专题8 全等三角形模型 动点问题 2024-2025学年北师大版七年级数学下册

专题8 动点问题 几何动点问题充分体现了数学中的“变”与“不变”的和谐统一，其特点是图形的某些元素(点、线段、角等)或某部分几何图形按一定的规律运动变化，从而引发其它一些元素的数量、位置关系、图形面积等发生变化，但图形的一些元素数量和关系在运动变化的过程中却互相依存，具有一定的规律可寻。 全等三角形的动态问题是将几何、代数相结合，数形结合，具有较强的综合性，题目灵活多变。全等三角形的动态问题有单动点、双动点等类型问题,通过动点在运动过程中引起的角度变化，线段长度变化，探究其中不变的量(角度、 长度、性状等),在解题过程中，要善于抓住图形中的变与不变，以不变解决变。当面对这类题型的时候，要特别注意的地方是，题目可能会有多解，所以一定要全面的对题目进行综合考虑。 思路: 1.利用图形想到三形全等； 2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度； 3.结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据； 4.分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏； 5.动点一般都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路； 6.动点类问题一般都有好几问， 前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论。 当研究目标多变或问题情形复杂时，我们往往将问题拆解成几个较为简单的问题来进行考虑，动点问题也是如此． 具体分析动点问题时，往往会先研究背景图形，再分析运动过程、分段，为最后表达线段长，建等式做好准备．因为动点运动方向的改变不仅会改变线段长的表达，还可能改变和动点相关的图形的形状，所以要先分段，然后逐段分析，表达线段长，建等式． 例1：如图，AE与BD相交于点C，AC=EC，BC=DC，AB=8cm,点P从点A出发，沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q同时从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s. （1）当点P在A→B运动时，BP= cm；（用含t的代数式表示） （2）求证：AB=ED； （3）当P，Q，C三点共线时，求t的值． 例2：如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AB=5cm,AD=BC=3cm,点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动，设运动时间为t（s），当△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，求点F的运动速度． 【巩固练习】 1.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点E为边AD上一点，且AE=7．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC向点C运动，连接AP，DP．设点P运动时间为t秒． （1）当t=1.5时，△ABP与△CDE是否全等？请说明理由； （2）当t为何值时，△DCP≌△CDE． 2.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，BC=24，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AD向点D运动，动点Q从点C出发以每秒2个单位的速度沿CB向点B运动，P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接PQ，DQ．设点P运动时间为x秒，请求出当x为何值时，△PDQ≌△CQD． 3.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=DC=4，AD=BC=5．延长BC到E，使CE=2，连接DE．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P运动时间为t秒． （1）请用含t的式子表达△ABP的面积S． （2）是否存在某个t值，使得△DCP和△DCE全等？若存在，请求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由． 4.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=CD=3 cm，AD=BC=5 cm，动点P从点B出发，以每秒1 cm的速度沿BC方向向点C运动，动点Q从点C出发，以每秒2 cm的速度沿CD-DA-AB向点B运动，P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，设点P运动时间为t秒．请回答下列问题： （1）请用含t的式子表达△CPQ的面积S，并直接写出t的取值范围． （2）是否存在某个t值，使得△ABP和△CDQ全等？若存在，请求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由． 5.已知：如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D为BC边上一点，且BD=4．动点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿CA向点A运动，连接AD，BP．设点P运动时间为t秒，求当t为何值时，△BPA≌△ADC． 6.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=12，BC=9，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 7.如图，在长方形ABCD中，AB=CD=6cm，BC=10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速 度沿BC向点C 运动，设点P的运动时间为t秒： （1）PC=  cm．（用t的代数式表示） （2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？ （3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以v cm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 8.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．