两种方式分别进行运算即可． （2）根据分母有理化的结果进行分式的加法运算即可． 【详解】（1）解：①， ② （2） 31．（23-24八年级下·山东烟台·期末）【例题呈现】化简：． 思路点拨：将原式的分子、分母同乘一个代数式，使得分母不含根号，实现分母有理化． 解：将分子、分母同乘，得． 【类比应用】 (1)化简：； (2)宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形．如图，已知黄金矩形的边，剪掉一个以为边的正方形后，得到新的矩形． ①求的长； ②通过计算说明矩形是否为黄金矩形． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】（1）按照题目中的过程进行计算即可； （2）①根据黄金矩形的定义，并结合进行计算即可； ②根据正方形的性质求得，再计算的值，即可求证． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①∵宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形，， ； ②∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是黄金矩形． 【点睛】本题考查分母有理化、矩形的性质、正方形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． 32．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）在数学学习活动中，小华和他的同学遇到一道题：已知，求的值．小华是这样解答的：∵，∴．请你根据小华的解题过程，解决下列问题． (1)填空：______；______； (2)化简：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，利用平方差公式，分子分母同乘以有理化因式是解题的关键． （1）分子分母分别乘以，，即得答案； （2）根据（1）的方法，分别化简，，，，，即得答案． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：；． （2） ． 题型九 比较二次根式的大小（高频） 33．（23-24八年级下·河南省直辖县级单位·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则， 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，　　　　（填写，或者） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键： （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用平方法进行比较即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：猜想，理由如下： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 34．（2024八年级下·全国·专题练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，∵，则，∴． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，c d（填写＞，＜或者＝）． (2)猜想 ，之间的大小，并证明． (3)化简： （直接写出答案）． 【答案】(1) (2)，证明过程见解析 (3)4或 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的大小比较和化简二次根式，解题的关键是熟练运用题干中“平方法”，第（3）题注意分情况讨论． （1）根据题干中“平方法”比较实数大小； （2）根据题干中“平方法”比较二次根式的大小； （3）根据题干中“平方法”找出，，再利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方分类讨论得出答案． 【详解】（1）解：∵， 则， ∴； 故答案为：>． （2）解：猜想：， 证明：∵， ， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴ ∵ ∴， 分情况讨论： ①若，即时， 原式 ； ②若，即时， 原式 ， 综合①②得： 当时，原式； 当时，原式； 故答案为：4或． 题型十 已知字母的值，化简求值（高频） 35．（24-25八年级上·陕西西安·期中）在数学课外学习活动中，晓晨和同学们遇到一道题：已知，求的值．经过讨论，他们是这样解答的： ，即， ，即． ． 请你根据他们的分析过程，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)11 【分析】本题考查分母有理化、代数式求值，理解题中求解方法是解答的关键． （1）仿照例题方法，先分母有理化求得m值，进而利用完全平方公式求得，然后代值求解即可； （2）仿照例题方法求解即可． 【详解】（1）解：∵，即， ，即， ， 的值为2； （2）解：∵，即， ，即， ， ， 即的值为11． 36．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：． (1)化简； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）仿照已知化简即可； （）求出、的值，再把它们代入代数式计算即可求解； 本题考查了二次根式的化简求值，掌握分母有理化是解题的关键． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵，， ∴，， ∴原式 ， ． 37．（23-24八年级下·山东德州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和法则． 先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再代入和的值进行计算即可． 【详解】原式 当，时，原式． 题型十一 已知代数式的值，化简求值（高频） 38．（23-24八年级下·山东滨州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简求值，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． 先根据单项式乘以多项式的计算法则和平方差公式去括号，然后合并同类二次根式化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ； ； 原式． 39．（23-24八年级下·山东烟台·期中）【问题背景】 已知 ，求 的值． 【问题解决】 （1）小颖通过思考，形成如下解题思路：先将等式两边都除以x，得到 的值，再利用完全平方公式求出的值．请按照该思路，写出上述题目完整的求解过程； 【拓展应用】 （2）已知 ，求 的值； （3）已知，求 的值． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，二次根式的运算等知识．熟练掌握完全平方公式的变形，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据题意可得，根据，代值求解即可； （2）同理（1）计算求解即可； （3）同理（1）可得，进而可求 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∴的值为． （2）解： ， ∴， ∴的值为； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 40．（24-25八年级上·四川成都·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，，，且，求m． (3)已知，求的值． 【答案】(1)26 (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答； （2）先利用分母有理化化简，从而求出，，然后根据已知可得，再利用完全平方公式进行计算即可解答； （3）利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴． $$专题02 二次根式（11大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 二次根式有意义的条件（易错） · 题型二 根据二次根式非负性求解（高频） · 题型三 利用二次根式的性质化简（高频） · 题型四 复合二次根式化简（难点） · 题型五 二次根式的混合运算（易错） · 题型六 二次根式的应用（高频） · 题型七 根据最简二次根式求参数（高频） · 题型八 分母有理化（难点） · 题型九 比较二次根式的大小（高频） · 题型十 已知字母的值，化简求值（高频） · 题型十一 已知代数式的值，化简求值（高频） 题型一 二次根式有意义的条件（易错） 1．（24-25八年级上·山东滨州·期末）若代数式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 2．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知实数x、y满足值是 ． 题型二 根据二次根式非负性求解（高频） 4．