第十章 二元一次方程组（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（人教版，辽宁专用）

第十章 二元一次方程组 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：(共10题，每题3分，共30分。) 1．在方程中，二元一次方程有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 3．用代入消元法解二元一次方程组的过程中，下列变形不正确的是（   ） A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得 4．方程组的解是．那么方程组的解是（   ） A． B． C． D． 5．若是方程的解，则的值是（　　） A． B．1 C． D．3 6．若方程组的解满足，则k的值为（   ） A． B． C． D．1 7．某校开展以“趣味运动”为主题的体育活动，计划拿出3600元全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的班级，已知甲种奖品每件250元，乙种奖品每件200元，则购买方案有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 8．《九章算术盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十，盈六；人出九，不足十．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出钱，就多了钱；如果每人出钱，就少了钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 9．在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数，图的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图所示的算筹图所表示的方程组为 （    ） A． B． C． D． 10．老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按照图②所示的方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：(共5题，每题3分，共15分。) 11．已知关于的方程是二元一次方程，则 ． 12．已知，则y用只含x的代数式表示为 ． 13．定义运算“”，规定，其中为常数，且，则 ． 14．古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱，九百九十九文钱，甜果苦果买一千．试问甜苦果几个？”该问题意思是：已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了个，苦果买了个，根据题意，可列方程组是 ． 15．关于x、y的方程组与有相同的解，则 ． 三、解答题 （共75分) 16．解方程（组）． (1)． (2)（代入法） (3)（加减法） 17．已知关于的方程组 (1)若方程组的解互为相反数，求k的值； (2)若方程组的解满足方程，求k的值． 18．甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得． (1)求m，n的值； (2)求原方程组的解． 19．第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”在市场热销．某商场购进“滨滨”和“妮妮”共1000个，总共花费18000元，其中一个“滨滨”进价20元，一个“妮妮”进价15元． (1)求商场购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)若一个“滨滨”的售价为28元，商场计划售完这批“滨滨”和“妮妮”的利润率是，求一个“妮妮”的售价 20．对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_______（“具有”或“不具有”）“友好关系”，并说明理由； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 21．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． (1)求的值； (2)6月份小王家用水，应交水费多少元？ 22．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： 在解方程组 时，可采用一种“整体换元”的解法．具体过程如下：解：把，看成一个整体， 设，， 则原方程组可化为        解得 即           解得 (1)已知方程组 的解为 则方程组 的解为 (2)仿照上述“整体换元”的解法，解方程组 (3)若 则的值为 ． 23．【新情境】【背景】为了激励学习好的学生，班主任去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．如图所示． 【素材1】若买3杯A款奶茶，2杯B款奶茶，共需54元；若买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶，共需56元． 【素材2】为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． 【任务1】求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 【任务2】在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？ 【任务3】根据【素材2】小华恰好用了260元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．求B款加料的奶茶买了多少杯？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 二元一次方程组 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：(共10题，每题3分，共30分。) 1．在方程中，二元一次方程有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，理解含有两个未知数且未知数的次数是1次的整式方程是二元一次方程是解答关键． 根据二元一次方程的定义来进行判定求解． 【详解】解：中未知数在分母，它不是整式方程，不是二元一次方程，含有三个未知数，它不是二元一次方程， 中的次数是2，它不是二元一次方程， 二元一次方程的有：，，共3个． 故选：C． 2．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，把含有相同未知数的两个二元一次方程联立在一起所组成的方程组叫作二元一次方程组．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可得出结果． 【详解】解：A、不是整式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； B、是二元一次方程组，故本选项符合题意． C、含未知数项的次数是2次，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意． D、含未知数项的次数是2次，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．用代入消元法解二元一次方程组的过程中，下列变形不正确的是（   ） A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得 【答案】D 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组．根据每个选项要求进行化简，再比较，即可作答． 【详解】解：∵， ∴由①得，则， 由①得，故A、B选项说法是正确的，都不符合题意； ∴由②得，则，故C选项说法正确，不符合题意； 或由②得，则，故D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 4．