专题10 全等三角形模型 对角互补模型 2024-2025学年北师大版七年级数学下册

专题10 对角互补模型 【结论一】（对角互补一般情况） 如图，在四边形ABCD中，∠1+∠2＝180°，BA＝BC，连接BD，延长DA至E，使得AE=DC，则有以下结论成立：①△BAE≌△BCD； 【结论二】（对角互补--含60°角） 如图，在四边形ABCD中，∠1=60°，∠2＝120°，BA＝BC，连接BD，延长DA至E，使得AE=DC，则有以下结论成立：①△BAE≌△BCD；②△BED为等边三角形 【结论三】（对角互补--含90°角） 如图，在四边形ABCD中，∠1=90°，∠2＝90°，BA＝BC，连接BD，延长DA至E，使得AE=DC，则有以下结论成立：①△BAE≌△BCD；②△BED为等腰直角三角形 【典型例题】 例1．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，FD⊥ED． (1)如图1，若点E在线段AB上，点F在线段AC上，求证 BE＝AF； (2)如图 2，若点E在线段AB的延长线上，点F在线段CA的延长线上．请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 例2．如图，正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的两个动点，且正方形ABCD的周长是△BEF周长的2倍．连接DE，DF分别与对角线AC交于点M，N． （1）若AE＝2，CF＝3，求EF的长； （2）求证；∠EFN+∠EMN＝180°； 例3．我们曾做过如下的实验：画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC．把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F． (1)若PE⊥OA，PF⊥OB（如图①），PE与PF相等吗？请说明理由； (2)把三角尺绕点P旋转（如图②），PE与PF相等吗？请说明理由； (3)探究：画∠AOB＝50°，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作∠EPF＝130°．∠EPF的两边分别与OA、OB相交于E、F两点（如图③），PE与PF相等吗？请说明理由． 例4．在四边形ABCD中，△EAF的两边AE，AF分别交直线CB，DC于点E，F，已知∠EAF∠BAD，且AB＝AD，∠B+∠D＝180°． （1）如图1，当△EAF全部位于四边形ABCD的内部时，试探究EF与BE，DF之间的数量关系．为了引发同学的思考，数学刘老师给出了此题的部分解法作为提示：证明：如图2，将△ABE绕点A旋转到△ADG处． ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∠B＝∠ADG，BE＝GD， ∵∠B+∠ADC＝180°， ∴∠ADG+∠ADC＝180°， ∴G，D，F三点共线． … 请你将上述证明过程补充完整，并写出结论； （2）如图3，当△EAF旋转到如图所示的位置时，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；如若不成立，请写出正确的结论，并证明． 【巩固练习】 1.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE+FD． 2．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．当DF⊥AC时，求证：BE=CF； 3．如图所示，为等边三角形，边长为4，点为边中点，，其两边分别交和的延长线于，，求的值. 4．如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系． （1）小王同学探究此问题的方法是：延长EB到点G，使BG＝DF，连接AG，先证明△ABG≌△ADF，再证明△AEG≌△AEF，可得出结论，他的结论应是　 　． （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 5．已知，如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，试说明AD＝DC． 6．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边AB上一点，点P是对角线BD上一点，且PE⊥PC． （1）求证：PC＝PE； （2）若BE＝2，求PF的长． 7．（1）如图1，四边形ABCD是边长为5 cm的正方形，E，F分别在AD，CD边上，∠EBF＝45°．为了求出△DEF的周长．小南同学的探究方法是： 如图2，延长EA到H，使AH＝CF，连接BH，先证△ABH≌△CBF，再证△EBH≌△EBF，得EF＝EH，从而得到△DEF的周长＝　　cm； （2）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是线段BC，CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系； （3）如图4，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是线段BC，CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （4）若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在CB、DC的延长线上，且2∠EAF＝∠BAD，请画出图形，并直接写出线段EF、BE、FD之间的数量关系． 参考答案 例1．(1)证明：连接AD．如图1所示， ∵，，点D是BC的中点，∴，，， ∴，，∴为等腰直角三角形， ，又∵，∴，∴， 在和中， ， ∴． ∴； (2)解：仍然成立．证明：连接AD，如图2所示． 同①得：，，， ∴，在和中， ， ∴， ∴． 例2．