浙江省杭州市2025届高三教学质量检测数学试题

2024学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！ 3．考试结束，只需上交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，，，则（ ） A．2 B．0 C． D． 3．若等比数列满足，，则数列的公比等于（ ） A．或 B．或 C． D． 4．已知数据，，…，的方差，则（ ） A． B． C． D． 5．已知，为任意正数，若恒成立，则（ ） A． B． C． D． 6．定义“真指数”（e自然对数的底数），则（ ） A． B． C． D． 7．设函数是奇函数．若函数，，则（ ） A．27 B．28 C．29 D．30 8．若，，则（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知复数（i是虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 10．设函数，则（ ） A．是偶函数 B． C．在区间上单调递增 D．为的极小值点 11．设曲线，直线与曲线C的交点的可能个数的集合记为，则（ ） A． B． C． D．若，则且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．曲线在点处的切线方程是__________． 13．已知是单位圆，正三角形的顶点A，B在上，则的最大值为__________． 14．甲、乙、丙三人分别从2个不同的数中随机选择若干个数（可以不选），分别构成集合A，B，C，记中元素的个数为m，则的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查100人购买情况，得到如下列表： 新能源汽车A款 新能源汽车B款 总计 男性 50 10 x 女性 25 15 40 总计 y 25 100 （1）求x，y； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ （3）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立．若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中购买了B款车的人数为X，求X的数学期望． 附：，． 0.10 0.05 0.010 0.005 k 2.706 3.841 6.635 7.879 16．（15分） 已知函数． （1）若，求的极小值； （2）当时，求的单调递增区间； （3）当时，设的极大值为，求证：． 17．（15分） 在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中P为动点． （1）设， （i）证明：平面； （ii）求三棱锥的体积； （2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 18．（17分） 已知抛物线的焦点F到准线l的距离为2，点，过F的直线交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点M，N． （1）求的方程； （2）记M，N的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； （3）设E为x轴上一点，记，分别为直线，的斜率．若为定值，求点E的坐标． 19．（17分） 设，，…，是1，2，…n（且）的一个排列．数列满足为，，的中位数，规定，．将中的所有取值构成的集合记为． （1）当时，求和； （2）求中所有元素之和的最大值； （3）求中元素个数的最小值． 2024学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测 数学试题答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1 2 3 4 5 6 7 8 B C C D A C B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9．ABC 10．BD 11．ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．2 14． 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15．（13分） （1），； （2）零假设为：选购新能源汽车的款式与性别无关联． 根据列联表中的数据，可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05； （3）随机抽取1人购买B款车的概率为：， X的可能取值有0，1，2，3，依题意X服从，． 因此，． 16．（15分） 由题意知． （1）若，则，所以． 令，得． 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值等于． （2）因为，所以， 由，即，解得或． 故的单调增区间为和． （3）当时，的极大值等于； 当时，，无极大值； 当时，由题意得，的极大值等于， 令，所以， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以故，综上所述，． 17．（15分） （1）（ⅰ）因为，， 所以，所以． 又因为，所以平面BPD． （ⅱ）． （2）如图，建立以B为原点的空间直角坐标系，设二面角的平面角为， 则，，，． 所以．平面ABD的法向量为． 设直线AP与平面ABD所成角为， 则， 设， 设， 所以，（当且仅当，即时取等号），即． 直线AP与平面ABD所成角的正弦值的最大值为． 18．（17分） （1）由题意知，所以抛物线方程为． （2）设直线AB的方程为，，， 则，，． 所以，得， 所以，． 所以直线的方程为：，与直线AB的方程联立， 解得，同理． 所以．所以． 所以直线AB的斜率为． （3）设， 因为． 因为，． 所以， 当时，为定值．所以． 19．（17分） （1）当时，1，2，3无论按何种顺序排列，中位数只能是2，故． 当时，在1，2，3，4中任取3个数：1，2，3；1，2，4；1，3，4和2，3，4， 中位数只能为2或3，所以． （2）显然，不存在i使得或， 故中所有元素的和， 且当时，有 此时成立． （3）注意到对于任意，， 记中元素个数的最小值为，由（1）可知，，． 考虑的情形：对于1，2，3，4，5的排列，1和5不可能作为中位数； 不妨，考虑三元素组，，，至少产生2个不同的中位数． ①若此时中位数为，，不妨，则，． 所以三元组将产生新的中位数，所以； ②若此时的中位数为，，则，，． 若，则三元组产生新的中位数； 若，则三元组产生新的中位数．所以． ③同理可知，若此时中位数为，；，也有； 所以，，． 下面证明：． 比较下面两个数列： （ⅰ），，…，，，． （ⅱ），，…，，，，，，． 其中，，…，和，，…，具有相同的大小顺序． 因此，这两个数列的前个三元数组所对应的中位数个数相同． 因此，只需要比较数列（ⅰ）中三元组，和数列（ⅱ）中三元组，，，，． 因为，数列（ⅱ）中至少增加1个新的中位数，故结论成立． 因为若，的中位数在前面未出现， 则，的中位数在前面也不会出现． 对于新增的中位数，若，的2个中位数在前面出现过， 则，的中位数在前面也出现过，至少新增的中位数． 综上：． 下面给出一种构造： ①当时，构造：， 此时，满足． ②当时，构造：， 此时，满足． ③当时， 构造：， 此时，满足． 学科网（北京）股份有限公司 $$