点P从A点出发沿A-C-B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B-C-A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由． 9．（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论． （2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？ （3）深入探究： Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论． Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论． 10．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD－BE； ( A C B E D N M 图 3 ) ( A B C D E M N 图 2 )（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． ( C B A E D 图 1 N M ) 11.如图（1）△ABC为等边三角形，动点D在边CA上，动点P边BC上，若这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，连接AP，BD交于点Q，两点运动过程中AP=BD成立吗？请证明你的结论； （2）如果把原题中“动点D在边CA上，动点P边BC上，”改为“动点D，P在射线CA和射线BC上运动”，其他条 件不变，如图（2）所示，两点运动过程中∠BQP的大小保持不变．请你利用图（2）的情形，求证：∠BQP=60°； （3）如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动，连接PD交BC于E”，其他 条件不变，如图（3），则动点D，P在运动过程中，DE始终等于PE吗？写出证明过程． 12.如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿射线AB，BC运动，且它们的速度都为1cm/s． （Ⅰ）当△PQB是直角三角形时，求AP的长； （Ⅱ）连接AQ，CP交于点M，则在点P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； 参考答案 例1：（1）解：点P从点A出发，沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q同时从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，设点P的运动时间为t s.根据题意得：AP=2t cm,则BP=（8-2t）cm, 故答案为：（8-2t）cm； （2）证明：在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（SAS）， ∴AB=ED； （3）解：根据题意得：DQ=t cm,AP=2t cm,则EQ=（8-t）cm, ∵△ABC≌△EDC， ∴∠A=∠E，DE=AB=8cm, ∵P，Q，C三点共线， ∴∠ACP=∠ECQ， 在△ACP和△ECQ中， ， ∴△ACP≌△ECQ（ASA）， ∴AP=EQ， ∴当0≤t≤4时，2t=8-t, 解得：， 当4＜t≤8时，AP=（16-2t）cm, ∴16-2t=8-t, 解得：t=8， ∴综上所述，当P、C、Q三点共线时，t的值为8或． 例2：解：设点F的运动速度为x cm/s,则AE=t cm,BE=（5-t）cm,BF=xt cm, 由题意可得：当AD=BE，AE=BF时，根据“SAS”判断△ADE≌△BEF， 即5-t=3，t=xt, ∴t=2，x=1； 当AD=BF，AE=BE时，根据“SAS”判断△ADE≌△BFE， 即xt=3，t=5-t, 解得t=2.5，x=1.2， 答：点F的运动速度为1或1.2cm/s. 【巩固练习】 1. 解：（1）当t=1.5时，△ABP≌△CDE． 理由如下： 如图，由题意得BP=2t ∴当t=1.5时，BP=3 ∵AE=7，AD=10 ∴DE=3 ∴BP=DE 在矩形ABCD中 AB=CD，∠B=∠CDE 在△ABP和△CDE中 ∴△ABP≌△CDE（SAS） （2）如图，由题意得BP=2t ∵BC=10 ∴CP=102t 若使△DCP≌△CDE，则需CP=DE 即102t=3，t= ∴当t=时，△DCP≌△CDE． 1. 解：如图，由题意得AP=x，CQ=2x ∵AD=12 ∴DP=12x 要使△PDQ≌△CQD，则需DP=QC 即12x=2x，x=4 ∴当x=4时，△PDQ≌△CQD． 1. 解：（1）①当P在BC上时， 如图，由题意得BP=2t（0<t≤2.5） ②当P在CD上时，（2.5<t≤4.5） ③当P在AD上时，由题意得AP=142t（4.5<t<7） （2）①当P在BC上时， 如图，由题意得BP=2t 要使△DCP≌△DCE，则需CP=CE ∵CE=2 ∴52t=2，t=1.5 即当t=1.5时，△DCP≌△DCE ②当P在CD上时，不存在t使△DCP和△DCE全等 ③当P在AD上时，由题意得BC+CD+DP=2t ∵BC=5，CD=4， ∴DP=t9 要使△DCP≌△CDE，则需DP=CE 即t9=2，t=5.5 即当t=5.5时，△DCP≌△CDE． 综上所述，当t=1.5或t=5.5时，△DCP和△DCE全等． 1. 解：（1）①当Q在CD上时， 如图，由题意得CQ=2t，BP=t ∴CP=5t（0<t≤1.5） ②当Q在DA上时，（1.5<t≤4） ③当Q在AB上时，由题意得BQ=112t（4<t<5） （2）①当Q在CD上时，不存在t使△ABP和△CDQ全等 ②当Q在AD上时， 如图，由题意得DQ=2t3 要使△ABP≌△CDQ，则需BP=DQ ∵DQ=2t3，BP=t ∴t=2t3，t=3 即当t=3时，△ABP≌△CDQ． ③当Q在AB上时，不存在t使△ABP和△CDQ全等 综上所述，当t=3时，△ABP和△CDQ全等． 5.当t为4秒时，△BPA≌△ADC 6.解：（1）①∵t=1（秒）， ∴BP=CQ=3（厘米） ∵AB=12，D为AB中点， ∴BD=6（厘米） 又∵PC=BC-BP=9-3=6（厘米） ∴PC=BD ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 在△BPD与△CQP中， ∴△BPD≌△CQP（SAS）， ②∵VP≠VQ， ∴BP≠CQ， 又∵∠B=∠C， 要使△BPD≌△CPQ， 只能BP=CP=4.5， ∵△BPD≌△CPQ， ∴CQ=BD=6． ∴点P的运动时间t= 此时VQ= （2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P， 即点Q比点P多走AB+AC的路程， 设经过x秒后P与Q第一次相遇， 依题意得4x=3x+2×12， 解得x=24（秒） 此时P运动了24×3=72（厘米） 又∵△ABC的周长为33厘米， 72=33×2+6， ∴点P、Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇． 