解：（1）∵正方形ABCD的周长是△BEF周长的2倍， ∴BE+BF+EF＝AB+BC， ∴EF＝AE+FC， 若AE＝2，CF＝3， 则EF＝2+3＝5； （2）如图，在BA的延长线上取点 H，使得AH＝CF， 在正方形 ABCD 中，AD＝CD，∠HAD＝∠FCD＝90°， 在△AHD和△CFD中， ， △AHD≌△CFD （SAS ）， ∴∠CDF＝∠ADH，HD＝DF，∠H＝∠DFC， ∵EF＝AE+CF， ∴EF＝AE+AH＝EH， 在△DEH和△DEF中， ∴△DEH≌△DEF（SSS）， ∴∠HDE＝∠FDE，∠H＝∠EFD，∠HED＝∠FED， ∵∠CDF+∠ADF＝∠ADH+∠ADF＝∠HDF＝90°， ∴∠EDF＝∠HDE＝45°， ∵∠H＝∠DFC＝∠DFE，∠EMN＝∠HED+∠EAM＝45°+∠DEF， ∴∠EFN+∠EMN ＝∠DFC+45°+∠DEF＝∠DFE+∠EDF+∠DEF＝180° 即∠EFN+∠EMN＝180° 例3．(1)解：∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF； (2)解：PE＝PF，理由如下：当PE⊥OA时，如图①， ∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，∴∠POE＝∠POF＝45°， ∵∠PEO＝∠EPF＝∠EOF＝90°，且∠PEO+∠EPF+∠EOF+∠PFO＝360°，∴∠PFO＝90°， ∴∠PEO＝∠PFO， ∵OP＝OP，∴△PEO≌△PFO（AAS）， ∴PE＝PF； 当PE与OA不垂直时，如图②， 作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N， ∵∠OMP＝∠ONP＝90°，∠POM＝∠PON＝45°，OP＝OP， ∴△POM≌△PON（AAS），∴PM＝PN， ∵∠OMP＝∠ONP＝∠MON＝90°，且∠OMP+∠ONP+∠MON+∠MPN＝360°，∴∠MPN＝90°， ∵∠EPF＝90°，∴∠MPE＝∠NPF＝90°﹣∠EPN， ∵∠PME＝∠PNF＝90°，∴△PME≌△PNF（ASA），∴PE＝PF，综上所述，PE＝PF． (3)解：PE＝PF，理由如下： 如图③，在OF上取一点G，使OG＝OE，连接PG， ∵OC平分∠AOB，∴∠POG＝∠POE， ∵OP＝OP，∴△POG≌△POE（SAS）， ∴∠OGP＝∠OEP，PG＝PE， ∴∠PGF+∠OEP＝∠PGF+∠OGP＝180°， ∴∠AOB＝50°，∠EPF＝130°，且∠AOB+∠EPF+∠PFG+∠OEP＝360°， ∴∠PFG+∠OEP＝180°，∴∠PGF＝∠PFG， ∴PG＝PF， ∴PE＝PF． 例4．（1）证明：如图2，将△ABE绕点A旋转到△ADG处． ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∠B＝∠ADG，BE＝GD， ∵∠B+∠ADC＝180°， ∴∠ADG+∠ADC＝180°， ∴G，D，F三点共线． ∵， ∴∠BAE+∠DAF∠BAD， 即∠DAG+∠DAF∠BAD， ∴∠GAF∠BAD， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝GF＝GD+DF＝BE+DF， 即EF与BE，DF之间的数量关系为EF＝BE+DF． （2）当△EAF旋转到如图3所示的位置时，（1）中的结论不成立． 正确的结论为：EF＝DF﹣BE． 证明：如图3，将△ABE绕点A旋转到△ADG处． ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∠ABE＝∠ADG，BE＝GD， ∴∠ABC+∠ABE＝∠ABC+∠ADG＝180°， ∵∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ADG＝∠ABC， ∴G，D，F三点共线． ∵∠EAF∠BAD， ∴∠EAB+∠BAF∠BAD， 即∠DAG+∠BAF∠BAD， ∴∠GAF∠BAD， ∴∠EAF＝∠GAF． 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝GF＝DF﹣DG＝DF﹣BE， 即EF与BE，DF之间的数量关系为EF＝DF﹣BE． 【巩固练习】 1.【解答】证明：延长CB至M，使BM＝FD，连接AM，如图所示： ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABM+∠ABC＝180°， ∴∠ABM＝∠D， 在△ABM与△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AF＝AM，∠BAM＝∠DAF， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠DAF+∠BAE＝∠BAD＝∠FAE， ∴∠BAM+∠BAE＝∠EAF， 即∠MAE＝∠EAF， 在△AME与△AFE中， ， ∴△AME≌△AFE（SAS）， ∴EF＝ME， ∵ME＝BE+BM， ∴EF＝BE+FD． 2.∵△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点， ∴∠B=∠C=60°，BD=CD， ∵DF⊥AC， ∴∠DFA=90°， ∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED=180°， ∴∠AED=90°， ∴∠DEB=∠DFC，且∠B=∠C=60°，BD=DC， ∴△BDE≌△CDF（AAS） 3.【答案】6 【详解】过点O作OD∥AB交AC于点D， ∴∠CDO=∠A=∠ACB=∠ABC=60°， ∴∠DOC=60°，∠ADO=∠BOD=120°．∴ △CDO是等边三角形， ∴DO=CO， ∴DO=BO=AD． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．∠CAB=∠ABC=∠C=60°， ∴∠OBE=120°， ∴∠ODF=∠OBE． ∵∠FOB+∠BOE=∠EOF=120°，∠DOF+∠FOB=∠BOD=120° ∴∠FOD=∠EOB． 在△DOF和△BOE中， ， ∴△DOF≌△BOE（ASA）． ∴FC=EB．