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若x，y为实数，且，求的值． 5．（24-25八年级上·重庆·期中）已知实数满足，那么 ． 6．（2025八年级下·安徽·专题练习）已知，则 ． 7．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）已知，求的值． 8．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 9．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若为实数，求的值． 题型三 利用二次根式的性质化简（高频） 10．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示，则= ． 11．（23-24八年级上·四川达州·期末）观察下列二次根式的化简： ， ， …， 则 ． 12．（23-24八年级下·山东聊城·期末）代数推理： …… 试探究一般规律，并写出第n个代数式： ． 13．（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知、、是的三边长，化简 ． 14．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知． (1)计算：当时，___________，___________； 当时，___________，___________； 当时，___________，___________； (2)猜想：无论为任何非负数时，___________始终成立（填“”，“”，“”，“”或“”）； (3)请说明（）中猜想的合理性． 题型四 复合二次根式化简（难点） 15．（23-24八年级下·山东滨州·期中）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　  =    (2)化简：； (3)计算：． 16．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 标题：双层二次根式的化简 内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有， ，_______． 这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法． 任务： (1)文中的________． (2)化简：________． (3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． (4)化简：________．（直接写出答案） 17．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）阅读下面这道例题的解法，并回答问题． 例如：化简． 解：． 依据上述计算，填空： (1) ， ； (2)根据上述方法求值：． 题型五 二次根式的混合运算（易错） 18．（23-24八年级下·山东东营·开学考试）计算： (1) (2) (3) (4) 19．（23-24八年级上·山东青岛·期中）观察下列等式，然后解答问题： ， ， ， ， (1)计算： __________； ； (2)计算： ； ． 20．（23-24八年级下·山东威海·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4) 题型六 二次根式的应用（高频） 21．（23-24八年级下·山东青岛·期末）有一块矩形木板，木工采用如图所示的方式在木板上截出，两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的，两个正方形的边长分别为__________ ，__________ （用最简二次根式表示） (2)求剩余木板（阴影部分）的面积． 22．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）秦九韶（年年），南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是，记，那么三角形的面积． (1)在三角形中，，用上面的公式计算三角形的面积； (2)一个三角形的三边长分别为，求的值． 23．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习） 某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛(即图中阴影部分)，长方形花坛的长为米，宽为米. (1)长方形的周长是多少? (2)除去修建花坛的地方. 其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元? 24．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题． ，； ，；… ，；… (1)请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：______，______． (2)若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？ (3)求出的值． 题型七 根据最简二次根式求参数（高频） 25．（23-24八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ． 26．（24-25八年级上·全国·单元测试）若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 27．（23-24八年级下·山东泰安·期中）若最简二次根式和能合并，则 ． 28．（22-23八年级下·山东临沂·期中）若两个最简二次根式与能合并，则 ． 题型八 分母有理化（难点） 29．（2023·四川成都·模拟预测）设的整数部分，小数部分为，则 ， ． 30．（23-24八年级下·河北承德·期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、 、一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： （Ⅳ） (1)请用不同的方法化简 ①参照（Ⅲ）式得 ； ②参照（Ⅳ）式得 ； (2)化简： 31．（23-24八年级下·山东烟台·期末）【例题呈现】化简：． 思路点拨：将原式的分子、分母同乘一个代数式，使得分母不含根号，实现分母有理化． 解：将分子、分母同乘，得． 【类比应用】(1)化简：； (2)宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形．如图，已知黄金矩形的边，剪掉一个以为边的正方形后，得到新的矩形． ①求的长； ②通过计算说明矩形是否为黄金矩形． 32．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）在数学学习活动中，小华和他的同学遇到一道题：已知，求的值．小华是这样解答的：∵，∴．请你根据小华的解题过程，解决下列问题． (1)填空：______；______； (2)化简：． 题型九 比较二次根式的大小（高频） 33．（23-24八年级下·河南省直辖县级单位·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则， 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，　　　　（填写，或者） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 34．（2024八年级下·全国·专题练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，∵，则，∴． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，c d（填写＞，＜或者＝）． (2)猜想 ，之间的大小，并证明． (3)化简： （直接写出答案）． 题型十 已知字母的值，化简求值（高频） 35．（24-25八年级上·陕西西安·期中）在数学课外学习活动中，晓晨和同学们遇到一道题：已知，求的值．经过讨论，他们是这样解答的： ，即， ，即． ． 请你根据他们的分析过程，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 36．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：． (1)化简； (2)求的值． 37．（23-24八年级下·山东德州·期中）先化简，再求值：，其中，． 题型十一 已知代数式的值，化简求值（高频） 38．（23-24八年级下·山东滨州·期中）先化简，再求值：，其中． 39．（23-24八年级下·山东烟台·期中）【问题背景】 已知 ，求 的值． 【问题解决】（1）小颖通过思考，形成如下解题思路：先将等式两边都除以x，得到 的值，再利用完全平方公式求出的值．请按照该思路，写出上述题目完整的求解过程； 【拓展应用】 （2）已知 ，求 的值； （3）已知，求 的值． 40．（24-25八年级上·四川成都·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，，，且，求m． (3)已知，求的值． $$