精品解析：广东省汕头市潮南区陈店实验等校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年度第二学期九年级学年考试数学试卷（W） 说明：1、本卷满分120分；2、考试时间120分钟；3、答案请写在答题卷上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，其中、为常数，且，则点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断反比例函数所在的象限，判断点所在的象限，根据反比例函数中的，可知反比例函数经过第二、四象限，再根据点点的横坐标判断点所在的象限，即可解答． 【详解】解：， 反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴点可能在第二象限或者第四象限， 的横坐标大于0， 一定在第四象限， 故选：D． 2. 下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案。 【详解】根据中心对称图形的概念，四个选项中只有D符合． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题的关键。 3. 如图，在中，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与证明．证得，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4. 如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、锐角三角函数定义的应用，解此题的关键是求出的长．根据直角三角形斜边上中线性质求出，根据锐角三角函数的定义得出，代入求出即可． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)、B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ） A. (3，3) B. (4，3) C. (3，1) D. (4，1) 【答案】A 【解析】 【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标． 【详解】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD， ∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半， ∴端点C的坐标为：（3，3）． 故选A． 6. 一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．根据题意可知，直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，解可得方程的两个根为6与8；故直角三角形外接圆的直径即斜边边长为10；故半径等于5． 【详解】解：， 解得：，， ∴斜边边长为， 即直角三角形外接圆的直径是10， ∴半径等于5． 故选：C 7. 已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．根据点，在反比例函数图象上，则满足关系式，横纵坐标的积等于2，结合即可得出答案． 【详解】解： 点，在反比例函数的图象上， ，， ， ，， ． 故选：A． 8. 如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由主视图和左视图的宽为a，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，即可得出结论． 【详解】∵， ∴俯视图的长为a+1，宽为a， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图与几何体的长、宽、高的关系，进而求得俯视图的长和宽是解答的关键． 9. 如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形的面积，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ ∴ ∴ ∴，， 点落在阴影部分的概率是 故选：B． 10. 已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图像经过，，可得到二次函数的对称轴x=，又根据对称轴公式可得x=b，由此可得到b与c的数量关系，然后由该二次函数的图象与x轴有公共点列出不等式解答即可 【详解】解：∵二次函数的图像经过，， ∴对称轴x=，即x=， ∵对称轴x=b， ∴=b，化简得c=b-1， ∵该二次函数的图象与x轴有公共点， ∴△= = = = ∴b=2，c=1， ∴b+c=3， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，包括图像上点的坐标特征、对称轴，利用抛物线与x轴交点的情况列出不等式，求得b，c的值． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一个正多边形的边长，每一个外角都是，则这个多边形的边心距为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，正多边形的外角和定理，解直角三角形等知识，先求得这个正多边形的边数，再根据正六边形的性质和解直角三角形即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵正多边形的每一个外角都是， ∴这个正多边形的边数为：， 如图，正六边形内接于，连接，过点作于点 ∵六边形是的内接正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴边心距为， 故答案为：． 12. 将抛物线绕原点旋转，则得到的抛物线的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据绕原点O旋转得到图形关于原点对称横纵坐标互为相反数，代入求解即可得到答案； 本题考查图形的旋转及函数图像上点的问题，解题的关键是根据旋转得到中心对称将点代入． 【详解】解：∵抛物线绕原点O旋转， ∴在旋转后的图形上， ∴， 化简得：， 故答案为：． 13. 如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则___________ 【答案】55 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由垂径定理得到，由得到，故． 【详解】解：∵直径平分弦， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________． 【答案】≤k＜ 【解析】 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：根据题意知（）2−4k＞0且2k+1≥0 解得：≤k＜ 故答案为：≤k＜． 【点睛】本题主要考查了根的判别式、解一元一次不等式等知识，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则有b2−4ac≥0⇔方程有两实根，b2−4ac＞0⇔方程有两不等实根，b2−4ac＝0⇔方程有两相等实根，b2−4ac＜0⇔方程没有实根． 15. 如图，点E在正方形的对角线上，于点F，连接并延长，交边于点M，交边的延长线于点G，若，，则_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据相似三角形的性质得出，进而在，勾股定理即可求解即可． 