OF=OE． ∵AE=AB+BE， ∴AE=AB+DF， ∴AE=AB+AD+AF， ∴AE-AF=AB+AD． ∵AB+AD=AB， ∴AE-AF=AB． ∵AB=4， ∴AE-AF=6 4.【解答】解：（1）由△ABG≌△ADF，△AEG≌△AEF可知，BG＝DF，EF＝EG＝BG+EF＝DF+EF， 故答案为EF＝BE+FD （2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立． 理由：延长EB到点G，使BG＝DF，连接AG． ∵∠ABD+∠D＝180°，∠ABD+∠ABG＝180°， ∴∠ABG＝∠D， ∴AB＝AD，BG＝DF， ∴△ABG≌△ADF， ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD＝∠BAE+∠BAG， ∴∠EAG＝∠EAF， ∵AE＝AE，AG＝AF， ∴△EAG≌△EAF， ∴EG＝EF， ∵EG＝BG+BE＝DF+BE， ∴EF＝BE+DF． （3）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD． 证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． ∵AB＝AD， ∴△ABG≌△ADF． ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF． ∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD． ∴∠GAE＝∠EAF． ∵AE＝AE， ∴△AEG≌△AEF． ∴EG＝EF ∵EG＝BE﹣BG ∴EF＝BE﹣FD． 5.证明： 如图，过D作DF⊥AB，交BA的延长线于点F， ∵DE⊥BC，BD平分∠ABC， ∴DE＝DF，∠F＝∠DEC＝90°， ∵∠BAD+∠C＝180°，且∠BAD+∠DAF＝180°， ∴∠DAF＝∠C， 在△ADF和△CDE中 ∴△ADF≌△CDE（AAS）， ∴AD＝CD． 6.【解答】证明：（1）过点P作PF⊥AB，PG⊥BC， ∴∠PFB＝∠PGB＝∠PGC＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝AD＝BC， ∴∠ABD＝∠ADB＝45°，四边形FBGP是矩形， ∴∠FPB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣45°＝45°， ∴∠ABD＝∠FPB， ∴FP＝FB， ∴矩形FBGP是正方形， ∴PF＝PG，∠FPG＝90°， ∴∠FPE+∠EPG＝90°， ∵EP⊥PC， ∴∠EPC＝90°， ∴∠GPC+∠EPG＝90°， ∴∠FPE＝∠GPC， 在△PFE与△PGC中， ， ∴△PFE≌△PGC（ASA）， ∴PE＝PC； （2）设EF＝x， ∵△PFE≌△PGC， ∴GC＝EF＝x， 由BE＝2得：BF＝x+2， 由正方形FBGP得：BG＝x+2， ∵BC＝6， ∴BG+GC＝6， ∴（x+2）+x＝6， 解得：x＝2， ∴PF＝BF＝2+2＝4， 7.【解答】解：（1）如图1，延长EA到H，使AH＝CF，连接BH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝AD＝CD＝5cm，∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠BAH＝∠BCF＝90°， 又∵AH＝CF，AB＝BC， ∴△ABH≌△CBF（SAS）， ∴BH＝BF，∠ABH＝∠CBF， ∵∠EBF＝45°， ∴∠CBF+∠ABE＝45°＝∠HBA+∠ABE＝∠EBF， ∴∠EBH＝∠EBF， 又∵BH＝BF，BE＝BE， ∴△EBH≌△EBF（SAS）， ∴EF＝EH， ∴EF＝EH＝AE+CF， ∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝10（cm）． 故答案为：10． （2）EF＝BE+DF． 证明：如图2所示，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠BAD＝100°，∠EAF＝50°， ∴∠BAE+∠FAD＝∠DAG+∠FAD＝50°， ∴∠EAF＝∠FAG＝50°， 在△EAF和△GAF中， ， ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF＝FG＝DF+DG， ∴EF＝BE+DF； （3）成立． 证明：如图3，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG． ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°， ∴∠ABG＝∠D， ∵在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF， ∵2∠EAF＝∠BAD， ∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠BAD＝∠EAF， ∴∠GAE＝∠EAF， 又AE＝AE， ∴△AEG≌△AEF（SAS）， ∴EG＝EF， ∵EG＝BE+BG， ∴EF＝BE+FD； （4）EF＝BE﹣FD， 理由如下：在BC上截取BH＝DF， ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°， ∴∠B＝∠ADF，且AB＝AD，BH＝DF， ∴△ABH≌△ADF（SAS）， ∴∠BAH＝∠DAF，AH＝AF， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠DAE+∠BAH＝∠BAD， ∴∠HAE＝∠BAD＝∠EAF，且AE＝AE，AH＝AF， ∴△HAE≌△FAE（SAS）， ∴HE＝EF， ∴EF＝HE＝BE﹣BH＝BE﹣DF． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$