第四章 三角形（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北师大版2024，辽宁专用）

第四章 三角形 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：(共10题，每题3分，共30分。) 1．下列五边形具有稳定性的图形是（   ） A．B．C．D． 2．如图，和相交于点O，若，仍无法判定的是（　　） A． B． C． D． 3．数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（    ） A． B． C． D． 4．尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是： （    ） A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 5．如图，已知的六个元素，则下面标有序号①，②，③的三个三角形中，与全等的图形序号是（    ） A．①和②； B．②和③； C．①和③； D．只有②． 6．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，，，分别过点A，B作过点C的直线的垂线，．若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 8．如图，的面积为8，与的平分线垂直，垂足为，连接，则的面积为（   ） A．4 B．3.5 C．3 D．4.5 9．如图，在中，，，，分别是的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在和中，，且两个三角形在线段同侧，①；②；③；④．则上述结论中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 二、填空题：(共5题，每题3分，共15分。) 11．定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为 ． 12．如图，以的顶点A为圆心，以长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点D；连接，．由作图的方法可得，的依据是 ． 13．将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为 ． 14．如图，在中，是边上的高，是边上的高，且，交于点F．若，，，则线段的长为 ． 15．如图，在中，，，点M从点A出发以每秒的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是 ． 三、解答题 （共75分) 16．如图，，，．求证：． 17．已知：如图，在与中，，点在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)求证：． 18．仰卧起坐是中考选考项目，是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动．如图，这是小玲同学做仰卧起坐时的一个状态，图是示意图，已知，，． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 19．如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，，求证：． 20．综合与实践.某数学兴趣小组在校外开展综合与实践活动，记录如下：请你从以上两种方案中任选一种，并求出A，B间的距离. 活动项目 测量池塘两岸相对的两点A，B的距离 活动方案 方案一 方案二 方案 示意图 实施过程 1.池塘外取的垂线上的两点C，D，使； 2.再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上； 3.测量出的长； 1.池塘外取的垂线上的点C； 2.再画出的垂线，使D与A，B在一条直线上，且； 3.测量出的长； 测量数据 ； ； 备注 1.图上所有点均在同一平面内； 2.A为不可直接到达之地，B离池塘边有一定距离； 1.图上所有点均在同一平面内； 2.A为不可直接到达之地，B离池塘边有一定距离； 21．已知：如图，在中，是边中点，于点，于点， (1)求证：； (2)若，，求的面积． 22．【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律． 【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等． 【实践操作】在支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点表示小球静止时的位置．小明将小球从摆到的位置，并向右推动小球，是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且与恰好垂直，在同一平面上． 【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，，过点B作于点D．过点C作于点E， 【数据测量】， 【问题解决】 (1)求证：； (2)求的长． 23．综合与实践 (1)操作判断 飞跃组在学习了三角形全等后展开了探究性学习活动． 如图1，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E．由此得到结论：，，之间的数量关系是 ． (2)开放探究 无敌组的同学们提出了如下的问题：如果三个角不是直角，那么结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请给出合理的解释． (3)拓展应用 如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角形 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：(共10题，每题3分，共30分。) 1．下列五边形具有稳定性的图形是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，解题的关键是理解只要图形由三角形构成，也具有稳定性．根据三角形具有稳定性，进行解答即可． 【详解】解：根据三角形具有稳定性，只要图形由三角形构成，也具有稳定性，只有D选项中的图形都是由三角形构成． 故选：D． 2．如图，和相交于点O，若，仍无法判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：在与中， A、∵，，， ∴，正确； B、由，，， 不能判定，符合题意； C、∵，，， ∴，正确； D、∵，，， ∴，正确， 故选：B． 3．数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据全等三角形的判定定理“”解答即可． 【详解】解：在和中， ， ， ， 此方案依据的数学定理或基本事实是“”， 故选：A． 4．尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是： （    ） A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定等知识点，明确尺规作图所隐含的条件成为解题的关键． 由尺规作图可知：、，然后根据全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：由尺规作图可知：、， ∴． 故选：C． 5．如图，已知的六个元素，则下面标有序号①，②，③的三个三角形中，与全等的图形序号是（    ） A．①和②； B．②和③； C．①和③； D．只有②． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答． 【详解】解：根据“”可证第②个三角形和全等， 根据“”可证第③个三角形和全等， 故选：B． 6．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键．先证明，再由全等三角形的性质可得对应角，进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 在和中， ， ， ， 则． 故选：B． 7．如图，，，分别过点A，B作过点C的直线的垂线，．若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，一般三角形全等的判定方法有、、，，直角三角形的判定方法还有，全等三角形对应边相等，对应角相等．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 由，可得，进而可得．又由可得，进而可得．再根据可得，则可得，，进而可求得的长． 【详解】解：，， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ，， ． 故选：B． 8．如图，的面积为8，与的平分线垂直，垂足为，连接，则的面积为（   ） A．4 B．3.5 C．3 D．4.5 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，延长交于E，利用全等三角形的性质证明即可解决问题． 【详解】解：解：如图，延长交于E， 与的平分线垂直，垂足为， ，， 在与中， ， ， ，， 和等底同高， ， ， 故选：A． 9．如图，在中，，，，分别是的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的高线、中线和角平分线，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的高线、中线和角平分线的定义是解题的关键．