7.解：（1）点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，点P的运动时间为t秒时， BP=2t，则PC=10-2t； （2）当t=2.5时，△ABP≌△DCP， ∵当t=2.5时，BP=2.5×2=5， ∴PC=10-5=5， ∵在△ABP和△DCP中， ∴△ABP≌△DCP（SAS）； （2）①如图1，当BA=CQ，PB=PC时，△ABP≌△QCP， ∵PB=PC， ∴BP=PC=BC=5， 2t=5， 解得：t=2.5， BA=CQ=6， v×2.5=6， 解得：v=2.4． ②如图2，当BP=CQ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ， ∵AB=6， ∴PC=6， ∴BP=10-6=4，2t=4， 解得：t=2， CQ=BP=4， v×2=4， 解得：v=2； 综上所述：当v=2.4或2时△ABP与△PQC全等． 8.解：设运动时间为t秒时，PEC与△QFC全等， ∵PEC与△QFC全等， ∴斜边CP=CQ， 有四种情况：①P在AC上，Q在BC上， CP=6-t，CQ=8-3t， ∴6-t=8-3t， ∴t=1； ②P、Q都在AC上，此时P、Q重合， ∴CP=6-t=3t-8， ∴t=3.5； ③P在BC上，Q在AC时，此时不存在； 理由是：8÷3×1＜6，Q到AC上时，P应也在AC上； ④当Q到A点（和A重合），P在BC上时， ∵CQ=CP，CQ=AC=6，CP=t-6， ∴t-6=6 ∴t=12 ∵t＜14 ∴t=12符合题意 答：点P运动1或3.5或12秒时，△PEC与△QFC全等． 10.解：（1）AF=BD； 证明如下：∵△ABC是等边三角形（已知）， ∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）； 同理知，DC=CF，∠DCF=60°； ∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即∠BCD=∠ACF； 在△BCD和△ACF中， ∴△BCD≌△ACF（SAS）， ∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）； （2）证明过程同（1），证得△BCD≌△ACF（SAS）， 则AF=BD（全等三角形的对应边相等）， 所以，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF=BD仍然成立； （3）Ⅰ．AF+BF′=AB； 证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS）， 则BD=AF； 同理△BCF′≌△ACD（SAS）， 则BF′=AD， ∴AF+BF′=BD+AD=AB； Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′； 证明如下：在△BCF′和△ACD中， ∴△BCF′≌△ACD（SAS）， ∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）； 又由（2）知，AF=BD； ∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′． 11.（1）证明：∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°， 而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E， ∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°， ∴∠ACD=∠CBE． 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB， ∴AD=CE，DC=BE， ∴DE=DC+CE=BE+AD； （2）证明：在△ADC和△CEB中 ∴△ADC≌△CEB， ∴AD=CE，DC=BE， ∴DE=CE-CD=AD-BE； （3）DE=BE-AD．易证得△ADC≌△CEB， ∴AD=CE，DC=BE， ∴DE=CD-CE=BE-AD． 12.解：（1）成立． 理由：∵△ABC是等边三角形， ∴∠C=∠ABP=60°，AB=BC， 根据题意得：CD=BP， 在△ABP和△BCD中， ∴△ABP≌△BCD（SAS）， ∴AP=BD； （2）根据题意，CP=AD， ∴CP+BC=AD+AC，即BP=CD， 在△ABP和△BCD中， ∴△ABP≌△BCD（SAS）， ∴∠APB=∠BDC， ∵∠APB+∠PAC=∠ACB=60°，∠DAQ=∠PAC， ∴∠BDC+∠DAQ=∠BQP=60°； （3）DE=PE． 理由：过点D作DG∥AB交BC于点G， ∴∠CDG=∠C=∠CGD=60°，∠GDE=∠BPE， ∴△DCG为等边三角形， ∴DG=CD=BP， 在△DGE和△PBE中， ∴△DGE≌△PBE（AAS）， ∴DE=PE． 13.解：（Ⅰ）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t ①当∠PQB=90°时， ∵∠B=60°， ∴PB=2BQ，得4-t=2t， 解得，t=； ②当∠BPQ=90°， ∵∠B=60°， ∴BQ=2PB，得t=2（4-t）， 解得t=； ∴当AP=cm或AP=cm时，△PBQ为直角三角形 （Ⅱ）①当点P，Q分别在线段AB，BC上运动时，∠CMQ=60°不变． ∵等边△ABC中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°，又由条件得AP=BQ， ∴△ABQ≌△CAP（SAS）， ∴∠BAQ=∠ACP（全等三角形的对应角相等）， ∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60° ②当点P，Q分别在射线AB，BC上运动时，∠CMQ=120°不变． ∵在等边△ABC中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°， ∴∠PBC=∠ACQ=120°，又由条件得BP=CQ， ∴△PBC≌△ACQ（SAS）， ∴∠BPC=∠MQC（全等三角形的对应角相等）， 又∵∠PCB=∠MCQ， ∴∠CMQ=∠PBC=120°（等量代换） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$