【详解】解：∵是正方形，， ∴，而，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵M为中点， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：． 故答案为：． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 已知一元二次方程有一个根为零，求的值． 【答案】的值为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由一元二次方程有一个根为零，得到，然后求解，再利用一元二次方程的定义确定的值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程有一个根为零， ， 解得：，， ∵方程为一元二次方程， ∴ ；即， ∴不符合题意，舍去， ∴的值为． 17. 若抛物线经过点和点，试比较与的大小． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，先求出对称轴为直线，再根据抛物线的开口向上，得出当时，随的增大而增大，进而可得出答案． 【详解】解：抛物线的对称轴为：直线， 又∵，即抛物线的开口向上， 当时，随的增大而增大， ， ． 18. 如图，衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，求高的长．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及解直角三角形，根据等腰三角形的性质可得，在中，由正切的定义，求得的长度． 【详解】解：等腰三角形，，为边上的高， ， ． 为边上的高，， 又在中，， ， ，， ． 答：高长约为． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． （1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． （2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性： （1）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两球上的数字之和为奇数的结果数，最后利用概率计算公式求解即可； （2）同（1）求出乙获胜的概率即可得到结论． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为奇数的结果数有8种， ∴甲获胜的概率为； 【小问2详解】 解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下： 由（1）中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数的结果数有4种， ∴乙获胜的概率为， ∵， ∴甲获胜的概率大于乙获胜的概率， ∴这个游戏规则对甲乙双方不公平． 20. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°． （1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O（尺规作图，保留痕迹，不写作法） （2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC＝4；求DE的长． 【答案】（1）见解析；（2）DE＝ 【解析】 【分析】（1）作∠ABC的角平分线交AC于E，作EO⊥AC交AB于点O，以O为圆心，OB为半径画圆即可解决问题； （2）作OH⊥BC于H．首先求出OH、EC、BE，利用△BCE∽△BED，可得＝，解决问题. 【详解】（1）作∠ABC的角平分线交AC于E，作EO⊥AC交AB于点O，以O为圆心，OB为半径画圆， ∵BE平分∠ABC，EO⊥AC， ∴∠ABE=∠CBE，， ∴∠OEB=∠CBE， ∴∠ABE=∠OEB， ∴OE=OB， ∴⊙O即为所求； （2）作OH⊥BC于H， ∵AC是⊙O的切线， ∴OE⊥AC， ∴∠C＝∠CEO＝∠OHC＝90°， ∴四边形ECHO是矩形， ∴OE＝CH＝，BH＝BC－CH＝， ∴在中，OH＝＝2， ∴EC＝OH＝2，BE＝＝=2， ∵∠EBC＝∠EBD，∠BED＝∠C＝90°， ∴∽， ∴＝， ∴＝， ∴DE＝． 【点睛】本题考查作图−复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 21. 如图，已知反比例函数（x > 0，k是常数）的图象经过点A（1,4），点B（m , n），其中m＞1， AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C． （1）写出反比例函数解析式； （2）求证：∆ACB∽∆NOM； （3）若∆ACB与∆NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3），. 【解析】 【分析】（1）把 A 点坐标代入可得k的值，进而得到函数解析式； （2）根据A、B两点坐标可得AC=4-n，BC=m-1，ON=n，OM=1，则，再根据反比例函数 解析式可得=n，则，而，可得，再由∠ACB=∠NOM=90°，可得 △ACB∽△NOM； （3）根据△ACB 与△NOM 的相似比为2可得m-1=2，进而得到m的值，然后可得B点坐标，再利用待定系数法求出AB的解析式即可． 【详解】（1）∵（x＞0，k 是常数）的图象经过点A（1，4）， ∴k=4， ∴反比例函数解析式为y=； （2）∵点 A（1，4），点 B（m，n）， ∴AC=4-n，BC=m-1，ON=n，OM=1， ∴， ∵B（m，n）在y=上， ∴=n， ∴，而， ∴， ∵∠ACB=∠NOM=90°， ∴△ACB∽△NOM； （3）∵△ACB 与△NOM 的相似比为 2， ∴m-1=2，m=3， ∴B（3，）， 设AB所在直线解析式为 y=kx+b， ∴， 解得， ∴AB的解析式为y=-x+． 【点睛】考点：反比例函数综合题． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 已知等边三角形，过A点作的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连． （1）如图1，直接写出线段与数量关系； （2）如图2，当点P、B在同侧且时，求证：直线垂直平分线段； （3）如图3，若等边三角形的边长为4，点P、B分别位于直线异侧，且的面积等于，求线段的长度． 【答案】（1）AP=BQ；（2）见详解；（3）或或 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质以及等边三角形的性质，可得CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，AC=BC，进而即可得到结论； （2）先证明是等腰直角三角形，再求出∠CBD=45°，根据等腰三角形三线合一的性质，即可得到结论； （3）过点B作BE⊥l，过点Q作QF⊥l，根据，可得AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°，设AP=x，则BQ=x，MQ=x-，QF=( x-)×，再列出关于x的方程，即可求解． 