精品解析：天津市第三十二中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年度高一数学下学期第一次月考 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，那么向量可以是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中，正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则与不是共线向量 4. 已知，，，则（ ）三点共线 A. A、B、D B. A、B、C C. B、C、D D. A、C、D 5. 已知向量，，则（ ） A B. 1 C. D. 2 6. 在中，，，，则角B的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，若，，的面积为，则（ ） A. 13 B. C. 2 D. 8. 已知向量，若，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，为的中点，为的中点，设，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知正方形的边长为1，点在边上（不包含边界），则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 11. 若复数是纯虚数，其中，则______． 12. 已知，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为____________． 13. 若△ABC中，，那么cosC=__________． 14. 已知向量，，，则实数的值为_________. 15. 在中，已知，且，则该三角形的形状是______． 16. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为________. 三、解答题：本题共4小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知，， （1）若与平行，求实数的值； （2）若与垂直，求的值. 18. 已知内角的对边分别是，若，，. （1）求； （2）求的面积. 19. 已知，，且与夹角为求： （1）； （2）与的夹角． 20. 已知中，角所对的边分别是，向量，，且. （1）求的值； （2）若，求周长取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度高一数学下学期第一次月考 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据共轭复数概念即可求得答案. 【详解】由题意复数，可得的共轭复数， 故选：D 2. 已知向量，，那么向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量共线充要条件计算即可判断. 【详解】向量，，则存在，使得 故只有向量符合. 故选：A. 3. 下列说法中，正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与不是共线向量 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的模与向量的定义可判断AB的正误，根据共线向量的定义可判断CD的正误. 【详解】对于A，向量的模为非负数，它们可以比较大小，但向量不可以比较大小，故A错误. 对于B，两个向量的模相等，但方向可以不同，故B错误. 对于C，若，则必定共线，故，故C成立. 对于D，当时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向， 故与可以为共线向量，故D错误. 故选： 4. 已知，，，则（ ）三点共线 A. A、B、D B. A、B、C C. B、C、D D. A、C、D 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量共线定理对四个选项依次判断即可. 【详解】对于A，因为， 所以，所以A、B、D三点共线，故A正确； 对于B，因为，， 所以不存在，使得，所以A、B、C三点不共线，故B错误； 对于C，因为，， 所以不存在，使得，所以B、C、D三点不共线，故C错误； 对于D，因为，， 所以不存在，使得，所以A、C、D三点不共线，故D错误. 故选：A. 5. 已知向量，，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量运算的坐标表示求得正确答案. 【详解】. 故选：A 6. 在中，，，，则角B的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】在中，，，， 由正定理得：， 由于，所以 故选：A 7. 在中，若，，的面积为，则（ ） A. 13 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用面积公式求出c，再用余弦定理求出a. 【详解】在中， ，，的面积为， 所以,解得：c=4. 由余弦定理得： , 所以. 故选：B. 8. 已知向量，若，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示求得向量，再利用平面向量夹角的坐标计算公式求值即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得，所以， 设与夹角为，则， 即与夹角的余弦值为． 故选：A. 9. 在中，为的中点，为的中点，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形特征进行向量运算即可. 【详解】因为为的中点，为的中点， 所以， 又因为，， 所以. 故选：C 10. 已知正方形的边长为1，点在边上（不包含边界），则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量与二次函数的性质即可得到结果. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，设,则，则， 故，由二次函数的性质可知：当时，取得最大值， 即， 故选：B 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 11. 若复数是纯虚数，其中，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据复数的概念即可求出m. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以,解得： 故答案为：3 12. 已知，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件及投影向量的求解方法即可得出在上的投影向量为，化简即可. 【详解】因为，向量与的夹角为， 所以在上的投影向量为： . 故答案为： 13. 若△ABC中，，那么cosC=__________． 【答案】-0.25. 【解析】 【详解】试题分析：由正弦定理得， 所以. 故答案为-0.25. 考点：正弦定理；余弦定理. 14. 已知向量，，，则实数的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】求出向量的坐标，利用共线向量的坐标表示可得出关于的等式，即可解得实数的值. 【详解】向量，，则， ，，所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用共线向量的坐标表示求参数，考查计算能力，属于基础题. 15. 在中，已知，且，则该三角形的形状是______． 【答案】等边三角形 【解析】 【分析】先利用余弦定理求角，再结合三角形内角和定理和两角和与差的三角函数公式探讨角的关系即可. 【详解】因为， 由余弦定理可得：， 又角为三角形内角，所以. 再由. 即，又三角形内角，所以即. 所以为等边三角形. 故答案为：等边三角形 16. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为________. 【答案】1 【解析】 【分析】由，为上一点，且满足，可求得，再用及表示出及，进而求数量积即可. 【详解】由，可得， 又，，三点共线， 则有， 由于，所以，即， 又， 且，，， 故 . 故答案为：1. 三、解答题：本题共4小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知，， （1）若与平行，求实数的值； （2）若与垂直，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示求参数. （2）先根据向量垂直的坐标表示求参数，再求向量的模. 【小问1详解】 因为，. 由. 【小问2详解】 由， 解得：或. 当时，，所以； 当时，，所以. 所以为或. 18. 已知内角的对边分别是，若，，. （1）求； （2）求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）在中，由正弦定理得，再由余弦定理，列出方程，即可求解得值； （2）由（1）求得，利用三角形的面积公式，即可求解三角形的面积． 【详解】（1）在中，，，， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 解得或不合题意，舍去， （2）由（1）知，所以， 所以的面积为． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 19. 已知，，且与夹角为求： （1）； （2）与的夹角． 【答案】（1）12； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积的定义和运算性质进行求解即可； （2）根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【小问1详解】 ，，且与夹角为， ，， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， 设与的夹角为， ， 又， 所以，即与的夹角为． 20. 已知中，角所对的边分别是，向量，，且. （1）求值； （2）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行的坐标运算可整理求得，由此可得； （2）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可化简得到，根据的范围，可求得的范围，由此可推导得到的范围，即为所求周长的取值范围. 【小问1详解】 ，，即， ，，又，. 【小问2详解】 由正弦定理得：，，， ； ，，，则， ，即周长的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$