方程组的解是．那么方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是仿照已知方程组的解，求复杂方程组的解，不需要解方程，只需将和看成整体，即可简便求解． 仿照已知方程组的解确定出所求方程组的解即可． 【详解】∵方程组的解是 ∴中 ∴方程组的解是． 故选：C． 5．若是方程的解，则的值是（　　） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴； 故选D． 6．若方程组的解满足，则k的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数，将两个方程相减后，整体代入法进行求解即可． 【详解】解： ，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 7．某校开展以“趣味运动”为主题的体育活动，计划拿出3600元全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的班级，已知甲种奖品每件250元，乙种奖品每件200元，则购买方案有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设购买件甲种奖品，件乙种奖品，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出，的值，进而可得出共有3种购买方案． 【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品， 依题意得：， ． 又，均为正整数， 或或， 共有3种购买方案． 故选：B． 8．《九章算术盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十，盈六；人出九，不足十．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出钱，就多了钱；如果每人出钱，就少了钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程组．根据如果每人出钱，就多了钱；如果每人出钱，就少了钱，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【详解】解：设共有人，物品的价格为钱， ∴由题意可得，， 故选：A． 9．在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数，图的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图所示的算筹图所表示的方程组为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理清题意，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据图的算筹图知第一行为第一个方程，前两个数分别为、的系数，第三个数为方程右侧常数的十位，第四个数为方程右侧常数的个位，然后根据图所示的算筹图列出二元一次方程组即可． 【详解】解：图所示的算筹图所表示的方程组为， 故选：C． 10．老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按照图②所示的方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设桌子的高度为，长方体木块一个面（图中展示的面）的长比宽大，根据图中两种放置的方式，列出二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设桌子的高度为，长方体木块一个面（图中展示的面）的长比宽大， 由题意得：， 解得：， ∴桌子的高度为， 故选：C． 二、填空题：(共5题，每题3分，共15分。) 11．已知关于的方程是二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，理解二元一次方程的定义是解答关键． 根据二元一次方程的定义列出方程来求解． 【详解】解：关于的方程是二元一次方程， 且， 解得． 故答案为：． 12．已知，则y用只含x的代数式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组，将二元一次方程组的两个方程，进而即可得出结论． 【详解】 得：， ， 即答案为：． 13．定义运算“”，规定，其中为常数，且，则 ． 【答案】2 【分析】此题考查了解二元一次方程组，已知等式利用新定义化简，求出a与b的值，即可求出所求式子的值． 【详解】解：根据题中的新定义化简已知等式得：， 解得：， 则， 故答案为：2． 14．古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱，九百九十九文钱，甜果苦果买一千．试问甜苦果几个？”该问题意思是：已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了个，苦果买了个，根据题意，可列方程组是 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个可得，根据十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果可得，然后即可写出相应的方程组． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 15．关于x、y的方程组与有相同的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题，代数式求值，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．根据题意重组方程组，先解方程组得，再代入方程组，得到关于、的方程组求解，再计算求值即可． 【详解】解：关于x、y的方程组与有相同的解， 关于x、y的方程组与有相同的解， 解得：， 将代入得：， 解得：， ， 故答案为：. 三、解答题 （共75分) 16．解方程（组）． (1)． (2)（代入法） (3)（加减法） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程组利用代入消元法求解即可； （3）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得，； （2） 将②代入①得， 解得 将代入②得， ∴方程组的解为：； （3）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 17．已知关于的方程组 (1)若方程组的解互为相反数，求k的值； (2)若方程组的解满足方程，求k的值． 【答案】(1)k值为 (2)k值为1 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是准确求出方程组的解． （1）解方程组得出，，根据方程组的解互为相反数，得出，即，解关于k的方程即可； （2）根据方程组的解满足，得出，解关于k的方程即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴方程组的解为， ∵方程组的解互为相反数， ∴， 即， 解得：； （2）解：∵方程组的解满足， ∴， 解得：． 18．甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得． (1)求m，n的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值； （2）把m与n的值代入方程组求解即可得到答案． 本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解方程组，掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值是解题关键． 【详解】（1）解：把代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴，； （2）解：把，代入方程组得：， 得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为． 