【详解】（1）证明：∵线段绕点C逆时针方向旋转得到， ∴CP=CQ，∠PCQ=60°， ∵在等边三角形中，∠ACB=60°，AC=BC， ∴∠ACP=∠BCQ， ∴， ∴=； （2）∵，CA⊥l， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形，∠CBQ=90°， ∵在等边三角形中，AC=AB，∠BAC=∠ABC=60°， ∴AB=AP，∠BAP=90°-60°=30°， ∴∠ABP=∠APB=(180°-30°)÷2=75°， ∴∠CBD=180°-75°-60°=45°， ∴PD平分∠CBQ， ∴直线垂直平分线段； （3）①当点Q在直线上方时，如图所示， 延长BQ交l与点E，过点Q作与点F， 由题意得， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 即， 解得或， 即AP的长度为或； ②当点Q在直线l下方时， 过点B作BE⊥l，过点Q作QF⊥l， 由（1）小题，可知：， ∴AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°， ∵∠ACB=60°，∠CAM=90°， ∴∠AMB=360°-60°-90°-90°=120°，即：∠BME=∠QMF=60°， ∵∠BAE=90°-60°=30°，AB=4， ∴BE=， ∴BM=BE÷sin60°=2÷=， 设AP=x，则BQ=x，MQ=x-，QF= MQ×sin60°=( x-)×， ∵的面积等于， ∴AP×QF=，即：x×( x-)×=，解得：或（不合题意，舍去）， ∴AP=． 综上所述，AP的长为：或或． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，根据题意画出图形，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，点在轴上，点在轴上，点的坐标为，抛物线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）根据图象写出不等式的解集； （3）点是抛物线上的一动点，过点作直线的垂线段，垂足为点,当时，求P点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）坐标有或或 【解析】 【分析】(1)先求出A、B两点坐标，再代入抛物线中即可求出解析式； (2)将不等式变形为,进而得到二次函数图像在一次函数图像上方即可求解； (3)先证明△PDQ为等腰直角三角形，进而求出 ，再分类讨论P点在直线AB上方或下方进而求解． 【详解】解：(1)当时，，解得， 当时，， 则点，点， 把，，，分别代入得 解得：，，， ∴该抛物线的解析式为． (2)由不等式， 得， 由图像可知，二次函数图像在一次函数图像上方， 则不等式的解集为； (3)如图，作轴于点，交于点， 在中，∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设点，则点， 当点在直线上方时， ， 即，解得， 则， ∴点的坐标为：． 当点在直线下方时， ， 即解得， ∴， ∴或， 综上所述，符合条件的点坐标有或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，图像法解不等式及等腰直角三角形的性质等，第(3)问中需要分类讨论P点位于直线AB上方或下方的情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期九年级学年考试数学试卷（W） 说明：1、本卷满分120分；2、考试时间120分钟；3、答案请写在答题卷上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，其中、为常数，且，则点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，则值是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的值是（ ）． A B. C. D. 5. 如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)、B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ） A. (3，3) B. (4，3) C. (3，1) D. (4，1) 6. 一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（ ） A. B. C. D. 8. 如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一个正多边形的边长，每一个外角都是，则这个多边形的边心距为________． 12. 将抛物线绕原点旋转，则得到的抛物线的函数表达式为______． 13. 如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则___________ 14. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________． 15. 如图，点E在正方形的对角线上，于点F，连接并延长，交边于点M，交边的延长线于点G，若，，则_________ ． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 已知一元二次方程有一个根为零，求的值． 17. 若抛物线经过点和点，试比较与的大小． 18. 如图，衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，求高的长．（参考数据：，，） 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． （1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． （2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 20. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°． （1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E⊙O（尺规作图，保留痕迹，不写作法） （2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC＝4；求DE的长． 21. 如图，已知反比例函数（x > 0，k是常数）的图象经过点A（1,4），点B（m , n），其中m＞1， AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C． （1）写出反比例函数解析式； （2）求证：∆ACB∽∆NOM； （3）若∆ACB与∆NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 已知等边三角形，过A点作垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连． （1）如图1，直接写出线段与的数量关系； （2）如图2，当点P、B在同侧且时，求证：直线垂直平分线段； （3）如图3，若等边三角形的边长为4，点P、B分别位于直线异侧，且的面积等于，求线段的长度． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，点在轴上，点在轴上，点的坐标为，抛物线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）根据图象写出不等式的解集； （3）点是抛物线上的一动点，过点作直线的垂线段，垂足为点,当时，求P点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$