利用角平分线的定义判断选项A；利用高线的定义得出，得出，再结合，即可判断选项B；利用中线定义得出，即可判断选项C；无法得出选项D． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， 故选项A结论正确，不符合题意； ∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选项B结论正确，不符合题意； ∵是的中线， ∴， ∴， 即， 故选项C结论正确，不符合题意； ∵是的角平分线，无法判定是的中线， ∴选项D结论错误，符合题意； 故选：D． 10．如图，在和中，，且两个三角形在线段同侧，①；②；③；④．则上述结论中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质，即可推出，可得，，即可推出，然后可得，即可推出． 【详解】解：，， 和为等边三角形， ， ， 则在和中，， ，故①符合题意； ， 则在和中，， ，故②符合题意； ， 则在和中，， ，故③符合题意； 但不一定成立，故④不符合题意； 故选：B． 二、填空题：(共5题，每题3分，共15分。) 11．定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三边的长为，先根据三角形三边关系定理得，再根据是“倍长三角形”，分四种情况讨论并求解即可．正确理解题意并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设第三边的长为， 则，即， ∵是“倍长三角形”，则： ①若，则（不符合题意，舍去）； ②若，则； ③若，则； ④若，则（不符合题意，舍去）； 综上所述，第三条边的长为或． 故答案为：或． 12．如图，以的顶点A为圆心，以长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点D；连接，．由作图的方法可得，的依据是 ． 【答案】/边边边 【分析】本题考查了作线段，全等三角形的判定，熟记定理内容是解题关键．由作图过程可得：，结合，利用可证，即可解答． 【详解】解：由题意可知：，，， ． 故答案为：． 13．将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查直角三角形的性质，平行线的性质．由直角三角形的两个锐角互余求出，再根据平角的定义求出，最后根据平行线的性质可得． 【详解】解：如图， ， ， ， ， 故答案为：． 14．如图，在中，是边上的高，是边上的高，且，交于点F．若，，，则线段的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形的判定和性质． 先证明，再根据全等三角形的性质可得，，即可算出的长． 【详解】解：∵是边上的高，是边上的高， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：2． 15．如图，在中，，，点M从点A出发以每秒的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，设运动的时间为x秒，由题意可得，，，从而可得一元一次方程，求解即可． 【详解】解：设运动的时间为x秒， 由题意可得：，，， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题 （共75分) 16．如图，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．根据可证，利用可证，根据全等三角形对应角相等可证结论成立． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ， ． 17．已知：如图，在与中，，点在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用即可证明全等，再根据全等三角形的性质求证； （2）利用即可证明全等，再根据全等三角形的性质求证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴． 18．仰卧起坐是中考选考项目，是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动．如图，这是小玲同学做仰卧起坐时的一个状态，图是示意图，已知，，． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质和三角形外角的性质找到角之间的关系． 因为，根据两直线平行，同位角相等，可得：，又因为，再次利用两直线平行，同位角相等，可得：； 根据三角形的外角的性质可知，从而可得． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：在中， ，， ， ． 19．如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角的等量关系找到证明三角形全等的条件． 根据已知条件可得，结合，，可证明，从而得到． 【详解】证明：， ， ． 在和中， ， ， ． 20．综合与实践.某数学兴趣小组在校外开展综合与实践活动，记录如下：请你从以上两种方案中任选一种，并求出A，B间的距离. 活动项目 测量池塘两岸相对的两点A，B的距离 活动方案 方案一 方案二 方案 示意图 实施过程 1.池塘外取的垂线上的两点C，D，使； 2.再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上； 3.测量出的长； 1.池塘外取的垂线上的点C； 2.再画出的垂线，使D与A，B在一条直线上，且； 3.测量出的长； 测量数据 ； ； 备注 1.图上所有点均在同一平面内； 2.A为不可直接到达之地，B离池塘边有一定距离； 1.图上所有点均在同一平面内； 2.A为不可直接到达之地，B离池塘边有一定距离； 【答案】选择方案一：500 m；选择方案二：500 m 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握判定方法是解题的关键．方案一：证出，根据全等的性质求解即可；方案二：证出，根据全等的性质求解即可． 【详解】选择方案一： 如图，由方案可得，， 在和中， ∴ ∴． ∴ A，B间的距离是 选择方案二： 如图，由方案可得，， ∴ ∴． ∴ A，B间的距离是 21．已知：如图，在中，是边中点，于点，于点， (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，涉及中点定义、三角形面积公式等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由中点定义得到，再由三角形全等的判定即可得到； （2）由（1）知，结合全等性质得到，数形结合由，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵点是边中点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∴． 22．【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律． 【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等． 【实践操作】在支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点表示小球静止时的位置．小明将小球从摆到的位置，并向右推动小球，是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且与恰好垂直，在同一平面上． 【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，，过点B作于点D．过点C作于点E， 【数据测量】， 【问题解决】 (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识； （1）证，，即可得出结论； （2）先证，得出，即可得出答案． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）由题意得： 由（1）得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．综合与实践 (1)操作判断 飞跃组在学习了三角形全等后展开了探究性学习活动． 如图1，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E．由此得到结论：，，之间的数量关系是 ． (2)开放探究 无敌组的同学们提出了如下的问题：如果三个角不是直角，那么结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请给出合理的解释． (3)拓展应用 如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：． 【答案】(1) (2)（1）中的结论成立．证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）先证明出，得出、，再根据线段的和差即可得到数量关系； （2）证明，得出、，再根据线段的和差即可得到数量关系； （3）如图，过点作于，的延长线于．同（1）可证、可得、、；再证明可得． 【详解】（1）解：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 故答案为：； （2）解：仍然成立，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． （3）证明：如图，过点作于，的延长线于． 同（1）可得，， ∴， 在和中， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$