19．第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”在市场热销．某商场购进“滨滨”和“妮妮”共1000个，总共花费18000元，其中一个“滨滨”进价20元，一个“妮妮”进价15元． (1)求商场购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)若一个“滨滨”的售价为28元，商场计划售完这批“滨滨”和“妮妮”的利润率是，求一个“妮妮”的售价 【答案】(1)商场购进“滨滨”600个，“妮妮”400个； (2)一个“妮妮”的售价为21元 【分析】（1）设商场购进“滨滨”x个，购进“妮妮”y个，根据某商场购进“滨滨”和“妮妮”共1000个，总共花费18000元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设一个“妮妮”的售价为m元，根据商场计划售完这批“滨滨”和“妮妮”的利润率是，列出一元一次方程，解方程即可． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【详解】（1）解：设商场购进“滨滨”x个，购进“妮妮”y个， 由题意得：， 解得：， 答：商场购进“滨滨”600个，“妮妮”400个． （2）解：设一个“妮妮”的售价为m元， 由题意得：， 解得：， 答：一个“妮妮”的售价为21元． 20．对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_______（“具有”或“不具有”）“友好关系”，并说明理由； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 【答案】(1)具有，理由见解析 (2)或 (3)具有“友好关系”，， 【分析】（）求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； （）求出方程组的解，根据“友好关系”的定义列出方程解答即可求解； （）由方程组可得，再根据都是正整数求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，方程组的解，理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：具有“友好关系”，理由如下： ， ①-②得，， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴方程组的解为， ， 方程组的解与具有“友好关系”， 故答案为：具有； （2）解：， ①+②得，， 解得， 将代入①得，， 解得， ∴方程组的解为， 方程组的解与具有“友好关系”， ， 解得或， 的值为或； （3）解：， ①得，， 解得， 与都是正整数， 当时，， 则， 此时方程组的解具有“友好关系”； 当时，， 则， 此时方程组的解不具有“友好关系”； 当时，（不合，舍去）； 当时，（不合，舍去）； 综上，时，方程组的解为，此时方程组的解具有“友好关系”． 21．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． (1)求的值； (2)6月份小王家用水，应交水费多少元？ 【答案】(1)a值为值为4.2 (2)146.6元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组． （1）根据题意和表格可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出a、b的值； （2）根据题意可以列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ， 解得，， 即a值为值为4.2； （2）根据题意知，吨的水费为：， 答：6月份小王家用水，应交水费元． 22．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： 在解方程组 时，可采用一种“整体换元”的解法．具体过程如下：解：把，看成一个整体， 设，， 则原方程组可化为        解得 即           解得 (1)已知方程组 的解为 则方程组 的解为 (2)仿照上述“整体换元”的解法，解方程组 (3)若 则的值为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，已知数字的值求代数式的值等． （1）根据题意列式，计算出来即可； （2）根据题意利用换元法解方程即可； （3）先求出的值，继而求出本题答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ，解得：， 故答案为：； （2）解：， 设，， ∴， 得：，即：， 将代入①得：，即：， ∴，解得：； （3）解：， 得：，即：， 将代入②得：，即：， ∴， 故答案为：． 23．【新情境】【背景】为了激励学习好的学生，班主任去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．如图所示． 【素材1】若买3杯A款奶茶，2杯B款奶茶，共需54元；若买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶，共需56元． 【素材2】为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． 【任务1】求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 【任务2】在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？ 【任务3】根据【素材2】小华恰好用了260元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．求B款加料的奶茶买了多少杯？ 【答案】任务1：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元；任务2：有3种购买方案；任务3：B款加料的奶茶买了11杯 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 任务1，设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据若买3杯A款奶茶，2杯B款奶茶，共需54元；若买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶，共需56元．列出二元一次方程组，解方程组即可； 任务2，设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，根据在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，列出二元一次方程，求出正整数解即可； 任务3：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了b杯，则B款加料的奶茶买了杯，根据小华恰好用了260元购买A、B两款奶茶，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】解：任务1，设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，由题意得： ， 解得：； 答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元； 任务2，设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，由题意得： ， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴有3种购买方案； 任务3：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了b杯， 则B款加料的奶茶买了杯，即杯， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、均为正整数， ∴， ∴； 答：B款加料的奶茶买了11杯． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$